Линейность и принцип суперпозиции

Линейность и принцип суперпозиции [c.28]

Суперпозиция в классической и квантовой физике. Суперпозиция часто встречается в классической физике это хорошо известная суперпозиция классических волн. С математической точки зрения классическая суперпозиция и суперпозиция в квантовой физике аналогичны. Именно это обстоятельство немало способствовало развитию квантовой теории. В то же время оно затрудняло осмысливание физического содержания получаемых в теории результатов, так как порождало соблазн проводить неоправданные аналогии с классическими волнами. Как писал Дирак, допущение суперпозиционных связей между состояниями приводит к математической теории, в которой уравнения движения, определяюш,ие состояния, линейны по отношению к неизвестным. Ввиду этого многие пытались установить аналогии с системами классической механики, такими, как колеблющиеся струны или мембраны, которые подчиняются линейным уравнениям, а следовательно, и принципу суперпозиции. Важно помнить, однако, что суперпозиция в квантовой физике существенным образом отличается от суперпозиции, встречающейся в любой классической теории. Это [c.108]

Для нелинейных систем (в отличие от линейных) неприменим принцип суперпозиции, и поэтому не представляется возможным разделить в результирующем процессе компоненты, вызванные отдельными составляющими внешнего воздействия. Это обстоятельство чрезвычайно усложняет анализ вынужденных процессов в нелинейных системах даже в консервативном приближении и делает не вполне корректным рассмотрение случая прямого силового воздействия без учета одновременного воздействия на параметры системы. В самом деле, если учесть, что вынужденный периодический процесс, обязанный своим происхождением прямому воздействию, вызывает в свою очередь периодическое изменение параметров нелинейной системы, то становится ясным, что результирующие резонансные явления могут иметь весьма сложный характер. Частотные соотношения, при которых происходят резонансные явления, также будут задаваться условиями нелинейных прямого или параметрического резонансов. Эти обстоятельства не позволяют для нелинейных систем полное разделение двух упомянутых типов резонансных явлений. Поэтому представляется разумным, выделяя случай чисто параметрического резонанса, не противопоставлять ему случай силового, или прямого, резонанса для нелинейной системы. Можно лишь классифицировать виды воздействия, связанные с различными способами внесения энергии в систему, что является определяющим для протекания резонансных явлений. [c.141]

Типы смещений берегов трещины и принцип суперпозиции. В общем случае действия произвольной нагрузки на тело с трещиной поверхности этой трещины смещаются относительно друг друга. На основании принципа суперпозиции линейной теории упругости это смещение можно представить в виде суммы трех типов смещений (рис. 3.3.2) [c.144]

Линейность. Линейная теория упругости основана на модели сплошной среды, для которой соотношения между напряжениями и перемещениями и уравнения, составленные относительно перемещений (напряжений), линейны. Следствием линейности является принцип суперпозиции результат действия суммы нагрузок равен сумме результатов, соответствующих каждой из них. Этот принцип (он может служить определением линейности) оказывает решающее влияние на эффективность линейной теории при исследовании на ее основе конкретных задач. В реальных материалах указанные соотношения, строго говоря, не являются линейными и при малых дефор- [c.15]

В настоящей главе подробно рассмотрим гармонические волны разных типов. В теории колебаний гармоническая зависимость от времени играет важную роль. В частности, это связано с тем, что гармоническая зависимость сохраняется при прохождении колебаний через линейные колебательные системы с постоянными параметрами— резонаторы, фильтры и т. п. эти системы дают гармонический отклик на гармоническое воздействие. Так как в линейных системах принцип суперпозиции, справедлив, то в них оказывается удобным рассматривать колебания с любой зависимостью от времени при помощи разложения Фурье, т. е. представлять их в виде суперпозиции колебаний с одним-единственным, гармоническим видом зависимости от времени. [c.66]

Опуская первоначальный цикл работы (включение и ), считаем, что очередная коммутация ключей (один —замыкается, другой — размыкается) происходит при наличии энергии, запасенной в трансформаторе в предыдущем рабочем интервале. При этом ток намагничивания (холостого хода) г , формируется двумя составляющими током за счет источника энергии и током за счет энергии, запасенной в трансформаторе на предыдущем интервале. Исходя из того, что элементы контура приняты линейными, применяем принцип суперпозиции. [c.185]

На рис. 2.27, б представлен сигнальный граф, эквивалентный системе уравнений (2.9.3), описывающей в линейном приближении динамику ПГС, схема которой изображена на рис. 2.27, а. В качестве переменных в графе использованы амплитуды вариаций давлений в узлах. Если изменить переменные, относительно которых разрешаются уравнения математической модели ПГС, то структура графа изменится. В рассмотренной ПГС имеются два активных элемента, являющихся источниками сигналов. Учтя, что система уравнений, описывающих ПГС, линейная, применяя принцип суперпозиции, находим для каждого возмущающего воздействия значение выходного параметра и при необходимости суммируем действие разных возмущений. [c.132]

Если рассматривать уравнение (6-3.1) как справедливое для любой предыстории, а не только в предельном случае малых деформаций, оно представляет собой пример интегрального уравнения состояния. Физическая предпосылка, лежащая в основе уравнения (6-3.1), ясна предполагается, что все деформации, которые имели место в прошлом и измеряются при помощи тензора Коши, дают линейный вклад в текущее значение напряжения. Весовая функция / (s) представляет собой материальную функцию, которая полностью определяет Частный тип материала, удовлетворяющего такому правилу линейности. Линейное соотношение, выражаемое уравнением (6-3.1), известно также как принцип суперпозиции Больцмана. [c.216]

Приняв гипотезы о малости деформаций и о линейной зависимости между деформациями и усилиями, можно при решении большинства задач сопротивления материалов применять принцип суперпозиции (принцип независимости и сложения действия сил). Например, усилия в любом элементе конструкции, вызванные различными факторами (несколькими силами, температурными воздействиями), равны сумме усилий, вызванных каждым из этих факторов, и не зависят от порядка их приложения. Это же справедливо и в отношении деформаций. [c.12]

В связи с тем, что система уравнений (55) является линейной, а для линейных систем имеет место принцип суперпозиции, можно рассмотреть движение системы под действием какой-либо одной силы из <3/(0 и = предположив, что все остальные [c.242]

Принцип суперпозиции является результатом того, что световые волны описываются однородными линейными уравнениями Максвелла и линейными материальными уравнениями. Другими словами, свойства среды, в которой распространяется свет, не зависят от интенсивности распространяющейся световой волны. Это, как нам сейчас известно, имеет место только при слабых полях . Следовательно, принцип суперпозиции будет верным только для слабых полей, т. е. принцип суперпозиции является принципом линейной оптики. [c.67]

Так же как и во всех других главах при отсутствии особого упоминания, будем иметь дело только с линейной оптикой, в основе которой, как уже нами неоднократно отмечено, лежит принцип суперпозиции. Вопросы, связанные с нарушением принципа суперпозиции при взаимодействии волн, будут изло.жены в основном в гл. XVI. [c.68]

Из (10.4) следует, что соотношение между вектором электрической индукции и напряженностью поля остается линейным и в анизотропных средах, в результате чего должен оставаться справедливым принцип суперпозиции в таких средах. [c.247]

Вследствие того что в линейной теории упругости основные уравнения и граничные условия линейны, можно использовать принцип суперпозиции для получения новых решений из ранее найденных. Если, например решение задачи при объ- [c.120]

Следует отметить, что как при классическом, так и квантовом описании нелинейных оптических явлений нужно с большой осторожностью пользоваться фундаментальным принципом суперпозиции, справедливость которого в изложении линейной оптики не подвергалась сомнению. При распространении света в нелинейной среде, одна мощная волна, встречаясь с другой волной, может воздействовать на нее, что и приводит к нарушению принципа суперпозиции. Постановка таких опытов в вакууме невозможна —. эффект взаимодействия световых пучков (рассеяние света на свете) во много раз меньше чувствительности любой современной аппаратуры. [c.171]

При анализе нелинейных явлений принцип суперпозиции, разумеется, не выполняется, и упомянутый выше подход, основанный на описании поля с помощью линейной комбинации парциальных [c.810]

Оптика линейная и нелинейная нелинейно-оптические явления. Световые пучки в вакууме или в воздухе проходят один сквозь другой, не оказывая друг на друга какого-либо возмущения. В этом проявляется принцип суперпозиции световых волн, из которого следует линейность уравнений классической оптики. На фотонном языке суперпозиция световых волн означает, что фотоны непосредственно друг с другом не взаимодействуют. [c.211]

Линейные системы обладают еще одной важной чертой. Если параметры, определяющие свойства системы (масса тела, коэффициент упругости пружины, коэффициент трения), не зависят от смещения и скорости тела, то, значит, свойства системы не изменяются от того, что в системе происходят какие-либо движения, например собственные колебания. Поэтому внешнее воздействие будет вызывать в линейной системе такой же эффект, как и в случае, когда собственные колебания отсутствуют (на этом основании мы и имели право рассматривать выше процесс установления как наложение собственных и вынужденных колебаний, поскольку речь шла о линейной системе). Точно так же в случае, когда линейная система подвергается одновременно двум воздействиям, каждое из них вызывает такой же эффект, как и в случае, когда другое воздействие отсутствует. Поэтому результирующий эффект двух (или нескольких) воздействий будет представлять собой сумму эффектов, вызываемых каждым воздействием в отдельности. Это уже знакомый нам принцип суперпозиции, который был применен в 108 к статическим состояниям линейной упругой системы. Здесь мы его применяем к динамическим состояниям линейной колебательной системы. Как ясно из сказанного, принцип суперпозиции справедлив только в линейных системах и не соблюдается в нелинейных системах. [c.615]

Для линейной колебательной системы справедлив принцип суперпозиции. Поэтому негармоническое внешнее воздействие на систему мы можем рассматривать как сумму гармонических воздействий как влияет на систему отдельное гармоническое воздействие, мы уже знаем. И если мы знаем, как представить негармоническое воздействие в виде суммы гармонических, то мы сразу получим ответ на интересующий нас вопрос. Математические методы разложения любой функции в ряд гармонических функций (ряд Фурье) хорошо известны. Мы не будем, однако, рассматривать эту математическую задачу в полном объеме, а воспользуемся некоторыми качественными соображениями, пояснив их на конкретных примерах. [c.616]

Указанный принцип носит название принципа суперпозиций, и он справедлив лишь для линейно деформируемых тел. [c.178]

Теперь наша задача будет состоять в том, чтобы установить закон пластичности при сложном напряженном состоянии. Вспомним сначала, как был получен закон Гука для сложного напряженного состояния. Для изотропного материала опыт на растяжение одного единственного образца дает всю необходимую информацию об упругих свойствах. Для этого нужно измерить продольное удлинение и поперечное сужение. Напряжение, поделенное на продольное удлинение, есть модуль упругости Е] отношение поперечного сужения к продольному удлинению есть коэффициент Пуассона .i. Из линейных соотношений вытекает принцип суперпозиции или принцип независимости действия сил. Пользуясь этим принципом, мы построили обобщенный закон Гука для сложного напряженного состояния. [c.51]

Принцип суперпозиции состояний позволяет полностью и непротиворечиво объяснить все явления, связанные с поляризацией фотонов. Состояние падающего на кристалл фотона (см. рис. 19)-это суперпозиция состояний линейной поляризации, одна из которых параллельна оптической [c.40]

Тогда при условии линейности системы используем принцип суперпозиции и найдем собственные и вынужденные колебания под действием этой сложной силы [c.91]

Как отмечалось, надежные и точные методы исследования динамики существуют только для процессов, описываемых линейными операторами. Это связано с тем, что принцип суперпозиции (2.2.1) позволяет значительно упростить описание оператора системы. Докажем важное свойство линейного оператора, которое называется интегральным принципом суперпозиции и непосредственно следует из (2.2.1) [соотношение (2.2.1) мол<но называть дискретным принципом суперпозиции]. [c.56]

Равенство (2.2.42) дает простейший пример интегрального представления вида (2.2.33) для входной функции u t) причем здесь функция s(x) совпадает с и(т), а параметрическая система функций есть набор 6-функций b t — т), каждая из которых смещена по времени на величину параметра т по отношению к функции б(/). В соответствии с интегральным принципом суперпозиции действие любого линейного оператора А на входную функцию u t) записывается в виде (2.2.34), т. е. в данном случае [c.60]

Экспериментальное исследование нелинейных объектов также связано с рядом трудностей. Для нелинейных операторов не выполняется ни дискретный принцип суперпозиции (2.2.1), ни интегральный принцип суперпозиции (2.2.33), (2.2.34). Поэтому если имеется многомерный нелинейный оператор с несколькими входными параметрами, то, определив реакцию объекта на изменение отдельных параметров, нельзя предсказать поведение объекта при одновременном изменении всех параметров. Напомним, что для линейного оператора такое предсказание всегда возможно, и это является основой исследования линейного многомерного оператора путем его замены эквивалентной системой одномерных операторов, описывающих отдельные каналы связи в объекте. Кроме того, при исследовании нелинейных объектов нельзя ограничиться изучением реакции объекта на одно какое-нибудь стандартное воздействие. Знание отклика объекта на входное воздействие одного вида недостаточно для предсказания поведения объекта при воздействии произвольного вида. Действительно, поскольку для нелинейного объекта не выполнен принцип суперпозиции, то представление входной функции в интегральном виде (2.2.33) не дает возможности утверждать о возможности аналогичного интегрального представления (2.2.34) для выходной функции. Это означает, что для нелинейного оператора невозможно ввести характеристические функции, которые определяли бы все свойства оператора. [c.77]

Из уравнений (17.2) следует, что соотггошение между О и Е остается линейным, значит, остается справедливым и принцип суперпозиции. Как и в случае изотропной среды, предположим, что магнитная проницаемость вещества при оптических частотах равна единице. [c.40]

О вынужденных колебаниях легко находится разлол<ив негармоническую внешнюю силу в гармонический спектр, можно свести задачу к предыдущей — определению амплитуд и фаз вынужденных колебаний, возникающих под действием гармонических составляющих спектра внешней силы. Именно то, что в линейных системах, описываемых дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами и являющихся очень широко распространенным классом систем, имеют место как устойчивость формы гармонических колебаний, так и принцип суперпозиции, придает исключительный физический интерес математическому приему разложения периодической функции в спектр, т. е. именно в гармонический ряд, а не в ряд каких-либо других функци11. [c.622]

Допущение о недеформируемости расчетной схемы приводит к линейным уравнениям относительно усилий (например, продольных сил Wjt изгибающих моментов и т.д.) и принципу суперпозиции для каждой обобщенной сипы [c.76]

Благодаря тому, что в рассматриваемом нами случае связанных линейных систем принцип суперпозиции имеет место, рассмотрение явления Р. в связанных системах при действии негармонич. внешней силы м. б. произведено таким же образом, как и в системе с одной степенью свободы, т. е. разложением внешней силы в ряд Фурье. При увеличении числа связанных систем явление Р. еще более усложняется. Практически важный случай применения большого числа связанных контуров представляют собой т. н. многоячеечные резонансные фильтры (см. Избирательность). Происходящие в них резонансные явления принципиально не отличаются от рассмотренных выше, с тою лишь разницей, что в многоячеечном фильтре с п степенями свободы существует п нормальных частот, и Р. наступает всякий раз при приближении гармонической частоты внешней силы к одной из нормальных частот. [c.219]

Любое утверждение, которое выделяет некоторые единичные лучи как физически нереализуемые, называется правилом суперотбора. Если в теории имеются правила суперотбора, то не любой эрмитов оператор является наблюдаемым и принцип суперпозиции не имеет места в Ж. Однако если Q, В ж ( — 1) определяют единственные правила суперотбора, то мы можем образовать линейную комбинацию любых двух состояний с одинаковыми значениями Q, В я (—1) н получим физическое состояние. Принцип суперпозиции тогда справедлив без ограничений в любом подпространстве из Ж состояний, принадлежащих заданным собственным значениям операторов Q, В п (-1) . [c.17]

Все сказанное хорошо вычисляется для случая, когда уравнения поля линейны (есть принцип суперпозиции), как, например, в эдепродинамике, тогда естественно получаютса независимые гц>монические осцшшлоры. Иногда это удается распространить и на нелинейные поля. [c.230]

Предшествующее доказательство принципа суперпозиции принадлежит Нагтигаалю и Прагеру [42]. Оригинальное доказательство Хемпа [41] было основано на формулировке задачи в терминах линейного программирования. [c.56]

Единственность решения статической задачи линейной теории упругости может быть установлена также с помошью принципа суперпозиции. Предположим, что при одних и тех же объемных силах и одинаковых граничных условиях (2.88) имеют место два различных решения а ц. е ц, u i и а",/, г"ц, и",-. Разность этих решений а,/ = а //—а",ь е , = е /—е" у, ui = u i—u"i удовлетворяет всем уравнениям (2.85), (6.2), (3.67) при Ri = 0. [c.120]

Выполнение этого условия требует наложения определенных ограничений (например, требование положительности температуры или других ограничений). Анализ соотношения (1.11) позволяет выявить различие в поведении линейных и нелинейных систем. В нелинейных системах небольшое увеличение Л может привести к сильным эффектам, несоизмеримым по амплитуде с исходным воздействием. Это приводит к скачкам параметров системы при изменении к вблизи критических значений. В случае линейного поведения системы сохраняется принцип суперпозиции, т.е. результатом совместного действия, например, двух различных факторов, являе1 ся простая суперпозиция. Это различие в линейно.м и нелинейном поведении системы иллюстрирует рисунок 1.4. [c.16]

Принципиально несложно в обобщенной модели ЭМ также учесть влияние высщих гармоник магнитного поля, вызываемых размещением обмотки I конечном числе пазов и неравномерностью воздушного зазора, если предположить линейность ее параметров (отсутствуют высшие гармоники насыщения). Это позволяет рассматривать действие каждой к-м высшей гармоники независимо от других и использовать принцип суперпозиции. Так, реальный асинхронный ЭД при этом предположении можно заменить системой связанных общим валом ЭД с последовательно соединенными обмотками статоров, в воздушном зазоре каждого из которых присутствует только одна гармоника поля. Каждый такой элементарный ЭД имеет в к раз большее число пар полюсов, а скорость поля в нем в к раз. меньше скорости основной волны, и поэтому ЭДС, индуктируемые в их обмотках, имеют частоту, сети. Описание процессов для каждого ЭД выполняется идентично и при принятой интерпретации система уравнений равновесия АД будет включать уравнение обмотки статора и и (по числу учитываемых гармоник) подобных уравнений ротора. [c.110]

Именно устойчивость формы гармонических колебаний по отношению к широко распространенному классу линейных систем и определяет то исключительное положение, которое занимают гармонические колебания среди всех других форм колебаний. Устойчивость формы играет решающую роль не только в случае гармонической внешней силы, когда эта устойчивость позволяет заранее утверждать, что в линейной системе вынужденные колебания будут гармоническими, и тем самым свести задачу о вынужденных колебаниях только к определению амплитуды и фазы гармонического вынужденного колебания. Так как в линейных системах справедлив принцип суперпозиции, то и в случае негармопической внешней силы решение задачи [c.622]

Линейные операторы. Правила, с помощью которых одним функциям ставягся в соответствие другие функции, могут быть самыми разнообразными, т. е. операторы могут иметь самые разнообразные свойства. В квантовой механике для того, чтобы удовлетворить принципу суперпозиции состояний, используются лишь линейные операторы. Оператор А называется линейным, если для любых функций м, и 2 из рассматриваемого класса функций и для любых постоянных чисел и выполняется равенство [c.105]

Метод источников и стоков. Метод источников и стокон широко используют в газовой динамике при решении различных линейных задач, когда может быть применен принцип суперпозиции. Наложение полей течений, соответствующих источникам и стокам различной интенсивности, позволяет получить картину течения при обтекании тел в случае течения в каналах различной формы. В газовой динамике этот метод используют для решения стационарных задач как при дозвуковых, так и при сверхзвуковых скоростях. Поскольку выше для сверхзвуковых скоростей уже приведены некоторые аналитические решения, ограничимся рассмотрением случая течения несжимаемой жидкости, что соответствует малым дозвуковым скоростям. Обычно в рассматриваемом методе используют уравнение для потенциала скорости (2.17), а также точные решения этого уравнения, описывающие течения от источников и стоков. Подбирая системы источников и стоков, можно построить течение в канале заданной формы или около тела заданной формы. Значительно проще обратная задача, позволяющая по заданной системе источников и стоков определить форму поверхностей, которые могут быть приняты за стенки канала или поверхность обтекаемого тела. Рассмотрим, как применяется метод для плоского или осесимметричного течения. [c.71]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...