Уравнения Лагранжа в декартовых координатах

Некоторые классические задачи. Позже (в 6.2) мы выведем уравнения Лагранжа, описывающие движение механической системы в лагранжевых координатах. Однако уже сейчас мы можем решить некоторые важные задачи, не пользуясь уравнениями Лагранжа. Рассмотрим пять задач. Четыре из них (примеры 5.2А, 5.2В, 5.2С и 5.3) могут быть решены с помощью одних только законов сохранения энергии (3.4.5) и сохранения момента количества движения (3.2.12). В последней задаче ( 5.4, 5.5, 5.6) мы используем также уравнения движения в декартовых координатах. [c.61]

Запишем уравнения движения Лагранжа в декартовых координатах [c.744]

Структура уравнений Лагранжа и их составление. Уравнения Лагранжа для обобщенных координат являются обыкновенными дифференциальными уравнениями второго порядка, как и дифференциальные уравнения движения точки в декартовых координатах. Число уравнений Лагранжа совпадает с числом обобщенных координат. Действительно, для кинетической энергии системы, используя ее определение и формулу (33) для [c.409]

Уравнения эти носят наименование уравнений Лагранжа первого рода или уравнений с множителями в декартовых координатах. [c.386]

Предполагая, что в остальном система может быть описана методом Лагранжа, уравнения движения в декартовой системе координат можно записать так [c.35]

XXX. РЕАКЦИИ СВЯЗЕЙ. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ НЕСВОБОДНОЙ МАТЕРИАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ В ДЕКАРТОВЫХ КООРДИНАТАХ (УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА ПЕРВОГО РОДА) [c.291]

Уравнения движения несвободной системы в декартовых координатах (уравнения Лагранжа первого рода). На основании найденных нами выражений (30.15) для реакций связей уравнения движения [c.298]

Перейдем к выводу уравнений Лагранжа. Уравнения движения для свободной материальной точки в декартовых координатах обычно записываются в следующем виде. [c.32]

Подставляя в уравнение Даламбера — Лагранжа вариации декартовых координат (с), после преобразований представим его в виде [c.536]

Уравнения Лагранжа I рода. Рассмотрим снова материальную систему из п точек, подчиненную 5 голономным связям (12.4) и 51 неголономным идеальным связям (12.5) уравнения Лагранжа I рода в декартовых координатах таковы" ) [c.343]

ТО В общем случае однозначно определяется решение уравнений Лагранжа q = q(i, Чо Чо)- Это решение определяет положение системы как в последующие, так и в предыдущие моменты времени. При этом в декартовых координатах [c.216]

Если функция Лагранжа явно зависит от времени, то траектории в фазовом пространстве, вообще говоря, пересекаются. Поэтому вводят в рассмотрение расширенное фазовое пространство хК - прямое произведение фазового пространства и оси времени. Все отмеченные здесь понятия относятся к общей теории дифференциальных уравнений, и неудивительно, что мы фактически повторно обсуждаем вопросы, о которых уже упоминали в 1.5 в связи с уравнениями механики свободной системы в декартовых координатах. [c.263]

О. к. пользуются при решении многих задач, особенно когда система подчинена связям, налагающим ограничения на ее движение. При этом значительно уменьшается число ур-ний, описывающих движение системы, по сравнению, напр., с ур-ниями в декартовых координатах (см. Лагранжа уравнения механики). В системах с бесконечно большим числом степеней свободы (сплошные среды, поля) О. к. являются особые ф-ции пространств, координат и времени, наз. потенциалами, волновыми функциями и т. п. при это.м оказывается возможным характеризовать движение таких систем с помощью функции Лагранжа, зависящей определенным образом от выбранных О. к. [c.461]

Экстремали одни и те же — прямые линии на плоскости. Уравнения прямых в декартовых и полярных координатах задаются различными функциями = XI (г), Х2 = X2 t) г г t), ф = ф ( ). Однако и те и другие функции удовлетворяют уравнению Эйлера—Лагранжа [c.56]

Лагранжева формулировка уравнений движения полезна для описания континуальных консервативных систем в той же мере, что и для систем сосредоточенных масс, в особенности для уравнений движения в криволинейных координатах. Для системы частиц с п степенями свободы уравнения Лагранжа представляют собой систему п обыкновенных дифференциальных уравнений, в которых время является независимой переменной. Функция Лагранжа в общем случае зависит от п обобщенных координат и от их производных по времени (обобщенных скоростей). Для континуальной консервативной системы, частным случаем которой является упругое тело, уравнения Лагранжа представляют собой систему дифференциальных уравнений в частных производных по времени и по трем пространственным координатам в большинстве случаев все три уравнения независимы. Функция Лагранжа в них зависит от обобщенных координат, обобщенных скоростей и от производных от обобщенных координат по пространственным переменным. Конкретная форма уравнений зависит от системы координат, к которой отнесены пространственные производные. Простейшая форма имеет место в том случае, когда применяется декартова система координат [c.87]

С помощью введенного понятия импульса материальной точки можно записать уравнения Лагранжа — Эйлера в декартовых координатах как [c.33]

Применим метод обобщенных координат для получения дифференциальных уравнений движения из общего уравнения механики. Метод обобщенных координат приводит к исключительно важному результату. Он дает общий вид дифференциальных уравнений движения в обобщенных координатах, называемых уравнениями Лагранжа (второго рода). Эти уравнения позволяют для каждой задачи на несвободную систему пользоваться наиболее удобными и естественными величинами при описании движения системы, исключая из рассмотрения связи и силы реакции. Лагранжевы уравнения оказываются полезными и для свободных тел и точек, так как имеют инвариантную (скалярную) форму во всех системах координат, а это позволяет легко составить уравнения в наиболее удобной системе координат, не пользуясь громоздкими формулами перехода (например, от декартовых к сферическим). [c.180]

Метод Лагранжа может быть с успехом применен не только к сложным системам со связями, но и к свободной точке, находящейся в потенциальном поле. При этом сила при описании движения и векторные уравнения заменяются соответственно функцией Лагранжа и скалярными уравнениями Лагранжа. В качестве примера рассмотрим свободную материальную точку в однородном поле (поле тяготения). За обобщенные координаты возьмем декартовы, оси Ох и Оу расположим в плоскости горизонта, а ось Oz направим вертикально вверх. Располагая функцией Лагранжа [c.190]

Система уравнений Лагранжа второго рода представляет собой систему s обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка относительно обобщенных координат. Интегрирование этих уравнений дает нам обобщенные коорди наты Qu Qi, , как функции времени и 2s произвольных постоянных интегрирования. Далее на основании формул (3.19) можно получить декартовы координаты в зависимости от времени t и 2s произвольных постоянных интегрирования. [c.60]

Уравнения Лагранжа для материальной точки. Рассмотрим материальную точку, находящуюся под действием сил. равнодействующую которых обозначим F. Будем определять положение точки какими-нибудь независимыми между собой параметрами любой размерности q,, однозначно определяющими положение точки, которые назовем обобщенными координатами. Число их будет равно числу степеней свободы точки, т. е. для свободной точки их будет три, а для несвободной — две или одна. Тогда декартовы координаты точки, а следовательно, и ее радиус-вектор r = xi- -s)j- - zk можно выразить через параметры и время t, которое может вообще войти в эти соотношения или в результате соответствующего выбора координат qi, или когда на точку наложены нестационарные связи. Допустим для общности, что О [c.452]

Дифференциальные уравнения движения системы материальных точек в декартовой системе координат (уравнения Лагранжа первого рода) [c.29]

Для этой цели можно воспользоваться обычным для кинематики точки приемом задания в функции от времени I координат (. 1, Х2, Xz) отдельных точек сплошной среды, но, чтобы индивидуализировать такие уравнения для различных точек среды, необходимо как-то выделить данную точку среды из остальных. Следуя Лагранжу, в качестве определяющих выбор точки параметров можно принять ее декартовы или, вообще говоря, любые криволинейные координаты а, Дг, а в некоторый начальный момент i = 0. Тогда уравнениями движения любой точки среды будут служить выражения [c.329]

Наряду с изложенным методом большое практическое значение при составлении уравнений относительного движения имеет также метод уравнений Лагранжа, идея применения которых в динамике относительного движения совершенно естественна. Поскольку движение относительной системы по отношению к абсолютной задано, абсолютные координаты (декартовы или обобщенные) движущейся системы точек могут быть выражены как функции от относительных координат и времени. Принимая последние за независимые обобщенные координаты системы, составим уравнения Лагранжа реп. ая их, найдем относительные координаты как функции от времени, т. е. уравнения относительного движения. [c.424]

Приводим основные вариационные принципы механики упругого тела в декартовой системе координат [50]. Вариационное уравнение Лагранжа, основанное на принципе возможных перемещений (удовлетворяются уравнения статики), имеет вид [c.8]

Примеры получения уравнений Лагранжа. Из предыдущего видно, что если система такова, что д,ля нее можно составить лагранжиан, т. е. если система является голономной и обладает обычным или обобщенным потенциалом, то имеется весьма удобный способ получения уравнений ее движения. Составляя эти уравнения, мы преследовали цель исключить реакции связей, но при этом получили и другие полезные результаты. Для того чтобы получить уравнения движения в виде (1.18), нужно было иметь дело со многими векторами сил и ускорений. Применяя же метод Лагранжа, мы оперируем лишь с двумя скалярными функциями Т и V, что сильно упрощает поставленную задачу. Теперь мы можем указать метод составления уравнений движения, общий для всех задач механики, к которым приложим метод Лагранжа. Согласно этому методу нужно лишь написать функции Г и У в обобщенных координатах, образовать из них лагранжиан L и, подставив его в (1.53), получить уравнения движения. При этом переход от декартовых, координат к обобщенным получается для функций Г и У с помощью уравнений преобразования (1.36) и (1.43). Так, [c.34]

Равенство (3.6) — уравнение неразрывности в переменных Лагранжа при <7 = 0. Величины, стоящие слева в уравнении (3.6), вычислены в момент t, справа — в любой другой момент времени f. Если за момент f взять момент времени to, когда X а, у = Ь, Z = с, т. е. когда декартовы координаты совпадают с координатами Лагранжа, то уравнение (3.6) запишется в виде [c.43]

Обобщенные координаты. Уравнения Лагранжа. Как уже говорилось, для определения положения механической системы, на которую наложено т двусторонних связей, достаточно задать только к = 3п—т каких-либо независимых параметров, полностью определяющих положение этой системы. Число независимых параметров равно числу степеней свободы системы. Каждая новая связь будет на единицу уменьшать число степеней свободы, а следовательно, и число независимых параметров, определяющих положение системы. Здесь всюду предполагается, что на систему наложены удерживающие связи. Независимые параметры, через которые могут быть выражены все декартовы координаты точек системы и которые полностью определяют положение последней, называются обобщенными координа-т а м и системы, или л а г р а н ж е в ы м и координатами [c.172]

Замечание о лагранжевых координатах. При выводе уравнений Лагранжа были введены понятия обобщенных координат. Эти координаты определяют положение системы в каждый момент времени. Кроме того, при выводе использовалась явная зависимость декартовых координат от обобщенных. Это обстоятельство нельзя забывать при составлении уравнений движения. Несоблюдение этого условия может привести к ошибочным результатам. [c.345]

Методы статики несвободной системы, изложенные в гл. XXVII, обобщаются и на динамику. Подобно тому как использование уравнения принципа возможных перемещений — общего уравнения статики — привело к различным формам уравнений равновесия (в декартовых координатах, в обобщенных зависимых и независимых координатах), точно так же из общего уравнения динамики выводятся аналогичные формы дифференциальных уравнений движения несвободной системы. Уравнения эти получили наименование уравнений Лагранжа, так как были впервые опубликованы в Аналитической механике Лагранжа. [c.385]

В декартовых координатах рассмотрим нагруженную нормальным давлением q шарнирно-опертую прямоугольную мембрану (рис. 14.12). Для достоверности решения этой задачи были использованы два подхода. Первый, разработанный С. А. Кабри-цем, состоял в использовании изложенного в параграфе 14.2 вариационного подхода. Применительно к рассматриваемой задаче вариационное уравнение Лагранжа (14.12) принимает вид [c.223]

Задача п точечных вихрей. Не следует думать, ч. уравнения Гамильтона появляются в механике лишь в результате применения к уравнениям Лагранжа преобразования Лежандра. Рассмотрим плоское стационарное течение идеальной несжимаемой жидкости. Пусть v=(a x, у), Ь х, i/))—поле скоростей ее частиц в декартовых координатах х, у. Из условия несжимаемости divt = 0 следует, что 1-форма ady—bdx является дифференциалом некоторой функции Yix, у). Уравнение движения частицы жидкости можно представить тогда в виде уравнения Гамильтона [c.36]

Читатели, знакомые с гидродинамикой, могут вообразить себе непрерывную деформируемую среду, заполняюш.ую фазовое пространство (или некоторую его часть),— фазовую жидкость . Начальные значения канонических переменных можно принять за параметры Лагранжа (см. гл. I, 3). При таком представлении уравнение (5.154) можно истолковать как уравнение неразрывности (условие несжимаемости) в переменных Лагранжа. Для реальной несжимаемой жидкости уравнение неразрывности, записанное в декартовых координатах, имеет вид [c.330]

Уравнения (22) называются уравнениями Лaгpaнжa ). Число таких уравнений совпадает с числом новых координат. В рассматриваемом здесь случае (системы без механических связей подробнее см. далее) оно в точности равно ЗЛ/, т. е. числу уравнений Ньютона, которые можно выписать для этой же материальной системы, если бы рассматривалась декартова система координат. Но в отличие от уравнений Ньютона уравнения Лагранжа (22) уже не связаны с декартовой системой координат х, у, г и выписаны Б произвольных независимых новых координатах , q . [c.129]

Уравнения (7) называются дифференциальными уравнениями криво--шнвйного движения несвободной материальной точки в проекциях на оси декартовой системы координат, или уравнениями Лагранжа первого рода. Эти уравнения и уравнение связи (4) представляют собой систему четырех уравнений, из которых могут быть определены четыре неизвестных функций времени х, у, г, а. В результате найдем закон движения точки, а по формуле [c.481]

Последнее означает, что численные значения этих переменных определяют положение системы, т. е. значения декартовых координат ее точек до написания (и тем более интегрирования) уравнений движения. С. А. Чаплыгин называл эти координаты определяющими, в зарубея<иой литературе они называются голо-номными. Будем называть эти независимые координаты Лагранжа обобщенными координатами. [c.329]

В настоящем параграфе и в 3.7 изложение проводится применительно к декартовой системе координат и ограничивается случаем статического равновесия и отсутствием температурного эффекта. Построение вариационного уравнения Лагранжа применительно к четырехмерной задаче (при наличии термоэффекта) и в ортогональной криволинейной системе координат дано в оригинальной работе А. Е. Крушевского [48], к которой и отсылаем читателя, особенно интересующегося расчетом сложных корпусных деталей машин. [c.71]

Требуется написать уравнения движения в новой системе координат, т. е. написать дифференциальные уравнения, определяющие д , д , д в функции времени. Для этого можно было бы взять те же уравнения движения, которые определяют х, у, г ъ функции t и преобразовать их к новым переменным, определяемым выщенаписанными формулами. Но такое вычисление было бы слишком длинным, а метод Лагранжа имеет целью именно избежать длинные вычисления. Этот метод применим также и в том случае, когда декартовы координаты являются заданными функциями не только трех новых координат д , 2. но и времени. С точки зрения геометрической это означает, что указанный метод применим также и в случае, когда новая система координат подвижна, причем движение ее известно. [c.447]

Предварительные замечания. Вопрос об определении движения несвободной материальной системы без неинтегрируемых связей может быть решён двояким путём или исчтегрированием уравнений движения, содержащих множители связей, а именно уравнений Лагранжа первого рода ( 177), когда система координат декартова, и уравнений, аналогичных названным, когда система координат произвольная ( 189), или интегрированием уравнений Лагранжа второго рода в независимых координатах ( 191). Последние уравнения быстрее и непосредственнее приводят к цели в них число переменных доведено до надлежащего минимума, поэтому и произвольных постоянных интеграции появляется наименьшее число. Интегрирование уравнений с множителями значительно сложнее число переменных в них превышает Необходимое, а потому и число произвольных постоянных интеграции больше, чем нужно для искомого движения ( 119, 121, 177, 189). Но зато движение системы определяется [c.461]

Применим теперь уравнения Лагранжа к исследованию некоторых физических систем. Прежде всего заметим, что для системы без связей в качестве обобщенных координат дюжно использовать декартовы координаты j j. В этом случае лагранжиан имеет вид [c.52]

Интеграл Лагранжа — Коши, так же как и уравнение Бернулли, в случае безвихревого движения служит для выражения давления р через кинематические элементы ф, F и координаты, от которых зависит П. Выражая через проекции grad ф на оси декартовых координат, будем иметь [c.164]

В начале развития динамики неголономных систем дифференциальные 93 уравнения движения были выведены в различном виде Остроградским, Феррерсом и Раусом. Общая методика интегрирования этих уравнений не была разработана, а их структура, связанная с наличием декартовых координат или множителей неголономных связей, создавала значительные трудности при решении конйретных задач (о качении твердых тел). Таким образом,в конце XIX в. проблема составления динамических уравнений неголономной механики в лагранжевых координатах без множителей связей типа уравнений Лагранжа второго рода была вполне актуальной. [c.93]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...