Отображения и потоки

Теория динамических систем является фундаментальной математической дисциплиной, тесно связанной с большинством основных областей математики. Ее математической сердцевиной является изучение глобальной структуры орбит отображений и потоков, в особенности свойств, инвариантных относительно замен координат. Понятия, методы и представления теории динамических систем существенно стимулируют исследования во многих других отраслях знания, что уже привело к появлению обширной новой науки, называемой прикладной динамикой (а также нелинейной динамикой или теорией хаоса). Теория динамических систем включает несколько основных дисциплин, но мы рассматриваем в первую очередь конечномерную дифференциальную динамику. Эта теория тесно связана с рядом других дисциплин, в особенности с эргодической теорией, символической динамикой и топологической динамикой. До сих пор не существовало достаточно полного изложения дифференциальной динамики, в полной мере отражающего взаимосвязи с этими областями. Данная книга представляет собой, попытку заполнить этот пробел. Она содержит последовательное и исчерпывающее описание основ теории гладких динамических систем, а также связанных с этой теорией областей из других разделов динамики как фундаментальной математической дисциплины. В то же время исследователи, заинтересованные в приложениях, смогут найти здесь описание нужных им методов и представлений. Данная книга содержит введение и последовательное развитие центральных понятий и методов теории динамических систем и их приложения к широкому и разнообразному ряду тем. [c.12]

Обработка графических данных на компьютере как область прикладной информатики означает формирование ГИ и ГО (создание цифровой модели), их хранение, отображение и преобразование, что можно представить в виде геометрического информационного потока (рис. 20.3). На рисунке показаны три способа создания модели ГО и его обработки на компьютере в зависимости от вида ГО и способа его ввода в компьютер. [c.402]

Пусть требуется найти комплексный потенциал потока, обтекающего со скоростью в бесконечности о = ол + oy плоскую пластину шириной 2а (рис. 128, а). Размер пластины и потока по нормали к плоскости чертежа принимаем равными единице. В соответствии с общей схемой метода конформных отображений во вспомогательной плоскости рассмотрим течение, комплексный потенциал которого известен и область которого можно конформно отобразить на область г. Таким течением является поток, обтекающий круглый цилиндр радиуса а (рис. 128, б). Действительно, функция вида [c.255]

В заключение несколько слов о трудностях, связанных с применением метода годографа и его обобщения-метода производных систем. Основная трудность состоит в том, что в большинстве задач область в плоскости годографа неизвестна. Далее, уже в простейшем случае несжимаемой жидкости, функция Log f (z) имеет особенности в критических точках потоков (где скорость обращается в нуль). Кроме того, переменные (т, а) рассматриваются в зависимости от (и, у), а не от (л , у) — этот переход требует взаимной однозначности отображения (х, у) -> (и, v). Переход от системы (10) к линейной системе (13) требует взаимной однозначности отображения и, и) (т, а). В случае уравнений газовой динамики, а тем более —общих нелинейных систем, проверка этих условий может быть [c.103]

Для построения потока через решетку пластин можно использовать отображение области течения с разрезами по линиям тока, проходящими от критических точек 8 , на полуплоскость параметрического переменного и, введенного Н. Е. Жуковским (см. рис. 2), однако при этом, в отличие от случая струйного течения, вместо простого условия Ке ю = О на отрезках в плоскости и необходимо удовлетворять значительно более сложному условию равенства (о в совпадающих точках заранее неизвестного разреза в плоскости z. Для устранения этой трудности С. А. Чаплыгин ввел такое отображение и = и z), что контуры всех профилей переходят последовательно в равные отрезки действительной оси =. 2я), [c.108]

Теория гладких динамических систем, или дифференциальная динамика. Как показывает название, фазовое пространство в соответствующей теории обладает структурой гладкого многообразия, например является областью или замкнутой поверхностью в евклидовом пространстве (более детальное описание см. в 3 приложения). Эта теория, которая является основной темой данной книги, изучает диффеоморфизмы и потоки (гладкие однопараметрические группы диффеоморфизмов) на таких многообразиях и итерации необратимых дифференцируемых отображений. Мы будем рассматривать главным образом конечномерные ситуации. Интерес к бесконечномерным динамическим системам, который в большой степени стимулирован проблемами гидродинамики, статистической механики и других областей математической физики, непрерывно возрастал в течение последних двух десятилетий и продолжает расти. Несколько направлений бесконечномерной динамики успешно разрабатываются в значительной степени по аналогии с различными направлениями конечномерной динамики. [c.22]

Идеальная ситуация для применения локального подхода возникает в случае. когда первоначальная орбита периодична, т. е. f" Xf ) = х . Тогда последовательность дифференциалов также периодична и главная роль в понимании локального поведения отображения принадлежит итерациям одного линейного оператора который представляет инфинитезимальное поведение близлежащих орбит на протяжении периода. В частности, собственные значения этого оператора играют решающую роль в понимании локального поведения отображения в окрестности точки См. анализ линейных отображений в 1.2 и локальный анализ нелинейных отображений в окрестности периодических точек в 6.3 и 6.6. Для непрерывных динамических систем роль дифференциала играет вариационное уравнение, правая часть которого представляет собой инфинитезимальную образующую однопараметрической группы дифференциалов отображений, порождающих поток. [c.29]

Для динамических систем с непрерывным временем инварианты, определенные выше, бессодержательны, так как каждый элемент потока гомотопен тождественному отображению и, следовательно, индуцирует тривиальные отображения на фундаментальной группе и группах гомологий. Имеются, однако, иные способы измерения роста топологической сложности. Например, на компактном связном многообразии X можно зафиксировать точку реХ я семейство кривых Г= хеХ] ограниченной длины, соединяющих р с различными точками X Тогда для потока Ф = 9 X - Х можно зафиксировать Т и рассмотреть для каждого хеХ петлю 1(х, Т), состоящую из кривой 7 , отрезка орбиты и пути, обратного к Эти циклы [c.129]

Следствие 3.2.13. Если f XX—разделяющее отображение и 5 не превосходит половины постоянной разделения 5 , то h (f, S) = = h(f). То же самое верно и для потоков. [c.137]

В 7.3 рассматриваются двумерные обратимые отображения и связанные с ними потоки. Показывается, что последовательность бифуркаций удвоения периода, приводящая к хаотическому движению, аналогична найденной для одномерных отображений. Далее описывается метод Мельникова для определения перехода от регулярного движения к стохастическому. Метод иллюстрируется на примере вынужденных колебаний нелинейного осциллятора с затуханием. Описан метод вычисления инвариантных распределений с помощью уравнения ФПК. [c.410]

Двумерные отображения и связанные с ними потоки [c.453]

Математические модели динамики в общем случае могут иметь один из трех видов дифференциальные уравнения (или потоки), разностные уравнения (называемые отображениями) и символические динамические уравнения. [c.32]

Индекс Кронекера—Пуанкаре. Этот индекс будет определен для изолированных периодических траекторий , включая положения равновесия потока. Во всех случаях определение связано с понятием вращения векторного поля v на сфере не обращающегося на ней в нуль, т. е. степени ее отображения j i->v(je)/l v(j ) ] в единичную сферу. Отображения и векторные поля здесь и далее подразумеваются непрерывными. [c.182]

Гиперболические динамические системы с особенностями возникают во многих важных физических проблемах. Кроме того, при переходе к отображению Пуанкаре потоков, отвечающих гладким, даже аналитическим системам обыкновенных дифференциальных уравнений, часто теряется гладкость (см. далее). Переход же к отображению Пуанкаре и представление исходного потока в виде специального потока (см. гл. 1, 4) являются в настоящее время наиболее эффективными методами исследования эргодических свойств динамических систем с непрерывным временем. [c.173]

Оу является эквипотенциальной линией, то все линии тока, сходящиеся в центре скважины О , должны быть перпендикулярны к прямой Оу (рис.7.6). Для определения поля течения добьёмся выполнения граничных условий на контуре введением фиктивного источника О2 с дебитом, равным дебиту стока О1, путём зеркального отображения данного стока относительно прямой О .Таким образом, используем ранее упомянутый метод отображения и задачу о потоке в пласте с прямолинейным контуром питания и с одиночной эксплуатационной скважиной сведём к ранее рассмотренной в разделе 7.1.17. задаче о фильтрационном потоке от источника к стоку. Отличие данных задач только в постановке граничных условий в задаче раздела 7.1.1. источник питания - нагнетательная скважина, а в данном случае - прямолинейный контур, а источник О2 фиктивный. [c.93]

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОЛЯ СКОРОСТЕЙ МЕТОДАМИ КОНФОРМНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ И НАЛОЖЕНИЯ ПОТОКОВ [c.449]

На рис. 352 Кран трехходовой отображен пятью изображениями и схемами, указывающими направление потоков рабочей среды [c.299]

Следовательно, построение плоского потенциального потока методом конформного отображения сводится к нахождению аналитической функции, с помощью которой область течения с известным комплексным потенциалом отображается на область с заданными границами. Способы определения отображающих функций являются чисто математической проблемой и выходят за рамки курса гидромеханики, поэтому в приводимых ниже примерах использованы отображающие функции, известные из математики. [c.238]

Следовательно, при конформном отображении потоков циркуляция скорости не изменяется. Можно доказать, что при этом и расход жидкости через какой-либо замкнутый контур остается постоянным. Действительно, [c.239]

Первый результат о гельдеровости структур, связанных с гиперболической системой, — принадлежащее Аносову доказательство гельдеровости устойчивого и неустойчивого слоений а [17]. Гелвдеровость сопряжений отображений и потоков была общеизвестна среди специалистов в течение длительного времени, но мы не можем указать первоисточник. [c.736]

Явления Д. ис-т пользуются в при- I кладной крнсталло-оптике и в минера-логии (для опреде-ления минералов и < горных пород), в химии и биохимии для определения структуры молекул. Линейный Д.применяется для получения поляроидов. Элементы с управляемым Д. используются как модуляторы световых потоков, устройства индикации, отображения и храпения информации, элементы иамяти и т. п. [c.694]

Ограничимся изложением результатов исследования семимерной модели (7.7), выполненного в работе [461]. При R = Ro 227,1 четыре симметрично расположенных в фазовом пространстве предельных цикла становятся неустойчивыми и превращаются в четыре двумерных тора с частотами Д (частота цикла) и /г = 1/Гт, где Гт — квазипериод тора. Проекция на плоскость Же, X, инвариантной кривой на секущей гиперплоскости Xi = О, соответствующей одному из таких торов, а также спектральные плотности отображения Пуанкаре для х, и потока для xi x) при R = 269 показаны на рис. 9.80, а. При R = Ri, где 275 бифуркация удвоения квазипериода тора (рис. 9.80, б), а при R = Лг, где 294 бифуркация удвоения тора в [461] обнаружена не была. При увеличении R от значения Лг инвариантная кривая становится все более нерегулярной (рис. 9.81). Хаос на- [c.337]

Главы 6—14 образуют законченное целое в них делается попытка дать подробное описание двумерного движения с единой точки зрения функций комплексного переменного при этом широко применяется конформное отображение, теорема Чаплыгина — Блазиуса и ее обобщения. В главе 6 исследуются потенциальные течения в главе 7 рассматривается простое крыло Жуковского, глава 8 посвящена источникам и стокам. В главе 9 подробно рассматривается движение цилиндра и дается обобщение теоремы Кутта — Жуковского, охватывающее случай ускоренного движения (п. 9.53). Глава 10 содержит изложение теоремы Шварца — Кристоффеля о конформном отображении и ее некоторые непосредственные приложения в главах 11, 12 даются дальнейшие приложения с целью изучения прерывных течений с отрывом струй и образованием каверн в потоке за цилиндром, сюда включено также описание изящного метода Леви-Чивита. Глава 13 посвящена рассмотрению прямолинейных вихрей, вихревой дорожки Кармана и сопротив.1с-нию, вызванному вихревым следом за телом. В главе 14 рассматривается. 1вумерное волновое движение жидкости. [c.10]

Ли и Йорк (1975) высказали гипотезу, которая заключается в том, что эта величина совпадает с хаусдорфовой размерностью множества Л (определенной как нижняя грань хаусдорфовых размерностей множеств единичной инвариантной меры, предельной для меры Лебега в фазовом пространстве). Численные расчеты для нескольких двумерных отображений и одного трехмерного потока показали, что величины (2.89) и (2.87) практически совпадают. [c.130]

Элементы выходного потока Управление (см. рис. 1) представляют собой выходные документы реализуемой подсистемы ведомости невыполнения планов (отчеты о выполнении планов) транзитных, складских поставок, поставок на склад (базу), ведомость штрафных санкций, ведомости информации, реализующие режим запросов, ведомость сводной статистической отчетности по форме № 1-ПС. Эти элементы описываются на бланках карт анализа и постановки задач (КАПЗ) [2], где также отражаются выполняемые функции из числа элементарных, заложенных в системе автоматизации проектирования связь с таблицей решений (ТР) и таблицей неэлементарных процедур (ТПП) прямая и обратная связь с функцио[1ерами (операторами) тип управленческой информации, отображенной и выходных документах плановая (П), оперативно-календарная (О), контрольная (К), учетная (У), нормативная (Н) и призначная (С). [c.162]

В классической механике используются весьма разнообразные математические методы и понятия дифференциальные уравнения и фазовые потоки, гладкие отображения и многообразия, группы и алгебры Ли, симплектическая геометрия и эргодическая теория. Многие современные математические теории возникли из проблем механики и лишь впоследствии приняли тот аксиоматически-абстрактный вид, который так затрудняет их изучение. [c.9]

Отметим очень существенное различие между отображениями из всех предыдущих примеров и растягивающими отображениями. В большинстве примеров возвращение либо было очень простым, т. е. имелись только неподвижные точки, как в случаях сжимающих отображений, гиперболических линейных отображений и градиентных потоков, либо, если нетривиальное возвращение имело место, все возвращающиеся орбиты вели себя одинаково, как в случаях сдвигов и линейных потоков на торах. Нужно оговориться, что для общих вполне интегрируемых систем различные орбиты ведут себя по-разному и в то же время нетривиальное возвращение имеет место. Однако фазовое пространство таких систем распадается на инвариантные множества (торы), и все орбиты на таком торе имеют одинаковую структуру. Орбиты же растягивающих отображений с различным поведением (периодического типа, плотные или с замыканием типа канторова множества) переплетены и не могут быть отделены друг от друга. Это делает структуру орбит очень сложной, асимптотическое поведение отдельной орбиты неустойчивым и очень чувствительным к начальному условию. Более того, любые две орбиты будут расходиться друг от друга с экспоненциальной скоростью, пока они не разойдутся на достаточно большое расстояние 6. Следовательно, невозможно предсказать поведение орбиты в течение длительного времени, если начальная позиция известна только с ограниченной точностью. Например, выполнение итераций Е2 на ЭВМ будет, очевидно, давать всего лишь столько осмысленных итераций, сколько есть значащих двоичных цифр в начальных данных. Кроме того, любое увеличение точности будет давать весьма скромное увеличение времени, в течение которого можно делать какие-либо предсказания о поведении данной орбиты удвоение числа значащих цифр в начальных данных и вычислении не более чем удвоит диапазон времени, в течение которого эти предсказания возможны. Аналогично, сокращение ошибки в измерении начальных данных вдвое даст всего лишь возможность произвести еще одну осмысленную итерацию. [c.55]

Понятие трансверсальности играет также существенную роль в контексте теоремы Купки — Смейла дая потоков. Имеются два различных элемента структуры орбит потоков, а именно неподвижные и периодические точки, соответствующие периодическим орбитам отображений, и они должны рассматриваться отдельно. Мы уже ввели понятие гиперболичности для таких точек в определении 6.2.2. [c.301]

Переход к хаотическому движению через бифуркации удвоения периода является, как мы увидим, характерным для широкого класса диссипативных систем как отображений, так и потоков. При этом зависимость бифуркаций от параметра и форма спектра оказываются универсальными вблизи перехода. Эти вопросы будут расслютрены в 7.2 и 7.3. [c.419]

Рассел и др. [356] сравнили (7.1.17) с (7.1.19) для нескольких двумерных отображений и трехмерных потоков. Для двумерных отображений, у которых 01>О >01 02, (7.1.19) сводится к [c.424]

И согласно (7.1.19), для трех разных двумерных отображений и трехмерного потока. Были выбраны отображения Хенона (7.1.14), (необратимое) отображение Каплана и Йорке [c.425]

Мы уже видели, что хаотическое движение может возникать в диссипативных потоках с размерностью фазового пространства не меньше трех, или в соответствующих этим потокам обратимых отображениях Пуанкаре, размерность которых не менее двух. В общем случае хаотическое движение имеет место лишь для узких интервалов параметров. В этом существенное отличие от гамильтоновых систем, где хаотическое движение сохраняется, как правило, в широком диапазоне параметров. Ниже описаны два критерия локальной стохастичности для диссипативных систем. В п. 7.3а метод квадратичной ренормализации применяется к двумерным обратимым отображениям и показывается сходимость последовательности бифуркаций удвоения периода и возникновение локального хаотического движения. В п. 7.36 получен критерий перехода к хаотическому движению вблизи сепаратрисы на примере вынужденных колебаний осциллятора с затуханием. Наконец, в п. 7.3в pa ютpeнa модель ускорения Ферми с диссипацией и используется описание хаотического движения с помощью уравнения ФПК. Это уравнение позволяет получить первое приближение для инвариантного распределения на странном аттракторе. [c.453]

С использованием метода наложения потоков (см. п. 1.4) путем интегрирования стоков по всасывающему отверстию в работах [28-32] получены формулы для расчета осевой скорости у вытяжных отверстий, встроенных в плоскую безграничную стенку. За рубежом методом наложения потоков было рассмотрено поле скоростей у прямоугольного всасывающего отверстия [44. Здесь не были получены такие простые формулы, как у И.А.Шепелева. Интегрирование источников проводилось суммированием 100 единичных стоков. Изучалось течение стесненными стенками (одной, двумя и тремя взаимно перпендикулярными стенками), описанное с использованием зеркального отображения и графического суммирования. Этим же методом рассмотрена задача в плоскости [45] для одного точечного стока, одного точечного источника и плоскопараллельного течения. [c.446]

Предложен и реализован в составе САПР подход к определению установившихся электромагнитных процессов, использующий метод конечных элементов для расчета распределения магнитного поля в поперечном сечении машин. Кроме того, разработаны цифровые модели явнополюсных машин классической конструкции, с гребенчатым ротором, неявнополюсных синхронных машин, индукторных машин с пульсирующим и постоянным потоком, машин с внешне- и внутризамк-нутым потоком и др. на основе инженерных методов расчета. Созданы проблемно-ориентированные пакеты программ Модель и Поле , включающие программы, соответствующие названным математическим моделям электрических машин, программные модули аналитической аппроксимации одно- и двумерных функций, набор программных средств численного решения нелинейных задач и графического отображения распределения магнитного поля. [c.287]

Пусть в плоскости 2 задан контур крылового профиля и комплексная скорость И() = Ио е в бесконечности обтекающего его потока. Для отыскания комплексного потенциала выберем в плоскости вспомогательный поток, комплексный потенциал которого нам известен. В качестве такого потока можно взяп поток со скоростью в бесконечности и = и обтекающий круглый цилиндр радиуса а (рис. 131). Далее произведем отображение внешности цилиндра на внешность профиля с помощью аналитической функции 2 = / ( . [c.260]

Следует отметить, что непосредственное определение комплексного потенциала потока представляет значительные сложности. Поэтому во многих задачах комплексный потенциал находят косвенным путем с помощью метода конформных преобразований, имеющих большое значение в теории крыла, обтекаемого плоскопараллельпым потоком невязкой жидкости. Используя этот метод, можно определить геометрические и аэродинамические характеристики профилей, получаемых конформным отображением круга с помощью специально подобранных для этого отображающих функций. Для понимания сущности этого преобразования здесь даны задачи на отображение круга в отрезок и отрезка в окружность. [c.161]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...