Уравнение характеристическое матрицы

ХЕ совпадают с элементарными делителями характеристической матрицы. Заметим также, что корни характеристического уравнения Л — = О совпадают о корнями элементарных делителей. [c.137]

Уравнение (5) называется характеристическим или вековым уравнением для матрицы коэффициентов [c.215]

Решение характеристического (векового) уравнения посредством матриц.Многие задачи теории колебаний и теории устойчивости приводят к системе уравнений вида [c.126]

Проблема определения главных направлений и собственных значений тензора Та сводится к решению характеристического уравнения его матрицы Л [c.62]

Правый нулЬ Вектор характеристической матрицы уравнений газовой динамики, записанных для функций щ, с, имеет вид [c.118]

Пусть два различных течения за детонационной волной данной формы характеризуются функциями д д и gi g и им соответствуют и ав- Тогда, произведя обычную процедуру умножения всех уравнений на компоненты левого нуль-вектора характеристической матрицы, просуммировав их и взяв потом разность полученных соотношений для двух решений с и а в для аи = — ав, получим следующее уравнение переноса вдоль бихарактеристики [c.119]

В этом легко убедиться, вычислив определитель характеристической матрицы например, для уравнений статики (и колебания) моментной теории упругости, характеристическая матрица имеет вид [c.59]

Характеристическая матрица для матрицы А— матрица К, удовлетворяющая уравнению ( А-скаляр) [c.482]

Предположим теперь, что жесткость ку первой пружины на рис. 4.1, а равна нулю. В этом случае система будет свободно передавать и движение как жесткого тела, и колебания. Коэффициент жесткости 5ц изменит свое значение с 2к на к, а соответствующий элемент характеристической матрицы примет вид Ягц = = к — р т. Соответственно упростится характеристическое уравнение, которое в данном случае может быть разложено на простейшие множители [c.250]

Характеристическое уравнение для матрицы А имеет вид- [c.131]

Матрично-разностные операторы дискретизация уравнений Эйлера. Принципы построения компактных аппроксимаций щтя систем уравнений с несколькими пространственными переменными, изложенные в гп. 1, могут быть непосредственно использованы при конструировании алгоритмов численного решения уравнений динамики невязкого и вязкого газов. При зтом информация о специфике этих уравнений содержится в характеристических матрицах, входящих в операторы компактного дифференцирования. Характеристические матрицы, в свою очередь, зависят от формы записи исходных уравнений (точнее, их гиперболической части), от выбранной системы координат, а также от того, что считается искомым вектором. [c.146]

Отметим, что все коэффициенты могут быть функциями параметра Характеристическое уравнение этой матрицы [c.112]

Если дополнительно предположить, что не только А, но и С является матрицей положительно определенной квадратичной формы, то (как мы покажем далее) все корни характеристического уравнения (18) будут чисто мнимыми. [c.215]

Пусть матрица 6 в системе уравнений (2.14) постоянна. Рассмотрим характеристическое уравнение [c.84]

Получим характеристическое уравнение системы. Предварительно определим элементы матрицы системы (2.34) щ я следующих значений параметров [c.93]

Уравнение (2.68) назьшается характеристическим уравнением матрицы А (см. 1, гл. 2). Оно может быть использовано для вычисления всех ее собственных значений. Собственные векторы, соответствующие различным собственным значениям, линейно независимы, а в случае симметричной матрицы и взаимно ортогональны. Количество к собственных векторов, соответствующих собственному значению X, не превышает кратности этого собственного значения 1 < Для симметрич- [c.117]

Следствие 3.10.2. Характеристическое уравнение матрицы монодромии имеет вид [c.242]

Тем самым пространство /2" превращается в евклидово. Так как матрица В симметричная, то С — самосопряженный оператор по метрике А. Известно, что все собственные значения А , г = 1,...,п, самосопряженного оператора — действительные числа. Кроме того, у каждого самосопряженного оператора, действующего в вещественном евклидовом пространстве Д , существует ортонормированный по метрике А базис из собственных векторов. Пусть собственному значению А, соответствует собственный вектор и, этого базиса Си, = А и,. Среди А,- могут быть и кратные корни характеристического уравнения. Кратный корень повторяется в последовательности [c.574]

Теорема 8.10.3. Пусть матрица В положительно определена. Тогда все корни характеристического уравнения системы с гироскопическими силами суть мнимые числа. [c.596]

Характеристическое уравнение матрицы Х(2л), т. е. уравнение [c.394]

Т е о р е м а (Л я и у н о в а — П у а н к а р е). Характеристическое уравнение (14) линейной гамильтоновой системы (3) с 2л-периоди-ческой по t матрицей H(Z) возвратное. [c.396]

Матрица правой части этих уравнений была рассмотрена в примере 2 5.3 (см. матрицу (5.39)). Было установлено, что характеристическое уравнение det А — Е) = О этой матрицы имеет два нулевых корня и два корня, равных —1. Оба корня кратные [c.148]

Составим характеристическое уравнение, учитывая, что Сц — диагональная, а С — кососимметричная матрицы [c.171]

Уравнение (6.106) получается из уравнения (6.107) простой заменой У. на (матрица Р, так же как и G, кососимметричная). Поэтому не равные нулю корни характеристического уравнения (6.106) относительно У имеют вид [c.192]

Здесь Со — диагональная, а Р — кососимметричная матрицы. Составим характеристическое уравнение [c.194]

При максимуме потенциальной энергии все элементы l , стоящие на главной диагонали матрицы q, будут отрицательны. На основании соотношения (6.89) определитель I Со 4- Р I при нечетном числе координат отрицателен при любой кососимметрической матрице Р. Следовательно, свободный член характеристического уравнения при нечетном числе координат отрицателен, и система на основании теоремы 7 неустойчива. [c.202]

Таким образом, свободный член характеристического уравнения (7.71) может быть найден по коэффициентам исходных уравнений (7.45). К сожалению, для определения остальных коэффициентов уравнения (7.71) необходимо знать хотя бы одну фундаментальную матрицу X (t) (легко доказывается, что уравнение (7.71) не зависит от выбора фундаментальной матрицы). Задача облегчается тем, что критерии устойчивости носят характер неравенств, поэтому можно пользоваться численными и приближенными методами. [c.238]

Главные оси и ограничения на коэффициенты Fi и которые будут исследованы только для этих двух типов иоверхио-стей, можно определить путем анализа двух характеристических матриц уравнений (83) [c.452]

Как показывают исследования, с увеличением коэффициента усиления в многомерном регуляторе система стремится к автоматическому разделению на автономные подсистемы в статике, кроме того, точность отработки управляющих воздействий системой при этом возрастает. Однако при увеличении коэффициента усиления регулятора трудно обеспечить динамическую устойчивость системы в целом. Анализ устойчивости САУ заключается в исследовании ее характеристического уравнения, определении характеристических чисел системы. Методы линейной алгебры дают возможность отыскивать характеристические числа уравнения многомерной системы, когда описывающая матрица числовая. Сложность исследования устойчивости многомерных САУ обусловлена тем, что характеристическая матрица системы в общем случае полиномная. [c.117]

Характеристическая матрица 181 Характеристический волновой импеданс слоя 174 Характеристическое уравнение 66 Херпина теорема 185 Хилла детерминант 214 [c.656]

Характеристическая матрица для слоистой среды. Решения только что выведенных дифферетщиальных уравиеиий, подчиняющиеся соответствующим граничным условиям, и различные теорелты, относящиеся к слоистым средам, удобнее представлять в матричной форме. Поэтому перед тем, как рассматривать следствия из наших уравнений, мы кратко изложим основные определения, относящиеся к матрицам. [c.69]

Характеристики уравнения (14) определяются через нормальные характеристические векторы аналогично тому, как это делалось для системы уравнений газовой динамики в 6. Роль характеристической матрицы (6.15) здесь играет характеристическая квадратичная форма, которая составляется по следующему правилу берется вектор = (т, г], Q, и в уравнении (14) каждая производная второго порядка заменяется произведением соответствующих координат этого вектора, например, на место iptt подставляется г , на место pxt подставляется и т. д. В результате для уравнения (14) характеристическая квадратичная форма оказывается такой [c.104]

Исходя из вышеизложенного, число мод движения тела как твердого целого, содержащихся в матрице жесткости элемента, можно определить, преобразуя матрицу жесткости к диагональному виду (к главным направлениям) число диагональных нулевых элементов равно числу указанных мод. Чтобы выполнить требуемое преобразование, найдем собственные векторы и соответствующие им собственные значения матрицы жесткости. С этой целью определим вначале характеристическое уравнение для матрицы [к]. Характеристическое уравнение для матрицы [к] есть алгебраическое уравнение, получающееся в результате раскрытия детерминанта к—(о11=0. Если [к] — матрица порядка пХп, то для со получается алгебраическое уравнение /г-й степени, а корни уравнения oi,. ... .., СО ,. .., со являются собственными значениями матрицы [к]. Собственный вектор, отвечающий собственному значенню СО , есть ненулевой вектор d , удовлетворяющий уравнению [k] di = da o,. [c.63]

Мы не доказываем здесь критерия Гурвица. Алгебраическое доказательство сравниУельио сложно (см., например, Курош А. Г. Курс высшей алгебры. — 11-е изд., стереотип. — М. Наука, 1975, и Гантмахер Ф. Р. Теория матриц.—3-е изд., исправл. —М. Наука, 1967, где критериям Рауса и Гурвица посвящена специальная глава). Значительно проще доказательство, основанное на редукции, которая, не переводя корней характеристического уравнения через мнимую ось, удаляет один из них в бесконечность слева от мнимой осп. Тякое доказательство сравнительно несложно, но проведение его требует знания деталей характера отображений мнимой оси плоскости корней на пространство коэффициентов характеристического уравнения (см. Айзерман М. А. Теория автоматического регулирования.—М. Наука, 1966, с. 171-173), [c.222]

Коэффициенты характеристического уравнения (2.11) можно получить с помощью программы СЕТ, написанной на языке BASI . Программа представляет собой модифицированный вариант программы вычисления коэффициентов характеристического полинома, приведенной в [13]. Модификации подверглись операторы ввода — вывода. В практических задачах матрица А, входящая в уравнение (2.9), зависит от параметров и для конкретных значений параметров требуется многократно вычишять ее элементы. Предполагается, что это делается с помощью программы, написанной на языке BASI результат вычисления программа помещает в файл DAN. DAT в следующем порядке N — размерность матрицы А(1, 1), А(1, 2),. .., A(N, N) - ее элементы. Если же элементы [c.87]

Таким образом, для устойчивости системы (3) необходимо, чтобы корни ее характеристического уравнения (5) бььии чисто мнимыми. Это условие будет и достаточным, если доиолиительпо потребовать, чтобы матрица JH приводилась к диагональной форме. [c.393]

В примере 1 5.3 было установлено, что характеристическое уравнение det (Л — Е) = О этой матрицы имеет два нулевых корня и два корня, равных —1. Последний корень кратный как относительно характеристического уравнения, так и относительно элементарного делителя, но он не может испортить устойчивость (так как он вещественный отрицательный). Что касается нулевого корня, то хотя он второй кратности для характеристического уравнения, но простой для элементарных делителей. Следовательно, не-воамущенное движение устойчиво относительно переменных xi, [c.148]

Один из этих методов состоит в следующем. Задав начальные условия (7.55), численным интегрированием уравнения (7.45) определяют значения линейно независимых решений (7.49) в конце периода Т, т. е. матрицу X (Т) = А. Так как интегрирование нужно производить на конечном промежутке времени [О, Т], то все вычисления можно произвести с любой наперед заданной точностью (для этой цели лучше всего, конечно, использовать электронно-вычислительные машины). По найденной матрице А составляется характеристическое уравнение (7.64), после чего определяются корни Рх, р2,. . ., Рп- Хорошим контролем этого метода может служить равенство (7.72), которое с помощью последней формулы Виета (4.23) приводится к виду [c.238]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...