Уравнения для элементов возмущенного движения

Уравнения для элементов возмущенного движения. Рассмотрим один из возможных способов получения дифференциальных уравнений для элементов возмущенного движения [47], С этой целью воспользуемся векторными интегралами площадей (2.2.5) и Лапласа (2.2.22) [c.337]

Уравнения для элементов возмущенного движения 337 [c.445]

Свойства интегралов системы канонических уравнений, выражаемые формулами (47), имеют большое значение в теории возмуш,енного движения, позволяя записывать уравнения для элементов возмущенной орбиты снова в канонической форме. С этим обстоятельством мы уже встретились выше, когда, следуя Гамильтону, составляли уравнения (27). Величины определяемые формулами (25), являются скобками Пуассона, и для них Гамильтон установил формулы (47), но с некоторыми ограничениями, о которых говорилось выше. [c.28]

В четвертой главе выводятся различные формы дифференциальных уравнений для элементов промежуточного движения. Дается общий метод решения этих уравнений, позволяющий находить все возмущения в движении спутника, которые не были учтены при построении промежуточной орбиты. Приводятся также некоторые качественные исследования возмущенного движения спутника. [c.9]

Полученные здесь уравнения для элементов промежуточного движения носят самый общий характер, поскольку они применимы для определения возмущений от произвольных возмущающих сил. Следует заметить, однако, что ими целесообразно пользоваться в тех случаях, когда возмущающие силы не имеют силовой функции (сопротивление атмосферы и др.). В случае возмущающих сил гравитационной природы, по-видимому, целесообразнее воспользоваться более простыми каноническими уравнениями, выведенными в 4.5, или уравнениями 4.9. [c.134]

Полученные в 4.5, 4.9 и 4.10 дифференциальные уравнения для элементов промежуточной орбиты позволяют довольно просто построить аналитическую теорию движения спутника со всей необходимой для практики точностью. Важной особенностью этих уравнений является то, что они дают возможность уже в первом приближении находить возмущения, обусловленные совместным влиянием различных возмущающих факторов и сжатия Земли. [c.144]

Уравнения Ньютона (4.3.09) пригодны для описания возмущенных движений любого типа, однако для движений эллиптического типа ) удобнее рассматривать оскулирующие элементы 2, 1, а, е, л, е (см. ч. II, 2.01). [c.336]

Общие уравнения. Уравнения движения конечного элемента для случая больших деформаций и произвольных свойств материала в существенной степени нелинейны. Однако ро многих приложениях удобно рассматривать линеаризованные формы этих уравнений относительно малых возмущений движения, наложенных на произвольное движение элемента. Такие формы уравнений в приращениях оказываются особенно полезными в задачах статической и динамической устойчивости, пластичности и задачах [c.284]

Исследуем сначала возмущение движения планеты, вызываемое наличием другой планеты. В 18.7 мы нашли выражение для возмущающей функции R через координаты обеих планет относительно Солнца, и, чтобы использовать его в уравнениях (25.3.6), следует перейти к эллиптическим элементам планет. Всего получается двенадцать уравнений, поскольку элементы а, е, i, i, u, ф второй планеты также немного изменяются со временем. Исследование этой системы уравнений составляет одну из важнейших задач небесной механики не имея возможности привести его здесь во всей полноте, ограничимся несколькими замечаниями. [c.512]

Первая часть теоремы является лишь простым обобщением теоремы Гамильтона, который требует, чтобы произвольные постоянные были начальными и конечными значениями координат и чтобы функция V удовлетворяла еще второму уравнению в частных производных. Вторая часть теоремы, относящаяся к варьированию произвольных постоянных, совершенно новая. Я изложил здесь, ради простоты, только случай свободного движения, но я легко распространил эту теорему на движение системы, подчиненной некоторым условиям. При помощи этой теоремы можно найти путем вычисления элементы, производные которых для возмущенного движения принимают ту простую форму, которую они имеют в теореме, форму, которую я в своей статье называю канонической. Это легко подтверждается в эллиптическом движении, где интегрирование уравнения в частных производных [c.292]

Исследование режимов работы вибрационной дробилки под нагрузкой, представленной реологической моделью, наиболее целесообразно проводить на ЭМУ и ЭЦ.М. При решении задачи на ЭМУ производят замену переменных в уравнениях движения щеки дробилки и движения модели, адекватной дробимой горной массе, т. е. приводят уравнения к машинному виду. По машинным уравнениям с учетом трансцендентных уравнений определяют параметры устройства для моделирования. Устройство для моделирования вибрационной дробилки под нагрузкой содержит следующие основные структурные элементы генератор внешних воздействий для получения возмущения ЛрО- os (ЙТ+ ф) устройство для моделирования уравнения движения щек и устройство для моделирования системы уравнений движения по оси х устройство для. -моделирования системы уравнений движения по оси у логические структурные схемы управления согласно трансцендентным уравнениям. [c.398]

Соотношения (23) и (24) определяют преобразование возмущении за цикл возмущенного движения, в течение которого происходит одно соударение. Периодическое движение устойчиво, если при увеличении числа циклов возмущения стремятся к нулю. Для этого корни Pi, Р2 характеристического уравнения матрицы, элементы которой совпадают с коэффициентами при Дт, Ди в (23) (24), [c.315]

Нелинейный анализ аэроупругости вертолета обычно состоит из следующей последовательности вычислений. Исходными данными являются описание несущего винта вертолета и режима полета. Выходные параметры зависят от рассматриваемой задачи (характеристики несущего винта, нагрузки на лопасть, возмущенное движение вертолета и т. д.). На каждом шаге анализа вычисляются геометрия вихревой системы, индуктивные скорости и аэродинамические силы на несущем винте и фюзеляже с использованием простой или сложной модели каждого элемента в соответствии с характером задачи. После интегрирования уравнений движения для определения реакции несущего винта и фюзеляжа дается приращение времени и вычисления повторяются. Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока не будет получено периодическое решение для установив-щегося режима полета или определен соответствующий переходный процесс. Такой прямой подход в случае сложных моделей требует огромного количества вычислений. Поэтому большое внимание уделяется разработкам более эффективных вариантов указанной процедуры в соответствии с исследуемой проблемой и имеющимися вычислительными возможностями. [c.690]

Два векторных равенства (14) и (15) и являются, по сути дела, дифференциальными уравнениями возмущенного движения. В дальнейшем мы 1) заменим их шестью скалярными равенствами 2) выразим входящие в эти равенства величины через оскулирующие элементы е (/), р (/), и (О, у t), (О t), т t) и их первые производные 3) получим выражения для производных от оскулирующих элементов. Это и будут уравнения Ньютона — Лагранжа. [c.270]

В главах 5—9 излагается теория ротационного движения спутника. В главе 5 выводятся и исследуются уравнения в оскулирующих элементах, наиболее удобные для исследования такого движения. Эти уравнения описывают эволюцию вектора кинетического момента в пространстве и эволюцию эйлерова движения относительно вектора кинетического момента. Исследование возмущенного движения удобно проводить асимптотическими методами теории колебаний. Осреднение по быстрому вращению и по орбитальному движению центра масс спутника позволяет выявить вековые эффекты возмущенного движения. Более точное приближение к решению ( второе приближение ) получается осреднением только по быстрому вращению (без осреднения по орбитальному движению). Показано, что в интересном для практики случае динамически симметрич- [c.12]

Если кинетическая энергия вращения спутника существенно больше работы возмущающих сил, то движение на небольшом интервале времени будет близко к невозмущенному. На достаточно большом интервале времени действие малых возмущающих моментов может привести к накоплению возмущений в движении и к постепенной его эволюции. Движение такого типа назовем ротационным. Для эффективного исследования возмущенного вращения спутника наиболее целесообразно применить метод вариации постоянных (аналогичный методу оскулирующих элементов при анализе возмущенных орбит в небесной механике). Постоянные параметры — интегралы невозмущенного движения — в возмущенном движении считаются переменными, и ищутся дифференциальные уравнения, связывающие эти параметры. [c.175]

Угол V отсчитывается от направления из центра притяжения на перигей орбиты это направление не является неподвижным в пространстве, а составляет переменный угол соя с некоторым фиксированным направлением. В силу центральности возмущения в уравнения оскулирующих элементов не входит уравнение для определения угла 1 наклона орбиты к экватору и долготы Д восходящего узла орбиты, так как угол / остается постоянным ( = 0), а движение узла суммируется с движением перигея орбиты в общий эффект вращения орбиты в ее плоскости, описываемый уравнением (П 2.12). [c.405]

Полезно заметить, что для нахождения связи между начальными значениями (12.3) и начальными элементами (12.15) вовсе не требуется знать общее решение уравнений возмущенного движения в его окончательной форме (12.17). Действительно, это общее решение дается формулами (12,5), где элементы орбиты суть некоторые функции времени, точные выражения которых могут быть известны только после полного интегрирования системы (12,1), [c.573]

Такое преобразование в канонически уравнениях возмущенного движения впервые выполнил Делонэ в своей классической работе по теории движения Луны ), который ввел для этой цели новые канонические элементы, называемые теперь обычно элементами Делонэ. [c.691]

Канонические элементы Делонэ были введены для того, чтобы в правых частях дифференциальных уравнений возмущенного движения, определяющих оскулирующие элементы, не было членов, пропорциональных времени. [c.693]

Для приближенного интегрирования уравнений возмущенного движения в элементах Делонэ или в элементах Пуанкаре нужно прежде всего выразить характеристическую функцию Р через время и сами элементы, что можно сделать, как мы уже знаем, только при помощи разложений характеристической функции в бесконечный ряд. [c.697]

В главе 3 рассматриваются дифференциальные уравнения возмущенного движения одного тела, получающиеся методом вариации произвольных постоянных. Приводятся различные формы уравнений для различных систем оскулирующих элементов. Рассмотрены случаи потенциальных и непотенциальных возмущающих сил. Приведены канонические формы уравнений возмущенного движения. Приведенные формы уравнений движения используются как в классической небесной механике, так и в астродинамике. Различные способы выводов этих уравнений даются в [1] — [7]. [c.332]

Уравнения возмущенного движения для канонических элементов Якоби [c.339]

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВОЗМУЩЕННОГО ДВИЖЕНИЯ ЗАДАЧИ п ТЕЛ ДЛЯ РАЗЛИЧНЫХ СИСТЕМ ОСКУЛИРУЮЩИХ ЭЛЕМЕНТОВ [c.347]

В главе 3 приведены уравнения Ньютона для оскулирующих кеплеровских элементов орбиты одного тела, движущегося под действием притягивающего центра и возмущающей силы. Если материальная точка Ра притягивает каждую из материальных точек Р, Рг,. .., Рп-1 в соответствии с законом всемирного тяготения и в этой механической модели действуют еще какие-либо возмущающие силы [например, силы взаимного притяжения тел Рг и Р - ,1,1 = 1, 2,. .., п — 1), сопротивление среды и др.], то возмущенное движение тел Рь Ра, , Рп-1 можно описать дифференциальными уравнениями Ньютона [1] [c.347]

Для случая малых эксцентриситетов и малых наклонов (ба О, 5 О, 5 = 1, 2,. .., — 1) удобнее рассматривать вместо оскулирующих элементов е. 1 Й . л переменные Лагранжа Ае, к Рз, Яз- Тогда уравнения возмущенного движения системы материальных точек Рь Р .....Р 1 относительно Ро [c.357]

В главе 3 приведены дифференциальные уравнения возмущенного движения, записанные для различных систем элементов. Интегрирование этих уравнений выполняется либо методом последовательных приближений, либо при помощи рядов. [c.421]

Теперь решим аналогичную задачу для поперечных возмущений. Рассмотрим неоднородное поперечное возмущение ,(х,Г) вдоль стержня, которое приводит к сдвиговой деформации малых элементов стержня, один из которых длины Дх и массы Ат представлен на рис. 126 пунктиром изображено невозмущенное положение стержня, стрелками - возмущение ,(х,/). Уравнение движения этого элемента в проекции иа ось Оу запишется в виде [c.136]

Траектории семейства невозмущенных движений называются оскулирующими орбитами, а их элементы — оскулирующими элементами. Система дифференциальных уравнений (4.3.05) может быть названа системой уравнений для оскулирующих элементов. Возмущенное движение может рассматриваться как [c.334]

Это большое преимущество, как, вероятно, и будет признано, примиряет меня с неудобством вводить новую группу орбит и с потерей геометрической простоты, на которую я указывал неудобство заключается в том, что мои орбиты не касаются, а пересекают (хотя под очень маленькими углами) действительные гелиоцентрические орбиты, описанные под действием всех возмущающих сил. Моя новая варьированная орбита любой планеты правильно дает возмущенные гелиоцентрические координаты и вспомогательные величины X, у, 2 при помощи правил невозмущенного движения, но если мы не продифференцируем элементов каждой планеты или не сопоставием орбиты всех планет, то они не дадут правильно тех вспомогательных переменных для возмущенного движения, которые употреблял Лагранж, именно — компонентов гелиоцентрических скоростей. Но алгебраически они были лишь подсказаны формой его первоначальных дифференциальных уравнений, а [c.768]

В инженерной практике широко распространены конструкции, элементы которых имеют полости или отсеки, содержащие жидкость, иапример, объекты авиационной и ракетно-космической техники, танкеры и плавучие топливозаправочные станции, суда для перевозки сжиженных газов и стационарные резервуары, предназначенные для хранения нефтепродуктов и сжиженных газов, ректификационные колонны и т. д. В большинстве случаев жидкость-заполняет соответствующие полостн или отсеки лишь частично, так что имеется свободная поверхность, являющаяся границей раздела между жидкостью и находящимся над ней газом (в частности, воздухом). Обычно можно считать (за исключением особых случаев движения тела с жидкостью в условиях, близких к невесомости, которые здесь не рассматриваются), что колебания жидкости происходят в поле массовых сил, гравитационных и инерционных, связанных с некоторым невозмущенным движением. Как правило, это поле можно в первом приближении считать потенциальным, а само возмущенное движение отсека и жидкости — носящим характер малых колебаний, что Оправдывает линеаризацию уравнений возмущенного движения. Ряд актуальных для практики случаев возмущенного движения жидкости характеризуется большими числами Рейнольдса, что позволяет использовать при описании этого движения концепцию пограничного слоя, считая, кроме того, жидкость несжимаемой. Эти гипотезы лежат в основе теории, излагаемой ниже [23, 28, 32, 34, 45, 54J. Учету нелинейности немалых колебаний жидкости посвящены, например, работы [15, 26, 29, 30]. Взаимное влияние колебаний отсека и жидкости при ее волновых движениях может сильно изменять устойчивость системы, а иногда порождать неустойчивость, невозможную при отсутствии подвижности жидкости. В качестве примера можно привести резкое ухудшение остойчивости корабля при наличии жидких грузов и Динамическую неустойчивость автоматически управляемых ракет-носителей и космических аппаратов с жидкостными ракетными двигателями при неправильном выборе структуры или параметров автомата стабилизации. Поэтому одной из основных Задач при проектировании всех этих объектов является обеспечение их динамической устойчивости [9, 10, 39, 43]. Для гражданских и промышленных сооружений с отсеками, содержащими жидкость, центр тяжести при исследовании их динамики смещается в область определения дополнительных гидродинамических нагрузок, например при сейсмических колебаниях сооружения [31]. [c.61]

Изложенная методика построения возмущений была применена к конкретным задачам небесной механики, в частности для определения возмущений элементов орбит астероидов Юнона, Веста, Астрея, Геба, Ирида и Лютеция. В качестве нриближеиного решения дифференциальных уравнений, описывающих движение этих астероидов, было взято точное ренгение усредненного по схеме Фату варианта ограниченной круговой задачи трех тел [8, 124]. [c.188]

Глава VIII содержит начальные сведения о теории возмущений. Уравнения для возмущений в элементах орбиты выведены методом, предложенным А. И. Лурье. 2 и 3 должны дать некоторое представление о влиянии геофизических факторов на движение искусственных спутников. [c.10]

Выяснив, так сказать, механизм возмущенного движения, мы можем перейти теперь к рассмотрению аналитических формул, определяющих это движение, для чего необходимо ирелсде всего получить дифференциальные уравнения (12.13), которым удовлетворяют постоянно изменяющиеся оскулирующие элементы. Вывод этих уравнений мы рассмотрим в следующем параграфе. [c.577]

В связи с этим, при применении метода Лагранжа изменения произвольных постоянных удобнее и проще пользоваться не кеплеровскими оскулирующими элементами, а элементами Якоби, дифференциальные уравнения для которых в возмущенном движении также имеют канонический вид, что позволяет при исследовании этих уравнений опираться на общие свойства канонических систем и канонических преобразований. [c.687]

Очевидно, что в этом случае элементы возмущенной орбиты, хотя и определяются уравнениями для оскулирующих элементов, на самом деле не являются оскулирующими. Ганзен предложил назвать эти элементы средними элементами. Средние элементы получили большое распространение в аналитической небесной механике, так как они очень часто представляют астрономические наблюдения на больших промежутках времени лучше, чем оскулирующие элементы. Математический аспект введения средних элементов в аналитические теории движения небесных тел изучен в монографии [36) [c.410]

В главе 8 рассматривается возмущенное движение. Система уравнений движения в оскулирующих элементах используется для анализа эволюции орбиты под действием атмосферы, нецентральности поля притяжения и возмущений от внешнего небесного тела. Даны способы решения отдельных задач и примеры полученных решений. [c.8]

Фундаментальное уравнение для определения величин gi и Ои по которым находятся средние движения перигелпев и узлов, является алгебраическим уравнением относительно g п а п-й степени, где п — число планет. Это алгебраическое уравнение дается в форме определителя с п элементами. Если этот определитель раскрыть обычным образом, то получим сумму п членов, где каждый член состоит из п сомножителей. Если число планет велико, то вычислительная работа, необходимая для раскрытия определителя, очень большая. Еслп вычислять вековые возмущения восьми больших планет ) планетной системы, то таким образом получили бы 8 = 40320 членов, каждый из которых состоит из восьми сомножителей. А так как некоторые из элементов определителя, а именно те, которые стоят на главной диагонали, состоят из двух слагаемых, то указанное число возрастет еще более, — вдвое, как отмечал Стокуелл. Уже только численные расчеты для этого уравнения с трудом можно было бы преодолеть в течение одной человеческой жизни (Стокуелл). [c.297]

Поэтому в возмущенном движении как координаты, так и компоненты скорости в момент времени I определяются формулами эллиптического движения и выражаются через время и мгновенные значения злементон для момента t, причем компоненты скорости получаются дифференцированием выражений координат для эллиптического движенпя, как если бы орбитальные элементы были постоянными. Эта процедура является обязательной, если координаты и компоненты скорости должны дать мгновенные элементы по формулам эллиптического движения. С другой стороны, можно было бы ввести три условия, отличные от уравнений (5), и прийти к результатам, и.меющпм ту же силу. Однако координаты п компоненты скорости дают мгновенные элементы при помощи формул эллиптического движения только при условиях (5). Такие мгновенные элементы называются также оскулирующими элементами. [c.240]

Эти уравнения ) вместе с соответствующими для элементов планеты /и образуют строгую систему диференциальных уравнений для определения движения плангт /и, и по отношению к Солнцу, если не имеется иных сил, кроме взаимных притяжений трех тел. Если выражено через время и оскулирующие элементы в эпоху то уравнения (72) станопчгся явными выражениями для первой половины системы (27) и определяют возмущения элементов первого порядка по отношению к массам. [c.350]

Известно, что планеты движутся вокруг Солнца по почти-эллиптическим орбитам, так как взаимное притяжение планет во много раз меньше, чем притяжение Солнца. Это приближение, сводящее задачу движения планет к задаче двух тел, служило основой для построения многих теорий движения планет. У кепле-ровской (опорной) орбиты элементы постоянны если теперь предположить, что вследствие взаимного гравитационного притяжения планет они изменяются, то для этих изменяющихся элементов можно составить дифференциальные уравнения. Выражения для элементов, получающиеся в результате решения уравнений (представляющие собой в общем случае длинные суммы синусоидальных, косинусоидальных и вековых членов), можно использовать для построения более точного приближения. Этот метод трудоемок, но на практике он быстро сходится, и более трех приближений приходится делать очень редко. Полученные таким образом аналитические выражения, справедливые на заданном интервале времени, называются общими возмущениями. Они позволяют нам сделать некоторые заключения о прошлом и будущем планетной системы, однако следует подчеркнуть, что указанным методом нельзя получить результаты, справедливые на любом, сколь угодно большом интервале времени. Метод общих возмущений применяется также к спутниковым системам, к орбитам астероидов, возмущаемым Юпитером, и к орбитам искусственных спутников. Этот метод является мощным инструментом астродинамики, поскольку в аналитических выражениях находят свое отражение различные возмущающие силы (например, влияние на спутник сплюснутости Земли). [c.129]

С другой стороны, вpeмeннaя зависимость диагональных матричных элементов а а и Оъъ более сложная, поскольку, как показано в гл. VIII, их изменений связано с изменением всех других диагональных матричных элементов а а- Для этих элементов нельзя определить одну постоянную затухания Ti, аналогичную затухание описывается суммой нескольких экспонент. Рассмотрим теперь движение системы спинов с простой линией в присутствии радиочастотного возмущения %Е t) с частотой со в окрестности сОаь = too [6]. Будем предполагать, что как со—соо, так и величина возмущения (измеренная в единицах частоты) малы по сравнению со всеми разностями со о— o p. Предположим, что время корреляции Тс достаточно мало Ei t) X <С 1) и что основное уравнение для матрицы плотности системы спинов можно записать в виде [c.482]

ВЫВОД СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ ОСКУЛИРУЮЩИХ ЭЛЕМЕНТОВ. Итак, возмущенное движение рассматривается как кепл юво движение, все элементы которого переменны и представляют собой некоторые неизвестные непрерывные функции времени. Этн неизвестные удовлетворяют некоторой системе дифференциальных уравнений и нх надо вывести. [c.95]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...