Многообразие связное

Б. На компактном связном римановом многообразии любые две точки можно соединить геодезической. [c.172]

Многообразие Е ориентируемо. Значит, каждая связная компонента Е является двумерным тором (как всякое связное, ориентируемое, компактное двумерное многообразие, допускающее касательное векторное поле без особых точек см., например, [62]). [c.153]

Естественно поставить вопрос о количестве связных компонент многообразия Е. Частичный ответ на этот вопрос дает [c.153]

При фиксированных значениях Д, I2, I3, h = 1 обозначим через S множество точек х К ж1,. .., же , которые удовлетворяют системе уравнений (1.2). Ясно, что S инвариантно относительно группы g сдвигов по траекториям уравнений (1.1). Так как S замкнуто и ограничено в R , то оно компактно. Всюду ниже рассматриваются только такие множества S, на которых первые интегралы (1.2) независимы. В этом случае S — гладкое двумерное многообразие. Исключительные значения параметров Ji, I2, I3 образуют множество нулевой меры. Точно так, как в 1 гл. VII, доказывается, что каждая связная компонента множества S является двумерным тором. [c.200]

Размерность пространства Н (Л/, К) называется -мерным числом Бетти многообразия М оно обозначается Ьк М) или просто Ьк. Например, если М—п-мерный тор Т", то Ьк = (см., например, [54]). По теореме двойственности Пуанкаре Ьк = Ьп-к- Для связных многообразий 6о = = 1- Эйлерова характеристика выражается через числа Бетти по формуле М) = [c.136]

Теорема 4. Предположим, что конфигурационное пространство натуральной системы с п степенями свободы является связным аналитическим многообразием М", а функция Гамиль-гона Н = Т V — аналитической функцией в фазовом пространстве. Если эта система имеет i независимых аналитических интегралов, то [c.137]

На каждой связной компоненте Л, многообразия О ((1.16)) лежит особая точка 5,. системы (1.17) с координатами [c.166]

Дифференцируемое многообразие есть класс эквивалентности атласов. Мы будем рассматривать только связные многообразия ). Тогда число п для всех карт одно и то же — оно называется размерностью многообразия. [c.73]

X 0(3), а R X 80(3) — лишь одна из двух связных компонент этого Многообразия, соответствующая определенной ориентации тела. [c.119]

Если многообразие Mj компактно и связно, то оно диффеоморфно п-мерному тору [c.239]

Теперь мы предположим, что задано такое симплектическое действие группы Ли С на связном симплектическом многообразии М, что каждому элементу а алгебры Ли группы С соответствует однопараметрическая группа симплектических диффеоморфизмов с однозначным гамильтонианом Н . Эти гамильтонианы определены с точностью до постоянных слагаемых, которые можно выбрать так, чтобы зависимость Н от а была линейной. Для этого достаточно как угодно выбрать константы в функциях Гамильтона для каких-нибудь базисных векторов алгебры Ли группы С и затем определить функцию Гамильтона для любого элемента алгебры как линейную комбинацию базисных. [c.338]

Определение. Действие связной группы Ли на симплектическом многообразии называется пуассоновским, если функции Гамильтона для однопараметрических групп однозначны и выбраны так, что функция Гамильтона линейно зависит от элемента алгебры Ли и функция Гамильтона коммутатора равна скобке Пуассона функций Гамильтона [c.339]

Например, коразмерность множества эллипсоидов вращения в многообразии всех эллипсоидов равна двум в пространстве любого числа измерений поэтому естественно считать, что и в бесконечном многообразии эллипсоидов в бесконечномерном гильбертовом пространстве множество эллипсоидов вращения имеет коразмерность 2 (и, в частности, пространство эллипсоидов без кратных осей связно). [c.399]

Блуждающие и неблуждающие движения. Рассмотрим произвольную точку Ро многообразия состояний движения М. Пусть а будет открытое связное множество малого диаметра е , содержащее Ро( ). При возрастании времени I эта частица сг движется. Может случиться, что Ро представляет состояние равновесия в этом [c.195]

Если многообразие Мf связно и компактно, то оно диффеоморфно п-мерному тору (рис. И) [c.73]

Для динамических систем с непрерывным временем инварианты, определенные выше, бессодержательны, так как каждый элемент потока гомотопен тождественному отображению и, следовательно, индуцирует тривиальные отображения на фундаментальной группе и группах гомологий. Имеются, однако, иные способы измерения роста топологической сложности. Например, на компактном связном многообразии X можно зафиксировать точку реХ я семейство кривых Г= хеХ] ограниченной длины, соединяющих р с различными точками X Тогда для потока Ф = 9 X - Х можно зафиксировать Т и рассмотреть для каждого хеХ петлю 1(х, Т), состоящую из кривой 7 , отрезка орбиты и пути, обратного к Эти циклы [c.129]

Следствие 8.6.4. Каждое гомотопное нулю отображение связного компактного многообразия (возможно, с границей) обладает неподвижной точкой. [c.334]

Доказательство. Для гомотопного нулю отображения / преобразования при f 1 тождественно нулевые. Для связного многообразия Яо(М, Q) = Q и / = Id. Таким образом, L (/) = 1. [c.334]

Предложение 9.6.2. Если многообразие М компактно и, связно, а его фундаментальная группа тг, (М) бесконечна, то Мф0. [c.379]

Когда мы говорим о динамических системах малой размерности, или, точнее говоря, о динамических системах с фазовым пространством малой размерности, мы имеем в виду простую и традиционную концепцию евклидовой размерности связного многообразия. Другими словами, мы полагаем, что [c.385]

Топологическое свойство состоит в том, что в одномерном пространстве малая окрестность точки делится этой точкой на две компоненты связности, в то время как для многообразий высших размерностей окрестность после выкалывания точки остается связной. [c.387]

Многообразие связно, если его нельзя разбить на два непересеяаю-щиеся открытые подмногообразия. [c.73]

Теорема ([86], [94]). Пусть (л , у) = р — точка складки медленной поверхности быстро-медленной системы (2) типа 1 (то есть системы с не более чем одномерными центральными многообразиями положений равновесия быстрых движений). Пусть вектор С х, у, 0) трансверсален проекции складки на базу вдоль слоев (то есть проекции складки на пространство-медленных переменных вдоль пространства быстрых). Пусть, кроме того, этот вектор направлен наружу по отношению к проекции медленной поверхности на плоскость медленных переменных. Тогда существует такая окрестность U точки р в фазовом пространстве, что для любой точки qW связная компонента пересечения окрестности U с положительной полутра-екторией системы (2) с началом q при е->0 стремится к регулярной фазовой кривой вырожденной системы. [c.184]

T, в многообразии определяется так подмножество в М" открыто, если открыто его пересечение с каждой картой. Дополнительно в определении многообразия требуется, чтобы пересечение любых двух карт было открыто, а также чтобы М" было хаусдорфовым тоггологич. пространством. Многообразие наэ. чамкнутым, если оно компактно и связно. Все понятия дифференц. исчисления ф-ций многих переменных и локальной дифференц. геометрии (гладкие ф-пии и отображения, векторные и тензорные поля, дифференц. формы, римановы метрики и др.) несложно переносятся на многообразия. Многообразия М" и iV" наз. диффеоморфными, если определены взаимооб-ратные гладкие отображения и [c.145]

Следствие 5. Предположим, что граница дВ несвязна. Тогда для любой связной компоненты Е многообразия дВ существует либрационное периодическое решение с несамопере-секающейся траекторией и с концами на Е и дВ Е. [c.141]

Рассмотрим сначала вопрос о существовании периодических движений тела в трехмерном пространстве. Пусть h = U1 — максимальное критическое значение интеграла энергии. При h > U1 область возможных движений совпадает со всей S0 3). На любом римаповом S0 3) существует по крайней мере три различных замкнутых геодезических [52]. Им соответствуют шесть различных периодических движений твердого тела (некоторые из них могут быть перманентными вращениями). При остальных некритических h область В имеет края. Если, например, тело вращается в ньютоновском поле сил (классическое приближение, см. 4 гл. III), то каждая связная компонента области возможных движений согласно [55, 56] диффеоморфна х [О, 1] (Т — двумерный тор) или X В" S — окружность, а В" — двумерный диск). В первом случае граница дВ состоит из двух связных многообразий, диффеоморфпых Т , и, следовательно, по теореме 3 существует, по крайней мере, одно либрационное периодическое [c.143]

Так как положение этой окружности непрерывно зависит от точки ж , Жз, Ж3 , то при и = О многообразие Е состоит из двух связных компонент. Если и ф О, но мало, то по теореме Морса [45] совместные уровни будут диффеоморфпы уровню при и = 0 и, следовательно, иметь столько же компонент связности. [c.153]

Теорема l[l]- Пусть М —связное, компактное, ориентируемое четномерное многообразие. Если гамильтонова натуральная система на Т М имеет к (dim М)/2 нез висимых линейных интегралов, находящихся попарно в инволюции, то х(М) 0. [c.152]

Нам нужно будет также рассмотреть поверхности с краем. Пусть S — двумерное, связное, ограниченное многообразие с краем (вообш,е не компактное). Такую поверхность S мы будем называть разомкнутой поверхностью. Включение S Л (а) определяется так же, как в определении 15.5, но все условия определения, указанные в 15.5, должны выполняться для точек множества S, где S — замыкание множества 5 в пространстве [c.63]

Множество всех матриц третьего порядка есть девятимерное пространство R . Шесть условий ортогональности выделяют два трехмерных связных многообразия матриц с определителем +1 и —1. Вращения трехмерного пространства (определитель +1) образуют группу, которая обозначается 80(3). [c.74]

В топологии доказьшается, что все связные ориентируемые компактные двумерные многообразия суть сферы с п ручками, п>0 (рис. 113). [c.121]

Задача. Докажите, что связные компоненты инвариантных двумерных многообразий Ус ( 28, Б) в шестимерном пространстве Г 80(3) — торы и на них можно выбрать координаты ф , ф2mod2я так, чтобы Ф1 = 0)1 (с), Фг = Юг (с)- [c.130]

Лемма 2. Пусть М" — компактное, связное дифференцируемое п-мерное многообразие, на котором задано п векторных полей, попарно коммутирующих и линейно незаешимых в каждой точке ЛГ. Тогда многообразие диффеоморфно п-мерному тору. [c.241]

А. Описание переменных действие—угол. В 49 мы занимались исследованием одного-единственного связного, компактного многообразия уровня интегралов М/ = х Р (х) = / оказалось, что Mf есть п-мерный тор, ивариантный относительно фазового потока. Мы выбрали угловые координаты на Mf так, что фазовый поток с функцией Гамильтона Н = принимает на Mf особенно простой вид [c.245]

Пусть М М — симплектический диффеоморфизм. Мы скажем, что диффеоморфизм гомологичен тождественному, если его можно соединить с тождественным диффеоморфизмом (оставляющим на месте все точки многообразия М) гладкой кривой gt, состоящей из симплектических диффеоморфизмов, так, Ч Ю поле скоростей в каждый момент времени I имеет однозначную функцию Гамильтона. Можно доказать, что симплектические диффеоморфизмы, гомологичные тождественному, образуют коммутант связной компоненты единицы в группе всех симплектических диффеоморфизмов многообразия. [c.387]

Линии потока, соответствующие большому приближению к тройному соударению, заполняют, таким образом, три, не имеющих общих точек, связных семимерных множества в многообразии Му, соответствующих тому, что любое из тел Po.Pi или Р2 может быть относительно далеко от других двух тел в течение такого движения. Эти области лежат вблизи границы Му, и всякая принадлежащая к ним линия потока приближается к этой границе, когда Ь безгранично возрастает или убывает. [c.285]

Тут возникает очень интересный вопрос, а именно заполняют ли движения, для которых ИтД = оо в одном или в обоих направлениях, многообразие Му всюду плотно или нет Весьма существенно понять, в чем состоит трудность, присущая этому вопросу. Прямым вычислением, без сомнения, можно всегда установить, принадлежит ли данное движение к одному из этих связных множеств или нет. Разумеется, для К малых почти все должно быть заполнено этими множествами, вследствие результатов, полученных нами для случая К 0. Тем не менее, если в Му имеется хотя бы одно периодическое движение устойчивого типа, невозможно определить, будут ли соседние движения принадлежать к этим множествам, не решая для этого частного случая основной проблемы устойчивости. Мы уже указывали (глава VIII) на чрезвычайную трудность проблемы устойчивости, возникающую как раз вследствие того, что в динамической проблеме, подобной проблеме трех тел, формальная устойчивость первого порядка обеспечивает удовлетворение бесконечного множества других, более тонких условий полной формальной устойчивости. Предыдущий вопрос, однако, может быть поставлен в другой, более наглядной форме, которая, по моему мнению делает весьма вероятным, что движения, для которых lim/ , = сю при limi = -Ьос, всюду плотны в Му. То же будет в таком случае справедливо и относительно движений, для которых lim Ti = 00 при lim t = -ос, так как, вследствие обратимости системы дифференциальных уравнений, оба предположения должны быть одновременно справедливы или одновременно ложны. [c.286]

Таким образом, вообще говоря, наша процедура не определяет отображения (ни в каком направлении) между пространством X и подмножеством пространства последовательностей Чтобы мы могли получить приемлемую взаимосвязь между топологией фазового пространства и топологией пространства последовательностей, подмножества нашего разбиения должны быть замкнутыми. Таким образом, если, скажем, X — связное многообразие, то первой трудности избежать нельзя. Здесь нужно сделать две оговорки. Во-первых, в случае полулокального анализа иногда можно избежать перекрытий, как мы увидим позднее в этом параграфе. Во-вторых, наличие перекрытий, имеющих меру нуль, несущественно в случае, когда мы исследуем статистические свойства орбит, типичных в смысле некоторой меры, инвариантной для / (см. 4.1), так как тогда множествами нулевой меры можно просто пренебречь. [c.92]

Теорема 7.4.1 (теорема Артина — Мазура). Пусть М — компактное многообразие. Для /eDiff (M) обозначим через V f) число связных компонент множества Fix(/"). Тогда множество [c.312]

Переходя к более общему случаю, пус f М — М — непрерывное отображение связного многообразия М я М — универсальное накрытие М. Тогда фундаментальная группа действует преобразованиями накрытия на 7, и два поднятия F, и могут быть названы эквивалентными, если существует такое преобразование иакрытия 7, что = 7 il7, Обозначим это отношение эквивалентности Проекции неподвижных точек отображений [c.340]

Теорема 9.5.8. Пусть М — полное связное ориентированное ри-маново многообразие и х, уеМ. Тогда функционал действия А наТ достигает своего (не обязательно единственного) минимума на гладкой геодезической Эйлера —Лагранжа. [c.376]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...