Элементы теории малых возмущений

Матричные элементы Лк, не содержащие чисел фотонов, малы, так как они определяют силу электромагнитного взаимодействия, которое, как известно [24], мало и поэтому может быть рассмотрено по теории малых возмущений. Матричные элементы Л и Л наоборот включают в себя согласно (2.24) корень из числа лазерных фотонов, которое велико. В цепной дроби (2.26) большие и малые матричные элементы чередуются. Очевидно, что влияние большого матричного элемента Л будет гаситься малым матричным элементом Лк. Поэтому бесконечную систему уравнений (2.23) можно превратить в конечную, положив Л = 0. [c.30]

Вариация эллиптических элементов. Задача о движении двух тел (например. Солнца и планеты) иод действием сил взаимного притяжения может быть рассмотрена на основе изложенной выше теории. Здесь требуется выяснить, каково изменение во времени эллиптических элементов а, е, г, 0, Uq, Фо ( 18.13), вызванное малым возмущением. [c.510]

Теория возмущений в случае линейных динамических систем. При исследовании инженерно-физических характеристик ЯЭУ наиболее обширную экспериментальную информацию получают в активных динамических экспериментах с малыми возмущениями стационарного режима [29, 116, 1151 ив пассивных статистических экспериментах с использованием корреляционной техники анализа собственных шумов установки [29, 58, 93]. Шумы, являясь по существу мелкомасштабными переходными процессами, всегда сопровождают нормальную работу установки, а пассивное наблюдение за ними не нарушает технологический режим работы и не изменяет свойств контролируемого элемента ЯЭУ. [c.181]

Пусть в фазовом пространстве введена некоторая норма его элементов о) . Тогда общее определение устойчивости фазовой траектории о) = о)о(0 по А. М. Ляпунову будет следующим при каждом сколь угодно малом положительном числе г существует такое положительное число 6 = 6(8), что для любой траектории 0 выполняется неравенство (o t) —о)о(011 < Нетрудно убедиться, что из наличия хотя бы одного неустойчивого инфинитезимального волнового возмущения о) (0= (0 — о(0 (с отрицательной мнимой частью 7 = 1п1(т<0 собственной частоты а) вытекает неустойчивость траектории (oo t) по Ляпунову. Действительно, пока возмущение со ( ) мало, оно растет как е в согласии с линейной теорией, затем нелинейные члены уравнений этот рост замедляют, и, как правило, достигается некоторый конечный предел. Уменьшение же амплитуды А начального возмущения лишь затягивает этот процесс, но не меняет его конечного предела — отсутствие здесь сходимости возмущения к нулю при всех t, когда Л- >0, и означает отсутствие устойчивости по Ляпунову. Поскольку в реальности малые возмущения всегда присутствуют, линейная неустойчивость течения [c.83]

Таким образом, структура ряда теории возмущений становится ясной. Ориентируясь на поведение матричных элементов при малых импульсах передачи, мы получаем ряд [c.158]

В настоящей главе мы дадим обзор некоторых аспектов теории волновых и колебательных движений направленно армированных композитов при малых деформациях и линейном поведении компонентов. Некоторые основные понятия динамики упругого континуума приводятся в приложениях А и Б. Очень важным является исследование распространения механических возмущений для тел, подвергающихся высокоскоростным нагружениям, например ударным или взрывным. В течение небольших промежутков времени после приложения к образцу высокоскоростной нагрузки в нем распространяются нестационарные волны. Взаимодействие этих волн с армирующими элементами может быть достаточно сильным. [c.356]

Данный подход Бесселя обсуждался во второй половине XIX века в связи с вопросами теории движения комет. К нему не раз обращался и известный русский астроном Ф.А. Бредихин, который указывал на основные существовавшие тогда гипотезы, объяснявшие возмущения в движении комет сопротивлением среды (Ньютон, Эйлер, Лаплас) и реактивным действием истекающего из комет вещества (Бессель). Бредихин отмечал наличие влияния реакции истечения кометного вещества на элементы ее орбиты, но полагал эти возмущения малыми и не выделяемыми из других возмущений. [c.40]

Условие применимости нестационарной теории возмущений состоит в том, что матричные элементы возмущения должны быть малы по сравнению с невозмущенными энергетическими знаменателями, т.е. [c.31]

Молекулы, содержащие атомы переходных элементов (так называемая теория поля лигандов). Если у центрального атома в молекуле или комплексе ХУ имеются (1- (или /-) электроны, то появляется большее число орбиталей и положение становится более сложным. Тем не менее существует ряд упрощающих обстоятельств, сводящихся к тому, что возмущение (или /-) орбиталей при образовании молекулы, т. е. в присутствии лигандов, часто оказывается малым, и, следовательно, энергии результирующих молекулярных орбиталей могут быть рассчитаны более просто, чем это возможно даже для р- или 5-орбиталей. Подобное положение привело к введению, на мой взгляд, излишнего термина теория поля лигандов для молекулярно-орбитальной теории в случае ее использования для атомов, содержащих <1- (или /-) электроны 2). [c.420]

Проанализируем это выражение. При г рг)—г р < 1ш к) получаем отрицательную константу, не зависящую от к. Если бы электроны непосредственно взаимодействовали друг с другом в одной точке, т. е. V = 11 — то матричный элемент, соответствующий первому порядку теории возмущений для амплитуды рассеяния, был бы ра- . вен Ч/,. Следовательно, взаимо-действие между электронами, передаваемое нонами, при малых изменениях энергии эквивалентно точечному взаимодействию, причем знак его соответствует притяжению. [c.289]

При использовании линейной теории для любого типа волн подразумевается, что возмущения настолько слабы, что в уравнениях движения их можно рассматривать как малые величины, произведениями которых можно пренебречь. Такие произведения малых величии входят, например, в известное выражение для ускорения элемента жидкости [c.13]

Для расчета эффектов реактивности, вызываемых введением в критическую сборку малых образцов, потоки нейтронов и сопряженные функции определяются с помощью 24-группового Sg-приближения, используемого в программе DTF IV (см. разд. 5.4.4). Величина Д / , равная по существу Ak, находится затем из уравнения теории возмущений (6.71). Полученные результаты выражаются в центах на грамм атом рассматриваемого элемента (или изотопа). [c.223]

Отметим одно важное обстоятельство, которое может привести к потере точности классической физики сплошных сред. В случае, когда отклик материального тела вызывается внешним физическим воздействием с характерным масштабом длины, сопоставимым с размером среднего зерна или молекулы вещества, может оказаться, что эти элементы возбуждаются независимо друг от друга. В этом случае собственные микроскопические движения молекул должны быть учтены. Важность этого замечания становится особенно ясной, когда рассматривается распространение волнообразных возмущений с большими частотами или малыми длинами волн. Когда длина волны X имеет тот же порядок величины, что и средний размер зерна или молекулы, К = L < L, отклик материала существенно определяется микроскопическими движениями отдельных частиц. Таким образом, континуальное описание достаточно хорошо подходит для рассмотрения коллективных мод возбуждений лишь при X iL>L. Это условие считается выполненным не только для случая классических волн теории упругости, но также и для других коллективных мод, таких, как магноны ( 1.7) и поляритоны ( 1.12), описание которых в длинноволновом приближении предполагает, что длины волн много больше постоянной решетки. [c.80]

Система (70) обладает тем замечательным свойством, что в ней сохранены резонансные гармоники, а это зна чит, что-функции iti, Vi,. .., itf, V, преобразования Крылова — Боголюбова не будут содержать малых знаменателей. Таким образом, строится асимптотическая теория малых, а не больших возмущений. Тем самым задача с большими возмущениями (сильно возмущенная задача) благодаря качественному использованию метода сглаживания как бы становится задачей с малыми возмущениями (слабо возмущенной задачей). Действие малых знаменателей локализовано в усредненных кеплеровых элементах 10 [c.147]

Как показал Фрелих, для исключения электронно-фононного взаимодействия из гамильтониана можно применять каноническое преобразование, при этом остается лишь взаимодействие между электронами, которое соответствует тому, которое было выведено методами теории возмущений. Если электронно-фононпое взаимодействие велико, то указанная операция не применима лишь для небольшого числа членов с малыми энергетическими знаменателями. При вычислении матричного элемента взаимодействия и колебательных частот эти члены не существенны, но в случае сверхпроводимости они важны. Так как эти члены нельзя рассмотреть методами теории возмущений, они оказывают сильное влияние на волновые функции. [c.756]

Тогда эти центробарические компоненты будут теми же функциями времени и новых переменных элементов, которые могли быть выведены иначе посредством исключения из интегралов (Q2). Они будут строго представлять (путем распространения теории на эти ранее упоминавшиеся интегралы) компоненты скорости возмущенной планеты т относительно центра тяжести всей солнечной системы. Мы предпочли (и это вполне соответствует общему направлению нашего метода), чтобы эти центробарические компоненты скорости были вспомогательньши переменньши, объединяемыми с гелиоцентрическими координатами. Их возмущенные эначения были в этом случае строго выражены формулами невозмущенного движения. Этот выбор сделал необходимым видоизменить эти последние формулы и определить орбиту, существенно отличающуюся теоретически (хотя мало отличающуюся практически) от орбиты, так блестяще разработанной Лагранжем. Орбита, которую он себе представлял, была более просто связана с гелиоцентрическим движением единственной планеты, следовательно, она давала для такого гелиоцентрического движения как скорость, так и положение (планеты). Орбита, которую мы избрали, быть может, более тесно связана с концепцией множественной системы, движущейся относительно ее общего центра тяжести и подверженной в каждой ее части влиянию со стороны всех остальных. Какая бы орбита ни была в будущем принята астрономами, следует помнить, что обе они одинаково пригодны для описания небесных явлений, если числовые злементы каждой системы будут соответствующим образом определены при наблюдениях, а элементы другой системы орбит будут выведены из результатов наблюдения в процессе вычисления. Тем временем математики решат пожертвовать ли частично простотой той геометрической концепции, исходя из которой выведены теории Лагранжа и Пуассона для простоты другого рода (которая хотя еще не введена, но была бы желательна для этих превосходных теорий), получаемой благодаря нашим достижениям в строгом выражении дифференциалов всех наших собственных новых переменных элементов через посредство единственной функции (поскольку до сих пор казалось необходимым употреблять одну функцию для Земли, возмущенной Венерой, и другую функцию для Венеры, возмущенной Землей). [c.281]

Особенно простыв выражения получаются для матричных элементов любого процесса в низшем порядке теории возмущений, к-рьш соответствуют т. н. дренес-пые диаграммы, не имеющие замкнутых петель,— после перехода к импульсному представлению в них вовсе не остаётся интегрирований. Для осн. процессов КЭД такие выражения для матричных элементов были получены на заре возникновения КТП в кон. 2()-х гг. и оказались в разумном согласии с опытом (уровень соответствия 10 —Ю" , т. е. порядка постоянной тонкой структуры а). Однако попытки вычисления радиационных поправок (т. е. поправок, связанных с учётом высших приближений) к этим выражениям, напр, к Клейна — Нишины — Тамма ф-ле (см. Клейна — Ни-шины формула) для комптоновского рассеяния, наталкивались на спедифич. трудности. Таким поправкам отвечают диаграммы с замкнутыми петлями из линий виртуальная частиц, импульсы к-рых не фиксированы законами сохранения, и полная поправка равна сумме вкладов от всех возможных импульсов. Оказалось, что в большинстве случаев возникающие при суммировании этих вкладов интегралы по импульсам виртуальных частиц расходятся в УФ-области, т. о. сами поправки оказываются не только не малыми, но бесконечными. [c.303]

В инженерной практике широко распространены конструкции, элементы которых имеют полости или отсеки, содержащие жидкость, иапример, объекты авиационной и ракетно-космической техники, танкеры и плавучие топливозаправочные станции, суда для перевозки сжиженных газов и стационарные резервуары, предназначенные для хранения нефтепродуктов и сжиженных газов, ректификационные колонны и т. д. В большинстве случаев жидкость-заполняет соответствующие полостн или отсеки лишь частично, так что имеется свободная поверхность, являющаяся границей раздела между жидкостью и находящимся над ней газом (в частности, воздухом). Обычно можно считать (за исключением особых случаев движения тела с жидкостью в условиях, близких к невесомости, которые здесь не рассматриваются), что колебания жидкости происходят в поле массовых сил, гравитационных и инерционных, связанных с некоторым невозмущенным движением. Как правило, это поле можно в первом приближении считать потенциальным, а само возмущенное движение отсека и жидкости — носящим характер малых колебаний, что Оправдывает линеаризацию уравнений возмущенного движения. Ряд актуальных для практики случаев возмущенного движения жидкости характеризуется большими числами Рейнольдса, что позволяет использовать при описании этого движения концепцию пограничного слоя, считая, кроме того, жидкость несжимаемой. Эти гипотезы лежат в основе теории, излагаемой ниже [23, 28, 32, 34, 45, 54J. Учету нелинейности немалых колебаний жидкости посвящены, например, работы [15, 26, 29, 30]. Взаимное влияние колебаний отсека и жидкости при ее волновых движениях может сильно изменять устойчивость системы, а иногда порождать неустойчивость, невозможную при отсутствии подвижности жидкости. В качестве примера можно привести резкое ухудшение остойчивости корабля при наличии жидких грузов и Динамическую неустойчивость автоматически управляемых ракет-носителей и космических аппаратов с жидкостными ракетными двигателями при неправильном выборе структуры или параметров автомата стабилизации. Поэтому одной из основных Задач при проектировании всех этих объектов является обеспечение их динамической устойчивости [9, 10, 39, 43]. Для гражданских и промышленных сооружений с отсеками, содержащими жидкость, центр тяжести при исследовании их динамики смещается в область определения дополнительных гидродинамических нагрузок, например при сейсмических колебаниях сооружения [31]. [c.61]

Кеплерова орбита играет чрезвычайно важную роль в небесной механике. Она часто используется как орбита первого приближения при исследовании движения многих небесных тел. Применение кеплеровых элементов для построения теории двин ения небесного тела особенно эффективно в том случае, когда возмущения в его движении малы, т. е. когда его движение мало отличается от эллиптического. К таким случаям прежде всего относятся большие планеты Солнечной системы. Однако если возмущения кеплеровых элементов велики, то в качестве орбиты первого приближения приходится искать другие орбиты — промежуточные орбиты,.которые более близки к истинной орбите небесного тела, нежели кеплеров эллипс. К такому случаю относится Луна, при построении теории движения которой использовались специальные промежуточные орбиты. [c.101]

По существу, совершенно ясно, что при больших пе-редачах импульса приближение хаотических фаз должно приводить к существенным трудностям [26, 34]. Как мы уже видели, в RPA не делается различия между вкла-дами в корреляционную энергию от электронов с параллельными и антипараллельными спинами. С другой стороны, из физических соображений можно ожидать, что электроны с параллельными спинами просто не будут чувствовать короткодействующих сил, так как они удалены друг от друга благодаря принципу Паули. Математически это проявляется в том, что при больших передачах импульса обменные члены ряда теории возмущений (которые возникают только для электронов с параллельными спинами и которыми мы пренебрегаем в рамкач RPA) взаимно уничтожаются с прямыми членами, соответствующими взаимодействию электронов с параллельными же спинами. Отсюда следует вывод, что только электроны с антипараллельными спинами взаимодей-ствуют посредством той части кулоновских сил, которая соответствует большим передачам импульса. Причина указанной компенсации весьма проста. Любому прямому процессу перехода для электронов с параллельными спинами, описываемому матричным элементом перехода Ук. всегда сопутствует сопряженный обменный процесс, характеризуемый матричным элементом Vk+p+q ). При малых передачах импульса, как мы уже видели, эти обменные члены несущественны. При больших же передачах импульса они взаимно уничтожаются с прямыми членами, которые описывают взаимодействие между электронами с параллельными спинами. [c.209]

На этом свойстве основывается теория возмущений. Бели производные малы, то по крайней мере на коротких промежутках времени также малы и изменения элементов, п в первом приближении можно считать ( ), (т]) и т. д. в правых частях (5) постоянными. Посредством интегрирования полученных таким образом уравнений, что не представляет никаких трудностей, находим возмущения первого порядка. Этот приближенный метод приводит к разложениям по степенял возмущающих масс. Правда, новые последования показали, что эти разложения в ряды не являются абсолютно сходящимися. Тем не менее как теория, так и опыт свидетельствуют, что ряды сходятся на конечных промежутках времени и пригодны для числовых расчетов. [c.254]

Глава 4 содержит краткий обзор различных подходов к проблеме интегрируемости уравненнй движения и некоторые наиболее общие и эффективные методы их интегрирования. Указа-11Ы разнообразные примеры проинтегрированных задач, составляющих золотой фонд классической динамики. Материал этой гл 1ВЫ используется в главе 5, посвященной одному из наиболее результативных разделов механики — теории возмущений. Основная задача теории возмущений — исследование задач механики, мало отличающихся от задач, точно проинтегрированных. Элементы этой теории (в частности, широко известный и применяемый принцип усреднения ) возникли в небесной ме-> анике в связи с попытками учесть взаимные гравитационные возмущения планет Солнечной системы. К главам 4 и 5 примыкает глава б, в которой исследована принципиальная возможность интегрирования уравненнй движения (в точно определенном смысле). Оказывается, интегрируемые системы являются редким исключением и это обстоятельство повышает роль приближенных методов интегрирования, изложенных в лаве 5. Классическим вопросам небесной механики посвящена "1торая глава. В ней рассмотрена интегрируемая задача 2-х тел, [c.9]

То обстоятельство, что, при очень малом а и можно рассматривать как постоянные в правых частях уравнений (7) для не слишком ольших значений /, может быть видно из физической иллюстрации. Рассмотрим теорию возмущений. Изменения в элементах орбиты зависят от элементов орбит взаимно возмущающих тел и от относительных положений тел на их орбитах. Интуитивно ясно, что мы сделаем лишь малую ошибку в вычислении взаимшлх возмущений двух планет, если введем постоянные элементы, которые немного разнятся, скажем на градус н случае угловых элементов, от действительных, которые изменяются медленно. [c.323]

Возвращаясь опять к случаю тесной двойной, сопровождаемой удаленной третьей звездой, нетрудно видеть, что элементы орбиты спутника относительно главной звезды будут изменяться. Поскольку возмущающая функция задачи оказывается малой, можно использовать уравнения Лагранжа для построения общей теории возмущений, дающей изменения (коротко-, длиннопериодные и вековые) элементов орбиты. Преимущественно используются разложения, применяемые в теории Луны, что становится понятным, если напомнить, насколько полезными оказываются координаты Якоби как в теории Луны, так и в задаче трех тел. [c.468]

Разложение по сферическим гармоникам имеет преимущество перед разложением в ряд Тейлора (VI. 17), так как позволяет ясно увидеть в (VI.11) различные не равные нулю матричные элементы взаимодействия. Оно также является единственным однозначным способом определения ядерных электрических мультиполей выше второго порядка (это преимущество носит скорее академический характер). В дальнейшем в качестве гамильтониана квадрупольного взаимодействия мы будем пользоваться выражениями как (VI. 14), так и (VI. 15). Выше уже отмечалось, что квадрупольное взаимодействие, представляемое членами с / = 2 в (VI.7), очень мало и его можно обнаружить только потому, что оно вызывает расщепление вырожденного уровня. В этом случае применима теория возмущений первого порядка. При этом следует рассматривать матрич- [c.160]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...