Конечные элементы перемещениях

В пределах отдельного конечного элемента перемещения и и w будем аппроксимировать линейным и кубическим полиномами [c.183]

Сложность интегрирования выражения (13) при вычислении составляющей Jk W) проистекает нз того, что оно содержит вторые производные перемещений. Поскольку в 20-узловых конечных элементах перемещения аппроксимируются квадратичными функциями N , то для интерполяции пли экстраполяции деформаций и значений энергии следует применять линейные функции формы т1, S). Функция, заданная в восьми точках [c.373]

Таким образом, произвольное смещение узла г вызывает в конечном элементе перемещения [c.148]

При аппроксимации на конечном элементе перемещений и и деформаций 1Г в виде [c.269]

При использовании аппроксимаций второй степени по совокупности переменных используют тетраэдральные элементы, за степени свободы которых выбирают перемещения вершин и перемещения середин ребер при использовании аппроксимаций степени k по каждой переменной в отдельности в качестве конечных элементов используют параллелепипеды (не обязательно прямоугольные). [c.145]

Введем а) разбиение (4.252) области Q на конечные элементы Тi б) точки в которых разыскиваются значения перемещений и х)-, в) точки а , в которых разыскиваются значения [c.206]

Если в качестве исходного взять функционал Кастильяно и предположить, что вектор перемещений непрерывен всюду в Q, а вектор плотности поверхностных усилий может претерпевать разрывы при переходе через границы конечных элементов, то, повторяя проведенные выше рассуждения, придем к следующему варианту метода гибридных конечных элементов найти стационарное значение функционала [c.211]

В этом отношении значительно большими возможностями обладает метод конечного элемента [88]. В основу этого метода положено расчленение рассматриваемой области на отдельные элементы простой геометрической конфигурации, причем достаточно широкие возможности открываются уже при введении в расчет элементов прямоугольной и треугольной формы. Сочленение элементов осуществляется в узлах, в которых полностью удовлетворяются условия равновесия и неразрывности перемещений. Разрезание рассматриваемой области приводит к кажущемуся нарушению условий неразрывности перемещений на участках между узлами, в значительной степени компенсируемому предположением о линейном законе изменения напряжений в любом сечении элементарного элемента. Это обусловливает наложение на деформации элемента сильно ограничивающих их связей, которые, с одной стороны, имеют тенденцию улучшить условия соблюдения неразрывности деформации, а с другой,— не вызывает концентрации напряжений в узловых точках. [c.115]

Второй путь решения задачи заключается в задании поля возможных напряжений. В этом случае к узловым точкам относят напряжения а ., Оу., х у. и вводят предположение об их распределении, в частности линейном, в пределах каждого конечного элемента. Далее определяют деформации и перемещения как функции узловых напряжений. Используя потом условие минимума энергии, приходим к системе алгебраических линейных уравнений относительно узловых напряжений. Подобный подход является аналогом классического метода сил, широко применяемого в строительной механике. Отнесение энергии к каждому конкретному конечному элементу позволяет опять получить достаточно простые формулы, существенно систематизирующие расчет. [c.119]

Кроме того, следует отметить, что метод конечного элемента существенно объединяет классические методы расчета сооружений метод сил, метод перемещений, смешанный метод в единый универсальный метод, кстати, построенный на широком использовании матричного аппарата, весьма удобного как при записи промежуточных преобразований и окончательных выражений, так и при общении человека с современными вычислительными средствами (цифровыми вычислительными машинами), особенно при использовании алгоритмических языков (Алгол, Фортран и т. п.). [c.136]

После определения ненулевых перемещений представляется возможным найти реактивные силы, действующие на каждый конечный элемент (5.7.4) и тем самым полностью выяснить напряженное и деформированное состояния конструкции. [c.140]

Метод конечного элемента связан с рассмотрением систем алгебраических уравнений высокого порядка. Для сопоставления рассмотрим кубическое тело. Число неизвестных при использовании метода конечного элемента определяется числом узлов сетки и при решении задачи в перемещениях равно 3(л-1-1) . При решении задачи методом расширения заданной системы число неизвестных для кубического объема определяется как 18п , т. е. уже при делении каждой грани на одну и более клеток ярко выступает преимущество этого метода. На рис. 81 графически показано число уравнений при решении задач обоими методами, причем сплошная линия относится к методу конечного элемента, а штриховая—к методу расширения заданной системы. [c.160]

Расчет статически неопределимых систем может быть произведен различными методами. Наиболее известны метод сил, метод перемещений, смешанный метод, различные приближенные методы. В последнее время получили широкое распространение методы расчета с применением ЭВМ метод конечных разностей, метод конечного элемента. [c.7]

Пусть тонкая пластина находится в условиях обобщенного плоского напряженного состояния (рис. 9.54). Мысленно разобьем ее на треугольные конечные элементы и рассмотрим один из них с узлами /, т, п (на рис. 9.54 этот элемент выделен точками). Перемещения каждого узла, например /, имеют две компоненты [c.329]

Подставив значения коэффициентов at, p/i, p 2 из равенств (9.445) в выражение (9.443), получим формулу для компонент перемещения произвольной точки конечного элемента [c.330]

Зная перемещения во всех точках конечного элемента, определяем компоненты деформации о помощью соотнощения, которое в матричной форме можно записать так [c.331]

Таким образом, перемещения иг, компоненты деформации и компоненты напряжения определяются равенствами (9.449), (9.451) и (9.460) в зависимости от перемещений узлов конечного элемента. [c.332]

Естественно, что между узловыми силами и узловыми перемещениями существует определенная зависимость. Д [я установления этой вависимости воспользуемся принципом возможных перемещений. Придадим узлам конечного элемента некоторые кинематически возмож-йые перемещения би , которым будут соответствовать вариации компонент деформации бе . Тогда работа внешних сил R , равная сумме произведений компонент узловых сил на соответствующие компоненты узловых перемещений, в матричной форме запишется в виде [c.333]

Следовательно, метод конечных элементов представляет собой определение минимума потенциальной энергии системы среди возможных перемеш,ений заданной формы внутри конечных элементов. Система уравнений метода конечных элементов (9.474), отражаюш,ая, по существу, тот факт, что варьирование перемещений осуществляется по конечному числу параметров uo , может быть записана в виде [c.335]

Здесь К — матрица жесткости системы, д — вектор узловых неизвестных (перемещений), а вектор Р представляет собой приведенную в узлы нагрузку от массовых и поверхностных сил. Для построения глобальной матрицы и глобальных векторов достаточно вычислить соответствующие объекты одного конечного элемента и, расположив их на соответствующих местах глобального массива, просуммировать. Это суммирование достигается формальными выкладками (таким же способом составляются, например, уравнения равновесия стержневых систем в строительной механике [179]). [c.632]

Основные положения. Основная идея метода конечных элементов состоит в том, что любую непрерывную величину (температуру, давление и перемещение) можно аппроксимировать дискретной моделью, которая строится на множестве ку-сочно-непрерывных функций, определенных на конечном числе подобластей. Кусочно-непрерывные функции определяются с помощью значений непрерывной величины в конечном числе точек рассматриваемой области. [c.197]

В пределах конечного элемента s,y функции перемещения и х, у) и V х, у) аппроксимируем полиномами вида [c.450]

Пусть двумерная среда разбита на треугольные конечные элементы (рис. I). Перемещение каждой из вершин треугольника ijm (рис. 2) выражается компонентами и,-, у,-, Uj, Vj, и , t , , [c.555]

Коэффициенты a, b, с с другими индексами получаются с помощью циклической перестановки и поэтому здесь не приводя хя. Формулы (г) позволяют выразить перемещения в любой точке внутри треугольного конечного элемента через перемещения его вершин. [c.556]

Применяя формулы (а) (стр. 47), можно выразить через перемещения вершин треугольника (в дальнейшем будем называть их узлами) деформации внутри конечного элемента ijm [c.556]

Для составления канонических уравнений метода перемещений, обеспечивающих равновесие каждого узла сетки конечных элементов, удобно воспользоваться принципом возможных перемещений. [c.557]

Практический подход к вопросу сходимости дает выборочный тест Айронса [19, 20], который описывается здесь в общих чертах для задач механики твердого тела. В простейшей форме теста группа элементов, или кусок как минимум с одним невнутренним узлом, полностью окруженным элементами, нагружается на границе силами, соответствующими постоянным деформациям на всем куске. Если метод сходится, то по выборочному тесту вычисленные методом конечных элементов перемещения, деформации и напряжения должны согласовываться с приложенной постоянной деформацией. Тестом может служить также использование приложенных перемещений, соответствующих состоянию постоянной деформации на всем куске. Применимы также выборочные тесты более высокого порядка, требующие на всем куске согласования решения с более -сложными нагрузками, предписанными на границе. Выборочный тест не ограничивается полными -или согласованными элементами, а может также применяться для определения того, дают ли сходящееся решение элементы, не удовлетворяющие этим крите риям. Тест, разработанный на основании инженерной интуиции был обоснован математически Стренгом [21] как необходимый достаточный признак сходимости в следующих случаях а) ког да используются несогласованные элементы б) когда в фор мулы входит численное интегрирование. Как недавно указа/ Оливейра [22], этот признак можно распространить иа задачи отличные от задач механики твердого тела. [c.177]

Настоящая глава посвящена изложению одного из наиболее перспективных способов дискретизации непрерывных задач — методу конечных элементов. Метод будет сформулирован как обобщение матричных методов сил н перемещений строительной механики на случай континуальных систем. Преимущества такой формулировки — в очевидных возможностях обобщения на случай нелинейных и неконсервативных систем, недостаток —в завуали-рованности связи с традиционными вариационными методами — Ритца и Бубнова — Галеркина, а также в трудностях перенесения на краевые задачи немеханического происхождения. [c.130]

Обозначим множество полиномов от п переменных степени k по совокупности переменных через Р , множество полиномов от н переменных степени k по каждой переменной в отдепьности — через Q / . Как было выяснено, для треугольных и тетраэдральных элементов в обычной постановке задач теории упругости подходят полиномиальные аппроксимации перемещений полиномами из P k, для четырехугольных и параллелепипедов — аппроксимации полиномами из Ql- В рассматриваемом случае ни один из этих типов полиномов не может быть использован, тем не менее попытаемся аппроксимировать прогиб w полиномом, вид которого будем выбирать из тех соображений, чтобы обеспечить непрерывность w при переходе через границы конечных элементов. Так как величины прогибов и поворотов в узлах (вершинах) являются общими для соседних элементов, то в случае непрерывности прогибов форма прогиба на границах рассматриваемого элемента будет определяться четырьмя параметрами (по два в каждом узле) —ш и 6 на границе л-2 = onst, 02р—на границе Xi = onst. [c.147]

Заметим, что градиент w имеет на границах элемента компоненты, являющиеся полиномами второй степени от одной переменной, Каждый такой полином определяется тремя параметрами, но для нахождения этих параметров имеется всего два условия на концах прямолинейного участка границы, следовательно, производная от W при переходе через границы терпит разрыв и, следовательно, соответствующее поле перемещений не входит в область определения функционалов, встречающихся в задаче изгиба пластинки. Несмотря на это обстоятельство, численные эксперименты показали, что подобные конечные элементы позволяют получать удовлетворительную точность (в последнее время данный прием получил и теоретическое обоснование). Поэтому такие элементы nn-ipoKo используются в конкретных расчетах. [c.147]

Рассмотрим теперь разбиение пластинки на треугольные конечные элементы и рассмотрим отдельный элемент с номерами вершин i = k ), j = k 2), k = k 3), которые для краткости будем заменять числами 1, 2, 3. Поле перемещений w = w x, у) внутри элемента разделим на иоле w , возникающее за счет чистой деформации, и иоле оиисывающее смещение и поворот треуголь[1ика как жесткого целого имеем [c.150]

Рис. 3.6 Раэбивка на конечные элементы рассматриваемой зоны механически неоднородного соединения тонкостенной оболочки давления (а), поля перемещений, полученные МК З (б) и методом мл аровых полос ) дая случая и = 02 / = 0,5,

Вторую группу методов составляют так называемые прямые методы.. Их характерной особенностью является то, что минуя дифференциальные уравнения на основе вариационных принципов механики упругого тела строятся процедуры для отыскания числовых полей неизвестных функций в теле — перемещений, усилий, напряжений. В гл. 3 при рассмотрении двух основных принципов — Лагранжа (вариации перемещений) и Кастильяно (вариации напряжений) — уже были изложены два таких прямых метода, а именно метод Ритца (см. 3.5) и метод, основанный на принципе Кастильяно (см. 3.7). В дополнение к ним в данной главе излагаются общие основы наиболее эффективного в настоящее время прямого метода — метода конечных элементов (МКЭ). Перечисленные методы либо полностью основаны на вариационных принципах (методы второй группы), либо допускают соответствующую трактовку с использованием этих принципов (методы первой группы). Поэтому часто эти приближенные методы называют вариационными. [c.228]

Рассмотрим теперь отделытый узел сетки конечных элементов, у которого перемещения будут Z/, и + j (рис. 8.35). Он окружен [c.262]

Конечные элементы могут быть построены различной формы, для различных видов деформации (плоская задача, изгиб пластин, деформации элемента оболочки, стержня и т. д.). Каждый из элементов характеризуется его матрицей жесткости R. Если они построены, то метод конечных элементов позиоляет по изложенной схеме создавать любые композиции (ансамбли) из различных конечных элементов. Причем определение деформированного состояния такой композиции или ансамбля (приближенно заменяющего реальную конструкцию) сводится к составлению и решению системы линейных алгебраических уравнений типа (8.71). В настоящее время существуют автоматизированные комплексы программ, позволяющие рассчитывать по методу конечных элементов очень сложные конструкции с числом неизвестных перемещений, соствляющим тысячи или даже десятки тысяч единиц. Он успешно также применяется в решении нелинейных задач и задач динамики деформируемых систем. [c.263]

Рассмотрим прямоугольный конечный элемент изгибаемой пластины (рис. 8.37, а). В каи>дом узле примем за неизвестные три обобщенных перемещения прогиб два угла поворота нормали — dwidy и dwidx. Следовательно, полный вектор обобщенных перемещений элемента состоит из 12 компонент [c.267]

Решение прямой задачи как в перемещениях, так и в напряжениях требует интегрирования довольно сложной системы дифференциальных уравнений в частных производных и, как правило, сопряжено со значительными математическими трудностями. Поэтому при решении прямой задачи часто используют приближенные методы,например метод сеток, прямые методы вариационных задач (методы Ритца, Бубнова—Галеркина, Канторовича и др.), а также получивший за последнее время широкое применение метод конечных элементов. В некоторых же случаях решение можно эффективно получить с помощью так называемого полуобратного метода Сен-Венана. [c.81]

Принцип возможных перемещений, являясь одним из наиболее общих принципов механики, дал возможность развить на его основе приближенные методы, которые нашли самое широкое применение в расчетной практике. В частности, он является теоретической основой uinpoKo применяемого в строительной механике метода деформаций. На его основе удачно развиваются метод конечных элементов и метод конечных разностей, рассмотренные ниже. [c.192]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...