Преобразование Фурье двумерное

Преобразование Фурье двумерное 211 Пробег частицы 255 Проверка прочности 406 Проводимость полупроводника 234 [c.517]

Преобразование Фурье двумерной пространственной функции f(x, у) записывается в виде [c.179]

Из соотношений (6.226) и (6.227) следует формула, называемая формулой обращения для двумерного преобразования Фурье [c.163]

Ha основании формулы обращения для двумерного преобразования Фурье (6.228) из (6.233) найдем [c.165]

Заметим, что преобразование Ханкеля может быть получено из двумерного преобразования Фурье (4.17) в случае осевой симметрии. [c.72]

Дефектоскопическая информация во многих случаях представляет собой изображения различного типа. Например, при контроле усталостных трещин оператор сравнивает изображения эталонной и контролируемой поверхностей.. Аналогичные операции многократно выполняются при сравнении формы однотипных изделий, выявлении дефектов заданного типа на фоне структурных помех и т. д. Это вызывает утомление операторов и приводит -к ошибкам распознавания дефектов. Во всех этих случаях эффективно применение когерентно-оптических методов фильтрации основных частот изображения, позволяющих устранить ошибки операторов. Любое изображение можно представить его частотны.м спектром (спектром Фурье), представляющим собой совокупность синусоидальных решеток с различным периодом изменений яркости и различной ориентации на плоскости. Двумерное преобразование Фурье может быть -выполнено с помощью ЭВМ, однако оптические устройства выполняют эту операцию существенно проще и быстрее. Воздействуя на спектр изображения с помощью различных устройств (масок, диафрагм), можно осуществлять его обработку в реальном масштабе времени. [c.97]

И, наконец, после двумерного преобразования Фурье от (11) в учетом (12) и (96) для двумерного пространственного спектра дискретизированной на квадратной решетке томограммы имеем [c.431]

Теперь проведем преобразование Ф-спектров вдоль строк такого изображения из столбцов одномерных Ф-спектров. Нулевая компонента соответствует средней яркости, и эта компонента выделится в тех строках, где находится больше всего пиков на одномерных Ф-преобразованиях. Остальные компоненты при таком втором преобразовании будут нести информацию о периодической структуре, которая существует в одних местах, но отсутствует в других. Яркий пик в каком-либо месте на нулевой компоненте двумерного преобразования Фурье указывает на периодическую структуру, присутствующую в подавляющем боль- [c.212]

Ввод информации в световой луч осуществляется с помощью транспаранта или пространств, модуляторов света. Оптич. луч, модулированный в каждой точке своего поперечного сечения, позволяет обрабатывать параллельно сразу большой массив данных, представленный в форме двумерной оптич. картинки. Оптич. устройства дают возможность очень просто и быстро реализовать ряд важных интегральных оптаций над двумерными сигналами, таких как преобразования Фурье, Гильберта и Лапласа, нахождение свёртки и корреляции двух ф-ций и нек-рые др. Так, обычная оп-тнч. линза позволяет мгновенно получить фурье-спектр оптич. изображения, падающего на эту линзу. Вводя соответствующие фильтры в фокальную плоскость после линзы, можно значительно улучшить качество оптич. изображения или даже увидеть изображение невидимого фазового объекта. [c.437]

Чаще всего П. ф. сводится к преобразованию фурье-сПектра двумерного распределения поля по сечению светового пучка. Кроме разложения волны в фурье-спектр применяются и иные виды разложений (напр., с помощью преобразования Френеля), но значительно реже. [c.153]

Пример 3. Некоторый исходный сигнал записан в матрице А размером 16х 16 (в матрице. 4 записаны значения некоторой функции двух переменных в узлах квадратной равномерной сетки). Элементы матрицы А, расположенные в 4-м и 5-м столбцах 4-й и 5-й строк равны 1, остальные нули. Требуется вычислить двумерное преобразование Фурье ступенчатой функции, определенной в квадрате [О, 2тс]х[0, 2тс] и принимающей в нем значения либо О, либо 1 изобразить сигнал графически выполнить двумерное дискретное преобразование Фурье изобразить графически амплитуду образа выполнить обратное преобразование и изобразить результат вычислений повторить вычисления для матрицы В размером 32х 32. В матрице В элементы, расположенные на главной диагонали, равны 1, остальные — нулю. [c.211]

В этой главе в общих чертах показаны главные положения фурье-анали-за при формировании оптического изображения и его обработке в условиях когерентного и некогерентного освещения. Они включают как одиночное преобразование Фурье, так и преобразование в сочетании со сверткой и корреляцией. Следует, однако, сразу же привлечь внимание к тому факту, что важность этих положений не ограничивается обработкой данных, имеющих оптическое происхождение. В настоящее время можно привести большое число примеров, когда методы оптической обработки используются для данных, по своей природе не являющихся оптическими. Основная причина кроется в том, что математические операции, которые применяются для большинства оптических систем, часто используются также в системах связи. Оптический аналог весьма привлекателен, поскольку ему свойственно преимущество двумерного представления и параллельной обработки данных. Этот способ во все увеличивающейся степени внедряется в практику в связи с разработкой электронно-оптических устройств сопряжения в сочетании с ЭВМ. Когда по каким-то причинам оптические методы не употребляются, ЭВМ может применяться изолированно в целях использования тех же фундаментальных принципов для цифрового изображения и обработки. [c.84]

Главным условием применимости частотной фильтрации для оценки математической интерферограммы является одномерность интерферограммы. В этом случае, как зто следует из свойств ДПФ, в дискретном спектре Фурье интерферограммы будет наблюдаться сосредоточенный по площади интенсивный выброс, соответствующий математической интерферограмме, а на остальной части частотной плоскости будут присутствовать практически только компоненты шума. Для того чтобы увеличить степень сосредоточенности выброса сигнала интерферограммы, целесообразно при выполнении дискретного преобразования Фурье маскировать двумерный сигнал интерферограммы функциями, постоянными в центре интерферограммы и гладко спадающими к ее периферии,— так называемыми функциями окна, широко практикуемыми при получении оценок спектров [27]. [c.183]

Основными методами анализа и синтеза когерентных оптических процессоров являются методы волновой оптики (в том числе и голографии) и методы теории связи. Основу этих методов составляет аппарат двумерного преобразования Фурье и теории линейных систем. [c.199]

Нетрудно показать, что распределение комплексных амплитуд света в плоскости Pz, являющейся задней фокальной плоскостью линзы Л, представляет собой двумерное преобразование Фурье от распределения комплексных амплитуд в плоскости Pi. [c.205]

Процесс формирования изображения в такой схеме математически описывается с помощью двух последовательных преобразований Фурье, а физически является процессом двойной дифракции на апертурах линз Ла и Лв. В результате первой дифракции на апертуре линзы Лп в ее задней фокальной плоскости формируется фурье-образ двумерного когерентного оптического сигнала, сформированного в результате прохождения пло- [c.225]

Преобразование Фурье широко используется в когерентной оптической обработке информации и применяется повсюду, где требуются частотный анализ, фильтрация, корреляция и распознавание сигналов. При определенных условиях [14, гл. 4] свойства когерентной оптической системы естественным образом описываются оператором фурье-образа, что в общем случае представляет собой двумерное преобразование Фурье. [c.27]

Преобразование Фурье — Бесселя проистекает из рассмотрения двумерного преобразования Фурье применительно к функциям, обладающим круговой симметрией. Этот вид симметрии характерен для большинства оптических систем и большого числа оптических сигналов. Можно показать [14, гл. 7], что образы двумерных распределений, являюш,ихся функцией только радиуса г, имеют также круговую симметрию (и, следовательно, представляют собой функции только радиальной частоты р) и что функцию можно получить из ее образа и наоборот, применяя одно и то же симметричное одномерное преобразование. Эта операция называется преобразованием Фурье — Бесселя и определяется следуюш,им образом [c.32]

Для двумерных систем с вращательной симметрией мы показали (см. разд. 2.1.3), что их можно описать с помощью одномерного преобразования Фурье — Бесселя. Существует и второй способ описания этих систем, а именно путем рассмотрения их отклика на одномерный входной сигнал, например в виде прямой линии или пичка. Можно показать [16], что в таких системах одномерная точечная функция рассеяния f r) (зависящая только от радиуса г) связана с линейной функцией рассеяния А (х) (зависящей от координаты х) преобразованием Абеля, определяемым как 00 [c.38]

Голограммы Фурье обладают значительно большей информационной емкостью, чем голограммы Френеля, и это необходимо учитывать при необходимости использовать максимальную плотность записи регистрирующей среды. Предположим, что поле объекта имеет протяженность Если этот объект преобразуется по Фурье с помощью линзы с фокусным расстоянием /, то по теореме выборки преобразование Фурье этого объекта полностью определяется его выборочными точками, отстоящими друг от друга на одинаковом расстоянии, равном Я/ZLo. Если фурье-образ объекта имеет пространственную протяженность то число выборочных точек на длине Lj равно LoL /kf, и это число называется произведением пространства на полосу пропускания голограммы. Очевидно, что в случае двумерного объекта число независимых выборочных точек на голограмме Фурье дается выражением [c.193]

Основу вычислений составляет выполнение дискретного преобразования Фурье, причем двумерное преобразование выполняется в два этапа последовательно сначала по строкам, а затем по столбцам. Использование быстрого преобразования Фурье — БПФ, предложенного Кули и Таки в 1965 году, позволило значительно сократить объем вычислений. [c.114]

Выражение (1.56) можно назвать двумерным дискретным преобразованием Френеля (ДПФР). Как и двумерные дискретные преобразования Фурье, двумерное ДПФР сводится к двум одномерным ДПФР. [c.21]

Преобразование Фурье — Бесселя известно также как преобразование Ганкеля нулевого порядка и часто называется просто преобразованием Ганкеля. Полное семейство таких преобразований можно получить, подставляя в качестве ядра функции Бесселя v-ro порядка 7v. где v не обязательно целочисленно. Преобразование Фурье двумерных радиально-симметричных функций с гармонической угловой зависимостью [т. е. имеющей специальный вид f (г) х Хехр(/п0)] можно свести к преобразованиям Ганкеля высших целочисленных порядков, в то время как преобразования радиальных функций более чем двух переменных можно описать различными преобразованиями Ганкеля полуцелочисленного порядка [24, гл. 2]. [c.32]

Когда объект находится достаточно далеко от фотопластинки либо в фокусе линзы (рис. 13, 6), каждая точка объекта посылает на фотопластинку параллельный световой пучок, при этом связь между амплитудно-фазовыми распределениями объектной волны в плоскости голограммы и в плоскости объекта дается преобразованием Фурье или Фурье-образом, осуществляющим разложение оптического изображения объекта в двумерный спектр по пространственным частотам (более подробно о преобразовании Фурье мы поговорим в главе Голографические оптические. элементы ). Голограмма в. этом случае называется голограммой Фраунгофера. Если амплитудно-фазовые распределения объектной и опорной волн являются Фурье-образами и объекта, и опорного источника, то голограмму называют голограммой Фурье. При получении голограммы Фурье объект и опорный источник обычно располагают в фокусе линзы (рис. 13, в). В случае безлинзовой голограммы Фурье опорный источник располагают в плоскости объекта (рис. 13 г). При. этом фронт опорной во7шы и фронты. элементарных волн, рассеянных отдельными точками объекта, имеют одинаковую кривизну. В результате структура и свойства голограммы практически такие же, как у голограммы Фурье. Голограммы Френеля образуются в том случае, когда каждая точка объекта посылает на фотопластинку сферическую волну (рис. 13, <)). [c.47]

Применительно к анализу регулярного рельефа излома в виде блока усталостных бороздок их изображение вводили в ЭВМ в виде квадратной матрицы замера интенсивности РЭМ-сигнала. Размер матрицы изображения 128x 128 точек (128 = 2 ) использовали аналогично одномерному Фурье-анализу. По каждой строке такой матрицы путем одномерного Ф-преобразования определяют преимущественные гармоники, соответствующие периодической структуре блока с усталостными бороздками. В отличие от одномерного случая при двумерном преобразовании Фурье на этом анализ не заканчивается. Производится следующее преобразование, позволяющее выделить те периоды структуры рельефа излома, которые чаще и реже встречаются в полученных 128 одномерных Ф-спектрах от 128 строк матрицы изображения. Суть этой операции можно пояснить следующим образом. [c.212]

В ряде работ рассмотрены более сложные задачи. Р. М. Раппопорт в [125] с помощью двумерного преобразования Фурье получено в общем виде решение для полупространства, состоящего из произвольного числа слоев, упругие характеристики которых меняются с глубиной по закону экспоненты. В работе В. Б. Рипун [129] методом Р. Я. Сунчелеева получено решение задачи для трансверсально-изотропного полупространства, упругие постоянные которого меняются с глубиной по закону С,7 = aij expfez. [c.133]

Аналитич. методы реконструкции наиболее строги, они базируются на преобразованиях Фурье, обычно их разделяют на 2 группы, отличающиеся процедурой реп.1ения двумерная реконструкция Фурье и обратная проекция с фильтрацией. В последнем случае применимы 3 разновидности фильтрации Фурье, по Радону и свёрткой. [c.125]

С помощью оптич. системы можно совершать ряд ма-тем. преебразований. Для этого ф-ция, подлежащая преобразованию (в общем случае ф-ция двух переменных), записывается в виде комплексной пропускаемости транспаранта, к-рый располагается во входной плоскости. При освещении такого транспаранта параллельным пучком лазера получаем на выходе транспаранта требуемое поле f x,y), преобразуемое затем в оптич. системе. Таким способом можно проводить двумерное преобразование Фурье, операщш свёртки и корреляции, дифференцирование ф-ций одной переменной с помощью частотной характеристики H(u) = iu [1 ] и т. д. Многоканальный анализатор спектра, выполняемый с помощью комбинации сфе-рич. и цилиндрич. линз, позволяет проводить одномерное преобразование Фурье в большом числе каналов одновременно. [c.388]

Наиболее легко реализуемой многомерной спектральной характеристикой колебательного процесса является двумерный спектр (илн биспектр). S (ш , Wj) — преобразование Фурье от двумерной функции автокорреляции [c.404]

Точное теоретическое соответствие распределения амплитуды поля в фокальной плоскости линзы и двумерного преобразования Фурье от амплитуды поля непосредственно за транспарантом возможно лишь в случае идеальной линзы с неограниченной апертурой. Конечность апертуры реальной линзы (объектива), а также неизбежные аберрации снижают точность преобразования Фурье и разрешение в спектре пространственных частот, поэтому к объективу фурье-анализатора предъявляют весьма высокие требования. Прежде всего у него должен быть значительный апертурный угол и хорошо скорректированные монохроматические аберрации. С другой стороны, фурье-объектив должен иметь возможно более низкий уровень когерентного шума, возникающего из-за попадания в спектральную плоскость рассеянного на неоднородностях, а также отраженного и переотраженного от поверхностей оптических элементов света [58]. Ясно, что для этого необходимо [c.150]

Использование алгоритмов совмещенных преобразований возможно и для вычисления двумерного преобразования Фурье действительных или комплексно-сопряженных массивов, выполняемых как два одномерных преобразования. В самом деле, при преобразовании двумерных массивов действительных чисел первое преобразование Фурье можно выполнять, совмещая ДПФ пар строк массива, а второе преобразование Фурье полученного массива комплексных чисел выполнять только до половины столбцов, вторую же половину находить, не вычисляя, как комплексносопряженную первой. При преобразовании комплексно-сопря-женных массивов нужно поступать в обратном порядке первое преобразование Фурье выполнять только до половины массива, дополнив его потом числами, комплексно-сопряженными с результатом первого преобразования, после чего второе преобразование Фурье выполнять с помощью описанного алгоритма совмещенного преобразования двух последовательностей с попарно комплексно-сопряженными элементами. [c.45]

Для расчета функции Грпна применим ту же методику, которая использовалась в гл. 3 3. После точечного источника, находящегося в точке r = v p x, у), z), разлолшм в двумерный пространственный (по р = р(х, у)) интеграл Фурье. Пользуясь дисперсионной связью кх, ку, находим двумерный (по кр = = кр(/с , ку)) интеграл Фурье в плоскости наблюдения z. Затем обратным преобразованием Фурье получим прострапственное распределение в плоскости z. [c.149]

Аналоговое оптическое вычислительное устройство выполняет требуемую математическую операцию над сформированным когерентным оптическим сигналом. Обычно оно содержит одну или несколько оптически связанных между собой линз (объективов) и оптические фильтры в виде амплитудных или фазовых масок либо голограмм, установленных в определенных плоскостях оптической системы. С помощью масок и голограмм требуемым образом осуществляют пространственную модуляцию обрабатываемого когерентного оптического сигнала или его спектра. Методы когерентной оптики и голографии позволяют относительно просто выполнять целый ряд математических операций и интегральных преобразований над двумерными комплекснозначными функциями (изображениями). Это прежде всего операции двумерного преобразования Фурье, взаимной корреляции и свертки, а также операции умножения и деления, сложения и вычитания, интегрирования и дифференцирования, преобразования Гильберта, Френеля и др. Легко реализуются также различные алгоритмы пространственной фильтрации изображений, в том числе согласованной, инверсной и оптимальной по среднеквадратичному критерию и критерию максимума отношения сигйал/шум. Следует отметить, что часто одну и ту же операцию можно реализовать с помощью разных оптических схем и различными способами. Запоминающее устройство (оптическое или голографическое) служит Для хранения набора эталонных масок или голограмм, [c.201]

Основой вычисления является выполнение дискретного преобразования Фурье, причем двумерное преобразование выполняют в два этапа сначала по строкам, а затем по столбцам. Последовательность вычислений показана на рис. 39. Для выполнения одномерных преобразований используется алго()итм быстрого преобразования Фурье (БПФ). Для удобства вычислений матрицу Ср , полученную после преобра-эюания строк, транспонируют и повторное преобразование также выполняют по строкам. В результате двойного БПФ получают коэффициенты и Ьр , по которым и определяют значения Результаты вычислений вместе с заданными параметрами используют для расчета прозрачности голограммы по ее формуле. Эти значения и выдает машина.. [c.75]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...