Изгиб тонких упругих пластин

В данной главе излагается теория изгиба тонких упругих пластин при действии поперечных и продольных сил и приведены примеры их расчета с помощью прямых вариационных методов. [c.185]

Эту главу мы посвятим выводу классических и модифицированных вариационных принципов для изгиба тонких упругих пластин, потому что задачи изгиба пластин часто используются в качестве примеров при численных расчетах различными методами конечных элементов. Если не будет оговорено противное, то используются обозначения гл. 8. Сначала будет дан обзор основных соотношений теории изгиба пластин. [c.395]

Изгиб тонких упругих пластин 312 Изопараметрические элементы 206 [c.486]

В технической теории изгиба тонких пластин все кинематические и статические величины (смещения, напряжения, усилия и моменты) выражены через прогиб срединной поверхности пластины у). Мы выпишем здесь все необходимые соотношения вывод последних, а также соответствующие допущения, положенные в основу технической теории изгиба тонких упругих пластин, читатель может найти в указанных работах. [c.92]

Согласно принципу возможных перемещений сумма возможных работ всех внешних и внутренних сил упругой пластины на всяком возможном бесконечно малом изменении перемещений равна нулю. Применительно к изгибу тонких прямоугольных пластин вариационное уравнение этого принципа имеет вид [317] [c.391]

Предлагаемый вниманию читателя перевод с английского книги Балки, пластины и оболочки , вышедшей в серии Монографии по инженерным наукам , содержит рассмотрение классической и уточненной теорий изгиба стержней, классической и уточненной теорий изгиба пластин, проблемы выпучивания оболочек, вопросы общей теории оболочек и больших прогибов тонких упругих пластин. Каждому иЗ этих вопросов посвящена огромная литература, особенно, если учесть, что [c.5]

В сборник моих статей по прочности и колебаниям элементов конструкций включены двадцать шесть работ они посвящены изучению деформированного и напряженного состояния стержневых систем (рамы, рельсы, мосты), тонких упругих пластин и оболочек, анализу изгиба и кручения призматических стержней, плоской задаче теории упругости и общим проблемам прочности Кроме того, приведены статьи о колебаниях стержневых систем и об ударе по упругой балке. [c.9]

Аналогичные рассуждения могут быть проведены и для случая разбиения Q на четырехугольные подобласти, при использовании аппроксимаций степени выше первой, для трехмерных задач теории упругости. В задаче изгиба тонких пластин необходимо различать базисные функции, соответствующие прогибу и производным от прогиба, в связи с чем простая система уравнений (4.8) для определения базисных функций заменяется достаточно громоздкой системой подробнее об этом будет сказано позже. [c.160]

В учебнике излагаются теория напряжений в деформаций, основные соотношения, принципы и теоремы теории упругости, постановка и методы решения задач теории упругости, плоская задача теории упругости в декартовых и полярных координатах, теория изгиба и устойчивости тонких пластин (прямоугольных и круглых в плане), приближенные методы решения задач теории упругости (вариационные методы, метод сеток, метод конечных элементов), основы теории тонких упругих (безмоментных и пологих) оболочек, основы теории пластичности. Большое внимание уделено приложениям, ра-вобрано большое количество задач. В конце каждой главы приведены вопросы для самопроверки в задачи для тренировки, к части из которых даны решения. [c.2]

Биметаллические пружины деформируются при изменении температуры. Они изготавливаются из двух спаянных, сваренных или совместно прокатанных тонких металлических пластин толщиной hi и Лз. К материалу этих пластин предъявляются следующие требования близкие значения модулей упругости Ei и и допускаемых напряжений на изгиб [aj и [ajj наибольшая разность между значениями коэффициентов линейного расширения 1 и 2 хорошая свариваемость. [c.353]

В третьей части учебника дается постановка задачи теории упругости и методы ее решения. Рассматривается плоская задача и изгиб тонких пластин, а также основы теории пластичности и ползучести. Такое объединение разделов механики деформируемого твердого тела позволяет более рационально использовать отведенное учебным планом время, а главное—добиться более глубокого понимания студентами внутренних связей этой науки. [c.3]

Следует также отметить, что в работах [26, 31—33, 137] развит новый подход в механике разрушения, который основывается на концепции о локальной потере устойчивости возле трещин в упругих телах. Некоторые исследования по этой проблеме получены на основе теории изгиба тонких пластин. [c.54]

МК представляют собой взаимодействующую с внешним магнитным полем контактную систему, совмещающую функции участков магнитной и электрической контактной цепей, причем одна из частей этой системы подвижна и используется для коммутации. МК заключены в стеклянные баллоны, вакуумные или газонаполненные, внутри которых находятся две или три тонкие упругие ферромагнитные пластины. Одна из пластин подвижна и под действием внешнего магнитного поля изгибается и прижимается к не- [c.223]

Задачи осесимметричного изгиба круглых и кольцевых пластин постоянной толщины, усиленных тонкими упругими коль- [c.78]

Учитывая приведенные выше аналогии и определения, построим еще одну аналогию с плоской теорией упругости и введем уравнения состояния изгиба тонких пластин [c.346]

Бигармоническая проблема возникает еще при рассмотрении задачи об изгибе пластин. Пусть имеется упругое тело в форме тонкого цилиндра толщины к. Как и в плоском напряженном состоянии, выберем оси координат таким образом, чтобы плоскость 2 = 0 была срединной. Будем считать, что в ходе деформирования прогибы пластинки оказываются малыми, что дает основание сделать следующие выводы. Нормали к срединной поверхности в ходе деформирования переходят в нормали к деформированной срединной плоскости (так называемая гипотеза прямых нормалей). Напряжения Стг считаются пренебрежимо [c.280]

Под действием внешних сил, перпендикулярных к срединной плоскости, пластина меняет свою кривизну. Это изменение кривизны происходит, как правило, одновременно в двух плоскостях, в результате чего образуется некоторая слабо изогнутая поверхность двоякой кривизны, так называемая упругая поверхность. Форма упругой поверхности характеризуется законом изменения прогибов пластины. При расчете пластин считают, что прогиб w существенно меньше толщины пластины h. Именно в этом предположении можно изгиб пластины рассматривать независимо от растяжения. Пластины, удовлетворяющие этому условию, называют иногда тонкими плитами. [c.407]

Картина распространения усталостной трещины в тонких плоских образцах при повторном растяжении существенно усложняется. В тонких образцах трещина вначале распространяется по. плоскости, нормальной к приложенному переменному растягивающему напряжению. По мере ее роста увеличивается и примыкающая пластическая зона. При критическом размере зоны, зависящем от толщины пластины, плоскость излома меняет свое направление и располагается под углом 45° к поверхности, при этом существенно возрастает скорость роста трещины. Этот тип распространения усталостной трещины можно считать скорее типом П1 антиплоской деформации (см. гл. П, раздел 11 и гл. V, раздел 4), чем плоского напряженного состояния. Он наблюдается в тех случаях, когда упругий продольный изгиб пластины вызывает боковые относительные смещения верхней и нижней частей образца, непосредственно примыкающих к трещине. Обратная пластическая деформация концентрируется в узкой полосе скольжения по плоскости, наклоненной под углом 45°. Соотношения между смещением вершины трещины п Авр численно отличаются от таковых в условиях плоского напряженного состояния или плоской деформации. [c.242]

Допуш,ения о характере деформаций. Пере.че-ш,ения, возникающие в конструкции вследствие упругих деформаций, невелики. Поэтому при составлении уравнений статики исходят из размеров недеформированной конструкции — принцип начальных размеров. Перемещения отдельных точек и сечений элементов конструкции прямо пропорциональны нагрузкам, вызвавшим эти перемещения. Конструкции (системы), обладающие указанным свойством, называют линейно деформируемыми. Необходимым условием линейной деформируемости системы является справедливость закона Гука (линейной зависимости между компонентами напряжений и дефор.маций) для ее материала. В некоторых случаях, несмотря на то, что материал конструкции при деформировании следует закону Гука, зависимость между нагрузками и перемещениями нелинейна (например, при продольно-поперечном изгибе бруса, при контактных деформациях). Линейно деформируемые системы подчиняются принципу независимости действия сил и принципу сложения (принципу суперпозиции). Согласно этим принципам, внутренние силовые факторы, напряжения, деформации и перемещения не зависят от последовательности нагружения и определяются только конечным состоянием нагрузок. Результат действия (перемещение и т. п.) группы сил равен сумме результатов действия каждой из сил в отдельности. При рассмотрении раздельного действия на конструкцию каждой из нагрузок необходимо учитывать соответствующие этой нагрузке опорные реакции. Для бруса в большинстве случаев справедлива гипотеза плоских сечений — сечения бруса, плоские и перпендикулярные к его оси до деформации, остаются плоскими и перпендикулярными к оси и после деформации. Эта гипотеза не справедлива, в частности, при кручении брусьев некруглого поперечного сечения. Для тонких пластин и оболочек принимают гипо- [c.170]

В настоящей книге излагается приближенный метод учета влияния межслоевых сдвигов на напряженное и деформированное состояния слоистых анизотропных пластин и оболочек. При выборе упрощающих гипотез для изучения тонких слоистых оболочек имелось в виду, что упругие характеристики существующих клеев и связующих заметно ниже соответствующих упругих характеристик армирующих наполнителей, и, следовательно, при изгибе слоистых оболочек возникающие межслоевые сдвиги могут существенно исказить картину деформированного состояния, описываемую широко используемыми в теории оболочек гипотезами недеформируемых нормалей, особенно когда оболочка работает в условиях нагрева. [c.4]

В связи с большим модулем упругости стали упругие элементы выполняют из тонких пластин или проволоки значительной длины (рис. 292). Материал упругих элементов работает на кручение (рис. 292, а и б) и изгиб (рис. 292, в — ж), т. е. при напряженных состояниях, обеспечивающих значительные упругие перемещения. Это обеспечивает требуемую энергоемкость муфты. [c.569]

Саврук М. п. Изгиб тонких упругих пластин, ослабленных криволинейными трещинами.— Физ.-хим. механика материалов, 1980, 16, № 4, с. 78—84. [c.312]

В первых пяти главах учебника рассматриваются общие вопросы теории упругости (теория напряжений и деформаций, основные соотношения и теоремы, постановка и лгетоды решения задач теории упругости, плоская задача в декартовых координатах, плоская задача в полярных координатах). В шестой и седьмой главах излагаются основные уравнения теории тонких пластин (гибких и жестких) и некоторые задачи изгиба и устойчивости пластин. Восьмая глава учебника посвящена рассмотрению приближенных методов решения задач прикладной теории упругости (вариационных, конечных разностей, конечных элементов). В девятой главе рассматриваются основы расчета тонких упругих оболочек, причем основное внимание уделено вопросам расчета безмоментных и пологих оболочек. В десятой главе изучаются основы теории пластичности. Здесь рассмотрена и теория расчета конструкций по предельнол1у состоянию. [c.6]

Коэффициенты при неизвестных и свободные члены канонических уравнений (1) определяются на основе теории тонких упругих оболочек [3], технической теории изгиба пластин [4], а также результатов исследования работы круглых колец прямоугольного поперечного сечения, нагруженных радиальньгми силами и скручивающими моментами [5]. [c.43]

Для компактной записи и анализа предельных свойств потенциалов, входящих в интегральные уравнения, описывающие д -формирование тонких линейно упругих пластин, целесообразн< применение локальной системы координат. Этот подход в задача изгиба пластин применялся в работах В.М. Толкачева [15] и Ю.Ь Верюжского [1]. Приведем вывод основных формул дифференцирования при использовании локальных систем координат. [c.6]

Дифференциальные уравнения изгиба пластин. Рассмотрим упругое равновесие тонкой пластины, представляющей собой тело цилиндрической формы, высота (толщина пластины) которого мала по сравнению с размерами оснований. Отнесем пластину к декартовой системе координат Oxyz, разместив оси Охи Оу ъ ее срединной плоскости (рис. 67). В классической теории изгиба тонких пластин усилия и моменты выражаются через прогиб срединной поверхности W (л , у) [c.247]

Недавно появились две работы [14, 15], описывающие применение ПМГЭ к задачам изгиба пластин, в которых рассматриваются свободно опертые пластины. В первой из них во всех деталях выписаны уравнения, необходимые для вычисления элементов матриц, входящих в уравнения, аналогичные уравнению (11.28). Наконец, в работе [16] представления ПМГЭ для задач упругого изгиба тонких пластин были распространены на случай нелинейного изгиба. [c.328]

Галеркину ) принадлежит болыпой цикл исследований по теории изгиба тонких пластин, толстых плит и теории оболочек. Для вывода уравнений теории оболочек он, по-видимому, впервые применил уравнения трехмерной теории упругости. Папко-вичем ) впервые предложено решение задач теории упругости в перемещениях в форме гармонических функций, а также исследованы общие теоремы устойчивости упругих систем, решен большой цикл задач об изгибе пластин при различных граничных условиях. [c.13]

При разработке основ выбора геометрических элементов орнамента авторами принято, что размеры геометрических элементов поверхности существенно малы по сравнению с конструктивными размерами детали. Известно, что общая деформация литых деталей включает упругую и остаточную деформацию. Упругая деформация обусловлена перемещением и искажением (депланацией) сечения элемента в процессе обработки детали. При прочих равных условиях с увеличением толщины и площади сечения стенки доля упругой деформации, в том числе депланацин, уменьшается. Поэтому в толстостенных литых деталях этот вид деформации практически не учитывается. Однако при уменьшении толщины и площади сечения стенки и увеличении количества сочленений различных геометрических элементов доля упругой деформации, в особенности депланации, резко возрастает. Метод литья в отличие от других методов получения заготовок имеет значительное преимущество— возможность варьировать процессом кристаллизации и получать на поверхности рациональные геометрические элементы, создавая наиболее благоприятное сочетание свойств материалов и геометрических особенностей отливок. При уменьшении поперечного сечения бруса или пластины уменьшается его статический момент, а с ним и жесткость конструкции при изгибе и кручении. Поэтому геометрические элементы в виде тонких стержней с гладкой поверхностью рационально применять для литых деталей, работающих в условиях растягивающих и сжимающих напряжений. Геометрический элемент в виде тонкостенного бруса открытого профиля, обладающего малой жесткостью при кручеиии, целесообразно применять для литых деталей, воспринимающих нагружение изгибом, растяжением и сжатием. Геометрические элементы могут иметь и более сложную конфигурацию, обусловливающую анизотропию свойств в различных направлениях. [c.19]

Элементами этих конструкций являются относительно тонкие пластины, работаюшце в условиях изгиба и плоской задачи теории упругости. Метод расчета напряженно-деформированного состояния цилиндрических складчатых систем разработал В.З. Власов [63]. Здесь был применен вариационный метод для понижения мерности дифференциальных уравнений изгиба и плоской задачи, что позволило успешно решить проблемы расчета систем подобного типа. К недостаткам метода В.З. Власова следует отнести сложную логику формирования разрешаюшей системы уравнений, необходимость решать дифференциальные уравнения для каждого элемента конструкции, ограничения на торцевые условия опирания элементов складчатых систем (они должны быть одинаковыми), относительную трудность реализации алгоритма на ЭВМ. [c.479]

Книга oj toht из семи глав. В главе 1 разобраны общие принципы механики деформируемых твердых тел. Глава 2 отведена классической теории изгиба стержней. В главе 3 содержится усовершенствованная теория изгиба упругих стержней. Глава 4 включает в себя классическую теорию упругих тонких пластин (малые прогибы, колебания, устойчивость, конечные прогибы). В главе 5 дается теория больших прогибов тонких пластин и теория малых прогибов толстых пластин. В главе 6 представлены соотношения классической теории оболочек (уточненные и упрощенные варианты теории). В заключительной главе рассматривается круговая цилиндрическая оболочка (малые колебания и линеаризированная устойчивость). [c.6]

Однако предполагается, что относительные перемещения до- jaT04H0 малй, чтобы можно было пренебречь влиянием изменения геометрии, обусловленным ими, тг е. изменением формы тела и геометрическими соотношениями между нагрузками. Как говорилось в 1.4, в теориях балок,-пластин и оболочек, вероятно, важны только те изменения геометрии, которые обусловлены изгибом в слабом поперечном направлении,,и те, по-видимому, важны толькд для длинных балок и тонких пластин и ебодочек, для которых соответствующая аппроксимация Бернулли является настолько великолепной аппроксимацией, что более точньш методы теории упругости не требуются. Такие конечные деформации приводят к нелинейным уравнениям и рассматриваются в 2.6, и 5.1 и более полно — в главах 6 и 7. [c.110]

Сравнивая между собой выражения (4.6). и (4.2), видим, что уточненные выражения для деформаций содержат, как и ожидалось, ряд дополнительных членов второй степени, а также члены еще более высокой степени, которые содержали множитель zh и были опущены. Важно представлять себе относительный вклад этих различающихся между собой членов в практические задачи. Ограничимся случаями, когда как деформации, так и углы наклонов поверхности прогибов dw/dx и дю/ду малы по сравнению с единицей. Деформации должны быть малыми при упругом деформировании жесткого материала и, как правило, малы в тонких пластинах и оболочках даже при появлении пластического течения или в случае, резиноподобного материала, поскольку деформации, включающие в себя сжатие в произвольном направлении, ограничены возможностью потери устойчивости большие деформации могут возникнуть только случаях, подобных раздуванию резиновых мембран, где главные мембранные напряжения являются растягивающими. А большие углы наклонов, как уже обсуждалось в 3.2, могут, возникнуть только в случае очень тонких пластин, которые изгибаются в развертывающуюся поверхность, или пластин,- изготовленных из резиноподобного материала или пластически деформированных, как, например, при операциях прокатки для пластин, применяемых в различных конструкциях, допустимые деформации и углы наклонов поверхности прогибов, обычно очень малы по сравнению [c.218]

Формулы (7.2) —(7.5) можно взять за основу при выводе жесткостных характеристик конечных элементов, оеуществт ляя при этом независимую аппроксимацию функций Uz, Х и 9у по их узловым значениям. Как следует из (7.1), совместность перемещений обеспечивается, если каждая из этих функций непрерывна на границах между элементами. Так же как и в случае плоской задачи теории упругости, выполнить это условие можно, например, с помощью изопараметрической формулировки конечных элементов. Следовательно, здесь открываются широкие возможности для введения конечных элементов произвольной формы, в том числе криволинейных. Но применение подобных элементов к расчету тонких пластин до последнего времени было ограниченным из-за чрезмерной жесткости элементов, которая обусловлена ложными деформациями поперечного сдвига и появляющимися при чистом изгибе пластины. В работе [38] показано, что и в случае изгиба пластин эффективным средством борьбы с ложными деформациями поперечного сдвига является использование минимально допустимого порядка интегрирования соответствующих членов при вычислении матрицы жесткости элемента. Несколько конечных элементов, полученных таким способом, представлено в следующем параграфе. Они могут успешно использоваться при расчете как тонких, так и сравнительно толстых пластин. [c.230]

В табл. 1 (см. приложение IV) перечислены наиболее интересные кристаллы, отобранные с учетом приведенных критериев. Для каждого кристалла указаны наиболее распространенное название, сокращенное обозначение, химическая формула, рекомендуемые отражения кЫ) и их удвоенное межплоскостное расстояние 2(1. Там, где это возможно, отмечены механические свойства и стабильность кристалла, а также его доступность (в основном поданным работ [10, 14]). У ряда кристаллов наличие единственного большого периода решетки сочетается со слабыми межмолекулярными силами связи в этом направлении, что облегчает изготовление и практическое применение таких кристаллов. Так, кристаллы слюды и бифталатов обладают совершенной спайностью по рабочим отражающим плоскостям, что позволяет получать путем раскалывания пластины больших размеров с ненарушенной поверхностью толщиной до 0,2—0,3 мм и даже до 0,05 мм. Тонкие пластины могут быть упруго изогнуты на относительно крутые радиусы, обеспечивая большую светосилу фокусирующей рентгеновской оптики. Для стабильной работы кристаллов рекомендуется их упругий изгиб с соотношением радиуса к толщине кристалла не менее 10 . [c.309]

Для расчетов процессов импульсной штамповки листовых заготовок в закрытые матрицы рассмотрим простую модель контактного взаимодействия деформируемой пластины с жесткой преградой. Описанная в 3.2 конечно-разностная модель динамики балки или цилиндрического изгиба пластин представляет собой дискретную систему связанных материальных точек (узлов). Если полагать, что время контактного взаимодействия каждой отдельной узловой массы Шг меньше, чем расчетный интервал шага по времени At для явной схемы расчета, то моделирование контактного взаимодействия можно представить как мгновенное изменение скорости узловой массы в интервале At. При этом ее можно считать свободной и корректировать нормальную составляющую скорости к преграде по направлению и величине в соответствии с заданным коэффициентом восстановления. Это соответствует использованию теории стереомеханического удара [48] для системы материальных точек, реакция внутренних связей между которыми возникает ва время, большее, чем время формирования ударного импульса в отдельной узловой точке-массе. Данное предположение приближенно выполняется для достаточно тонких пластин и их дискретного представления, когда длина звеньев As суш,ественно больше удвоенной толщины. Тогда время единичного контактного взаимодействия оценивается двойным пробегом волны сжатия и растяжения по толщине пластины, а время формирования внутренних сил при взаимодействии соседних узловых точек в процессе деформирования определяется временем пробега упругой волны по длине звена As. [c.66]

Если при выводе уточненных уравнений деформирования тонких пластин произвести усреднения перемещений по толщине, то полученные [64] уравнения, в отличие от (1)-(3), будут учитывать лишь продольные деформации растяжения-сжатия и изгиба. Эти уравнения в сочетании с приведенными выше (1)-(3) содержат в себе как частный случай уравнения всех классических теорий деформирования тонкостенных упругих элементов — Кирхгофа-Лява, Рейсснера-Тимошенко, накладки Мелана, основания Фусса-Винклера. Для получения последних достаточно пренебречь в правых частях выведенных уравнений членами соответствующего порядка по /г. [c.461]

Тонкая пластина — это тело, у которого одно измерение, толщина, имеет характерный размер h, много меньший продольных размеров пластины с характерной длиной L. Это, таким образом, выделяет ось координат, направленную перпендикулярно пластине наиболее важную роль при деформировании тонких пластин играет такая деформация, как изгиб. Тот факт, что h L, материализуется в определенной форме распространения поля упругого перемегцения. Чтобы получить уравнения механики пластин, нужно проинтегрировать уравнения (6.14.1) и (6.4.3) по толщине пластины с учетом определенного распределения упругих перемещений (см. ниже). Другой способ получения таких уравнений состоит в непосредственном применении принципа виртуальной работы в интегральной форме из 6.3 и задании поля виртуальных скоростей, характеризующих кинематику тонкой пластины- Такой подход развивается в работе [Maugin, Goudjo, 1982]. Здесь же мы предпочтем инженерный подход в духе сопротивления материалов. [c.416]

Необходимо отметить и такие важные книги, сыгравшие значительную роль в развитии теории пластии и оболочек, как монографии И. Г. Бубнова Строительная механика корабля (1914), Б. Г. Галеркина Упругие тонкие плиты (1933), Ю. А. Шиманского Изгиб пластин (1934), П. Ф. Папковича Строительная механика корабля , ч. II (1941), С. П. Тимошенко Пластинки и оболочки (1943), пер. с англ., изд. 1948. [c.245]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...