Эйлера деформация

Эйлера формула 267 Эксцентриситет 247 Энергия деформации потенциальная 65 [c.360]

С другой стороны, это уже не расчет на устойчивость по Эйлеру, поскольку в материале стержня возникают пластические деформации. Вернемся к выражению критической силы (14.17) [c.429]

Полученные формулы справедливы только в пределах действия закона Гука, т. е. для сравнительно тонких и длинных стержней, у которых напряжение сжатия при критических нагрузках оказывается меньше предела пропорциональности. Для коротких и жестких стержней критическая сила будет большей, и в них возникают пластические деформации еще В стадии простого сжатия, т. е. до потери устойчивости. Формула Эйлера (13.4) становится неприменимой, когда а,,р достигает [c.148]

С другой стороны, если деформация или течение тела задается уравнением вида (1.125), то независимыми переменными являются координаты Xi и время t. Такой способ описания деформации и течения называется эйлеровым. Это описание позволяет проследить обратную картину развития деформации от конечного состояния Xi к начальному xj при U-В методе Эйлера материальная частица для деформированного состояния в момент времени t может быть выбрана также в форме прямоугольного параллелепипеда. Рассматривается бесконечно малое за время [c.31]

Таким образом, удлинения Л,- или относительные удлинения Ец выражаются в конечном счете через компоненты efy тензора деформаций Лагранжа либо через компоненты тензора деформаций Эйлера. [c.66]

Лагранжев и эйлеров тензоры деформаций являются симметричными декартовыми тензорами второго ранга и поэтому для них можно в каждой точке тела найти три главных направления (главные оси) и три главных значения. С физической точки зрения материальная частица, у которой направления ребер (мы условились, что материальная частица имеет форму параллелепипеда) совпадают с главными направлениями деформации, не меняет своей ориентации. Так как направляющие косинусы осей х,- и X,- удовлетворяют условиям [c.67]

Лагранжев и эйлеров тензоры деформаций можно разложить на шаровые тензоры и девиаторы [c.69]

Уравнение (3.35) для определения главных значений Э тензора конечных деформаций Лагранжа либо Эйлера имеет вид [c.69]

Таким образом, лагранжев либо эйлеров тензор деформаций е// определяется заданием трех главных удлинений е и трех направлений главных осей тензора. Вместо трех инвариантов е можно задать три других инварианта ео, Э, г() (либо це). [c.71]

Следовательно, направляющий тензор деформации определяется заданием четырех величин —трех углов Эйлера, определяющих направление главных осей тензора, и угла вида деформированного состояния (фазы) if. [c.72]

При изучении течения сплошного тела в переменных Эйлера часто используют тензор бесконечно малых деформаций за время d . В этом случае бесконечно малый вектор перемещения [c.73]

Для стержней и пластин (рис. 15.1, 15.2) после бифуркации при нагрузке р наблюдается неединственность решения задачи и резкое возрастание прогибов, которое, как правило, приводит либо к разрушению, либо к недопустимо большим деформациям. Такое поведение стержней и пластин предопределило успех бифуркационной теории Эйлера. У оболочек (рис. 15.3) после бифуркации при нагрузке р наблюдается резкое падение сжимающей нагрузки при одновременном росте перемещений. Оболочки весьма чувствительны к начальным несовершенствам формы и поэтому при анализе их поведения основное значение имеет максимальная нагрузка Рт, которую она выдерживает перед наступлением катастрофического выпучивания. Для определения же максимальной нагрузки необходимо решать нелинейную задачу о выпучивании оболочки с учетом начальных прогибов fo (рис. 15.3) либо других начальных несовершенств. [c.321]

Все вычисления мы провели здесь в переменных Эйлера, полагая соответственно этому, что метрика пространства не изменяется при деформации. [c.503]

Эти приближенные равенства показывают, что при малых деформациях исчезает различие между переменными Эйлера и Лагранжа. [c.513]

При изучении движений сплошной среды в переменных Эйлера используется тензор бесконечно малых деформаций среды за время di, когда вводится вектор относительных перемещений точки и за время At, равный [c.9]

Формула Эйлера справедлива лишь при условии, что потеря устойчивости происходит в стадии упругих деформаций стержня, т. е. в пределах действия закона Гука. [c.314]

Принцип Кастильяно в интегральной форме выражает условия совместности деформаций тела. Если функционал Кастильяно выразить только через напряжения (о), то отвечающие ему уравнения Эйлера дадут для постоянных объемных сил уже знакомые нам уравнения Бельтрами (2.42) — условия совместности деформаций, выраженные через напряжения. [c.64]

Формула Эйлера справедлива, если стержень теряет устойчивость в стадии упругих деформаций, т. е. при а р = Рцц/Р < Оцц. В данном случае [c.258]

Если тело линейно-упругое, то согласно (4.6) величины — линейны и однородны относительно компонентов тензора деформаций ekr. Поэтому А будет однородным многочленом второй степени относительно ekr- Следовательно, по теореме Эйлера об однородных [c.64]

Критическая сила — сила, при которой прямолинейная форма перестает быть устойчивой формой равновесия сжатого стержня. В пределах упругих деформаций она определяется по формуле Эйлера [c.179]

Деформация на дне прямоугольной ячейки определяется интенсивностью наложенного циркуляционного движения с постоянной завихренностью. Исходя из предположения о стационарности поля скоро стей и независимости его от продольной координаты, скорости и и., рассчитывались решением системы уравнений Эйлера при обычных условиях непротекания на границах прямоугольной ячейки продольная скорость определялась из уравнения Навье-Стокса. Решение содер жит два эмпирических, определяемых параметра - отношение размеров ячейки и завихренность. [c.27]

Поскольку упругий потенциал VI (eij) для линейно-упругого тела является однородной функцией второго порядка относительно компонент Eij тензора деформации, то на основании теоремы Эйлеру [c.66]

Полученная оценка, конечно, несправедлива вблизи мест приложения сосредоточенных нагрузок (понятие сосредоточенной нагрузки или силы должно определяться так, как это было разъяснено в 1.5). Но техническая теория балок Бернулли — Эйлера здесь перестает быть применимой. Исключая из рассмотрения эти особые случаи, мы будем считать, что напряжение и деформация связаны между собою обычным законом Гука [c.80]

Сопоставляя формулы (3.9) и (3.14), заключаем, что частные производные функции 1Г по составляющим деформации представляют собой однородные линейные функции составляющих деформации е , е , Уу , следовательно, сама функция W является однородной функцией второй степени этих составляющих. Вид функции Ш можно получить с помощью теоремы Эйлера об однородных функциях, которая утверждает, что если Г(х, у, г,. ..) есть однородная функция п-й степени, то дР [c.39]

Если о р оказывается больше а ц, то формула Эйлера уже теряет силу и процесс потери устойчивости происходит с развитием пластических деформаций. Теоретически этот вопрос рассмотрен в 15.7. В практике расчетов на устойчивость за пределом пропорциональности используется полученная Ясинским на основе обработки большого числа экспериментальных данных эмпирическая зависимость [c.352]

Считаем пренебрежимо малыми в сравнении с единицей значения относительной деформации волокон и четвертую степень угла поворота касательной к оси стержня относительно оси, перпендикулярной плоскости изгиба, т. е. (du/ds) <1. Ранее считали, что (du/di) <<1, и этого оказалось достаточно лишь для получения формулы Эйлера и для того, чтобы установить наличие отличных от прямолинейной форм равновесия, тогда как амплитуда отклонения осталась неопределенной. В принятых предположениях для х получим приближенное выражение с учетом следующего упрощения [c.356]

При средних значениях гибкости (40 <Х < 100 — для стержня из стали СтЗ) наблюдается потеря устойчивости стержня, сопровождаемая упругопластическими деформациями. Для этого случая нагружения формула Эйлера несправедлива, и критические напряжения вычисляют по эмпирической формуле Ясинского [c.238]

Гипотезы 1—3 являются непосредственным обобщением гипотез Бернулли — Эйлера, используемых в теории изгиба балок. Они устанавливают отсутствие деформаций сдвига по толщине пластины и линейной деформации в направлении, перпендикулярном срединной плоскости. [c.176]

Используя соотношения (3.19), (7.11) и (7.12), докажите, что в теории конечных деформаций балки, основанной на гипотезе Бернулли—Эйлера, деформация gjtx имеет вид [c.210]

Это означает, что стержень работает в пределах упругих деформаций и здесь критическое состояние определяется по Эйлеру. Геиерь выражениями (14.22) и (14.28) охватывается вся область реально встречающихся значений гибкости А, начиная от нуля. [c.433]

Из физических соображений ясно, что в этом случае добавление и отбрасывагте векторного нуля правомерно. В самом деле, две силы, ириложенные к твердому телу и образующие векторный нуль, лишь растягивают либо сжимают тело. Они могли бы вызвать деформацию тела (если бы не предполагалось, что оно абсолютно твердо), но заведомо не влияют на его движение. Действительно, с одной стороны, движение центра инерции тела зависит лишь от главного вектора внешних сил, а с другой стороны, в уравнения Эйлера, описывающие движение тела относительно центра инерции, входят главные моменты всех внешних сил. Добавление или отбрасывание двух сил, образующих векторный нуль, не меняет ни главного вектора, ни главного момента системы сил и, следовательно, не отражается на движении тела. Поэтому множество векторов, изображающих любую совокупность сил, приложенных к твердому телу, является системой скользящих векторов, и теоремы, установленные в предыдущем параграфе, могут быть применены к системе сил, приложенных к твердому телу. [c.360]

Переход тела недёформированного в конечное деформированное состояние (рис. 1.8) можно представить себе сначала как поступательное перемещение, характеризуемое вектором 5, поворот как жесткого целого, характеризуемый вектором вращения м, и деформация тела в пространственной системе координат Х[. Положение пространственных координат Xi относительно x i можно определить тремя углами Эйлера углом прецессии il)= [c.29]

Рассмотрим сжатые оболочки или пластины, находящиеся в плоском безмоментном напряженном состоянии. Для исследования возможной бифуркации состояния равновесия или квазистатиче-ского процесса нагружения воспользуемся методом Эйлера. Приложим статически к оболочке или пластине малую поперечную возмущающую распределенную нагрузку интенсивностью tq, которую затем статически же снимем. Допустим, что оболочка либо пластина не вернулась в исходное состояние, а перешла в смежное сколь угодно близкое моментное состояние и на ее поверхности появились локальные выпучины. Каждую такую выпучину с достаточной для практики степенью точности можно рассматривать как пологую оболочку и воспользоваться изложенной в 10.11 теорией упругих пологих оболочек. При переходе оболочки в смежное состояние точки срединной поверхности получат дополнительную деформацию бе,7, прогиб —6mi = y, а усилия и моменты — приращения 6Nij, bMij. На основании уравнений (10.111), (10.126) получим [c.324]

Приведем еще полезную форму выражения для свободной энергии деформированного тела, получающуюся непосредственно из квадрэтичности F по тензору деформации. Согласно теореме Эйлера имеем [c.24]

Формула Эйлера была вьтедена на основании закона Гука, т. е. предполагалось, что стержень работает в пределах упругих деформаций. Отсюда следует, что формулой Эйлера можно пользоваться только в то.м случае, когда критические напряжения не превышают предела пропорциональности. [c.341]

Если бы ход диаграммы испытания материала вблизи предела пропорциональности был бы нам заранее известен, то конечно проще всего было бы ввести в формулу Эйлера поправку, воспользовавшись законом изменения местного модуля упругости. Но беда в том, что этот довольно тонкий переход от закона Гука к криволинейному участку диаграммы трудно поддается экспериментальному исследованию, да к тому же и нестабилен. Дело усложняется тем, что по мере приближения к пределу пропорциональности, сначала исподволь, а затем и весьма интенсивно, в сжатом стержне начинают накапливаться пластические деформации. А при возникновении пластических деформаций сама постановка задачи устойчивойти претерпевает качественные изменения. [c.152]

Критерии устойчивости, или принципы оценки устойчивости, могут меняться в зависимости от обстоятельств. Поэтому часто, чтобы отвлечься хотя бы терминологически от расчетной схемы, употребляют термин сила выпучивания. Это — сила, при которой возникают заметные отклонения от исходного состояния равновесия. Критическая же сила — это понятие, свойственное избранной расчетной схеме идеального стержня. Даже при чисто упругих деформациях сила выпучивания и критическая-сила — не одно и то же. Ведь в расчете по Эйлеру было принято, что стержень идеален, однороден и не имеет начальной погиби. А в реальных условиях этого нет, сколь бы точно не изготовлялся стержень. Поэтому при испытаниях сжатого стержня фактически измеряется не критическая сила, а сила выпучивания, которая лишь близка по своему значению к критической. [c.157]

Ставя своей задачей только определение нормальных напряжений изгиба, в основу теории достаточно положить предполо-жевие о том, что плоские до деформации поперечные сечения балки остаются носле деформации плоскими и ортогональными к изогнутой оси. Теория изгиба, следующая из этого иредноло-жения, носит название технической теории или теории Бернулли — Эйлера. Точная теория изгиба, ностроенная Сеи-Венаном для случая, когда балка загружена сосредоточенными силами, а также немногочисленные (чрезвычайно громоздкие) решения задач об изгибе распределенной нагрузкой убеждают нас в том, что хотя закон плоских сечений и не соблюдается, полученные на основе его выводы оказываются весьма точными (если, конечно, h/l<. 1). [c.78]

Этот функционал совершенно аналогичен известному функционалу Хеллингера — Вашизу варьируя напряжения, перемещения и мгновенные значения деформаций, мы получим уравнения наследственной теории упругости и граничные условия как уравнения Эйлера и естественные граничные условия для функционала (17.11.4). [c.604]

В 1660 г. Р. Гук сформулировал закон, устанавливающий связь между нагрузкой и деформацией и имеющий исключительно важное значение для сопротивления материалов. Развитию этой науки в XVIII в. способствовали успехи высшей математики и механики особенно большое значение имели работы Л. Эйлера. [c.5]

Формула (207) называется обобщеннон формулой Эйлера. Напомним, что она справедлива, если напряжения и деформации в сторгкне в мо.мепт потери устойчивости находятся в упругой области [c.435]

Одной из исходных предпосылок при выводе формулы Эйлера было предположение, что материал следует закону Гука. Поэтому формула Эйлера справедлива, если потеря устойчивости происходит в зоне упругих деформаций, т. е. когда ст р < Если же критическое напряжение превьппает предел пропорциональности а ц, формула Эйлера теряет реальный смысл. Определим, при каких значениях гиб- [c.206]

Для опертой по концам слоГистой полосы при малых осевых деформациях критическая нагрузка по Эйлеру определяется формулой [c.122]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...