Общее уравнение второго порядка с переменными

Общее уравнение второго порядка с переменными коэффициентами [c.301]

Первое время эти механизмы и агрегаты не были связаны с единым технологическим процессом определенной отрасли, однако в научном отношении они объединялись в единой схеме. Сейчас мы имеем уравнения движений механизмов и агрегатов для общего случая. Они находятся в центре внимания лаборатории, где получены нелинейные дифференциальные уравнения второго порядка с переменными коэффициентами для машинных агрегатов с плоскими механизмами группы Ассура различной модификации. Многие из этих уравнений не исследованы не выяснены зависимости параметров, определяющие движения этих механизмов. [c.3]

Как видно, движение машинного агрегата описывается нелинейным дифференциальным уравнением второго порядка с переменными коэффициентами, общее решение которого отсутствует. [c.95]

В общем случае (1.11) — линейное дифференциальное уравнение второго порядка с переменными коэффициентами. С учетом граничных условий для функции и (г) на контурах г = Ь и г а оно легко может быть решено численным методом при использовании ЭВМ. Для диска постоянной толщины при постоянных параметрах упругости и в некоторых других случаях это уравнение имеет замкнутое решение. Дифференциальные уравнения растяжения диска в напряжениях представляют собой систему двух уравнений относительно и — уравнения совместности деформаций (1.10) и уравнения равновесия (1.3). [c.10]

При нарушении этих условий речь пойдет уже о взаимодействии анализируемой колебательной системы с системой, создающей внешнее воздействие. Мы уже знаем, что существует достаточно общая модель для Изучения колебаний — линейный осциллятор. Поэтому естественно рассмотреть его поведение под действием заданной гармонической силы. Начнем с вынужденных колебаний гармонического осциллятора, которые описываются линейным дифференциальным уравнением второго порядка с переменной правой частью (в нашем случае — синусоидальной) [c.90]

Напомним, что характеристики общего уравнения второго порядка с двумя независимыми переменными [c.134]

Таким образом, рассматриваемая неоднородная задача теории термоупругости свелась к краевой задаче для обыкновенного линейного дифференциального уравнения второго порядка с переменными коэффициентами. В общем случае ее решение проще всего получить численными методами с по- [c.447]

Это уравнение представляет собой линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с переменными коэ ициентами. Общее решение этого уравнения еще не найдено и получение его весьма затруднительно. Поэтому практически целесообразным является получение приближенного решения. [c.102]

Уравнение (3) в общем случае есть уравнение второго порядка с переменными коэффициентами в виде бесконечных рядов. [c.276]

Мы начнем с рассмотрения уравнений второго порядка с п зависимыми переменными в их наиболее общей форме, хотя такая общая форма не встречается в динамике. Затем выводятся два типичных уравнения, и нз них получаются основные утверждения раздела. [c.262]

Если напряжённое состояние пластинки перед потерей устойчивости не является однородным, то величины ш, tj/, А и напряжения зависят от координат у я потому жёсткости являются переменными. Подстановка выражений моментов (5.99) в уравнение (5.32) Приводит к линейному дифференциальному уравнению четвёртого порядка с переменными коэффициентами почти общего вида, поскольку в него входят все возможные производные по двум переменным от второго до четвёртого порядка включительно. [c.310]

Методы решения задач физико-химической гидродинамики. Уравнение конвективной диффузии (3.1.1) представляет собой линейное уравнение в частных производных второго порядка с переменными коэффициентами (в общем случае компоненты скорости жидкости зависят от координат и времени). Точные аналитические решения соответствующих задач удается найти лишь в исключительных случаях с простой геометрией. Сказанное еще в большей степени относится и к нелинейному уравнению (3.1.17). Точные решения играют большую роль для формирования правильных представлений о физической сущности различных явлений и процессов. Они могут использоваться в качестве тестовых решений для проверки корректности и оценки точности соответствующих численных, асимптотических и приближенных методов. [c.107]

Установив на примере алгоритм решения краевой задачи методом разделения переменных, наметим, в заключении, ход решения более общей краевой задачи, рассматриваемой на области D с i " для уравнения второго порядка [c.174]

Число степеней свободы системы определяется числом независимых переменных, которое необходимо для полного описания движения системы. Ограничивая свое рассмотрение системами с одной степенью свободы, мы в общем случае должны для описания движений в консервативных системах рассматривать дифференциальные уравнения второго порядка ) [c.15]

Правые части L, М, N этих уравнений являются функциями переменных 9, ср, ( ), если заданные силы зависят только от положения тела, и они будут функциями переменных 9, ср, ф, р, д, г, если эти силы зависят также и от скоростей. Если бы потребовалось вычислить непосредственно 9, ср, с ), то исключение р, д, г приведет к трем уравнениям второго порядка относительно 9, ср, с ). Общие интегралы будут содержать шесть постоянных, которые можно определить, зная начальное положение тела и начальную мгновенную угловую скорость вращения, т. е. зная ср . с )о, р , д и Гу. [c.144]

Задача об определении движения свободной точки сводится к интегрированию этой системы дифференциальных уравнений второго порядка по отношению к трем неизвестным функциям л , у, z от одной независимой переменной t, так что при предположенных условиях для точки Р возможны схз отличных друг от друга движений в соответствии с возможным выбором шести произвольных постоянных, от которых зависит общее решение системы (I). [c.81]

По поводу различных задач, относящихся к движению системы материальных точек и рассмотренных до сего времени, можно сделать одно важное и интересное замечание Во всех случаях, когда силы являются функциями только координат движущихся точек и когда задачу удалось свести к интегрированию дифференциального уравнения первого порядка с двумя переменными, оказывается также возможным свести эту задачу к квадратурам. Мне удалось превратить это замечание в общее положение, которое, как мне кажется, дает новый принцип механики. Этот принцип, так же как и другие общие принципы механики, дает возможность получить интеграл, но с той разницей, что другие принципы дают только первые интегралы дифференциальных уравнений динамики, тогда как новый принцип приводит к последнему интегралу. Этот принцип обладает общностью, более высокой, нежели другие принципы, потому что он применим к случаям, когда аналитические выражения сил, а также уравнения, выражающие структуру системы, содержат координаты движущихся точек в любой форме. С другой стороны, принципы сохранения живых сил, сохранения площадей и сохранения центра тяжести во многих отнощениях имеют преимущество перед новым принципом. Прежде всего, эти принципы дают конечное уравнение между координатами движущихся точек и составляющими их скоростей, тогда как интеграл, получаемый на основании нового принципа, требует еще квадратур. Во-вторых, применение нового принципа предполагает, что уже найдены все интегралы, кроме одного, предположение, которое осуществляется лишь в очень небольшом количестве задач. Но это обстоятельство не может уменьшить- ценности нового принципа, в чем, я надеюсь, убедит применение его к нескольким примерам. [c.294]

Рассмотрим, например, орбиту, которую описывает планета вокруг Солнца. Дифференциальные уравнения второго порядка, которые приходится интегрировать, можно свести к форме уравнений первого порядка, вводя в качестве новых переменных первые производные. Таким образом, определение орбиты планеты будет зависеть от интегрирования трех дифференциальных уравнений первого порядка между четырьмя переменными два интеграла этих уравнений получаются на основе принципа живых сил и принципа площадей, что сводит вопрос к интегрированию одного уравнения первого порядка с двумя переменными. Так вот, на основании моей общей теоремы это интегрирование может быть приведено к квадратурам. Итак, если угодно применять ее вместе с другими общими принципами механики, то можно сказать, что этих принципов оказывается достаточно, чтобы привести определение орбиты планеты к квадратурам. [c.294]

Таким образом, для определения восьми неизвестных Ni, Nz, дифференциальных уравнений (3.1) —(3.2), из которых шесть — уравнения первого порядка, а два — второго порядка. В общем случае это система десятого порядка с переменными коэффициентами. [c.42]

В общем случае это система дифференциальных уравнений второго порядка (в некоторых случаях с нелинейными или переменными коэффициентами), решение которой затруднено. [c.158]

Этот метод представлен в виде схемы на рис. 12.1, а для простого гармонического осциллятора и в более общей форме — на рис. 12.1, б. Система на рис. 12.1 имеет два набора корней, причем один набор состоит из корней наблюдателя [А — ОС], а другой набор — из корней управляемого процесса с обратной связью непосредственно по переменным состояния [А — ВЬ]. Характеристическое уравнение четвертого порядка для системы управления гармоническим осциллятором, представленной на рис. 12.1, а, таким образом, разделяется на два уравнения второго порядка, или [c.228]

В которых задача оказывается стационарной, Л. А. Галин выразил компоненты смещения через вторые производные некоторой функции, для которой после преобразования переменных получил линейное уравнение в частных производных четвертого порядка с постоянными коэффициентами, аналогичное тому, которое получается для функции напряжений в плоской задаче теории анизотропной упругости. Следуя С. Г. Лехницкому, Л. А. Галин составил общее решение упомянутого уравнения, которое приводит к следующим выражениям для напряжений и смещений [c.606]

В этих координатах х,у функция Н не зависит от Xi. Таким образом, если зафиксировать значение F = у = с, система уравнений Xk = дН/ду) , ук = —dH/dxk к 2) будет гамильтоновой с п — 1 степенью свободы. Итак, один интеграл позволяет понизить размерность фазового пространства на две единицы (а не на одну, как в общем случае). Одна единица пропадает при фиксировании значения F = с, а. вторая — за счет исключения сопряженной циклической переменной Xj. Однако эффективное использование интеграла F для понижения порядка упирается в задачу явного интегрирования гамильтоновой системы i = vp z). [c.63]

Введенные выше поверхности, хотя и представляют собой геометрические образы, тем не менее достаточно сложны для воспроизведения и восприятия. Значительно более наглядны сечения этих поверхностей плоскостями, проходящими через начало координат. Сечение поверхности представляет собой кривую, в общем случае того же порядка, что и сама поверхность. В частных случаях уравнение этой кривой распадается на произведение отдельных множителей, дающих сечения той или другой полости нормальных волн. Такое разложение на множители происходит фактически в двух случаях когда секущая плоскость является плоскостью симметрии кристалла и когда она перпендикулярна оси симметрии второго, четвертого или шестого порядков. Рассмотрим эти случаи подробнее для поверхности волновых векторов, заданной уравнениями (5.1). Обозначим нормаль к секущей плоскости как ось Ха, координаты в самой плоскости Хъ, х . Компоненты волнового вектора, соответствующие координатам Ха, Хь, Хс, пусть будут дь, q , а значения тензоров е, с и е отметим штрихами. Новые переменные связаны со старыми преобразованиями поворота. Поскольку левая часть (5.1) — скаляр, вид уравнения (5.1) в новых переменных тот же, что и в старых. [c.37]

Из формул (8.29) видно, чтй для определения f л g получается уравнение второго порядка с переменными (озффициентами. В общем слзгчае трудно ожидать, что его удастся свести к квадратурам. Но система (8.29) сводится к квадратурам при р = 1. Пусть р = —1, тогда [c.60]

Выше было отмечено, что дифференциальными уравнениями НЛП являются либо нелинейные уравнения первого порядка, либо линейные второго порядка с переменными коэффициентами. Для обоих типов уравнений отсутствуют общие методы от >1скания решений в виде конечного числа квадратур. Тем не менее для некоторых законов изменения волнового сопротивления оказывается возможным найти точные решения. [c.96]

Интегрирование по частям интеграла (2.15.3) преобразует первый член подинтегрального выражения в —иу. Теперь мы имеем обычную лагранжеву задачу с переменными I/ и и, которая может быть преобразована в гамильтонову форму, что даст две пары канонических уравнений для четырех переменных у, и, pi, р , они заменяют собой одно первоначальное дифференциальное уравнение четвертого порядка для у. Показать эквивалентность канонической системы и первоначального дифференциального уравнения. Очевидно, что этот метод перехода от вторых производных к первым производным применим при любом количестве переменных. В общем случае при наличии производных m-ro порядка следует начать с выших производных, сводя их к производным т — 1)-го порядка затем процесс повторяется до тех пор, пока в подинтегральном выражении останутся одни лишь первые производные. Это и означает, что под-интегральное выражение приведено при помощи преобразования Гамильтона к каноническому виду. [c.200]

Метод разделения переменных при интегрировании дифференциальных уравнений с частными производными первого порядка в более общем виде, чем это указано в тексте, разработан Имшенецким В. Г. и изложен в его сочинении Интегрирование дифференциальных уравнений с частными производными первого и второго порядков", Москва, 19J6. Впервые напечатано в 1865 г. в. Ученых записках Казанского университета". [c.346]

Виртуальное варьирование предполагает использование виртуальных перемещений, определяющих свойства реакций связей. Таким путём применение операций вариационного исчисления при варьировании функционала действие увязывается с физическим смыслом учитываемых ограничений. Вспомогательный характер имеет заметка 7 о дифференцировании функции при неявной зависимости от переменных и о вариационной производной. Способы синхронного, асинхронного варьирования и способ, применённый Гельмгольцем (и его расширение), а также варьирование в скользящих режимах реализации связей рассматриваются в заметке 8. В заметке 9 обсуждается составление уравнений для виртуальных вариаций неголономной связи связи, представляющей огибающую связи, зависящей от двух независимых параметров неравенства для виртуальных перемещений при неудерживающих связях. В одном из пунктов заметки 10 полностью содержится (с нашим примечанием) двухстраничная работа М. В. Остроградского Заметка о равновесии упругой нити , написанная им по поводу одной известной классической ошибки Лагранжа в других пунктах рассматривается использование неопределённых множителей при представлении реакций связей. Некоторое ограничение множества виртуальных перемещений позволило сформулировать обобщение принципа наименьшей кривизны Герца для систем с нестационарными связями (заметка 11). Несвободное движение систем с параметрическими связями (заметка 12) изучается на основе принципа освобождаемости по Четаеву, сформулированному им в задаче о вынужденных движениях составлено общее уравнение несвободных динамических систем, основные уравнения немеханической части которых имеют первый порядок (в отличие от механической части, основные уравнения которой второго порядка), предложено общее уравнение динамики систем со случайными параметрами. Центральное вириальное равенство (заметка 13) выводится с помощью центрального уравнения Лагранжа. [c.13]

Таким образом все дело сводится к определению для любого заданного времени этих трех координат с этою целью я привел те три дифференциальные уравнеЕия второго порядка, которые доставляются непосредственно Механикою, к сказанным трем координатам, причем, хотя я опять пришел к слолшым уравнениям, однако, в них я достигаю явной выгоды, состоящей в следующем так как прямая ЪМ представляет среднюю долготу Луны, то если на ней взять отрезок 0, равный среднему расстоянию от Земли до Луны, все три прямые ОХ, 1, 1 2) все время остаются настолько малыми, что высшие пх степени образуют весьма быстро сходящиеся ряды. Цосле этого общего замечания необходимо, наряду с теми тремя неизвестными, которыми определяется место Луны, рассматривать известные величины, по коим эти неизвестные находятся. Этих известных величин два рода—одни постоянные, другие—переменные. Здесь входят четыре постоянные, величины которых необходимо определять из наблюдений во-первых та, которая обозначена буквою К и которая представляет эксцентриситет орбиты Луны. Величина его зависит от движения, сообщенного Луне вначале, и значит, она могла бы быть больше или меньше теперь имеющейся значение этой постоянной, выведенное из многих наблюдений, есть [c.218]

Наличие нескольких систематических факторов с постоянной и переменной интенсивностью их действия во времени приводит к целому семейству теоретических кривых распределения, подробно рассмотренных Н. А. Бородачевым. Установив на точностной диаграмме положение кривой, характеризующей изменение х<.р для отдельных групп во времени, можно выявить влияние систематических закономерно изменяющихся погрешностей на общую погрешность обработки. Если, например, значения х р изменяются по закону прямой, наклоненной к оси абсцисс под некоторым углом, то величина систематической погрешности выражается уравнением прямой с соответствующим угловым коэффициентом. Величина систематической погрешности может быть дана в функции времени или числа снятых со станка деталей. Можно ее выражать также в функции обработанной поверхности или длины пути инструмента при обработке заготовок. При распределении значений Х(.р по параболе величина систематической погрешности может быть выражена уравнением кривой второго порядка. В более сложных случаях зависимость целесообразно представлять аппроксимирующейся функцией. К недостатку данного метода исследования точности нужно отнести то, что при наличии нескольких закономерно изменяющихся систематических погрешностей они не разделяются, а их влияние на суммарную погрешность оценивается комплексно. Кроме того, для исследования необходимо большое число наблюдений. [c.36]

Е. Н. Kennard [3.118—3.121] (1953—1958) рассматривает задачу о малых упругих колебаниях круговой цилиндрической оболочки в развитии статьи [3.84]. Считая, что искомые функции являются аналитическими по z, автор разлагает в ряды по степеням z компоненты тензора напряжений и вектора перемещений. Пользуясь граничными условиями и общими соотношениями теории упругости, автор исключает слагаемые, содержащие производные от искомых величин по переменной г. Это позволяет вывести уравнения движения без привлечения гипотез о неизменяемости нормального элемента и получать уравнения с любой степенью точности, которая оценивается степенью h. Получены уравнения в перемещениях с точностью до включительно. В приближении тонких оболочек предполагается, что hIR очень мало и изменение любой функции вдоль срединной поверхности на расстояниях порядка h тоже мало. В этом случае, как полагает автор статьи, метод степенных рядов справедлив и законно усечение рядов. Показано, что несоблюдение второго условия может приводить к паразитным решениям. Проверкой служит предельный переход h 0. Если в этом случае мембранные уравнения имеют решение и притом единственное, то построенное приближенное решение действительно [c.189]

Фуджи дал также полезный анализ устойчивости разностных аппроксимаций (по временной переменной) уравнения (24) в методе конечных элементов. Предположим, например, что члены Q" заменяются центральными разностными отношениями второго порядка (А/)-2(д"+ — Q ). Из теории конечных разностей хорошо известно, что величина At должна быть ограничена, или же вычисляемые приближения будут экспоненциально расти вместе с п. Для одномерного волнового уравнения условия устойчивости процесса вычислений имеют вид At h/ 3 для согласованной матрицы массы М и Ai h — для диагональной матрицы, полученной при приближенном расчете матрицы М. (Тонг [Тб] заметил в последнем случае дополнительную устойчивость.) Фуджи исследовал и другие конечноразностные схемы, а также гиперболические уравнения более общего вида для краевых задач с начальными условиями, в том числе и уравнения упругости. [c.293]

Система уравнений (4 36), (4.37) содержит как неизвестные функции переменные поля и и компоненты тензора обобщенных импульсов р. - — всего двадцать искомых функций. Общее количество уравнений вида (4.36), (4,37) равно также двадцати. Порядок системы уравнений (4.36), (4,37) определяется из порядка разрещающей системы уравнений. Он равен восьми. Разрешающую систему, совпадающую с уравнениями Лагранжа второго рода, можно получить, исключая из уравнений (4.37) обобщенные импульсы на основании уравнений (4.36) или эквивалентных им равенств (4.1). [c.101]

Вернемся теперь к общему операторному уравнению (1.5). Из него можно получить замкнутую систему уравнений для моментов любого порядка. Это связано с тем обстоятельством, что в операторную часть уравнения (1.5) переменные входят в виде однородной комбинации а которая не повышает порядка рассматриваемого момента. Как отмечалось в предыдущей главе, это общее свойство всех линейных систем. Болес того, в уравнения для моментов войдут только кумулянты процесса 2 (г), порядок которых не превышает порядка момента. В самом деле, разложение функционала [у ( )] в ряд Тейлора для дельта-коррелированных флуктуаций, согласно второй главе, имеет вид [c.177]

Предложенные в первой и второй главах методы позволян т привести задачи равновесия упругих оболочек к эллиптическим системам уравнений с двумя независимыми переменными. Порядок этих уравнений определяется степенью приближений относительно координаты ж (см. гл. I) к искомому, решению задачи. В первой главе мы покажем, что если приближения выражаются при помощи полиномов степени N относительно координаты ж , то в одном из рассмотренных вариантов ( 8) порядок соответствующей зллиптической системы равен б/У +б. В другом варианте ( 7) исключения составляют случаи N=0, 1, 2, тог щ эти системы расщепляются на взаимно независимые Системы более кизкого порядка. В частности, при 0 1 мы получаем системы уравнений безмоментного состояния оболочки, а также бесконетао малых изгибаний поверхностей. В общем же случае (М > 2) мы имеем зацепленную систему уравнений порядка имею- [c.12]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...