Эйлера скорости деформаций

Определить закон движения, поля скоростей перемещений и ускорений по Эйлеру и Лагранжу, уравнения линий тока и траекторий, скорости деформаций и вектор вихря (рис. 25). [c.99]

Эйлера, 23 относительного спина, 31 первого ранга, 14 ротации, 30 линейный, 39 симметричный, 17 скорости деформаций, 29 с исключенным поворотом, 31 шаровой, 17 теорема [c.261]

Тензор скоростей деформаций. В дальнейшем используется в основном эйлеров способ описания движения, т. е. принимается, что характеристики частицы материала определяются ее положением в пространстве и моментом времени. Обозначим проекции скорости частицы на оси декартовой системы координат через и,-. Эти величины (в дальнейшем они иногда называются просто скорости) являются функциями координат той точки пространства, где находится рассматриваемая частица, и времени Xj, Xj, t). [c.8]

Такой подход основан на фундаментальной гипотезе, заключающейся в том, что к напряжениям давления, которые рассматривал Эйлер, нужно добавить вязкие напряжения, линейно зависящие от скоростей деформаций. Ниже приводится краткое резюме применяемых при этом аргументов. [c.47]

Тензоры (т), связанные[7] с тензором скорости деформации по Эйлеру определяются согласно (1.2,26) [c.42]

Приведенная выше математическая формулировка задачи соответствует подходу Уилкинса [196], при котором изучается движение элементарных объемов тела относительно эйлеровых координат. Это позволяет пренебрегать конвективными составляющими ускорения, а тензоры скоростей деформаций и напряжений считать зависящими от переменных Эйлера. Такое определение исходных соотношений удобно при численном интегрировании динамических задач, когда в процессе решения можно прослеживать положение движущегося тела относительно неподвижной сетки и на каждом шаге по времени выражать координаты Лагранжа через эйлеровы. [c.164]

Предложенный метод заслуживает внимания, так как он близок к известным представлениям классической аналитической механики. Однако более отчетливое представление о протекающих в сплошной среде динамических процессах можно получить, применяя переменные Эйлера. При этом, в частности, выявляются волны напряжений, деформаций, скоростей деформаций в сплощной среде. [c.59]

Если использовать "скорость деформации Уд и эйлеров тензор напряжений и если О (Уу ,) обозначает диссипативную функцию, приходящуюся на единицу массы, то принцип наименьшей необратимой силы приводит к соотношению (5.44), т. е. [c.97]

В механике жидкости рассматривается две стороны процесса движения свойства силового поля в форме напряжений или давлений, и свойства поля перемещений в форме скоростей деформаций и др. Системы уравнений Навье-Стокса и Эйлера предназначены для расчета параметров двух частных случаев силового поля, возникающего в ньютоновской и идеальной жидкости. [c.29]

Материальные производные по времени от у , т. е. производные по времени при постоянных аи можно выразить через эйлеров тензор скоростей деформации. Из уравнения (1.2) следует соотношение [c.13]

Всюду в дальнейшем предполагается, что если среди кинематических параметров задачи присутствуют деформации, то они являются малыми в той мере, как это принято в классической теории упругости. Если же в математической постановке задачи фигурируют только скорости деформаций, то сами деформации могут быть какими угодно при этом координатной системе, в которой формулируется задача, надо приписывать не лагранжев, как в первом случае, а эйлеров смысл. [c.48]

Деформация на дне прямоугольной ячейки определяется интенсивностью наложенного циркуляционного движения с постоянной завихренностью. Исходя из предположения о стационарности поля скоро стей и независимости его от продольной координаты, скорости и и., рассчитывались решением системы уравнений Эйлера при обычных условиях непротекания на границах прямоугольной ячейки продольная скорость определялась из уравнения Навье-Стокса. Решение содер жит два эмпирических, определяемых параметра - отношение размеров ячейки и завихренность. [c.27]

Рассмотрим деформацию частицы в условиях плоской деформации при пересечении линии разрыва скоростей перемещений (рис. 1), которая распространяется в нормальной скоростью = Gl>i. Движение среды будем описывать в форме Эйлера. Введем обозначения [c.763]

В предыдущих главах мы пользовались эйлеровым методом описания движений жидкости. При использовании этого метода течение несжимаемой жидкости в момент I характеризуется полем скорости и(Х, 1)у т. е. значениями вектора скорости во всевозможных точках = Хи Х2, Хг) пространства (в настоящем разделе по причинам, которые будут ясны из дальнейшего, нам будет удобно обозначать координаты А /, а не л /, как в предыдущих главах). Уравнения гидродинамики (из которых давление можно исключить с помощью уравнения (1.9)) при этом в принципе позволяют определить значения переменных Эйлера и(Х, t) в любой момент времени > /о по заданным начальным значениям и(Х, о) = ио(Х). Однако для изучения таких явлений, как турбулентная диффузия (т. е. распространение примесей в поле турбулентности) или деформация материальных поверхностей и линий (состоящих из фиксированных элементов жидкости) в тур-булентном течении, более удобным оказывается лагранжев метод описания движений жидкости. Он заключается в том, что вместо скоростей жидкости в фиксированных точках X пространства за основу берется движение фиксированных жидких частиц , прослеживаемое, начиная от некоторого начального момента времени / = to. Под жидкими частицами при этом понимаются объемы жидкости, размеры которых очень велики по сравнению со средним расстоянием между молекулами (так что для соответствующих объемов имеет смысл говорить об их скорости, оставаясь в рамках механики сплошной среды), но все же настолько малы, что скорость и давление внутри частицы можно считать практически постоянными и в течение рассматриваемых промежутков времени эти частицы можно считать перемещающимися как одно целое (т. е. без заметной деформации). Лагранжев метод самым непосредственным образом связан с реальными движениями отдельных элементов жидкости, совокупность которых и составляет течение поэтому его можно считать физически более естественным, чем эйлеров метод описания. В то же время в аналитическом отношении использование переменных Лагранжа, относящихся к индивидуальным частицам жидкости, оказывается гораздо более громоздким, чем использование переменных Эйлера и(Х, t), вслед- [c.483]

Величина ри би — скаляр. Чтобы выяснить физический смысл этого абсолютного скаляра, перейдем к контравариантным компонентам вектора скорости в эйлеровых переменных, так как в лагранжевых переменных метрический тензор зависит от компонент тензора деформаций и подлежит варьированию. При переходе к новым переменным скаляр не изменится. Обозначив контравариантные компоненты вектора скорости в переменных Эйлера найдем [c.29]

С целью улучшить сходимость ряда естественно сделать следующий шаг — принять в качестве интервала разложения только область существенных деформаций. При этом ряд будет сходиться значительно быстрее, а приближение функции с помощью ряда можно построить таким образом, чтобы увеличение числа удерживаемых членов сопровождалось расширением интервала разложения. Таким способом можно описать не только волну, распространяющуюся с конечной скоростью, но и решение параболического уравнения, определяющего мгновенное распространение возмущений. Например, применительно к действию единичной поперечной силы на бесконечный стержень из уравнения Бернулли—Эйлера [c.102]

Наряду с уравнением (37.17) при рассмотрении переходных процессов динамики стержней можно пользоваться и уравнением Бернулли—Эйлера (40.24), что дает близкие к решению (37.17) результаты [120], начиная с / 10. То обстоятельство, что скорости распространения разрывов здесь бесконечны, не оказывает существенного количественного влияния на деформацию нейтральной оси и на картину распространения энергии вдоль стержня. Преимуществом [c.248]

В главе I дается краткое изложение кинематики точки, основ кинематики сплошной деформируемой среды и абсолютно твердого тела. Абсолютно твердое тело рассматривается как сплошная недеформируемая среда. Выводится формула Коши — Гельмгольца, выражающая закон распределения скоростей точек элемента объема сплошной среды. Показывается, что при отсутствии деформаций можно совершить переход от элемента объема к конечному объему и, соответственно, от формулы Коши — Гельмгольца к основной формуле кинематики абсолютно твердого тела —формуле Эйлера, В 8 главы I дается, кроме того, прямой вывод формулы Эйлера ). [c.6]

При исследовании больших деформаций среды используются два подхода — Эйлера и Лагранжа. Определяющее уравнение теории пластичности содержит тензоры напряжений и приращений деформаций и описывает жесткоидеальнопластическое поведение тела. Если необходимо учесть влияние упругости, это уравнение предполагают применимым к пластической области скоростей деформации, к которой для вычисления общей скорости деформации добавляют упругую область. Скорость упругой деформации рассматривают как функцию скорости изменения напряжений. [c.153]

За время dt он также становится косоугольным, но искажения являются бесконечно малыми и потсшу они сравнительно просто выражаются через вектор скорости v x, /) основными кинематическими объектами становятся так называемые тензоры скорости деформации и скорости относительного перемещения. Отсюда попятно, что все кинематические соотношения метода Эйлера формально получаются из соответствующих соотношений метода Лагранжа, если интервал времени t—io стремить к нулю. [c.61]

УГОЛ естественною откоса — угол трения для случая сьшучей среды зрения — угол, под которым в центре глаза сходятся лучи от крайних точек предмета или его изображения краевой — угол между поверхностью тела и касательной плоскостью к искривленной поверхности жидкости в точке ее контакта с телом Маха — угол между образующей конуса Маха и его осью падения (отражения или преломления)— угол между направлением распространения падающей (отраженной или преломленной) волны и перпендикуляром к поверхности раздела двух сред, на (от) которую (ой) падает (отражается) или преломляется волна предельный полного внутреннего отражения — угол падения, при котором угол преломления становится равным 90 прецессии — угол Эйлера между осью А неподвижной системы координат и осью нутации, являющейся линией пересечения плоскостей xOj и x Of (неподвижной и подвижной) систем координат сдвига—мера деформации скольжения — угол между нада ющнм рентгеновским лучом и сетчатой плоскостью кристалла телесный — часть пространства, ограниченная замкнутой кони ческой поверхностью, а мерой его служит отношение нлоща ди, вырезаемой конической поверхностью на сфере произволь ного радиуса с центром в вершине конической поверхности к квадрату радиуса этой сферы трения—угол, ташенс которого равен коэффициенту трения скольжения) УДАР [—совокупность явлений, возникающих при столкновении движущихся твердых тел с резким изменением их скоростей движения, а также при некоторых видах взаимодействия твердого тела с жидкостью или газом абсолютно центральный <неупругий прямой возникает, если после удара тела движутся как одно целое, т. е. с одной и той же скоростью упругий косой и прямой возникают, если после удара тела движутся с неизменной суммарной кинетической энергией) ] [c.288]

Установившееся и неустановившвеся движение. Если поле скоростей, заданное по Эйлеру v = х -, х , j , t), не меняется с течением времени, т. е. является стационарным = w (х, ж, лс ), движение называется установившимся. В общем же случае движение является неустановившимся. Установившееся движение легче изучать с точки зрения Эйлера, так как при этом число независимых переменных уменьшается на единицу (время t выпадает). Например, установившимся является движение металла в очаге деформации при прокатке (рис. 4) с постоянной скоростью вращения валков, когда длины переднего и заднего концов полосы намного больше длины очага деформации. При прокатке переднего и заднего концов полосы движение металла является неустановившимся. [c.53]

Таким образом, применение подхода Эйлера при исследовании конечных деформаций связано с фиксированной системой координат Ха (а=1, 2, 3) и необходимостью определения скорости изменения напряжений по Яуманну (4.55). [c.155]

Попутно не вредно обсудить вопрос о так называемых константах материала, термине, широко употребляемом в механике сплошной среды. Константы или постоянные материала действительно существуют, пока материал рассматривается на уровне кристаллической решетки. Чем больше по масштабной шкале (укрупняя объем) мы уходим от параметров решетки, тем менее константы остаются таковыми. Для уяснения степени постоянства укажем на введенное Я.Б. Фридманом деление механических свойств на докритические, критические и закритические [261]. Все они в равной мере относятся к трем, последовательно возникающим и параллельно идущим вплоть до полного разрушения, видам деформации — упругой, пластической и разрушения. Докритические определяются по допуску на величину данного вида деформации или на появление нового, и это на стадии возрастающей несущей способности. Папример, условный предел текучести определяется по допуску на величину появившегося на фоне упругой деформации, нового вида деформации — пластической. Докритические характеристики можно считать постоянными материала. Па стадии упругой деформации модули упругости и коэффициент Пуассона — докритические характеристики и, следовательно, постоянные материала. По, например, критическое напряжение Эйлера сжатого упругого стержня есть механическая характеристика, отражающая свойства упругости в момент потери устойчивости и, как и положено критической характеристике, зависит не только от докрити-ческих характеристик, но и от формы и размеров стержня и условий закрепления. Аналогично предел прочности (временное сопротивление) является критической характеристикой, поскольку шейкообразо-вание представляет собой смену форм равновесия и сопровождается прекращением роста несущей способности. Естественно, что предел прочности должен зависеть и зависит от размеров, формы образца и схемы приложения нагрузки. По привычка считать предел прочности постоянной материала (естественно, имеется в виду неизменность условий нагружения, скорости, температуры, среды и т.п.) есть результат стандартизации метода его определения. Изменив габариты, форму сечения, взяв, наконец, вообще реальную конструкционную деталь, получим сильно различающиеся значения пределов прочности, что и должно быть для критической характеристики. Поэтому неудивительно, что при разрушении реальной детали напряжение в [c.14]

В предыдущей главе при выводе уравнения неразрывности движения (в 1) мы имели примеры применения как одного метода, так и другого. Первоначально мы выделили некоторый жидкий объем V, т. е. объем, состоящий во все время движения из одних и тех же частиц жидкости, и исследовали его деформацию с течением времени. Это был ход идей, соответствующий методу Ла-rpaHHia. Затем тот же вопрос был рассмотрен с иной точки зрения. Мы представили себе, что замкнутая поверхность S, ограничивающая объем V, остается неподвижной, а жидкость течет через нее. При этом разные частицы проходили через одно и то же место в пространстве, ограниченное поверхностью S. Это был ход идей, соответствующий методу Эйлера. Физическое истолкование результата получилось, как мы знаем, разное (скорость удельной объемной деформации с одной точки зрения и удельный расход жидкости—с другой). Таким образом, оба метода не исключают, а дополняют друг друга. [c.116]

Изучается качение жёсткого колеса по деформируемому упругому рельсу, лежащему на вязкоупругом основании. Ранее [20, 115] при составлении модели системы использовалась приближённая теория Бернулли-Эйлера. Здесь применяется уточнённая теория изгиба стержней (С. П. Тимошенко). С помощью принципа Гамильтона-Остроградского составлены уравнения движения. Показано, что связи, описывающие условия контакта, создают реакции в виде силы и пары. Дана оценка величины псевдоскольжения, обусловленного поперечными (в отличие от классического крипа) деформациями. Найдены две характерные скорости стационарного качения колеса, разделяющие области качественно различного движения рельса. [c.146]

В предыдущих выводах мы следовали общему ходу рассуждений, аналогичному тому, который принят при выводе двух систем уравнений гидр од ина-мики ). Система Эйлера описывает то, что происходит в определенной геометрической точке, фиксированной в пространстве, во время движения жидкости. Такой системе соответствует способ, которым определялся истинный сдвиг первого рода, поскольку это касалось измерения деформации сдвига. Вторая система, система Лаграно са, более удобна для определения действительных траекторий частиц жидкости, скоростей частиц вдоль их траектории р данные люменты времени п т. п. Этой системе соответствует использование условного сдвига 7, который определяет изменение угла меок ду двумя первоначально перпендикулярными материальными линиями или сечениями в теле. [c.164]

С точки зрения оценки практического значения уравнения продольных колебаний и уравнений С. П. Тимошенко эта утрата, однако, не очень существенна. Как будет видно из дальнейшего, в задачах о распространении деформаций в пластинах и стержнях интерес представляют не столько истинные фронты, сколько квазифронты, на которых напряжения хотя и не терпят разрыв, но имеют существенно большие градиенты. Энергия волнового пакета, непосредственно следующего за истинным фронтом, на достаточно большом расстоянии от источника возмущения х > 1) относительно мала. Подавляющая же часть энергии следует за квазифронтом. Это в значительной мере снижает интерес к описанию картины движения в окрестности фронта и заставляет проявлять внимание к области, где сосредоточена большая часть энергии движения. Последнее необходимо иметь в виду при оценке возможностей приближенных уравнений динамики пластин и стержней. Более того, заботясь преимущественно о правильной оценке распространения энергии, нельзя безоговорочно отвергнуть даже уравнение Бернулли—Эйлера (35.17) как аппарат для изучения распространения изгибных деформаций вдоль стержней лишь на том основании, что в нем принимается ах = аз = О, т. е. скорости распространения фронтов считаются бесконечно большими. В следующих параграфах приводятся примеры, иллюстрирующие высказанные выше положения и проливающие свет на степень точности и на области применимости различных приближенных вариантов уравнений динамики стержней и пластин. Попутно приводятся и некоторые количественные данные относительно распространения самоуравновешенных возмущений. [c.233]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...