Вращение векторного поля

Понятие индекса основано на понятии вращения векторного поля. Если на простой замкнутой кривой задано непрерывное векторное поле, то вращением этого поля вдоль кривой называется, грубо говоря, число полных оборотов, которое делает вектор поля при однократном обходе этой кривой в положительном направлении (точное определение дано в п. 2 6). Индекс Пуанкаре изолированного состояния равиовесия О динамической системы есть вращение векторного поля, определяемого этой системой, вдоль любой достаточно малой замкнутой кривой, содержащей точку О внутри себя. [c.205]

Вращение векторного поля. Введем основные понятия теории индекса. [c.205]

Определим теперь вращение векторного поля вдоль простой дуги. [c.207]

Вычислим вращение векторного поля системы (I) вдоль замкнутой кривой Е. Это вращение равно сумме вращений векторного поля вдоль эллиптических и гиперболических дуг, а также параболических дуг без контакта н седловых дуг без контакта, входящих в замкнутую кривую Е (см. 19). Из условий 1) и 3) следует, что сумму вращений векторного поля нашей системы вдоль седловых дуг без контакта можно считать сколь угодно малой (этого можно добиться, взяв достаточно малыми седловые дуги). Вычислим вращение поля вдоль гиперболических дуг без контакта. [c.560]

Индекс Кронекера—Пуанкаре. Этот индекс будет определен для изолированных периодических траекторий , включая положения равновесия потока. Во всех случаях определение связано с понятием вращения векторного поля v на сфере не обращающегося на ней в нуль, т. е. степени ее отображения j i->v(je)/l v(j ) ] в единичную сферу. Отображения и векторные поля здесь и далее подразумеваются непрерывными. [c.182]

Перейдем к разъяснению важной топологической характеристики — вращению векторного поля, которая будет ниже существенно использоваться. Начнем с простейшего случая — векторного поля на плоскости. Пусть в каждой точке некоторой плоской области 2 задан вектор П, непрерывно зависящий от координат 1, Х2 (рис. 9.1). В этом случае будем говорить, что в 2 задано непрерывное векторное поле П. Точки, где [c.66]

Изложенные здесь обстоятельства с несомненностью свидетельствуют о пользе вращения векторного поля как средства доказательства разрешимости систем на плоскости. Чтобы использовать заложенные здесь возможности, требуется далеко идущее обобщение понятия вращения векторного поля на случай операторных уравнений и полей в бесконечномерных пространствах. Исходным и определяющим пунктом здесь был перенос понятия вращения векторного поля на поля в и-мерном евклидовом пространстве. Такой перенос был осуществлен Брауэром и Хопфом [1, 36, 38] на 5 [c.67]

Этот инвариант имеет существенное значение во многих топологических рассмотрениях, может быть введен для произвольных достаточно гладких отображений и носит наименование топологической степени отображения. Именно го введение дало возможность Брауэру и Хопфу обобщить понятие вращения векторного поля для размерностей пространства, больших чем 2. [c.69]

Оказывается, что при достаточной гладкости Пий ind /с пе зависит от положения точки к на й. Его и рационально назвать вращением векторного поля П на в,. Вышеприведенные рассуждения могут быть проведены для любого достаточно гладкого отображения, и тогда мы получаем инвариант-топологическую степень отображения. В случае -отображения мы получаем вращение у векторного поля П на в,. [c.72]

Основные идеи мы разъясним на примере вычисления вращения векторного поля, заданного па сферах сепарабельного гильбертова пространства Н. [c.73]

Предположение о сепарабельности пространства Н использовалось нами для простоты изложения. Вращение векторного поля для [c.73]

Сформулированная теорема открывает большие возможности для доказательства разрешимости широкого класса операторных уравнений. Естественно, наиболее трудным этапом в такого рода доказательствах является вычисление вращения векторного поля i. ш [c.74]

Знание вращения векторного поля дает возможность в ряде случаев устанавливать неединственность решения соответствующих операторных уравнений и вообще давать оценку числа решений. [c.75]

Теорема 9.14. Пусть па некоторой сфере пространства Гильберта 2(Д, 0) вращение векторного поля есть f, внутри 2(Д, 0) располагается конечное число изолированных особых точек W2,. .Wp. Тогда [c.75]

ВЫЧИСЛЕНИЕ ВРАЩЕНИЯ ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ 125 [c.125]

Вычисление вращения векторного поля ю —Охх(м>) на сферах большого радиуса в Н . Предварительные леммы [c.125]

ВЫЧИСЛЕНИЕ ВРАЩЕНИЯ ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ 127 [c.127]

Вычисление вращения векторного поля м> — на сферах большого радиуса в Ну,. Разрешимость основных краевых задач в перемещениях [c.131]

Вычисление вращения векторного поля и> — 6х(н ) на сферах большого радиуса в Н . Разрешимость основных краевых задач теории геометрически пологих оболочек с функцией усилий [c.158]

Замечание. Число вращения векторных полей на двумерных инвариантных торах задачи Эйлера-Пуансо вычислены в 2 гл. II. Нетрудно показать, что в случае Лаигранжа-Пуассона числа вращения равны отношению периода изменения угла нутации к периоду среднего собственного вращения. [c.206]

В частности, когда М1 и М2 — начальная и соответственно конечная точка рассматриваемой дуги I, то мы будем говорить о вращении вектора вдоль простой дуги I и будем обозначать ого через ю (р, I). Из леммь[ 1 и определения X следует, что вращение векторного поля вдоль нростон дуги I но зависит ни от выбора системы координат на плоскости (х, у), ни от выбора угловой функции Р (М) ноля V относительно данной системы координат. [c.208]

Поскольку получение априорной оценки есть один пз существенных моментов доказательства, то отметим, что в основе ее вывода лежит физическая идея разбиения сферы эиергетического пространства Н на две части, одна из которых не содержит слабого замыкания нуля. Для этой части сферы доказательство базируется на анализе энергии растяГкепия оболочки, для остальной части сферы соответствующие неравенства достигаются за счет оценки энергии изгиба. Вычисление вращения векторного поля дает не только теорему разрешимости, но и основу для анализа числа решений задачи. В частности, в некоторых случаях на этом пути удается доказать неединственность решения. В 17—19 гл. IV аналогичные рассмотрения проведены для случая краевой задачи с функцией усилий. При этом также вычислено вращение соответствующего векторного поля и доказаны теоремы разрешимости. [c.7]

Перенос понятия вращения векторного поля на бесконечномерные пространства был произведен Лере и Шаудером [14], которые исходили из основополагающих работ Биркгофа и Келлога [35]. Дальнейшие рассмотрения степени отображения получили существенное развитие у Роте [40] и в особенности в работах М. А. Красносельского [И], у которого мы находим многочисленные приложения. [c.73]

Как уже указывалось, если С — вполне непрерывный оператор, то вычисление вращения векторного поля ш — на сферах гильбертова пространства сводится к вычислению вращения конечномерных векторных полей достаточно большой размерности, что можно вполне выполнить на ЭВМ. Однако этот путь, хотя и вполне осуществимый и эффективный, все же относится к частным задачам. Общий метод определения вращения векторных полей базируется на теореме о гомотопности. [c.74]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...