ФУНКЦИЯ ГРИНА И ЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ

ФУНКЦИЯ ГРИНА И ЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ [c.15]

Итак, квантовомеханический пространственно-временной эволюционный подход позволил нам избавиться от устаревшей проблемы отбора решений и специальных правил обхода полюсов функций Грина. Сила этого подхода в том, что он приводит не к вычислению отклика среды на действие источника, а к решению начальной задачи (задачи Коши), для которой существуют теоремы о существовании и единственности решения. Фейнман в своем первоначальном подходе к построению диаграммной техники для функции Грина постулировал правила обхода ее полюсов. Эти правила оказались абсолютно правильными для задач квантовой теории поля, в которой рассматривается только рассеяние одной, двух (т.е. конечного числа) частиц друг на друге, а все бесконечное число степеней свободы утоплено в ненаблюдаемый в реальных переходах вакуум. Его роль проявляется только в виртуальных переходах и сводится к перенормировке параметров частиц (закона дисперсии, массы, заряда). При рассеянии частиц и волн в макроскопических системах такой подход оказывается недостаточным, поскольку при этом макроскопическое число частиц или волн оказывается в возбужденных ( над вакуумом ) состояниях. Использование правил отбора решений Фейнмана для таких задач в монографиях [41, 42] приводит к ошибочным результатам. В этом случае работают все четыре обхода двух полюсов, то есть четыре функции Грина, и необходимо использовать диаграммную технику Келдыша [39], полностью эквивалентную задаче Коши. Такая ситуация имеет место для любой классической задачи, связанной с нелинейным стохастическим дифференциальным уравнением. Эти задачи эквивалентны квантовым (хороший пример - теория турбулентности [43]). Только для линейных задач с параметрической случайностью , т.е. для линейных уравнений со случайными коэффициентами, из четырех функций Грина остаются две - запаздывающая С и д опережающая. Мы увидим, что энергия рассеянных волн выражается через их произведение. При этом (3 отвечает за эволюцию поля на нижней ветви контура Швингера-Келдыша, а 0 - за эволюцию на верхней ветви (см. рис. 2). [c.67]

Этот подход, основанный на изучении линейной реакции системы на внешнее возмущение, оказывается эффективным как в классической, так и в квантовой неравновесной (и равновесной) статистической физике и, в частности, в теории явлений переноса. Таким образом, помимо метода кинетических уравнений кинетические проблемы могут решаться интенсивно развивающимся в последние годы методом функций Грина, [c.164]

В литературе по радиотехнике и теории связи такие линейные звенья обычно описываются с помощью импульсной переходной функции h t), представляющей собой отклик на выходе линейного звена при воздействии на вход в момент времени t = О мгновенного импульса единичной интенсивности. Нетрудно видеть, что для механических структур импульсной переходной функцией является нестационарная функция Грина. Заметим, что для рассмат- [c.97]

Глава 2 посвящена исследованию стационарных процессов переноса тепла и движения жидкости в каналах ядерных реакторов. На основе сопряженных уравнений вводится понятие функций ценности источников тепла и движущих сил в потоке теплоносителя. Строится теория возмущений для линейных функционалов температуры и скорости потока. Рассматриваются функции Грина основного и сопряженного уравнений переноса тепла и гидродинамики, поясняющие физический смысл введенных функций ценности. [c.6]

Таким образом, решение общей задачи теории теплопроводности сводится к определению функции Грина для тела, температуру которого требуется найти. Для линейного или двумерного теплового потока результаты, подобные (1) и (2) можно получить легко. Вместо бесконечности порядка [c.190]

Временные корреляционные функции и функции Грина. В предыдущем разделе мы видели, что основные соотношения теории линейной реакции записываются через временные корреляционные функции [c.345]

Из (5.1.40) видно, что А В)) как функция комплексной переменной 2 , определена в верхней полуплоскости ). В теории линейной реакции чаще всего используется предельная функция +0, которая называется запаздывающей функцией Грина в и -представлении. Ее можно записать как фурье-образ [c.347]

После подстановки в (5.1.40) z — LO — ie и замены Q i — t ) на —9 t — t), мы получаем так называемую опережающую функцию Грина в -представлении. Функции Грина обоих типов широко применяются в статистической механике. В теории линейной реакции запаздывающие функции Грина по понятным причинам наиболее важны, поэтому им будет уделено особое внимание. [c.347]

В параграфе 5.1 мы рассмотрели формулировки теории линейной реакции, в которых средние значения динамических переменных выражались через временные корреляционные функции или запаздывающие функции Грина. Эти формулировки очень важны с точки зрения общей теории, так как они приводят к универсальным соотношениям между измеряемыми в эксперименте макроскопическими величинами и характеристиками микроскопической динамики равновесных флуктуаций. Однако для практических приложений требуются эффективные методы вычисления корреляционных функций. Хотя в настоящее время существует несколько методов такого рода, ни один из них не является универсальным. В этом параграфе мы обсудим подход, который позволяет изучить некоторые важные свойства корреляционных функций, включая их поведение во времени, не обращаясь явно к сложной динамике системы многих частиц. В этом смысле излагаемый ниже подход напоминает наше исследование восприимчивостей и кинетических коэффициентов в предыдущем параграфе, но он более тесно связан с линейными уравнениями переноса. [c.372]

В главе 5 было показано, что линейная реакция многочастичных систем на механические и термические возмущения описывается обобщенными восприимчивостями и кинетическими коэффициентами, которые связаны с равновесными временными корреляционными функциями и запаздывающими функциями Грина. В общем случае кинетические коэффициенты выражаются через корреляционные функции в квази-равновесном ансамбле (см. главу 2). Для слабо неидеальных газов интересующие нас величины можно вычислить элементарными методами, используя теорию возмущений по слабому взаимодействию или плотности. Однако во многих задачах корреляционные эффекты и взаимодействие отнюдь не малы, поэтому приходится суммировать бесконечные последовательности членов в рядах теории возмущений. В таких случаях необходимы более мощные методы, позволяющие, в принципе, производить подобное суммирование. [c.8]

Кратко рассматриваются Теоретические основы линейной механики разрушения для введения понятий коэффициентов интенсивности напряжений и скорости освобождения упругой энергии. В работе установлено, что метод граничных интегральных уравнений (ГИУ), применяющийся для решения задач теории упругости, является эффективным и точным средством, позволяющим вычислять значения коэффициентов интенсивности напряжений и скорости освобождения упругой энергии в двух- и трехмерных задачах механики разрушения. Рассматриваются основные представления метода ГИУ и описывается распространение метода на задачи механики разрушения, В двумерном случае представлены численные результаты, полученные при помощи построения специальной функции Грина для задач о трещинах. В трехмерном случае приводятся результаты для поверхностной трещины, найденные путем стандартного решения по методу ГИУ. Указываются некоторые задачи и цели дальнейших исследований. [c.46]

ДЛЯ изложения последующих глав мог бы быть опущен. В ней рассматриваются различные задачи, связанные с решением дифференциальных уравнений второго порядка. Показано, что во многих типичных случаях решение можно найти с помощью функции Грина. По-видимому, автор этими примерами хотел как-то обосновать принцип линейной суперпозиции при рассмотрении в дальнейшем процесса формирования оптического изображения. В связи с этим следует отметить, чтю принцип линейной суперпозиции не нуждается в доказательстве, а возможность его применения следует искать в физике явления. Далее заметим, что гл. 3—5, посвященные вопросам геометрической оптики и дифракционной теории, изложены слишком сжато и имеют ряд недостатков, отмеченных в примечаниях редактора. Стиль изложения несколько небрежен. При переводе встречались неясности в изложении и трудности в расшифровке ряда новых терминов, введенных автором. Поэтому пришлось иногда несколько отходить от текста, чтобы сделать его более понятным. Эти недостатки связаны, по-видимому, с лекционным характером книги. Дополнительная литература, приведенная автором, не может претендовать на полноту, ибо содержит лишь основные источники. [c.9]

В предыдущих разделах настоящей главы были представлены решения некоторых задач плоского течения, имеющих практическое значение. При этом были использованы некоторые из наиболее мощных аналитических методов теории потенциала. Так как мы в первую очередь заинтересованы в физической интерпретации и значении этих задач, то нами были показаны только те методы, которые имеют непосредственное приложение к проблемам некоторого практического значения . Однако существует ряд общих выводов, имеющих практический интерес, которые можно будет достаточно хорощо обрисовать здесь и которые не зависят от таких подробных данных, которыми характеризовались уже рассмотренные задачи. В качестве первого вывода следует упомянуть, что в целом каковы бы ни были отдельные формы граничных контуров, течение в любой системе замкнутых поверхностей всегда пропорционально разности давлений между поверхностями, через которые движется жидкость и от которых она движется при условии, что оба ряда поверхностей имеют постоянное давление каждый. Это положение можно рассматривать как само собой очевидное следствие линейности уравнения Лапласа. Его можно вывести также, пользуясь методом функции Грина. Однако представляет собой интерес показать следу- [c.190]

Это выражение напоминает формулы Грина-Кубо для кинетических коэффициентов в обычной гидродинамике. Необходимо, однако, обратить внимание на несколько важных различий между гидродинамическими кинетическими коэффициентами и их обобщением, используемым в теории флуктуаций. Прежде всего отметим, что проекционный оператор Qa исключает из потоков все вклады флуктуационных гидродинамических мод. С другой стороны, в обычном гидродинамическом подходе проекционный оператор Мори Q исключает лишь те вклады в микроскопические потоки, которые линейны по гидродинамическим переменным. Другое важное отличие состоит в том, что временная эволюция потоков в выражении (9.1.57) определяется приведенным оператором Лиувилля L = а в обычных формулах Грина-Кубо оператор эволюции выражается через оператор L = QLQ, из которого не исключены вклады гидродинамических флуктуаций. Наконец, средние значения в (9.1.57) вычисляются с распределением которое описывает состояние с фиксированными ( замороженными ) гидродинамическими флуктуациями, в то время как в обычных формулах Грина-Кубо корреляционные функции микроскопических потоков вычисляются в равновесном или локально-равновесном состоянии. Можно сказать, что величины (9.1.57) представляют собой затравочные кинетические коэффициенты, учитывающие вклад только микроскопических корреляций ). Напротив, кинетические коэффициенты в уравнениях для усредненного движения содержат вклады гидродинамических флуктуаций. Отметим также, что затравочные кинетические коэффициенты (9.1.57) зависят от переменных а (г) через распределение Следовательно, они сами являются флуктуирующими величинами. [c.227]

Вообще говоря, в неравновесной статистической механике мы встречаемся с корреляциями двух типов. Термодинамические корреляции описываются оператором энтропии S t) в квазиравновесном распределении Qq t) = ехр — 5( ) , в то время как динамические корреляции описываются членом взаимодействия в гамильтониане Я. В теории линейной реакции обычно нет необходимости разделять термодинамические и динамические корреляции, поскольку оператор энтропии в равновесном распределении Гиббса полностью определяется гамильтонианом системы. Это обстоятельство позволяет учесть корреляции обоих типов в рамках единого метода. Наиболее популярным методом такого рода является формализм функций Грина, зависящих от мнимого времени . Он впервые был предложен Мацубарой [126] и затем развивался многими авторами. Метод мацубаровских функций Грина и его многочисленные приложения излагаются, например, в книгах [1, 64, 123]. [c.8]

Частотно - временные методы основаны ца представлении законов движения периодических виброударкых процессов через так называемые периодические функции Грина линейных систем [5, 6, 9]. По своему характеру они, в известной мере, объединяют оба описанных подхода, почему и получили такое наименование. Рассмотрим общее уравнение движения (6.5.32) и эквивалентное ему (для установившихся режимов) интегральное уравнение (6.5.33). Воспользовавшись стереомеханической теорией, предположим, что в системе установился Г-периодический виброударный процесс с V соударениями за период. В соответствии с (6.5.29) [c.385]

Изложенная методика вычисления коэффициентов интенсивности применима и к задачам линейной теории упругости. Следует лишь вместо собственной функции брать некоторый собственный вектор смещений и соответствующие ему собственные напряжения и вместо формулы Грина использовать формулу Бетти. В частности, формула Седова для коэффициентов интенсивности напря- [c.64]

Интегральные принципы описания распространения электромагнитных волн широко применяются в теории оптических приборов [7, 8]. В линейной оптике основой такого описания является принцип Гюйгенса — Френеля, позволяющий с единой точки зрения построить геометрическую (см. Прилояуение 1) и дифракционную [7, 8] теории прибора. Имеющиеся в литературе расчеты нелинейно-оптических преобразователей основаны, как правило, на непосредственном решении укороченных волновых уравнений [1—6] с использованием различных упрощающих предположений [159—160]. Подход функций Грина, аналогичный подходу Гюйгенса — Френеля, может эффективно применяться в теории параметрического преобразования изображения из ИК-области в видимую [175—177, 219, 223, 224]. [c.54]

Физики и инженеры хорошо представляют себе пре-имуш ества описания полей с помощью линейных уравнений. При таком описании эффекты от независимых источников аддитивны. К сожалению, при быстром развитии науки и техники, которое сопровождается выделением самостоятельных узких направлений исследования, на общность некоторых основных положений линейной теории иногда не обращают внимания. Например, то, что инженеры-электрики называют импульсной реакцией, является функцией рассеяния для физиков-оптиков и функцией Грина для физиков-теоретиков. То, что в одной дисциплине называется требованием причинности, в другой известно как дисперсионное соотношение, а в третьей — как условие физической реализуемости четырехполюсника. [c.15]

До сих пор мы рассматривали два весьма отличных друг от друга раздела науки теорию линейной фильтрации и геометрическую оптику. Теперь мы попытаемся обосновать необходимость введения этих разделов, показав, как они оба в действительности тесно связаны с представлением о формировании изображения в оптических приборах в результате фильтрации пространственных частот. Ранее мы указывали, что свойства системы определяются либо импульсной реакцией системы (функцией Грина), либо ее преобразованием Фурье, т. е. частотной характеристикой системы. В онтике импульс представляет собой точечный источник света в пространстве объектов, а функция Грина для прибора (называемая функцией рассеяния в литературе по оптике) дается распределением освещенности в изображении точки. Оптическая частотная характеристика является тогда двумерным преобразованием Фурье этого распределения и называется оптической контрастно передаточной функцией. Исходя из сказанного, мы можем с незначительными модификациями применить к оптическим системам представления теории линейной фильтрации, которые хорошо установлены в области электрических цепей. [c.113]

Матрица нагрузки В в уравнении МГЭ (1.38) содержит элементы с вложенными силовыми пространствами на основе теории обобщенных функций и сплайнов. Нагрузка на каждый стержень задается, а функция Грина всегда может быть определена. В матрице В после интегрирования остаются члены с обобщенными функциями и сплайнами. Единичная функция Хевисайда и сплайны легко программируются на любом алгоритмическом языке, а дельтафункция Дирака и ее производные должны представляться нулями. Вектор нагрузки В в алгоритме МГЭ не требует сведения нагрузки к эквивалентной узловой, как это делается в МКЭ, так что исключаются промежуточные операции. Координаты нагрузки в векторе В можно сделать переменными величинами. В этом случае расчет линейных систем можно проводить на статическую подвижную нагрузку или с помощью ЭВМ строить линии влияния. [c.27]

Выход из этого замкнутого круга идей полуфеноменологической теории (аналогичная ситуация — в квазистатической термодинамике) — в привлечении методов микроскопической теории необратимых процессов либо на уровне полного использования методов кинетической теории с последующей линеаризацией по интенсивности внешнего возмущения и соответствующей реакции системы, либо на уровне специально разработанной для этой цели микроскопической теории линейной реакции статистической системы на возмущение в рамках метода двухвременных температурных функций Грина. Естественно, что для самой микроскопической теории, охватывающей весьма щирокий круг физических и математических проблем, получение выражений для соответствующих восприимчивостей является лишь частным вопросом. Так как в задачи данного раздела курса не входит изложение основ кине-тичеткой теории и ее разработки, то мы и ограничиваемся лишь сделанным выше замечанием (на котором ввиду его важности еше раз остановимся в обсуждении ). [c.234]

Следует отметить, что имеется ряд работ, в которых теория гребенчатых структур строится, исходя из бесконечной системы линейных уравнений ср. 55). В работе это сделано для прямой гребенчатой структуры, а в работе —для косой системы полуплоскостей, причем в последнем случае вывод системы линейных уравнений, связывающей комплексные амплитуды диффракционных спектров и волноводных волн, не является тривиальным и производится с помощью особого приема (применения формулы Грина для искомой функции и для систе мы Бспомогательньих функций) в работах 28 и 29 рассматриваются волны, поляризованные параллельно краям полуплоскостей для таких волн приведено. много численных результатов. В работе с помощью бесконечной системы линейных уравнений решается та же задача, что в работе и 48—51. Полученное в работе характеристическое уравнение эквивалентно нашему уравнению (49.1i3), а численные результаты. (менее полные, чем у нас), согласуются i нашими работы и 27 выполнены независимо. [c.424]

Как указывает Гаскелл [37], если исходить из одних и тех же данных для /(г) и g r), то условие Фке(г) Фр-т г) следует из равенства (76) и (77). Так, из равенства (76) видно, что в точках пересечения общей корреляционной функции h r) величина f r) — = —Фпс1кТ, и так же, как это следует из соотношения (75), оно возникает асимптотически. Последнее замечание нуждается в некоторых поправках, так как после разложения правой части выражения (76) в ряд по степеням h асимптотическая форма верна при условии Возможно это соотношение выполняется в некотором отдалении от критической точки (см. п. 4). По теории Перкуса — Йевика получается тот же самый асимптотический вид. Это позволяет считать, по исследованиям диаграммных методов для больших г, что рассматриваемый результат действительно правилен в указанной области, т.е. вдали от критической точки. К сожалению (см. ниже), теория Борна — Грина не приводит к точно такому же результату, хотя и позволяет вывести линейное соотношение между f r) и Ф(г). Однако коэффициент пропорциональности различен (см. дополнение 5). Это различие может быть очень значительным для сил ближнего действия,, но оно уменьшается для сил дальнего действия, существующих в жидких металлах. [c.40]

Замечание. Как в аксиоме баланса сил, так и в формулировке принципа виртуальной работы требования гладкости, налагаемые на поле Г Q" S , весьма умеренные достаточно, чтобы все интегралы имели смысл. Напротив, необходимы существенные дополнительные предположения о гладкости, чтобы написать уравнения равновесия и придать смысл величине div" Г". Эти уравнения используются только как средство перехода от аксиомы баланса сил к принципу виртуальной работы, и потому естественно возникает вопрос, нельзя ли при этом переходе вовсе обойтись без уравнений равновесия и соответствующим образом понизить требования гладкости. Исследования в этом направлении проведены в работе Antman Osborn [1979], где показано, что принцип виртуальной работы может быть выведен непосредственно из аксиомы баланса сил. Подход Антмана и Осборна основан на выявлении своего рода эквивалентности между справедливостью аксиомы баланса сил для всех подобластей Л" и выполнением принципа виртуальной работы для всех отображений O-" . Такая эквивалентность устанавливается с помощью соответствия между специальными классами подобластей (кубами и их образами при изоморфизмах, липшицевых в обе стороны) и специальными классами вариаций (по существу, кусочно-линейными функциями). Метод доказательства в общем тот же, что и при выводе формул Грина в теории интегрирования. В [c.104]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...