Метод малого параметра (метод возмущений)

МЕТОД МАЛОГО ПАРАМЕТРА (МЕТОД ВОЗМУЩЕНИЯ) 179 [c.179]

МЕТОД МАЛОГО ПАРАМЕТРА (МЕТОД ВОЗМУЩЕНИЙ) [c.179]

Отметим, что при применении к рассматриваемым задачам метода малого параметра (метода возмущений) имеют место разложения, которые, по существу, совпадают с формулами [c.50]

Заметим, что основное содержание методов малого параметра [34] и асимптотических методов [20] может трактоваться как исследование специфических бифуркаций и возмущений. Так, теория периодических движений Пуанкаре решает вопрос о рождении периодических движений от семейств периодических движений, теория квазилинейных систем с быстровращающимися фазами — вопрос о рождении интегральных тороидальных многообразий от многопараметрических семейств тороидальных многообразий, теория дифференциальных уравнений с малыми параметрами при старших производных исследует сингулярные возмущения решений дифференциальных уравнений и т. д. [c.267]

Ниже приведены результаты решения ряда задач о движении частицы по вибрирующей шероховатой плоской поверхности в условиях, близких к условиям классической задачи Н. Е. Жуковского о движении частицы по горизонтальной плоской поверхности, совершающей круговые поступательные колебания. Далее изложен общий подход к рассмотрению класса более сложных задач, характеризующихся наличием разного рода возмущений (наклон поверхности, добавочные силы, дополнительные колебания) этот подход основан на преобразовании системы к полярным переменным и использовании метода малого параметра. Затем приведены результаты решения некоторых задач данного класса, интересных в прикладном отношении. [c.42]

Заметим, что метод осреднения, основанный на разложении (2.9), существенно отличается от широко применяемого в механике и физике метода малого параметра (или метода возмущений) (2.29). При применении метода малого параметра величина, стоящая в разложении при этом параметре (например, относительная раз- [c.105]

В связи с этим, при решении задач определения нестационарных аэродинамических характеристик ЛА, обусловленных возмущенным движением, чаще всего использовался метод малого параметра, в рамках которого нестационарные возмущения представлялись в виде разложения по кинетическим параметрам движения. В силу малости параметров возмущения С.М. Белоцерковским (1959 г.) была введена гипотеза гармоничности, в соответствии с которой нестационарное движение тела полностью определяется значениями кинематических параметров в рассматриваемый момент времени и не зависит от предыстории движения. [c.5]

Следуя методу малого параметра, будем искать амплитуды возмущений ф и 0 и критическое число R в виде разложений по малому параметру ik [c.103]

Декременты нормальных возмущений, определяемые краевой задачей (44.1), зависят от двух параметров — числа Рейнольдса и волнового числа. Для выяснения структуры спектра полезно рассмотреть сначала предельный случай малых скоростей течения, т. е. область малых значений числа Рейнольдса. В этой области рещение можно получить методом малого параметра, разлагая собственные функции и собственные числа в ряды по степеням г = (кК [c.307]

В заключение приведем некоторые результаты решения задачи устойчивости конвективного течения в слое с движущимися теплоизолированными границами. На границах теперь следует поставить условие тепловой изоляции для возмуще 1ИЙ в 1) =0. Можно ожидать, что в этом случае решающую роль будут играть длинноволновые возмущения. В работе [11] для решения задачи использован метод малого параметра, в качестве которого принято безразмерное волновое число к (подробнее об этом методе см. 19,20). [c.103]

Одним из наиболее широко употребляемых методов упрощения полных уравнений газовой динамики является метод малого параметра или метод возмущений. Возможность использования этого метода и его суть состоят в следующем. Пусть физический анализ задачи показывает, что в ее формулировке имеется параметр е такой, что интересующие нас свойства течений сохраняются при сколь угодно малых его значениях. Тогда на основе физических соображений можно ввести зависящие от е масштабы у (г) для различных входящих в уравнения и дополнительные условия величин и преобразовать все соотношения к новым переменным, полученным от деления исходных величин на их масштабы. В результате определяющие соотношения будут содержать члены различного порядка малости при е 0. Сохраняя в них лишь члены до определенного порядка величины (например, только главные члены, остающиеся прие = 0), получают приближенные уравнения для описания рассматриваемого класса задач. [c.335]

Найдя разложение гамильтониана F, мы можем приступить к приближенному интегрированию уравнений возмущенного движения (13.87 ). Это приближенное интегрирование может быть проведено такими же методами, которые были описаны в первых трех параграфах этой главы, т. е. методом последовательных приближений, или методом малого параметра. [c.715]

В подобном суммировании резонансных составляющих в разных порядках теории возмущений с главной частью решения заключается основная идея большинства методов малого параметра, в том числе и для нелинейных систем. [c.222]

Весьма полезен при решении упруго-пластических задач метод малого параметра, позволяющий находить решение, близкое к уже известному точному возмущению можно подвергать как форму тела, так и граничные условия. Этот метод и основанные на нем ре- [c.136]

Многие задачи, с которыми сталкиваются сегодня физики, инженеры и специалисты по прикладной математике, не поддаются точному решению. Среди причин, затрудняющих точное решение, можно указать, например, нелинейные уравнения движения, переменные коэффициенты и нелинейные граничные условия на известных или неизвестных границах сложной формы. Для решения подобных задач мы вынуждены пользоваться различного рода приближениями, или численными методами, или комбинацией тех и других. Среди приближенных методов основными являются методы возмущений (асимптотических разложений) по большим или малым значениям параметра или координаты. Настоящая книга посвящена описанию этих методов. [c.7]

Попытка учесть влияние других небесных тел, в первую очередь Луны, приводит к знаменитой задаче трех тел, а также многих тел, для которых точное решение найти не удается. При рассмотрении подобных задач Лагранж, Лаплас, Пуассон, Гаусс сформулировали основные представления теории возмущений, разработали эффективные методы расчета орбит планет. Так при изучении задачи трех тел — системы Солнце — Земля — Луна в качестве невозмущенной выбрана задача двух тел для системы Солнце — Земля. В качестве малого параметра в возмущенной задаче использовалось отношение масс Луны и Земли. Широко известный в истории науки факт открытия на кончике пера планеты Нептун Дж. Адамсом и У. Леверье связан с использованием в расчетах теории возмущений. [c.31]

Теория возмущений занимает центральное место среди приближенных методов интегрирования дифференциальных уравнений. Однако в задачах с малым параметром е при старшей производной сколь угодно малые изменения параметра приводят к конечным приращениям решения. При в=0 понижается порядок уравнения. Различие фазовых траекторий исходной и вырожденной систем существенно усложняет получение приближенных решений. Сингулярные уравнения встречаются в механике, релятивистской теории поля и в основном теориях движения плазмы, жидкости и газа. [c.331]

Таким образом, метод малых возмущений позволяет определить лишь нижнюю границу значений критических чисел Рейнольдса, то есть дает те значения чисел Рейнольдса, меньших Rkp, при которых ламинарное течение всегда устойчиво. Кроме того, с помощью этого метода можно выяснить влияние на устойчивость ламинарного пограничного слоя таких параметров, как Мо и T jTl. [c.312]

Если интенсивность воздействия случайных факторов невелика, то возмущенная траектория мало отличается от невозмущенной. Это позволяет использовать уравнения, линеаризованные относительно малых отклонений возмущенных параметров от невозмущенных (метод малых возмущений). Рассмотрим вид этих уравнений и их общие решения, с тем чтобы выявить роль и место аэродинамических характеристик (производных устойчивости) в обеспечении устойчивости движения летательного аппарата. [c.39]

Телеграфные уравнения для неоднородных линий (12.1.19) решены до конца только при определенных законах изменения параметров 1 х) и У (х), например для экспоненциальной линии и для линии, в которой X (х) и У (х) выражаются степенными функциями X. Если изменение параметров мало по сравнению с их средней величиной, задача может быть решена методом теории возмущений. Приближенное решение задачи о распространении волн в неоднородной линии можно также получить при медленном изменении параметров (методом геометрической оптики). [c.375]

Этот метод позволяет исследовать параметрический резонанс любого порядка в зависимости от учета членов разложения в ряд Фурье по малому параметру правых частей уравнений (5.5). В дальнейшем ограничимся, как уже отмечалось, первым приближением, что соответствует исследованию основного резонанса и позволит определить нижнюю границу динамической неустойчивости исследуемой системы. Так как при широкополосном спектре возмуш,ений избежать возникновения основного параметрического резонанса невозможно, то такой вывод является вполне оправданным, а резонансы более высокого порядка для системы со случайными возмуш,ениями в известной степени теряют смысл. Считаем, что время корреляции возмущений % и г[ значительно меньше времени релаксации Тр амплитуды или фазы системы. Если время наблюдения за системой значительно превосходит (но не превосходит величины /Ро), то возможно применение стохастических методов на основе замены реального процесса возмуш,ений % и if] эквивалентными S-коррелированными и использование аппарата процессов Маркова и уравнения ФПК [81 ]. Стохастические методы, связанные с использованием процессов Маркова, могут быть использованы при любом времени корреляции, если уменьшать интенсивность флюктуаций возмущений, оставляя скорость ее изменения постоянной. В этом случае время релаксации амплитуды и фазы будет увеличиваться и условие < Тр будет выполненным. [c.201]

Следует отметить, что этот метод позволяет исследовать параметрический резонанс любого порядка в зависимости от числа учитываемых членов разложения по малому параметру. Для упрощения выкладок в настоящей работе принято первое приближение (6.3), которое позволяет исследовать основной резонанс и определить нижнюю границу динамической неустойчивости исследуемой системы. Так как при широкополосном спектре возмущений избежать возникновения основного параметрического резонанса невозможно, то такой подход является оправданным, а резонансы более высокого порядка для системы со случайными возмущениями в известной степени теряют смысл. Считаем, что время корреляции возмущений Xf, t) и y t) значительно меньше времени релаксации Тр амплитуды или фазы системы. Если время наблюдения за системой значительно превышает (но не превышает величины l/Po)i то можно применить стохастические методы на основе замены реального процесса возмущений x t) и г/о (О [c.233]

В качестве малого параметра в методе возмущений используют [c.62]

Решение исходной системы уравнений неразрывности, движения и энергии можно получить методом разложения в ряд по малому параметру. Согласно теории пограничного слоя [41 ] уравнение нестационарного течения в пограничном слое можно разделить на уравнения для стационарного течения и нестационарного возмущающего воздействия. Для периодического возмущения, которое имеет место при гармоническом колебании пластины, решение уравнений динамического и температурного пограничных слоев можно представить в виде ряда [c.152]

Точное аналитическое решение нелинейных задач теплопроводности обычно возможно лишь при определенных сочетаниях зависимостей теплофизических характеристик материала тела от температуры [7, 21]. Оно получается путем подстановок или функциональных преобразований уравнений (см. 2.1), и его целесообразно использовать как контрольное для оценки погрешности, которая получается при том или ином способе линеаризации. Для приближенного аналитического решения нелинейных дифференциальных уравнений разработаны методы последовательных приближений (простой итерации или усреднения функциональных поправок), возмущений (малого параметра), различные асимптотические методы [10]. [c.44]

Для наших целей, однако, нет необходимости обращаться к методам малого параметра достаточно использовать метод возмущений в его простейшей форме, основанной на построении процесса последовательных приближений. Отметим только, что возможность обращения к методу малого параметра позволяет обосновать сходимость последовательности приближений к искомому решению и установить условия сходимости. [c.78]

Приближенные методы исследования нелинейных систем в принципе совпадают с первым приближением асимптотического метода Н. И. Боголюбова и с методом Ван-дер-Поля, поскольку известные уравнения Реллея и Ван-дер-Поля имеют аналогичный вид. Они также аналогичны и с первым приближением методов малого параметра А. Пуанкаре и Б. В. Булгакова и с теорией возмущений для медленно затухающих процессов, изложенной в работе Н. Н. Боголюбова. Оценка первого приближения в работах Н. М. Крылова, Н. Н. Боголюбова, А. Пуанкаре, Б. В. Булгакова, Я. 3. Цыпкина и других авторов производится путем учета последующих приближений, но связана с большими математическими вычислениями и практически обычно не применяется. [c.38]

Для решения задачи при отличном от нуля, но достаточно слабом внешнем поле применим метод малого параметра, основанный на разложении возмущений и декрементов в ряды по степеням М. Можно построить разложения двух типов, переходящие при М -V О соответственно в решения краевых задач (26.11) и (26.12). При этом ясно, что в обойх случаях декременты будут разлагаться по четным степеням М, поскольку изменение направления внешнего поля на обратное не должно влиять на скорость затухания возмущений. Очевидно также, что в разложениях первого типа при М — О возмущение поля должно исчезать, тогда как (г . Г, р) должны оставаться конечными. В решениях же второго типа, напротив, при М — О должны обращаться в нуль возмущения (г . Г, р), а возмущение поля должно оставаться конечным. Нетрудно также видеть, что разложения г . Г, р и Я содержат степени М определенной четности. После этих предварительных замечаний запишем два типа разложений следующим образом [c.183]

Для решения задачи об устойчивости применяётся метод малого параметра, основанный на разложении амплитуд нормальных возмущений и критического числа Рэлея в ряды по степеням безразмерной амплитуды модуляции е = 20г/01. Из симметрии ясно, что разложение критического числа Рэлея будет содержать лишь четные степени е [c.260]

Как показано в 1, исследование спектра малых нормальных возмущений основного конвективного течения (1.13) и его линейной устойчивости сводится к решению спектральной амплитудной задачи (1.24) —(1.26). Задача на собственные значения для системы высокого порядка с переменными коэффивд1ентами и малыми параметрами при старших производных достаточно сложна, и возможности ее аналитического решения предельно ограничены. Достигнутые в последнее время успехи, как, впрочем, и в случае более простой задачи устойчивости изотермических течений, связаны с применением различных численных методов, реализуемых на ЭВМ, В этом параграфе кратко описываются три получивших наиболее широкое распространение численных метода. При этом мы ни в коей мере не претендуем на освещение вопросов математи юского обоснования методов и на изложение деталей соответствующих численных алгоритмов. [c.20]

Наиболее примечательный результат состоит в наличии резкого понижения устойчивости в области, где ответственными за кризис являются длинноволновые термоконцентрационные возмущения (область в на рис. 81). Существенная роль длинноволновых возмущений обусловлена отсутствием потока вещества через границы слоя. Именно это обстоятельство приводит к тому, что развивающиеся в пристеночном слое концентрационные возмущения имеют большой характерный масштаб в продольном направлении. Для выяснения структуры спектра в этом предельном случае можно применить метод малого параметра. [c.132]

Структура развитых термоконцентрационных вторичных течений должна быть найдена на основе нелинейного анализа. В работе [24] для расчета вторичных режимов в области предельно больших Ка< был использован метод малого параметра. Модельное амплитудное уравнение позволило заключить, что в некотором интервале значений волнового числа возможно жесткое возбуждение неустойчивости. Эволюция течения в надкритической области изучалась в работе [27] с помощью метода Галеркина — Канторовича. Расчеты проводились для водного раствора соли при фиксированном Ra = 1,878 10 (параметры соответствуют работам [17,23]). При заданных к - 11,25 и Gr = 1231 (пятипроцентная надкритичность) изучалось развитие со временем начального возмущения. Расчеты показали, что в течение небольшого промежутка времени возникающие на границе устойчивости ячейки с противоположным направлением вращения смежных вихрей трансформируются в систему слоистых ячеистых течений с одинаковым направлением вращения. Аналогичные результаты были получены ранее [28] с помощью метода конечных разностей они хорошо согласуются с экспериментом [23, 25]. Пример фотографии слоистой структуры приведен на рис. 85. [c.136]

Задача о двухосном растяжении толстой пластины с круговым отверстием (задача Галина Ивлева) рассматривалась в работах [1-7]. Точное решение задачи о распределении напряжений в окрестности кругового отверстия плоскодеформированно-го идеально пластического тела, к контуру которого приложены постоянные нормальные усилия, а напряжения на бесконечности представляют собой полиномиальные функции координат, дано Л.А. Галиным [2].Решение удалось найти благодаря бигармоничности функции напряжений в пластической области. Перемещения в пластической области для этой задачи были исследованы Д.Д. Ивлевым [5]. В работах [3-4] Д.Д. Ивлев методом малого параметра решил ряд плоских упругопластических задач для идеально пластического тела с круговым или близким к круговому отверстием. С использованием метода возмущений, предложенного Д.Д. Ивлевым в [1, 6], были решены задачи о плоской деформации, при этом поведение материала в пластической зоне описывалось соотношениями Ишлинского-Прагера [c.167]

Как уже отмечалось, в реальной физической системе — реагирующей смеси газов — может существовать широкий спектр чисел Кнудсена. Однако для анализа удобно использовать уравнение в форме (3.7.2). Для уравнения (3.7.2) можно развить методы возмущений, используя разложение функции распределения в ряд по малому параметру, который может быть выбран следующим образом. [c.127]

Выражения (5.89) совпадают с аналогичными выражениями, полученными в работах [4, 12, 98] методом разложения в ряд по малому параметру решения исходного уравнения и преобразованием Лапласа. Преимуществом изложенной методики является то обстоятельство, что она без принципиальных трудностей переносится на системы со многими степенями свободы, нелинейные системы и позволяет определить требуемые вероятностные характеристики обобщенных координат. При этом охватывается случай исследования устойчивости динамических систем, содержащих перекрестные нелинейные связи. Отметим, что при Sj ( 2) = onst результаты совпадают с данными работы [108]. Исследование частных случаев (5.73) в детерминированной постановке задачи для комбинационного резонанса описано во многих работах [10, 19, 95 и др. ]. Приведенные выше результаты показывают, что, как и в детерминированном случае, спектр частот, при которых возникают параметрические колебания, состоит из ряда малых интервалов. Длины этих интервалов зависят от амплитуды возмущений и стягиваются к нулю, когда амплитуда стремится к нулю. При этом возрастание амплитуды колебаний системы происходит по показательному закону. Выражение (5.89) в этом случае определяет степень опасности комбинационного резонанса, когда спектральные плотности параметрических возмущений соответствуют, например, сейсмическим воздействиям в виде многоэкстремальных функций несущих частот, что особенно часто встречается на практике. [c.219]

Среди приближенных методов наибольшее распространениё получили методы, использующие вариационные принципы, и. методы возмущений (асимптотических разложений) по большим или малым значениям параметра или координаты. Полученные в предыдущих параграфах уравнения равновесия стержней и нитей, как правило, являются нелинейными и в общем случае не могут быть решены в аналитической форме за исключением частных случаев. При решении уравнений равновесия обычно используют или численные методы, или приближенные, использующие вариационные принципы механики. При численных методах решения задач усложняются тем, что все задачи механики стержней относятся к двухточечным краевым задачам. [c.47]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...