Малые возмущения. Линейные волны

Малые возмущения. Линейные волны [c.153]

МАЛЫЕ ВОЗМУЩЕНИЯ. ЛИНЕЙНЫЕ волны 155 [c.155]

МАЛЫЕ ВОЗМУЩЕНИЯ. ЛИНЕЙНЫЕ волны 157 [c.157]

Пусть далее к поверхности в некоторый момент прилагается малое возмущение. После этого граница и прилегающие слои обеих фаз придут в движение. Как уже говорилось, основные черты такого движения можно установить, анализируя поведение элементарной волны, определяемой соотношением (3.1а). Далее примем основные допущения линейной теории а к, т.е. амплитуда мала в сравнении с длиной волны, обе фазы являются невязкими и несжимаемыми жидкостями. Эти допущения позволяют существенно упростить математическое описание задачи. В частности, условие а X позволяет рассматривать h и все ее производные как малые порядка аГк, а квадратичные члены относительно этих величин опускать в уравнениях как малые более высокого порядка. Очевидно также, что скорости возмущенного движения фаз по порядку величины равны [c.130]

Основные результаты теории волн связаны с допущением о малости тех возмущений, которые волны вносят в равновесное состояние жидкости, — это теория бесконечно малых волн. В рамках этой линейной теории математическое описание [75] включает в себя уравнение Лапласа (1.72), условие на стенках сосуда, уравнение для возвышения h поверхности жидкости, имеющее вид [c.85]

До сих пор мы говорили о линейных колебаниях, о неустойчивости к малым возмущениям. Лишь разговор о волнах был более общим. Один из классиков современной науки о колебаниях академик А. А. Андронов, говоря о линейном мире, мире, где господствует принцип суперпозиции, восклицал Это дико частный случай Наш мир нелинеен, наш мир — мир нелинейных систем. [c.29]

Рассмотрим плоскую звуковую волну, распространяющуюся в вязкой жидкости в положительном направлении оси х. С целью упрощения задачи допустим, что коэффициенты вязкости постоянны, а теплопроводностью жидкости можно пренебречь. Тогда исходными уравнениями для описания звуковой волны будут уравнения непрерывности и Навье—Стокса, а также уравнение для энтропии и энергии. Вводя малые возмущения плотности, давления и других величин аналогично тому, как они были введены в 11.5 и интересуясь только линейным приближением, из уравнения Навье—Стокса (12.19) найдем [c.537]

Мы положили здесь магнитную проницаемость равной 1 есть линейная часть поляризации, которая в свою очередь через восприимчивость первого порядка линейно связана с напряженностью поля. Из дифференциального уравнения (2.23-2) следует система т дифференциальных уравнений для отдельных амплитуд парциальных волн [явное представление дано в ч. I, Приложение 6, уравнение (П6-4)] с частными производными по пространственным и временным координатам различных высоких порядков. При соответствующих физических условиях высшими производными можно пренебречь, при этом возникает вопрос о том, насколько сильно амплитуды напряженности поля и поляризации меняются в пространстве по сравнению с / и во времени по сравнению с а>г Мы примем, что пространственная структура волн не испытывает изменений под влиянием взаимодействия (что соответствует представленной в 1 концепции мод) это означает, что можно положить равными нулю все пространственные производные. Далее, действие нелинейной поляризации можно рассматривать как малое возмущение в том смысле, что [c.198]

Движения газа с малыми возмущениями встречаются очень часто. Так, например, при движении удлиненных ракетных аппаратов, скоростных самолетов, звуковых волн мы имеем дело со сравнительно малыми возмущениями. Теория движения газа во всех этих случаях сводится к интегрированию линейных уравнений. [c.223]

Эта операция называется линеаризацией уравнений (1.6) около состояния и , а решения полученной системы называют линейными волнами. Коэффициенты aik u j) постоянны, а характеристические скорости малых возмущений с( )(м ), а также собственные векторы зависят от того состояния и , около которого проводилась линеаризация. [c.23]

Рассмотрим сначала задачу о распаде произвольного разрыва в линейной (или линеаризованной) постановке. Общее решение линейной задачи дается равенством (1.12), которое для рассматриваемой задачи запишем в виде суммы бегущих волн малых возмущений [c.62]

Теперь линейная теория звука дает для малого возмущения давления р — р , а также для скорости жидкости и — щ в системе отсчета, в которой пространственной координатой является х—и- р, общее решение в виде плоской волны (разд. 1.1) [c.175]

Мы рассмотрим поверхностные гравитационные волны на плоской границе между водой и воздухом (хотя та же теория применима и для поверхностей раздела между другими жидкостями и газами). Волны на плоской поверхности воды, изученные в гл. 2, являются исключительно длинными волнами глубина воды составляет малую долю длины волны. В случае таких волн возмущения могут распространяться по всей глубине, и это не нарушает запрета на проникновение волн на глубину более одной длины волны. Действительно, в разд. 2.2 установлено, что избыточное давление приблизительно постоянно по всему поперечному сечению. Для малых возмущений поверхности воды эффективная инерция жидкости не зависит тогда от длины волны, и волны являются недиспергирующими. В разд. 3.3 мы снова получим это распространение без дисперсии как один предельный случай линейной теории поверхностных гравитационных волн, предсказывающей дисперсию во всех остальных случаях. [c.256]

Кроме того, стремление понять поведение синусоидальных волн малой амплитуды на поверхности воды вызвано еще тем обстоятельством, что превосходным (а часто и единственным) способом изучения реакции поверхности воды на малое возмущение более сложной формы является анализ Фурье. Он позволяет рассматривать такое возмущение как линейную комбинацию различных синусоидальных возмущений, каждое из которых в отдельности ведет себя так, как описано в разд. 3.2— 3.5. Более того, линейность уравнения, описывающего малые возмущения на поверхности воды (уравнение Лапласа (5) с граничным условием (13), выполняющимся при 2 = 0), означает, что такая линейная комбинация различных синусоидальных решений также будет решением. [c.293]

Мы придерживаемся линейной теории, предполагая, что как /г /х х), так и коэффициент наклона дна / х) малы. Очевидно, что форма дна цилиндрическая (не зависит от у) и вызывает только малые возмущения потока. Возникшие волны должны быть сопоставлены с безвихревой частью этих возмущений (разд. 3.1), т. е. с частью, внешней по отношению к придонному пограничному слою. Соответствующее граничное условие для потенциала скорости ф этих возмущений будет [c.325]

Наличие неоднородностей в рассеивающем объеме приводит к рассеянию волн. Мы рассмотрим здесь случай слабого рассеяния, когда можно ограничиться приближением однократного рассеяния. Этому приближению соответствует решение уравнения (7. 4) при помощи метода малых возмущений с ограничением линейными по членами. Положим [c.143]

В общих чертах, приспособление происходит аналогично случаю неограниченной плоскости, рассмотренному в [18]. Начальное возмущение единственным образом расщепляется на медленную и быструю компоненты, развивающиеся, соответственно, с характерными временными масштабами / 1 и е/ . Медленная компонента все время остается близкой к геострофическому равновесию, и быстрая компонента на нее не влияет, по крайней мере, на временах i < (е/) 1. Быстрая компонента состоит, в основном, из линейных ИГ волн, быстро распространяющихся от начального возмущения, и волны Кельвина, сосредоточенной в окрестности границы. Как и в случае неограниченной области, нелинейные взаимодействия ИГ волн друг с другом, с медленной компонентой и с волной Кельвина приводят только к малым поправкам к быстрому полю. [c.542]

В задачах линейной акустики амплитуда волны считалась настолько малой, что присутствие волны не влияло на свойства среды в той степени, чтобы их изменение сказывалось на распространении другой волны. Выполнялся принцип суперпозиции возмущений волны не взаимодействовали между собой, распространяясь независимо. [c.65]

В акустике обычно имеют дело со звуковыми волнами малой амплитуды в том смысле, что возмущения равновесного состояния среды, вызванные этими волнами, оказываются малыми. Распространение таких волн описывается прибли кенными уравнениями, полученными линеаризацией уравнений гидродинамики и уравнения состояния. Это приближение — так называемое приближение линейной акустики — оказывается недостаточным в случае звуковых волн большой интенсивности, все чаще встречающихся в современной технике. [c.7]

Анализ соотношения (10.106) показывает, что профиль и(х, 1) является пологой волной, крутизна которой со временем убывает. Для любых л >0 и >0 решение и х, 0>0. Это означает, что хотя уравнение (10.104) гиперболического типа, малые возмущения, как и для линейных уравнений параболического типа, распространяются с бесконечной скоростью. [c.248]

Основные результаты линейной теории в применении к волновым процессам хорошо известны. Малые возмущения в виде бегущих волн, наложенные на основное ламинарное течение с параболическим профилем скорости, могут либо усиливаться, либо затухать. Для каждого расхода жидкости существует критическая длина волны X, которая разделяет усиливающиеся (X > и затухающие (X < Х р) возмущения. В плоскости Не, X критические значения образуют линию нейтральной устойчивости. Основные недостатки линейной теории состоят в том, что она не позволяет определить амплитуду волны и ее зависимость от числа Ке. Эта теория [c.7]

Линейная устойчивость популяционных волн по отношению к малым возмущениям [c.124]

Звуковые волны распространяются в заведомо нелинейной среде. Дело в том, что адиабатический закон сжатия, по которому совершаются акустические явления, — закон существенно нелинейный. Мы описываем акустические явления линейными уравнениями лишь приближенно. Это приближение оказывается достаточным, если мы ограничимся рассмотрением так называемых малых возмущений, т. е. таких возмущений, при которых относительные изменения давления, плотности, объема и т. д. весьма малы. При этом условии приращения этих величин приблизительно пропорциональны друг другу, и мы вправе воспользоваться линеаризованными уравнениями акустики, что упрощает дело. Зная же, в чем состоит приближение, мы легко можем его оценить. [c.278]

Название области связано с тем, что любые слабые возмущения, отражаясь от фронта волны, резко усиливаются и распространяются уже с большей амплитудой. Как видно, при указанных значениях параметров возникает своеобразный резонанс. Более детальное исследование, выполненное с учетом нелинейных членов, показывает, однако, что неограниченного возрастания амплитуды отраженной волны, которое вытекает из решения линейной задачи, не происходит. Амплитуда отраженного возмущения остается малой при малых падающих возмущениях, хотя и превышает ее. Если обозначить через изменение давления в падающей волне, а через бр( ) — в отраженной, то при бр<0 О имеет место оценка [c.61]

Пространственное взаимодействие плоской ударной волны с возмущениями. Приведенные выше. решения дают возможность построить решение пространственной задачи о взаимодействии возмущений с плоской ударной волной. В самом деле,-любое малое пространственное возмущение в линейном случае можно представить в виде суперпозиции плоских волн, для каждой из которых решение уже найдено. [c.61]

Следует отметить, что в общем случае не существует решения пространственной задачи о взаимодействии плоской ударной волны с возмущениями. В самом деле, пусть возмущение падает на ударную волну со стороны сжатого газа. При малых углах падения падающей плоской волне будет соответствовать отраженная волна. Однако начиная с определенного угла па- дения суммарное возмущение представляет собой совокупность двух падающих волн, которые определенным образом зависят друг от друга. В пространственном случае это дает связь между плоскими волнами, на которые разлагается падающее возмущение. Таким образом, мы имеем некоторое условие, которое налагается на вид падающего возмущения. Если это условие не выполнено, то задача об отражении акустической волны от фронта ударной волны в линейной постановке, вообще говоря, не имеет решения. Физический смысл этого состоит следующем. Если изменения величин за фронтом падающей акустической волны в направлении ее распространения малы по сравнению с изменениями в поперечном направлении, то возмущенное течение за фронтом ударной волны уже нельзя представить в виде суперпозиции падающей и отраженной акустических волн. Должно произойти ветвление ударной волны. [c.63]

Обратимся к задаче о падении ударной волны на неоднородность. Мы уже видели, что эта задача в линейной постановке в общем случае решения не имеет. Данное обстоятельство-допускает простое физическое истолкование. Если изменения плотности в области перед ударной волной в направлении ее распространения малы по сравнению с изменениями плотности в поперечном направлении, то возмущенное течение нельзя представить в виде волны разрежения, распространяющейся по однородному газу за ударной волной, фронт которой близок к плоскому. [c.63]

В настоящей главе мы дадим обзор некоторых аспектов теории волновых и колебательных движений направленно армированных композитов при малых деформациях и линейном поведении компонентов. Некоторые основные понятия динамики упругого континуума приводятся в приложениях А и Б. Очень важным является исследование распространения механических возмущений для тел, подвергающихся высокоскоростным нагружениям, например ударным или взрывным. В течение небольших промежутков времени после приложения к образцу высокоскоростной нагрузки в нем распространяются нестационарные волны. Взаимодействие этих волн с армирующими элементами может быть достаточно сильным. [c.356]

Разрабатывается неск. подходов к объяснению механизмов возбуждения и поддержания спиральных волн плотности (СВП) 8 С. г. Возможность существования СВП как малых возмущений в гравитирующем бесстолк-новит. (звёздном) диске впервые была показана в работе К. Лина (С. Lin) и Ф. Шу (F. Shu). В наиб, простом случае в гидродинамич. приближении для линейных колебаний, описывающих туго закрученные СВ, дисперсионное соотношение имеет вид [c.649]

Если решать численно задачу Коши и в качестве начального условия взять распределение параметров в стационарной волне, а в качестве условия на бесконечности за волной — условие отсутствия отражения возмущений, идущих туда вдоль характеристик, то для случаев, когда согласно линейной теории стационарная волна устойчива, волна продолжает распространяться в стационарном режиме. Малые отклонения от принятых начальных данных быстро затухают. Если же проводить расчет для линейно-неустойчивой волны, то вычислительные ошибки используемых конечно-разностных методов служат источником малых возмущений и очень быстро приводят к колебательному режиму распространения волны детонации. На рис. 20 приведен пример такого расчета для модели с одной реакцией первого порядка аррениусовского типа. В этом примере согласно линейной теории имеется лишь одна неустойчивая частота. Численный расчет [c.136]

Как видно из рис. 24, формулы [18] в случае Я-поляризации справедливы для S = 0,95 лишь при и < 0,05, а для s = 0,25 — в области и < 0,5. Такая неравномерность объясняется следуюш,им чем больше радиус проводов, тем при меньших и начинают проявляться волновые свойства решетки, т. е. при меньших и элементы решетки становятся соизмеримы с длиной волны. Формулы [18] получены с помош,ью метода малых возмущений, т. е. в предположении, что зависимость дифрагированных полей от и имеет линейный характер. В области длин волн, соизмеримых с препятствиями (s = 0,85, и = 0,1), такие зависимости имеют существенно нелинейный характер, и формулы [18] теряют достоверность. В принципе весь численный анализ можно провести при непосредственном решении интегральных уравнений путем обычной замены интеграла суммой и линейной аппроксимации функции тока с помощью N чисел на всем контуре цилиндра. При этом получаем систему уравнений N-to порядка, которая эффективно решается на ЭВМ. Если в случае Я-поляризации интегральное уравнение заменить системой 20-го порядка (20 точек разбиения), то в интервале О < и < 1 для s = 2all = 0,25 0,50 и 0,75 численные результаты будут хорошо совпадать (с точностью не хуже, чем 0,005) с результатами, полученными из систем [25]. На рис. 24 кружочками показаны результаты для случая s = 0,95. При этом интервал интегрирования разбивался с учетом вероятностного распределения плотности тока. [c.66]

Взаимодействие сильной низкочастотной и слабой высокочастотной волн с генерацией суммарной и разностной частот исследовалось зкспериментально [Буров и др., 1978]. Эксперимент проводился в воде низкочастотная волна имела частоту /г = 1,35 МГц и амплитуду давления = = 10 Па, а высокочастотная — соответственно /1 = 11,5 МГц, р = = 1,2 10 Па. На рис. 5.1 показана зависимость амплитуды высокочастотного сигнала от расстояния в отсутствие и при наличии низкочастотного поля. Видно, что во втором случае наблюдается дополнительное (по отношению к линейной диссипации) затухание сигнала, связанное, по-видимому, с перекачкой знергии в боковые компоненты с частотами f = = /1 /2,3 также осцилляции из-за взаимодействия всех зтих компонент. Здесь же приведены теоретические кривые, построенные в результате анализа взаимодействия малых возмущений с низкочастотным полем, учитывающего затухание [Тагунов, 1981]. [c.124]

Как следует из формул гл. XI, п. 11 (при a = g), малые локальные поверхностные волны на толстых струях в связи с неустойчивостью по Гельмгольцу усиливаются быстрее, чем большие узловатые утолщения. При достаточно большой крутизне этих волн теория линейных возмущений, развитая в гл. XI, перестает быть справедливой. Как и для однородных (затопленных) струй (гл. XIII, п. 13), наиболее крутые волны выпучиваются и задерживаются окружающим воздухом, образуя профиль, напоминающий стебелек пшеницы. Вскоре после этого, так же как и в случае однородных струй (гл. XIV, п. 9, 10, в особенности рис. 115), образуется турбулентная зона смешения, постепенно размывающая струю. После того как зона смешения достигает центра струи, последняя принимает коническую форму, однако с меньшим углом расширения, чем для однородной струи. [c.415]

Пусть в нелинейной среде распространяется волна с частотой соз. Исследуем эволюцию возмущений с частотами U1 и (U2 такими, что Асо = соз — oi — oz = = onst, А(х) = кз — kl ki. Полагая амплитуду Сз волны с частотой соз заданной, из (1,7), (5.10) получаем линейную систему для амплитуд малых возмущений [c.105]

Ранее, в 1.2 при рассмотрении в линейном приближении малых возмущений, распространяющихся по однородному фону, было показано, что общее решение задачи представляет собой линейную комбинацию из п бегущих волн, каждая из которых движется с одной из характеристических скоростей и содержит произвольную функцию от ж — = onst. Поскольку эта [c.50]

Учет малых недиагональных элементов делает волны квазипоперечными и квазипродолъными. Однако, в отличие от линейных волн, и характеристические скорости, и приращения деформаций dui зависят от текущего состояния что приводит к деформированию профиля начального возмущения при движении и представляет главный предмет дальнейшего исследования. Из-за качественного различия целесообразно дальнейшее изучение квазипродольных и квазипоперечных волн проводить отдельно. [c.161]

Рассматриваются одномерные волны (независимые переменные а и i) малых возмущений, описываемые дифференциальными уравнениями теории упругости. Находятся скорости характеристик этой системы уравнений, относящейся к гиперболическому тйпу. В рассматриваемом случае малой волновой анизотропии линейные волны и волны Римана разделяются на квазипродольные и квазипоперечные. [c.175]

В этом смысле мы будем говорить, что звуковая волна не изоэнтропична. Линейный характер наших уравнений требует, чтобы малое возмущение оставалось малым с течением времени (устойчивость исходного состояния). Поэтому с помощью этих уравнений нельзя описать, например, такого любопытного явления, как чувствительное пламя газовой горелки, высота которого резко меняется под действием звуковой волны. [c.30]

Дисперсия непосредственно связана со свойством экранировки внешних возмущений средой (например, с дебаевской экранировкой зарядов в плазме). Поэтому размеры солитонов характеризуются размерами экранировки и скоростью распространения. Если скорость уединенного возмущения совпадает со скоростью какой-либо линейной волны, то вместо экранировки происходит излучение. Этим объясняется, что размер солитона в диспергирующей среде тем меньше, чем сильнее отличается его скорость от скорости линейных волн, В некоторых средах скорость линейных волн очень мала (например, ионно-звуковые и альфвеновские волны поперек магнитного поля в плазме, волны Рос-сби в атмосфере). В таких средах возможны бегущие вихри малой амплитуды, в которых размер экранировки приближается к характерному размеру дисперсии (равному циклотронному радиусу ионов в плазме или размеру Россби во вращающейся атмосфере). [c.5]

Найдя решение этого уравнения при надлежащих граничных И.ЧИ начальных условиях, определяемых источником звука, естественно задаться рядом вопросов о связи полученного решения с исходными нелинейными уравнениями. Являются ли линейные результаты адекватными, хотя бы для малых возмущений, и не теряются ли при таком приближении какие-либо существенные качественные черты Если возмущения не являются малыми (как при взрыве или при движении сверхзвукового самолета и ракеты), то какие резу.чьтаты можно получить непосредственно из исходных нелинейных уравнений Какие изменения происходят при учете вязкости и теплопроводности Ответы на эти вопросы в газовой динамике приводят к основным идеям нелинейных гиперболических волн. Наиболее интересным явлением, которое описывается чин1ь нелинейной теорией, оказываются ударные волны, представляющие собой резкие скачки давления, плотности и скорости, например ударные волны при сильном взрыве и звуковые удары при движении высокоскоростных самолетов. Для их предсказания потребовалось развить весь сложный аппарат теории нелинейных гипербо.тических уравнений, а для по.пного понимания понадобились анализ эффектов вязкости и некоторые аспекты кинетической теории газов. [c.11]

Уравнение, эквивалентное (3.33), (3.38), было предложено в работах [38, 39]. Оно отличается от уравнений, обычно использовавшихся в задачах наследственной упругости, тем, что соответствующий ему линейный оператор, содержащий старшие производные второго порядка, явно факторизуется, то есть может быть представлен в виде суперпозиции линейных операторов с производными не выше первого порядка. Это значительно облегчает построение и анализ его решений. Здесь мы пришли к данному виду уравнения, отталкиваясь от одноволнового уравнения для линейной волны, бегущей в одном направлении в среде, свойства которой формируют определенный закон дисперсии для этой волны. Этот путь естественным образом приводит к такой факторизуемой форме. Обратим внимание на то, что отношение члена второго порядка по Я к члену первого порядка в частотной области для уравнения (3.33) равно Я . Ясно, что в границах применимости модели распространения линейных волн, удовлетворяющих уравнению (3.33) или его многомерным (по пространственным переменным) аналогам, каким бы малым (в любом разумном смысле) не было значение Я, при достаточно малых со величина этого отношения может стать при а -1 < О сколь угодно большой, и пренебречь в (3.33) членами квадратичными по Я будет нельзя. Это может оказаться существенным для реальной физической системы тогда, когда соответствующие этим частотам длины волн попадают в диапазон масштабов фрактальности. Если в области низких частот эта модель утрачивает свою физическую адекватность, то это, прежде всего, означает, что решения уравнения (3.33) на достаточно больших временах теряют смысл для описания происходящих в ней процессов распространения возбуждений. Тем не менее, эти решения могут быть вполне адекватными для относительно малых времен, прошедших от момента начала возбуждения колебаний в некоторой точке среды, которой достигло возбуждение. Таким образом, при рассмотрении распространения переходных волн в первоначально невозмущенной среде, эта модель может описывать изменения её состояния в зоне конечной ширины позади переднего фронта возмущения, который перемещается со скоростью, обозначенной в (3.27), а в (3.33) и далее, для упрощения выкладок, принятой нами за единицу. [c.143]

Система рассматривается как распределенная, если ее линейные размеры сравнимы с длиной волны, т. е. время передачи возмущения по системе не мало по сравнению с периодом колебаний. Таким образом, для распределенных систем условие квазистатичности принципиально не выполняется. Основные движения в таких системах — волновые. [c.319]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...