Случай малых возмущений

Если бы искомое поле е(х) являлось гауссовым, то по R r можно было бы определить все функции высших порядков и оставалось бы лишь построить суперпозицию гармонических функций с независимыми фазами. К сожалению, поскольку Ог е(х), это поле нельзя считать гауссовым, за исключением случая малых возмущений, допускающего аналитические решения. В задачах, представляющих интерес для численного решения, поле е(х) нельзя считать гауссовым, и трехточечный момент (равный нулю для гауссового поля) играет центральную роль в нашем исследовании. [c.258]

Нужно, впрочем, заметить, что уравнения типа (41.4) встречались уже значительно ранее у Лагранжа в его Аналитической механике , но там они выведены и применены лишь для частного случая малых возмущений. [c.290]

В этой задаче траектории можно получить в явном виде. Интересно исследовать полное решение, не ограничиваясь случаем малых возмущений из положения равновесия. Уравнение (19.10.10) эквивалентно следующему [c.381]

Уравнение (6.75) нелинейно. Для случая малых возмущений линеаризуем его в окрестности стационарного состояния Nq, to, /о. Ро и получим уравнение [c.195]

В отличие от случая малых возмущений, рассмотренного в 22, где все простые волны имели одн г и ту же по величине скорость распространения, равную скорости звука в невозмущенном газе, в разбираемом сейчас случае простых волн, несущих конечные по интенсивности возмущения, скорости распространения по отношению к газу, равные по абсолютной величине местной скорости звука, не одинаковы для различных волн данного семейства. [c.147]

При исследовании устойчивости электрической дуги нас будет интересовать случай малых возмущений. Этот случай называют устойчивостью в малом, или статической устойчивостью. Важной особенностью решения вопроса [c.156]

Уравнение (II.5) подобно уравнению Тэта (1.34), записанному для случая малых возмущений. Таким образом, уравнения движения среды в зонах пузырьковой кавитации (II.4), (II.5) отличаются от классических уравнений идеальной жидкости только численным значением постоянной Uq, [c.34]

Теперь мы посмотрим, расщепляются ли эти вырожденные уровни энергии под действием возмущения. Возмущением в этом случае является конечный потенциал решетки V (г). При такой постановке вопроса достаточно рассматривать случай малого возмущения и тогда применить обычные методы теории возмущений. [c.85]

Ио существу это было доказано в статье В. И. Арнольда и Я. Г. Синая [6]. Хотя их рассуждения касались частного случая малых возмущений автоморфизмов двумерного тора, доказательство распространяется и на общий случай. [c.66]

Случай малых возмущений [c.258]

Для случая малых возмущений можно допустить, что на время запаздывания (т) влияет только давление и функция р, Г), тогда можно написать в явной форме р", где п — показатель взаимодействия. [c.157]

Рассмотрим сначала случай малых возмущений. [c.183]

Отметим случай малого возмущения для а = 0. Если амплитуда граничного возмущения мала, т.е. Г , - 1 1, то вместо ударной образуется акустическая волна, удаляющаяся от поверхности тела почти с адиабатической скоростью звука и с неизбежным затуханием амплитуды. За ушедшей звуковой волной газ почти неподвижен, и на этом фоне развивается медленный процесс теплопроводности, аналогичный теплопроводности в твердом теле. [c.148]

Если ограничиться случаем малого отклонения потока око.ло выпуклого тупого угла II представить изменение по.л-ноп скорости как возмущение, характеризуемое появлением двух дополнительных составляющих скорости и и v, то, как следует из рис. 11.2, [c.109]

Широкое применение двухфазных сред в современной технике в химической технологии, в криогенной технике, в газо- и нефтедобыче, в трубопроводном транспорте, в металлургии, в ракетной технике и энергетике (в том числе ядерной) — поставило задачу создания газодинамики таких сред. В газодинамике одним из определяющих понятий является понятие о скорости распространения малых возмущений. На знании скорости звука базируется определение важнейшего критерия газодинамического подобия числа Маха. Поскольку газожидкостная среда характеризуется весьма малой скоростью звука, сопоставимой со скоростями движения газожидкостных потоков в каналах различной геометрии, то значения скорости звука в изучении этих потоков возрастают по сравнению с однофазными потоками. Нередко движение газожидкостных потоков сопровождается нестационарными явлениями, характеризующимися возникновением пульсаций давления, плотности, скорости, температур обеих фаз. Чаще всего эти явления, связанные, например, с возникновением гидравлических ударов, с вибрациями трубопроводов и другого оборудования, нарушением режима циркуляции (опрокидывание циркуляции) и теплообмена, недопустимы или нежелательны. В других случая , возникновение двухфазных течений интенсифицирует теплообмен, повышает эффективность работы некоторых элементов энергетического оборудования и их экономичность. [c.31]

Рассмотрены ламинарные течения вязкой несжимаемой жидкости и теплообмен в каналах при произвольном малом отклонении их поверхности от цилиндрической. Приведена линейная система уравнений и граничных условий для возмущенных динамических и тепловых полей, полученная путем линеаризации полной системы уравнений Навье-Стокса около решения для развитых течений в цилиндрических трубах произвольного сечения. Для практически важного случая, когда возмущения поверхности каналов сосредоточены на участке конечной длины, показано, что интегральные динамические и тепловые характеристики каналов находятся без решения трехмерных уравнений путем перехода к эффективным двумерным краевым задачам, сложность решения которых не выше, чем для развитых течений. Дано обобщение развитой теории на течения с силовыми источниками малой эффективности. Рассмотрены приложения к плоским каналам и круглым трубам с возмущенными поверхностями. [c.374]

Среди всевозможных течений в сверхзвуковом диффузоре выделим два основных предельных случая. В первом из них набегающий сверхзвуковой поток переходит в дозвуковой еще до входа в диффузор, пройдя сквозь отсоединенную ударную волну (см. далее гл. VI, 52) или через скачок уплотнения, сидящий во входном сечении диффузора. Поскольку поток за прямым скачком всегда дозвуковой, то в этом случае сверхзвуковой диффузор работает как дозвуковой. Положение скачка при этом не является устойчивым по отношению к малым возмущениям потока и рассматривается лишь как удобный образ для противопоставления его второму, оптимальному с точки зрения решения задачи о восстановлении давления случаю, когда скачок уплотнения, пройдя сквозь сужающийся участок (/, II), займет положение в сечении II) или в непосредственной близости за этим сечением. [c.138]

Как уже отмечалось при изложении теории пограничного слоя в потоке несжимаемой жидкости, путь непосредственного интегрирования уравнений Навье — Стокса при тех значениях числа Рейнольдса, которые характерны для теории пограничного слоя первого приближения (уравнения Прандтля), в рассматриваемых случаях оказывается недоступным, причем не только для аналитического, но и для численного, машинного решения. На помощь приходят асимптотические методы (методы малых возмущений). Мы уже познакомились с частным случаем применения такого рода методов, когда рассматривали основной для теории пограничного слоя прием сшивания решений уравнений Прандтля с внешним невязким потоком ( 86). [c.700]

Начнем с чисто упругого режима, когда вся возмущенная область занята зоной III. Рассмотрим случай несжимаемого тела и общий случай малых деформаций. [c.465]

Уравнения движения спутника, на который действуют гравитационные восстанавливающие моменты для случая малых отклонений и При условии отсутствия всех возмущений, можно представить в виде Г1 [c.28]

Рассмотрим другую ситуацию, в которой удается использовать теорию возмущений для построения неравновесного статистического распределения. Предположим, что гамильтониан системы можно представить в виде суммы Я = Я + Я, где Я — главная часть гамильтониана, а Я — малое возмущение ). Для определенности рассмотрим квантовый случай, когда оператор Лиувилля L выражается через квантовые скобки Пуассона, и запишем уравнение (2.3.13) для статистического оператора в виде [c.115]

Особый случай представляет собой вырожденное равновесное состояние, когда бесконечно малое возмущение приводит к нарушению симметрии (5.2.34). Как уже отмечалось в разделе 2.3.6, для систем с вырожденным равновесным состоянием наблюдаемыми физическими величинами являются квазисредние [c.365]

До сих пор мы говорили о линейных колебаниях, о неустойчивости к малым возмущениям. Лишь разговор о волнах был более общим. Один из классиков современной науки о колебаниях академик А. А. Андронов, говоря о линейном мире, мире, где господствует принцип суперпозиции, восклицал Это дико частный случай Наш мир нелинеен, наш мир — мир нелинейных систем. [c.29]

Несмотря на доблестные усилия математиков ), наблюдаемая неустойчивость течения Пуазейля не получается в результате исследований средствами математического анализа. Предполагали 3) даже, что в идеально гладких круглых трубах течение Пуазейля является устойчивым относительно бесконечно малых возмущений. Однако в настоящее время даже для случая двумерных возмущений совершенно достоверно установлена неустойчивость плоского течения Пуазейля между двумя параллельными пластинками при Ке > 5300. Поэтому подобное предположение представляется маловероятным. [c.58]

Частный случай. Рассмотрим задачу о распространении малых возмущений в сжимаемой жидкости. Пусть эти возмущения [c.123]

Система уравнений (6.81) — априорная математическая модель динамики катодного узла ТЭП для случая малых возмущений электрической нагрузки SR, давления рабочего тела в МЭЗ бр и тепловой мощности N вблизи стационарного состояния с оптимальной температурой анода. Эта модель определена с точностью до априорно известных параметров, имеющих следующий фи-внческнй смысл [c.196]

Учитывая, что величина определяет приобретаемув ферромагнетиком от внешнего поля энергию в единице объема, а также полагая, что плотность энергии Ь в процессе намагничивания остается минимальной и постоянной величиной (случай малого возмущения кристалла в наинизшем энергетическом состоянии), можно записать [c.50]

Точность уравнения (8.25), лишь частично обоснованная случаем малых возмущений и анализом Мёкеля — Чизнелла, была подтверждена сравнением с известными решениями. Прежде всего для слабых ударных волн М 1 и Я. 4, откуда [c.264]

Маррей [564] подробно исследовал различные аспекты неустойчивости в псевдоожиженных слоях, включая распространение малых возмущений, распространение поверхностной волны, горячив слои (сжимаемая жидкость), центробежные слои и электромагнитные эффекты. Рассмотрим метод, примененный им при исследовании распространения малых возмущений в двумерных (координаты X, у Т1 единичные векторы 1, несжимаемых слоях для случая рр/р 1, и учтем только влияние силы тяжести. Устойчивое состояние можно описать выражениями [c.411]

Поскольку положительность 1т oj сама по себе означает теперь лишь усиление перемещающегося вниз по течению возмущения, то открываются две возможности. В одном случае, несмотря на перемещение волнового пакета, возмущение неограниченно возрастает со временем в любой фиксированной в пространстве точке потока такую неустойчивость по отношению к сколь угодно малым возмущениям будем называть абсолютной. В другом же случае пакет сносится гак быстро, что в каждой фиксированной точке пространства возмущение стремится при t—>oo к нулю такую неустойчивость будем называть сно-совой, или конвективной ). Для пуазейлевого течения, по-внди-мому, имеет место второй случай (см, ниже примечание на с. 150). [c.148]

Произвольное начальное малое возмущение определяется некоторым числом независимых параметров. Дальнейшая же эволюция возмущения определяется системой линеаризованных граничных условий, которые долисны удовлетворяться на поверхности разрыва. Поставленное выше необходимое условие устойчивости будет выполнено, если число этих уравнений совпадает с числом содержащихся в них неизвестных параметров — тогда граничные условия определяют дальнейшее развитие возмущения, которое при малых t > О останется малым. Если же число уравнений больше или меньше числа независимых параметров, то задача о малом возмущении не имеет решений вовсе или имеет их бесконечное множество. Оба случая свидетельствовали бы о неправомерности исходного предположения (малость возмущения при малых t) и, таким образом, противоречили бы поставленному требованию. Сформулированное таким образом условие называют условием эволюционности течения. [c.467]

При малых возмущениях (у1<1) одиночного пузырька в безграничной жидкости, несмотря на малость скоростей жидкости по сравнению со скоростью звука Wi< i), может сказаться акустическое излучение энергии в бесконечность, значение которого определяется величиной WiJA i (см. (2.4.18)). В случав свободных колебаний (р = onst, Pi = 0) этот эффект можно учесть, если вместо (2.4.17) исходить из уравнений (2.4.17а) или (2.4.176), которые после линеаризации в этом случае приводят к дополнительному слагаемому в правой части последнего уравнения в (2.7.6) [c.209]

В настоящей главе была сделана попытка дать сводку результатов, полученных в различных экспериментальных и теоретических работах по волнам и колебаниям, возникающим в направленно армированных композитах, для случая малых деформаций и линейных определяющих уравнений. Эта попытка представляется своевременной, так как за последние годы достигнуты значительные успехи в понимании особенностей линейного динамического поведения композиционных материалов. Линейная теория с ее точными результатами для слоистой среды и различными хорошо обоснованными приближенными подходами к описанию как слоистых, так и волокнистых композитов в настоящее время близка к полному завершению. Этот объем теоретических сведений дополняется экспериментальной проверкой результатов, относящихся к распространению сину-соида льных волн и импульсных возмущений. Следует отметить, однако, что необходимость проведения дальнейших экспериментальных исследований все еще остается важной. Многое еще предстоит сделать и в решении задач с нестационарными волнами, в особенности в определении локальных значений полевых переменных, таких, как напряжения на поверхности раздела фаз и динамическая концентрация напряжений. [c.388]

Дахее, применяя теорему к случаю малых периодических возмущений, приложенных к конфигурации, соответствующей равновесию, мы придем к теореме взаимности, о которой сказано в 96. [c.281]

Как наиболее простой и достаточно достоверный при малых возмущениях % (этого также требует условие линеаризации) рассмотрим случай без учета смещения точки закипания. Для навивки труб парогенератора по типу Л. К. Рамзина Арнив<С Аргид разность двух членов [c.246]

Со временем явно наметились две различные школы. Первая школа утверждала, что ламинарный поток является неустойчивым в классическом понимании, согласно которому даже бесконечно малые возмущения способны вызвать переход к турбулентному потоку. Тот факт, что переход никогда не наблюдался при ожидаемом числе Рейнольдса, объяснялся этой школой некоторым несовершенством теории. Возмущения, описываемые теорией малых колебаний Орра—Зоммерфельда— Толлмина (позднее распространенной на случай теплообмена), не связывались с вопросами перехода, а поэтому данная школа не могла установить какой-либо определенной,зависимости. Более того, утверждалось, что вообще невозможно установить какие-либо соотношения в этой задаче. Вторая школа считала, что переход вызывается только конечными возмущениями. Например, удалось экспериментально установить, что при особых условиях ламинарное течение может существовать и при высоких числах Рейнольдса. Указанный факт находится в явном противоречии с любым допущением о неустойчивости в обычном ее понимании. Автор считает, что этот спор может быть разрешен приводимыми ниже данными. Поток существенно устойчив относительно двух- и трехмерных возмущений лишь при условии, что трехмерные возмущения имеют место при значении числа Рейнольдса ниже критического, но отнесенного не к основному потоку, а к самим возмущениям. Согласно настоящей теории двухмерные возмущения в идеальном случае затухают. [c.57]

В отличие от задачи о распространении малых возмущений изучение явления распространения конечных по интенсивности возмущений представляет математические трудности, так как требует интегрирования нелинеари-зованных уравнений (54) гл. III. Рассмотрению этого случая будет посвящен 33 там же приводится принадлежащее Риману строгое объяснение явлений возникновения в идеальном газе ударных волн, представляющих поверхности разрыва параметров состояния газа и скорости его движения. Остановимся сначала на элементарной теории ударных волн и удовольствуемся простым качественным объяснением [c.123]

Как видно из рис. 24, формулы [18] в случае Я-поляризации справедливы для S = 0,95 лишь при и < 0,05, а для s = 0,25 — в области и < 0,5. Такая неравномерность объясняется следуюш,им чем больше радиус проводов, тем при меньших и начинают проявляться волновые свойства решетки, т. е. при меньших и элементы решетки становятся соизмеримы с длиной волны. Формулы [18] получены с помош,ью метода малых возмущений, т. е. в предположении, что зависимость дифрагированных полей от и имеет линейный характер. В области длин волн, соизмеримых с препятствиями (s = 0,85, и = 0,1), такие зависимости имеют существенно нелинейный характер, и формулы [18] теряют достоверность. В принципе весь численный анализ можно провести при непосредственном решении интегральных уравнений путем обычной замены интеграла суммой и линейной аппроксимации функции тока с помощью N чисел на всем контуре цилиндра. При этом получаем систему уравнений N-to порядка, которая эффективно решается на ЭВМ. Если в случае Я-поляризации интегральное уравнение заменить системой 20-го порядка (20 точек разбиения), то в интервале О < и < 1 для s = 2all = 0,25 0,50 и 0,75 численные результаты будут хорошо совпадать (с точностью не хуже, чем 0,005) с результатами, полученными из систем [25]. На рис. 24 кружочками показаны результаты для случая s = 0,95. При этом интервал интегрирования разбивался с учетом вероятностного распределения плотности тока. [c.66]

Первые исследования гидродинамической неустойчивости для случая идеальной жидкости были предприняты еш,е в XIX в. Так, в 1868 г. Г. Гельмгольц показал абсолютную неустойчивость тангенциальных разрывов скорости в потоке. Обширные исследования устойчивости и неустойчивости плоскопараллельных течений идеальной жидкости при малых возмуш ениях провел Рэлей в 1880—1916 гг. Приложение аналогичных методов к течениям 296 вязкой жидкости было начато в начале XX в. В. Орром и А. Зоммерфель-дом , которые свели анализ устойчивости малых возмущений к исследованию некоторого обыкновенного дифференциального уравнения четвертого порядка (содержаш,его коэффициент вязкости множителем при старшей производной). [c.296]

Таким образом, уже в ближайшем будущем инжен ) будет вынужден отказаться от дозвуковых представлений и руководстао-ваться теоретическими основами акустики при изучении профилей и форм, которые вызывают лишь малые возмущения. В связи с этим полезно заметить, что формы лучших дозвуковых самолетов имеют малые или вообще пренебрежимые индуктивные скорости, при которых применима линейная теория. Может случиться, что при постройке хороших авиационных машин инженер будет иметь весьма малую пользу от точной теории, допускающей большие возмущения. [c.76]

Однако если мы рассмотрим случай, где М равняется 1, то приведенная выше формула дает бесконечное значение коэффициента подъемной силы (рис. 46). Конечно, это неверно, и неправильный результат обусловлен тем, что упрощенная теория, основанная на предположении бесконечно малых возмущений, которую мы называем лннеарнзован-ной теорией, не охватывает диапазон скоростей, близких к скорости [c.118]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...