Цилиндрические координаты решение в рядах

В этой главе рассмотрим задачи устойчивости цилиндрической оболочки, нагруженной неоднородным по окружности давлением. В оболочке при такой нагрузке в исходном состоянии возникают неоднородные по обеим координатам осевые и сдвигающие усилия. Для исследования задачи используем решение в рядах, полученное в гл. VI. [c.231]

Решение в рядах по функциям нагружения в цилиндрических координатах при тангенциальной нагрузке. В случае произвольного вида тангенциальной нагрузки переход от прямоугольной к цилиндрической системе координат оказывается намного более трудным, так как, в отличие от случая нормальной на-1 грузки, направления нагрузки не остаются постоянными. Соотношения между удельными тангенциальными нагрузками tAr, Q) и ЬАг, 0), приложенными соответственно к верхней и нижней поверхностям в радиальном направлении, и fe(r, 0) и 6в(г, 0) — в кружном направлении и тангенциальными нагрузками в направлениях осей X TS у, рассматривавшихся в соотношениях (5.32), имеют тот же вид, что и полученные ранее, соотношения (3.9в) между касательными напряжениями Огг, Огв и Ozx, Ozy (см. рис. [c.320]

Описанные выше одномерные и двумерные течения являются определенной идеализаций, которая практически применима для ряда технических актуальных задач. Но во многих случаях, когда течения даже приближенно нельзя рассматривать как одно- или двумерные, возникает необходимость решать более сложные задачи о пространственных или трехмерных течениях. Возможность их решения в значительной степени зависит от выбора системы координат. Часто оказываются удобными различные криволинейные ортогональные системы, например цилиндрическая и сферическая. [c.269]

Сочетание аналитического решения в виде передаточных функций с численным расчетом частотных характеристик позволяет реализовать и более сложные модели. В настоящее время имеются аналитические решения для моделей, учитывающих ряд дополнительных факторов, как, например оребрение разделяющей стенки, аккумуляцию тепла и шлакообразование в слое наружных загрязнений, торкретную массу, распределение температуры по толщине стенки в соответствии с точным решением уравнения теплопроводности в цилиндрических координатах, распределение давления по длине теплообменника при совместном решении уравнений энергии, сплошности и движения рабочей среды, зависимость коэффициента теплоотдачи от теплового потока или температуры, а также ряд других факторов. [c.128]

Если нужно решать задачу для многосвязной области, ограниченной произвольными цилиндрическими поверхностями, то последовательное применение преобразований (2.17) и (3.30) дает возможность получить решение в произвольной системе координат в виде ряда с разделенными переменными. Такое построение выполнено в работе [102]. [c.56]

Предположив, что правые части граничных условий также разложены в ряды по е, рассмотрим процедуру решения краевых задач. Из уравнений (2.1), (2.10), (3.41) следует, что в каждом из приближений получаем соотношения, по форме совпадающие с уравнениями в круговых цилиндрических координатах. На основании выражений (3.42), (3.43) можно заключить, что в каждом из приближений в левых частях граничных условий только первые слагаемые являются неизвестными (вторые известны из предыдущих приближений), причем первые слагаемые вычисляются по таким же формулам, что и в круговых цилиндрических координатах. В таком смысле можно говорить, что задачи в некруговых цилиндрических координатах сведены к последовательности задач в круговых цилиндрических координатах при одинаковых однородных уравнениях во всех приближениях и с изменяющимися правыми частями граничных условий в каждом из приближений. [c.62]

Решение в тригонометрических рядах по координате приводит к сложной системе совместных уравнений. В случае цилиндрической оболочки (у == V2, б = — /2) А. И. Лурье удалось преобразованием функции V значительно упростить задачу и свести ее к решению уравнения Бесселя. Числовые результаты получены в случае малого отверстия 1) путем [c.243]

Аналитические методы перечислены в разд. 3.1. Сначала были выписаны разложения в ряд для потенциалов и полей. Формула (3.19) является наиболее общим выражением для разложения в ряд произвольного трехмерного распределения потенциала в цилиндрических координатах, а (3.27) — в декартовых. Выражение (3.20) написано для частного случая аксиально-симметричного распределения потенциала. Затем были рассмотрены общие свойства плоских, аксиально-симметричных и мультипольных полей. Обсуждались специальные методы вычисления как аксиально-симметричных, так и мультипольных полей (разделение переменных, конформные преобразования и т. д.). Было рассчитано распределение потенциала, созданного двумя цилиндрами одинаковых диаметров с круглой апертурой. Мы ознакомились с процедурой, позволяющей быстро рассчитать поле, созданное системой апертур. Затем было вычислено распределение потенциала, созданного цилиндрическим вогнутым 2ЛГ-мультиполем, и найдено решение задачи об идеальных мультиполях. Трудности аналитических вычислений были проиллюстрированы на практических примерах. Мы остановились на особых свойствах магнитных материалов, после чего использовали закон Био — Савара (3.249) для вычисления по- [c.177]

Задача об изменении гидравлического сопротивления трубы при неустановившемся турбулентном движении жидкости является настолько сложной, что попытки сколько-нибудь строгого ее решения до сих пор встречают непреодолимые трудности. Это связано в основном с неизвестностью законов, которым подчиняется турбулентность в неустановившемся потоке. При ряде предположений оказываются возможными только приближенные оценки изменения гидравлического сопротивления трубы. Одно из исходных предположений состоит в том, что характерное для исследуемого неустановившегося процесса время намного превосходит период турбулентных пульсаций. В этом случае могут использоваться уравнения Рейнольдса осредненного турбулентного движения жидкости. При осесимметричном потоке с пренебрежимо малым изменением давления по радиусу сечения трубы уравнения Рейнольдса для движения несжимаемой жидкости, записанные в цилиндрических координатах г и л , имеют вид [35] [c.208]

Уравнения Навье—Стокса допускают точные решения для ряда других ламинарных течений, например, существует точное решение уравнений Навье—Сто,кса в цилиндрических координатах для течения вязкой жидкости между двумя вращающимися цилиндрами [30]. [c.139]

Последовательность решения задачи по ВК ЛИРА выглядит следующим образом (рис. 4.11). Исходные данные подготавливаются на бланках, снабженных подробными комментариями с тем, чтобы эта процедура могла выполняться специалистом без особой подготовки. Подготовка исходной информации максимально упрощена. Широко используется принцип умолчания, заключающийся в том, что для самых распространенных случаев информация е указывается, а вырабатывается автоматически. Имеется ряд операторов, позволяющих компактно описывать регулярные структуры и учитывать различные сингулярности. Координаты узлов можно задавать в различных системах (декартовой, цилиндрической, сферической и т. п.), жесткостные характе- [c.116]

Ряды (9.24) и (9.25) представляют решение дифракционной задачи для клина без полостей при соответствующих условиях на гранях [90J. Для удовлетворения условий на цилиндрических полостях эти решения необходимо переписать в координатах (г >, 0 ) с помощью теоремы сложения [c.214]

К методу разделения переменных близок метод интегральных преобразований. Так, полученные в этом параграфе решения могут рассматриваться как результат косинус-преобразования Фурье на конечном интервале. Решение для одиночного индуктора можно получить путем преобразования Фурье на бесконечном интервале. Распределение поля по радиальной координате можно найти с помощью преобразования Ханкеля на конечном или бесконечном интервале. Методом интегральных преобразований решен ряд задач, относящихся к теории индукционного нагрева и индукционной дефектоскопии [47]. К ним относятся, кроме рассмотренных случаев двухслойного цилиндра в поле внешних и внутренних индукторов, цилиндрический виток или соленоид над проводящим полу- [c.64]

Если конус обладает цилиндрической анизотропией, но является непрерывно-неоднородным, т. е. модули сдвига его — непрерывные дифференцируемые функции координат г и 2, то можно указать ряд случаев, когда решение задачи о кручении находится сравнительно просто. Приведем два таких случая (решения для них имеются в нашей книге [22]) [c.355]

При решении ряда задач целесообразно использовать цилиндрическую систему координат г, 0, г (рис. 4.2), в которой уравнения равновесия элемента сплошной среды имеют вид [c.93]

Рассмотрим сначала двумерную задачу и будем считать, что начало координат находится внутри тела. При разделении переменных в уравнении Гельмгольца в цилиндрических Рис. 2.12. к методу переходных координатах общее решение можно матриц представить в виде ряда по функциям [c.86]

Решение в рядах по функциям нагружения при осесиммет-рично нормальной нагрузке. Наиболее важными для практики задачами для пластин, как и в случае прямоугольных пластин, являются задачи, в которых пластина и нагрузка являются симметричными относительно оси, скажем z, и ри этом можно предположить (за исключением, как обычно, задач устойчивости и колебаний), что прогибы и напряжения также осесимметричны. Положив в приведенных выше выражениях в виде рядов по функциям нормальной нагрузки в цилиндрической системе координат ue = dur/dQ = dUz/dQ = О, для случая осесимметричных нагрузок и Ъг получим. [c.324]

Так как в этих задачах обычно имеется много границ, то для их решения желательно иметь в распоряжении набор достаточна общих решений, который позволял бы одновременно удовлетворить ряду граничных условий. Методом, наиболее широко используемым для получения таких решений, является классический метод разделения переменных. Разделяемость переменных в уравнениях Стокса полностью не исследована, но трехмерные задачи в сферических и цилиндрических координатах могут эффективна решаться таким способом. В этом случае получаются полезные решения, представляемые в виде удобных рядов. [c.78]

Спэрроу и Лёффлер [95] представили аналитическое решение, выраженное в виде рядов, для продольного ламинарного течения между цилиндрами, расположенными в вершинах равностороннего треугольника или квадрата (последняя задача та же, что и рассмотренная Эмерслебеном). В этом случае уравнение движения можно записать в цилиндрических координатах г, 0, х [c.458]

Оригинальный подход к расчету свободно опертых круговых цилиндрических оболочек при сосредоточенных нагрузках, приложенных по отрезкам образую-, щих, предложен в работе Н. Хоффа, У. Кемпнера, Ф. Пола [71] (1954 г.). Оболочка интерпретируется как бесконечнолистная поверхность (рулон), которая после разворачивания превращается в бесконечную полосу, загруженную с шагом 2я по окружной координате. Решение ищется в тригонометрических рядах по продольной координате (ширине полосы), а по окружной берется суперпозиция непериодических решений от каждой нагрузки. Каждое такое решение строится методом разрезания полосы по ширине в месте наг.ружения. Таким образом, можно получить периодическое решение. [c.254]

В. Крупка [79—81] изучил контактные задачи для круговой цилиндрической оболочки с жесткими и упругими ложементами, радиус основания которых равен наружному радиусу оболочки. Решение численное. Связь между оболочкой к ложементом представлялась рядом точечных опор. Реакции в точках опоры определялись из условия равенства смещений точек ложемента и оболочки. Численные результаты обнаружили существенную концентрацию реакции на концах зоны контакта. Изгиб свободно опертой по торцам оболочки жестким штампом, радиус основания которого равен наружному радиусу оболочки, рассмотрен также Ю. В. Соболевым и Н. П. Алешиным 61]. Численное решение, как и в цитированных работах В. Крупки, получено путем замены основания штампа рядом точечных опор. Т. С. Акульшина и др. [1] разобрали случай, когда между жесткими ложементами и оболочкой имеются прокладки, деформирующиеся как винклеровское основание. Решение задачи получено в тригонометрических рядах, коэффициенты которых определяюк ся иэ бесконечной системы алгебраических) уравнений. Численные расчеты показали, что реакция мало меняется в зоне контакта, лишь вблизи концов ложемента имеется резкий всплеск. Случай ложемента и оболочки одинакового радиуса изучался теоретически и экспериментально и в диссертации Р. Цвизеля [83]. Использован метод разложения решения в тригонометрические ряды по окружной координате. Для определения каждого члена ряда как функции продольной координаты применяется редукционный метод, так как переменные не разделяются. Выполненные исследования показывают, что имеет место резкая концентрация реакции у концов ложемента. [c.321]

Здесь мы имеем в виду один из основных методов операционного исчисления Хевисайда (см. [30]) контуры интегралов (6.2) и (6.3) являются в обозначениях Мак-Лахлана Вг, и Srj контурами. Гольдштейн [1] применил этот. метод для решения целого ряда задач в цилиндрических координатах. [c.334]

Широкое распространение в технике получили детали, представляющие собой тела вращения со сложной геометрией меридионального сечения, нагруженные неосесимметрично. Для определения НДС такого класса объектов необходимо решение пространственной задачи механики сплошной среды. Применение МКЭ с трехмерной дискретизацией в декартовой системе координат не очень удобно в отношении аплроксимации геометрии в окружном направлении и решения, которое значительно сложнее, чем в цилиндрической системе координат. При использовании удобной для этих целей цилиндрической системы координат возникают проблемы, связанные с описанием смещений как твердого целого в направлении, перпендикулярном к оси вращения, при полиномиальной аппроксимации перемещений в МКЭ в окружном направлении. При этом необходимо применять специальные меры [70, 134], чтобы избежать фиктивных напряжений в конструкции. Эти проблемы не возникают при решении задачи с использованием так называемого ПМКЭ [62], в котором решение в окружном направлении описывается отрезком ряда Фурье, а в меридиональном направлении производится дискретизация конечными элементами. Для точного учета смещений как твердого целого в этом случае достаточно нулевой и первой гармоники. [c.156]

Пусть В цилиндрической системе координат г,(р,г) задан цилиндр г К, г Ь из нелинейного упругого изотропного материала. Цилиндр предварительно подвергнут однородному осевому растяжению или сжатию и закреплен торцами между гладкими жесткими поверхностями таким образом, что отсутствуют нормальные перемещения и касательные напряжения. На описанную деформацию, которая считается конечной, накладывается малая осесимметричная деформация, вызванная внедрением в поверхность цилиндра при 2 а жесткого бандажа. Трение между цилиндром и бандажом отсутствует, а бандаж имеет радиус К-6, (5 > 0. В работе [47] для добавочной деформации получены линеаризованные уравнения и выписаны соответствующие граничные условия. Известным приемом полученная краевая задача была сведена к парному ряду-уравнению вида (33), в котором nQ = 0, К2 = К, а К(и) — известная функция [47]. Решение парного ряда, как и в предыдущей задаче, было получено путем сведения его к БСЛАУ первого рода с сингулярной матрицей. Был проведен расчет контактных напряжений и жесткости системы штамп — цилиндр Р для материала Муни. Анализ расчетов показывает, что с увеличением параметра предварительного напряжения в сторону растяжения жесткость Р увеличивается. Существует также такое сочетание геометрических параметров, при которых жесткость Р возрастает и с увеличением предварительного сжатия (с уменьшением Л при Л < 1). [c.170]

Остановимся подробнее на получении системы интегро-функциональ-ных уравнений контактной задачи. Использование принципа суперпозиции предполагает возможность получения аналитического решения краевой задачи динамической теории упругости с однородными граничными условиями в напряжениях для составляющих многослойную область с каноническим включением элементов. Таковыми являются однородный упругий слой, однородное упругое полупространство, полость в безграничном пространстве и упругое включение, граница которого тождественна границе полости. Решение задач для однородного слоя (полупространства) строится методом интегральных преобразований с использованием принципа предельного поглощения и может быть получено в виде контурного несобственного интеграла [2,4,14]. В зависимости от постановки задачи (пространственная, плоская, осесимметричная) получаем контурные интегралы типа обращения преобразования Фурье или Ханкеля [16]. Решение задачи для пространства с полостью, описываемой координатной поверхностью в ортогональной криволинейной системе координат, получаем в виде рядов по специальным функциям (сферическим, цилиндрическим (Ханкеля), эллиптическим (Матье)) [17]. При этом важно корректно удовлетворить условиям излучения, для чего можно использовать принцип излучения. Исключение составляет случай горизонтальной цилиндрической полости при исследовании пространственной задачи. Здесь необходимо использовать метод интегральных преобразований Фурье [16] вдоль образующей цилиндра и принцип предельного поглощения [3] для корректного удовлетворения условиям излучения энергии вдоль образующей. [c.312]

В отличие от ряда Ватсона для цилиндра (5.22), ряд (6.23) не применйм на луче, на котором расположены токи, так как все его слагаемые обращаются в бесконечность (6,21). Качественно это отличие объясняется различием характера координат Ф и 0. Цилиндрическая координата ф локально является декартовой, и потому решение уравнения (5.28)—с б1(ф) в правой части— имеет особенность, описанную формулами (5.20) само решение при ф = О остается конечным и непрерывным. В задаче о шаре координата 0 локально напоминает цилиндрический радиус-вектор плоской цилиндрической системы координат [ср. первое слагаемое в (6.4), которое можно назвать оператором Де, и оператор Дг — первое слагаемое в (5.3)]. Поэтому особенность имеет само решение уравнения (6.22а). Такую же логарифмическую особенность имеет и полное поле, т. е. решение уравнения (6.25). Напомним, что и поле (3.9), созданное линейным током в вакууме, имеет ту же особенность, а характер особенности вблизи источника не изменяется при введении в поле какого-либо тела. [c.70]

В силу сложности рассматриваемого объекта наука—образование-производство одним нз перспективных методов его исследования является метод моделирования с позиции системного подхода. В основе его применения лежит принцин сведения сложного к простому, замена сложного объекта сравнительно простой моделью с отражением таких его черт, которые представляют существенный интерес для решения задачи. Прн этом в ряде случаев можно обойтись без использования сложного математического аппарата. Одним из первых системный подход к разработке модели взаимосвязи науки, образования н практики применил Р. С. Шадури [2]. Разработанная им модель взаимосвязи науки, образования и практики имеет вид чашеобразного тела со слоистыми стенками снаружи — наука, внутри — практика,.а между ними — образование, которое призвано вооружать подрастающее поколение научными знаниями, а также методами их использования в практической деятельности. Модель построена в цилиндрической системе координат,.содержащей время в явном виде. Явное введение времени в качестве координатной оси позволило реализовать здесь принцип историзма в отображении развития объекта моделирования. Поэтому как система образования, так наука и практика представлены на модели в виде серий уровней. [c.197]

В случае одномерных движений, т. е. плоских, цилиндрически и сфе-рически-симметричных, часто пользуются другими, лагранжевыми координатами. В отличие от эйлеровой, лагранжева координата связана не с определенной точкой пространства, а с определенной частицей вещества. Газодинамические величины, выраженные как функции лагранжевых координат, характеризуют изменения плотности, давления, скорости каждой частицы вещества с течением времени. Лагранжевы координаты особенно удобны при рассмотрении внутренних процессов, протекающих в веществе (не выходящих за рамки данной частицы) скажем, химической реакции, ход которой с течением времени зависит от изменения температуры и плотности частицы. Введение лагранжевых координат в ряде случаев позволяет также более коротким и легким путем находить точные решения уравнений газодинамики или делает более удобным численное интегрирование последних. [c.16]

Для расчета распределения потока нейтронов в цилиндрической геометрии часто применяют метод сферических гармоник. Для реактора в целом обычно вполне пригодно диффузионное или Рх-приближение, описанные в предыдущих разделах настоящей главы. Однако в отдельной ячейке часто имеются тонкие или сильнопоглощающие области, для которых Р -приближение неприменимо. В этом случае для получения лучших решений уравнения переноса иногда используется метод разложения потока нейтронов в ряд по сферическим гармоникам. Получающаяся система уравнений оказывается более сложной, чем для плоской или сферической геометрии (см. разд. 3.1.2, 3.3.3), из-за наличия зависимости потока нейтронов от двух координат, описывающих направление движения нейтронов. [c.128]

В остальном процедура решения такая же, как и для уравнений Лапласа, рассмотренных в гл. 5. Для более общего случая прн испадьзованнп цилиндрических координат можно разложить Ф в ряд Фурье по 0. [c.187]

В заключение отметим, что фундаментальное решение для упругой тонкой круговой цилиндрической оболочки, полученное с помощью ряда Фурье по окружной координате и использования интеграла Фурье, впервые получено С. Юанем [87] в 1946 г. при дей- ствии радиальной сосредоточенной силы и использовании теории пологих оболочек. Это решение обобщено В. М. Даревским [22] на случай нагрузок общего вида, равномерно распределенных по малым прямоугольным площадкам. Причем В. М. Даревский использовал теорию непологих оболочек в варианте А. Лява [74]. Формальное отличие приведенного здесь решения от указанных и, в частности, от данного в работе Э. И. Григолюка, В. М. Толкачева [14] состоит в использовании тригонометрической формы записи [c.265]

В настоящей главе мы исследуем ряд задач по теплопроводности для областей, ограниченных координатными поверхностями цилиндрической системы координат, например ограниченный и полуограниченный цилиндры, ограниченные полые цилиндры и т. д. Для этого используем методы, изложенные в предыдущих главах. Задачи этого типа для областей, ограниченных изнутри цилиндром кругового сечения, можно рассматривать тем же способом, используя решения, приведенные в 5 гл. XIII. [c.212]

К. В. Соляник-Красса использовал криволинейные координаты при решении задачи о кручении валов, снабженных полостями 1947) или кольцевыми выточками (1948, 1955) результаты этих исследований содержатся также в его монографии Кручение валов переменного сечения (1949). Тем же методом им был рассмотрен ряд задач об изгибе стержня переменного сечения, в частности исследована концентрация напряжений у сферической полости в цилиндрическом стержне (1955). [c.31]

В [3.54] (1960) выводятся уточненные уравнения неосесимметричных колебаний цилиндрической оболочки на основе метода степенных рядов. Определяется показатель изменяемости напряженного состояния p S( i + % + mP (со — частота X и т — характеризуют изменяемость вдоль осевой и дуговой координат соответственно) и оценивается асимптотическая погрешность решений. Уточненные уравнения строятся исходя из бесконечной системы уравнений. В основу полагается критерий точности, основанный на со анении членов до некоторого порядка малости а (а=нУ 2R). Получена система уравнений с точностью до Утверждается без доказательства, что построенные аппроксимации являются гиперболическими. [c.189]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...