Матрица плотности для системы

Для вычисления средних энергий фононов при термодинамическом равновесии напомним некоторые положения статистической физики. Состояние системы, находящейся в термодинамическом равновесии, описывается не волновой функцией, а статистическим оператором, или матрицей плотности [5]. Матрица плотности для системы, находящейся при постоянной температуре и давлении, определяется выражением [c.53]

Матрица плотности для системы гармонических осцилляторов 158 [c.446]

Симметризованная матрица плотности для системы из N частиц [c.73]

До сих пор мы рассматривали системы и описывающие их матрицы плотности для фиксированного момента времени. Рассмотрим теперь их эволюцию во времени и найдем уравнение движения для матрицы плотности системы с гамильтонианом Й. [c.193]

Подставляя формулу (6.16) в первое уравнение системы (6.15), приходим к кинетическому уравнению для диагональных элементов матрицы плотности туннельной системы + фононы [c.73]

Уравнения для матрицы плотности полной системы. С помощью матрицы плотности полной системы, мы можем вычислить поведение любой физической величины, относящейся к этой системе, используя простую формулу (1.71). Уравнения для матрицы плотности полной системы, включающей электронные степени свободы хромофора, фононы, [c.89]

В соответствии с (1.56) и (1.57) уравнение для матрицы плотности двухуровневой системы имеет вид [c.46]

Уравнение матрицы плотности для эффективной двухуровневой системы вместо (1.65) имеет вид [c.295]

Перейдем теперь к построению матрицы плотности для рассматриваемой системы. Запишем матрицу плотности в представлении, в котором гамильтониан диагонален поскольку матрица плотности равновесной системы может зависеть только от гамильтониана (4.1.4), отсюда следует, что оператор плотности р также диагонален, т. е. что [c.132]

Интересным приложением неравновесной статистической механики является теория открытых систем, которая активно развивается в последние десятилетия (см., например, [78, 136]). Наиболее впечатляющим свойством открытых систем является самоорганизация , т. е. возникновение упорядоченных макроскопических структур. В главе 7 было выведено основное кинетическое уравнение для матрицы плотности открытой системы, взаимодействующей с термостатом. Однако, как правило, реальные открытые системы взаимодействует с окружением, которое само находится в неравновесном состоянии. Поэтому актуальной задачей является разработка метода построения статистических ансамблей, представляющих состояние открытой системы, взаимодействующей с другими неравновесными системами. [c.281]

Приведённые выше примеры имеют дело с чистыми состояниями. Далее мы обращаемся к системам, для описания которых необходима матрица плотности. Мы выводим уравнение для матрицы плотности для случаев затухания или усиления поля в полости. Это немедленно приводит к матрице плотности одноатомного мазера. Спонтанное излучение атома тоже может быть получено с помощью подхода, основанного на матрице плотности. Другая система, для которой необходим такой подход, происходит из области атомной оптики. Мы рассматриваем движение атома через квантованную стоячую волну. И вновь фазовое пространство обеспечивает более глубокое понимание процессов отклонения и фокусировки атомных пучков в электромагнитных полях. [c.49]

Так как формальное выражение (18.3) для матрицы плотности р системы написано в представлении взаимодействия, перейдём к этому представлению для гамильтониана Я (18.46) и, в полной аналогии с результатом раздела 14.8, получим выражение [c.591]

Будем исходить из уравнения движения для матрицы плотности о системы 8 [c.257]

В качестве примера рассмотрим систему А, связанную с большой системой В, которую мы назовем резервуаром. Взаимодействие с системой В возмущает систему А. В этом случае уравнение движения для матрицы плотности всей системы принимает вид [c.418]

Рассмотрим уравнения для матрицы плотности системы атом + электромагнитное поле. В этом случае в общие уравнения (1.76) для матрицы плотности, выведенные в конце первого параграфа, мы должны вместо матричных элементов оператора V подставить матричные элементы оператора взаимодействия Л электронов с поперечным электромагнитным полем. Однако тогда мы придем к весьма сложной бесконечной цепочке зацепляющихся уравнений и придется искать приближения, позволяющие ее упростить. Но можно выбрать и другой путь. [c.37]

Рассмотрим теперь вторую пару уравнений системы (3.6) и комплексно ей сопряженную. Используя развитый вьпие метод, найдем для элементов матрицы плотности [c.43]

Рассмотрим теперь матрицу плотности для системы из многих тождественных бозе- или ферми-частиц. Введем для удобства индексы D, S и Л, обозначающие соответственно различимый (distinguishable), симметричный (symmetri ) и антисимметричный (antisymmetri ). Рассмотрим сначала случай свободных частиц. Гамильтониан системы равен [c.73]

Эффект С. п. возникает в оптически плотных средах, когда влияние вещества на поле значительно, и представляет собой один из возможных режимов когерент-вого распространения коротких импульсов в резонансных средах. Его простейшее описание основано на использовании волнового ур-ния для медленно меняющейся амплитуды электрич. иоля импульса A(t, г) (полное поле =, 4ехр[ — ( at — г)]-)- к, с.) и ур-нии для матрицы плотности двухуровневой системы, записанных в предположении, что длительность импульса т нагкшого меньще времён продольной и поперечной релаксации. [c.409]

Представленная в гл. 1 теория двухфотонных корреляторов, с помощью которых в реальных экспериментах исследуется поглощение света одиночным атомом, не учитывала такого взаимодействия. В данной главе мы устраним этот недостаток теории, что позволит нам вывести уравнения для матрицы плотности полной системы, состоящей из электронньгх возбуждений молекул, фононов, туннелонов и фотонов поперечного электромагнитного поля. Будет показано, какие приближения необходимо сделать, чтобы из системы для полной матрицы плотности получились оптические уравнения Блоха, широко используемые на практике. С помощью этих уравнений мы найдем выражение для полного двухфотонного коррелятора, который итывает взаимодействие хромофора с фононами и туннелонами, т. е. выведем формулы, которые можно использовать при обработке реальных экспериментальных данных. [c.85]

Однако для спектроскопии одиночных молекул, а также для расчета формы оптических полос поглощения и флуоресценщ1и молекулярных ансамблей или, например, для расчета сигнала фотонного эха нет необходимости располагать полной матрицей плотности. Для изучения всех перечисленных и некоторых других явлений достаточно иметь в своем распоряжении упрощенную матрицу плотности, т. е. матрицу плотности, редуцироваьшую, например, по индексам спонтанно испущенных фотонов. Как было показано в главе 1, где мы пренебрегали существованием фононов и туннелонов, после операции редуцирования по квантовым числам спонтанно испущенных фотонов приходим к системе (3.12), состоящей всего из четырех уравнений, которые отличаются от оптических уравнений Блоха только тем, что вместо двух релаксационных констант Ti и Т2 содержат лишь одну константу Ti. [c.90]

Наличие в системе фононов и туннелонов приводит к тому, что матрица плотности полной системы становится бесконечномерной. Лишь в специфическом частном случае, когда влияние фононов и туннелонов сводится лишь к уширению спектральной линии, нам удается свести бесконечномерную систему для элементов матрицы плотности к четырем уравнениям, называемым оптическими уравнениями Блоха. Все это бьшо показано в предыдущей главе. Там же мы вывели формулы (7.39) для k и к , которые описывают вероятности вынужденных переходов с поглощением и испусканием кванта света и содержат информацию о взаимодействии с фононами и туннелонами в интегралах перекрывания а Ь). Мы показали, что замена функций k и к лоренцианом с полушириной 2/Тг позволяет прийти к оптическим уравнениям Блоха. [c.111]

Уравнения для матрицы плотности электрон-фонон-тунне-лонной системы. Рассмотрим теперь уравнение для матрицы плотности всей системы [c.256]

Этот параграф является вспомогательным. Его цель — получить такое уравнение для матрицы плотности динамической системы, которое являлось бы удобным для аналнза квантовых Я-систем. [c.199]

Подытоживая изложенное выше, отметим, что представление через матрицу плотности используют, когда не располагают исчерпывающими сведениями о волновой функции (об амплитуде вероятности), описывающей квантовомеханическую систему. Поэтому для нахождения интересующих средних значений физических величин требуются статистические методы. Использовать представление матрицы плотности для описания квантовомеханической системы можно самыми различными способамн, в зависимости от цели исследования. Три основных формулировки были очень кратко даны в работе [2] в виде ответа на вопрос Что же такое матрица плотности Мы цитируем [2] Это — кваитовомеханический аналог классической функции распределения (статистическая точка зрения), или это — метод наиболее полного описания открытой кваитовомеханической системы, т. е. такой системы, которую нельзя описать волновой функцией (квантовомеханическая точка зрения), или, наконец, это — наиболее удобный способ собрать все параметры, которые интересны для данного эксперимента, и описать их поведение (операционная точка зрения) . [c.95]

Более серьезная помеха для определения спиновой температуры в присутствии радиочастотного поля состоит в наличии поперечной ядерной намагниченности существование последней вытекает, например, из уравнений Блоха и несовместимо с описанием статистического поведения системы спинов при помощи представления о населенностях ее энергетических уровней и тем более температуры. Когда допускается возможность использования радиочастотного поля для приведения системы спинов в данное состояние, благоразумней воздержаться от описания ее поведения при помощи температуры , после того как радиочастотное поле включено (см., однако, гл. XII). Сразу после выключения радиочастотного поля ядерная намагниченность все еще имеет поперечную компоненту и, следовательно, как показано в гл. II, матрица плотности спиновой системы имеет отличные от нуля недиагодальные элементы. Пока существуют эти недиагональные элементы невозможно строгое описание состояния системы спинов при помощи температуры и только через время порядка времени затухания этих недиагональных элементов (Гг) можно пытаться использовать понятие спиновой температуры. Интересным исключением является случай, когда система спинов подвергается действию 180°-импульса или быстрому прохождению, к концу которого нет поперечной компоненты намагниченности, а продольная намагниченность антипараллельна приложенному полю. Этот случай соответствует состоянию, когда верхний энергетический уровень населен больше, чем нижний, и, согласно определению (У.2), должен быть описан при помощи отрицательной спиновой температуры. Следует подчеркнуть, что отрицательной температуре соответствует не более холодное , а более горячее состояние, поскольку для того чтобы привести систему спинов с бесконечной температурой в состояние с отрицательной температурой, нужно сообщить ей дополнительную энергию. [c.135]

Задача 26. Записать уравнение движения для матрицы плотности двухуровневой системы, рассмофениой в задаче 22, с учетом накачки со стороны внешнего периодического поля и исследовать характер релаксационных процессов в системе. [c.393]

Изучение статистической механики требует от читателя активного овладения ее довольно абстрактными методами, особенно методом вторичного квантования, что служит серьезным препятствием для начинающего. В предлагаемьх лекциях Фейнмана изложению общей теории почти всегда предшествует подробное решение простых конкретных задач, что заметно облегчает усвоение теории. Например, проведенное в гл. 1 рассмотрение системы гармонических осцилляторов, равновесного теплового излучения, дебаевской теории кристаллической решетки позволяет более естественно подойти в гл. 6 к обсуждению формализма вторичного квантования. Изложение теории матрицы плотности иллюстрируется на простых задачах, в которых проводится явное построение матрицы плотности для простых систем. Эти примеры, с одной стороны, помогают читателю лучше освоиться со сложным понятием матрицы плотности, а с другой — оказываются полезными в гл. 3 при рассмотрении метода интегралов по траекториям в применении к задачам квантовой статистики. Подобная тесная связь между различными разделами характерна для всей книги. Большое внимание в лекциях уделено методу функционального интегрирования, который обычно [c.5]

Для нолучения Г. р. вводится статистический ансамбль Гиббса совокупность большого (в пределе бесконечно большого) числа копий данной системы (клас-сич. или квантовой), соответствующих заданным макро-сконич. условиям. Рассматривается распределение систем (членов ансамбля) в фазоеом пространстве координат q И импульсов р частиц или по квантовым состояниям всей системы. Г. р. имеют место как для состояний классич. системы с ф-цией Гамильтона ff(p, ф в фазовом пространстве (р, q)= р ,.. р , i,- Ы всех N частиц системы, так и для квантовых состояний системы с уровнями анергии ёГ. р. в классич. статистике зависят от координат и импульсов лишь через Н (р, q) и не зависят от времени, удовлетворяя Лиу-вилля уравнению, к-рое выражает сохранение плотности вероятности в фазовом пространстве. Г. р. в квантовой статистике зависят от гамильтониана системы Й, удовлетворяя квантовому ур-нию Лиувилля, выражающему эволюцию во времени матрицы плотности. [c.452]

ОПЕРАТОРЫ в квантовой теории — сим-волич. изображение составленных по определённым правилам матем. операций (алгебраич., дифференциальных, интегральных, перестановочных и т. д.), используемых в квантовой теории для преобразования встречающихся в ней величин. Если состояние квантовой системы описывается с помощью волновой ф-ции ф(ё,ж) (для конкретности, папр., в Шрёдингера представлении), то О. или их последовательность в конечном счёте действуют на эту ф-цию, сопоставляя с ней волновую ф-цию, соответствующую уже др. состоянию системы. В др. формализмах квантовой теории (папр,, когда состояние системы фиксируется с помощью О. матрицы плотности или в представлениях, когда ф является фиксир. вектором в гильбертовом пространстве) О. действуют па др. О., характеризующие состояние системы или к.-л. ее характеристики. Ниже будут рассмотрены наиб, часто встречающиеся типы U. [c.410]

ПЛОТНОСТИ МАТРИЦА — см. Матрица плотности. ПЛОТНОСТЬ (р) — величина, определяемая для однородного вещества его массой в единице объёма. П. неоднородного вещества в определённой точке — предел отношения массы т тела К его объёму V, когда объём стягивается к этой точке. Средняя П. неоднородного тела также есть отношение т/Р. Часто нрименя-ется понятие относительной П. напр., П. жидких и твёрдых веществ может определяться по отношению к П. дистиллированной воды при 4 °С, а газов — но отношению к П. сухого воздуха или водорода при нормальных условиях. Единица П. в СИ — кг/м , в системе СГС — г/см . П, и уд. вес у связаны между собой отношением у = арр, где g — местное ускорение свободного падения тела, а — коэф. пропорциональности, зависящий от выбора единиц измерения. П, веществ, как правило, уменьшается с ростом темгг-ры и увеличивается с повышением давления (П. воды с понижением темп-ры Г до 4 С растёт, при дальнейшем понижении Т — уменьшается). При переходах вещества из одного агрегатного состояния в другое П. изменяется скачкообразно резко увеличивается при переходе в газообразное состояние и, как правило, при затвердевании (П. воды и чугуна аномально уменьшается при переходе из жидкой фазы в твёрдую). [c.637]

Описание сильно неравновесных состояний, а также вычисление кинетич. коэф. производятся с помощью кинетического уравнения Больцмана. Это ур-ние представляет собой интегродифференц. ур-ние для одночастичной ф-ции распределения (в квантовом случае — для одночастичной матрицы плотности, или статистич. оператора). Оно содержит члены двух типов. Одни описывают изменение ф-ции распределения при движении частиц во внеш. полях, другие — при столкновениях частиц. Именно столкновения приводят к возрастанию энтропии неравновесной системы, т, е. к релаксации. Замкнутое, т. е. не содержащее др. величин кинетич. ур-ние, невозможно получить в общем виде. При его выводе необходимо использовать малые параметры, имеющиеся в данной конкретной задаче. Важнейшим примером является кинетич. ур-ние, описывающее установление равновесия в газе за счёт столкновений между молекулами. Оно справедливо для достаточно разреженных газов, когда длина свободного пробега велика по сравнению с расстояниями между молекулами. Конкретный вид этого ур-ния зависит от эфф. сечения рассеяния молекул друг на друге. Если это сечение известно, ур-ние можно решать, разлагая искомую ф-цию по ортогональным полиномам. Таким способом можно вычислить кинетич. коэф. газа, исходя из известных законов взаимодействия между молекулами. Кинетич. ур-ние учитывает только парные столкновения между молекулами и описывает только первый неисчезающий член разложения этих коэф. по плотности газа. Удалось найти и более точное ур-ние, учитывающее также тройные столкновения, что позволило вычислить следующий член разложения. [c.672]

Используем уравнение (1.73) для производной элемента матрицы плотности, подставив в него вместо временньпс производных от амплитуд правые части уравнений (2.54). Тогда, принимая во внимание уравнения (2.55), придем к следующей системе [c.38]

Бесконечная цепочка связанных уравнений для амплитуд вероятности. Система, состоящая из атома и электромагнитного поля, является бесконечномерной. Поэтому система уравнений для матрицы плотности этой физической системы тоже является бесконечной и не может быть рещена без упрощений. Все упрощения, которые приходится делать в системе уравнений для матрицы плотности, чтобы придти к решаемой задаче, появляются, конечно, и в системе уравнений для амплитуд вероятности. Поскольку элементы матрицы плотности билинейны по амплитудам, то обсуждать эти приближения удобнее на примере амплитуд и уравнений, которым они удовлетворяют. После введения приближенных уравнений для амплитуд, мы можем, используя формулу (1.70), связывающую элементы матрицы плотности с амплитудами вероятности, получить приближенные уравнения и для матрицы плотности. [c.40]

Учитывая эти формулы и то, что Л П, можно отбросить в первом уравнении системы (3.7) подчеркнутый член. Аналогичные отбрасывания мы, опираясь на соотношения (3.8), можем произвести в уравнениях для матрицы плотности, полученных на основе третьей и всех последующих пар уравнений системы (3.6). В этом состоит четвертое приближение, которое используется в дополнение к сформулированным вьш1е трем приближениям. [c.43]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...