Фундаментальная группа

В работах [155, 156] указаны также топологические препятствия к интегрируемости в терминах фундаментальной группы многообразия М" она не должна содержать коммутативных подгрупп конечного индекса. [c.137]

Чтобы понять групповую структуру множества О, рассмотрим фундаментальную группу ТТ1 Х) римановой поверхности X. Ее элементы — классы путей на X с началом и концом в некоторой фиксированной точке о, переводящихся друг в друга посредством непрерывной деформации. Такие пути называются гомотопными. [c.358]

Пусть С П — множество петель с началом в точке до. Множество связных компонент множества отождествляется с фундаментальной группой К М, до). [c.152]

В этом случае (см. следствие 4 данного параграфа) имеется топологическая аналогия пространство РТ изоморфно фундаментальной группе яД ). [c.179]

Определим энтропию действия / в фундаментальной группе (для данных р и а) по формуле [c.127]

Для динамических систем с непрерывным временем инварианты, определенные выше, бессодержательны, так как каждый элемент потока гомотопен тождественному отображению и, следовательно, индуцирует тривиальные отображения на фундаментальной группе и группах гомологий. Имеются, однако, иные способы измерения роста топологической сложности. Например, на компактном связном многообразии X можно зафиксировать точку реХ я семейство кривых Г= хеХ] ограниченной длины, соединяющих р с различными точками X Тогда для потока Ф = 9 X - Х можно зафиксировать Т и рассмотреть для каждого хеХ петлю 1(х, Т), состоящую из кривой 7 , отрезка орбиты и пути, обратного к Эти циклы [c.129]

Для любого отображения / S — S индуцированное отображение /. фундаментальной группы Z есть просто умножение на deg/. Используя естественную образующую Z, мы немедленно видим, что /г,(/) = log deg/ . [c.131]

Другое сходство растягивающих отображений и автоморфизмов тора проявляется при подсчете энтропии /г. их действий на фундаментальной группе. Фундаментальная группа имеет вид тг,(Т , (0,0)) = Z , и отображение Е действует на ее естественных образующих 7, = (1,0) и = (О, 1) следующим образом F ,(7,) = 27, + 72, ,(72) = 7i + Ъ- к как это свободная абелева группа, представления F y , i = 1,2, вида (3.1.22) могут быть приведены к каноническому виду, который оказывается не чем иным, [c.134]

Таким образом, мы столкнулись с интересной ситуацией. Для обоих гладких примеров (т. е. растягивающих отображений окружности и гиперболического автоморфизма тора) со сложной, экспоненциально растущей структурой орбит все три естественные меры экспоненциального роста орбит — скорость роста числа периодических точек р, топологическая энтропия и энтропия действия на фундаментальной группе h, — совпадают. Совпадение первых двух величин является широко распространенным, хотя и далеко и не универсальным явлением. Этот факт, так же как и структурная устойчивость, связан с наличием локальной гиперболической структуры (см. 6.4, теорему 6.4.15, и 18.5, теорему 18.5.1). Совпадение же h, с другими двумя характеристиками в большой степени случайно и зависит как от наличия гиперболичности, так и от малой размерности. Можно показать, что уже для автоморфизмов торов больших размерностей это совпадение может не иметь места (см. упражнение 3.2.8). Однако теорема 8.1.1 показывает, что /г, Дня топологических цепей Маркова скорость роста числа периодических точек и топологическая энтропия также совпадают. Причиной этому вновь служит гиперболичность, поскольку, как мы знаем из конструкций п. 2.5 в, топологическая цепь Маркова топологически сопряжена с ограничением некоторых гладких систем, ограниченных на специальные инвариантные подмножества, которые обладают гиперболическим поведением. [c.134]

Возникающее в результате этой идентификации пространство — поверхность т рода 2. Так как сумма внутренних углов восьмиугольника Q равна 2тг, отображение отождествления является гладким в вершинах (которые склеиваются в одну точку), и можно, следовательно, перенести метрику из Q на т. Мы получим компактное многообразие, которое является локально изометричным Н. Топологически это многообразие гомеоморфно сфере с двумя ручками, т. е. поверхности кренделя . Можно также показать, что т — пространство, полученное отождествлением орбит группы Г, порожденной изометриями А , г = 1,..4, отображающими а,, в а. Другими словами, фундаментальная группа пространства т может быть отождествлена с дискретной группой Г гиперболических преобразований Мёбиуса. [c.221]

Начнем с замечания, что для данного е > О существует такое 5 > О, что когда р еЮ> находится в 5-окрестности 50, угол между любыми двумя геодезическими, евклидова длина которых больше чем е, проходящими через р, не превосходит тг/4. Наша цель состоит в том, чтобы найти геодезическую 5с, концы которой очень близки к ж, и такой элемент 7 е Г фундаментальной группы, что образ х под действием 7 — геодезическая с концами, очень близкими к у. [c.223]

Топологическая энтропия и энтропия фундаментальной группы [c.315]

Каждое отображение тора / Т" - Т" определяется с точностью до гомотопической эквивалентности действием /, на фундаментальной группе Z", которая в этом случае совпадает с первой группой гомологий. Это действие задается целочисленной (п х п)-матрицей А, которая также определяет единственное линейное отображение в классе гомотопий действия /. Всюду далее мы будем предполагать, что обладает изолированными неподвижными точками, что эквивалентно тому, что единица не является собственным значением А, или [c.338]

Пусть М — компактное многообразие с нетривиальной фундаментальной группой. Покажите, что для всякой римановой метрики на М найдется нетривиальная замкнутая геодезическая. [c.378]

Предложение 9.6.2. Если многообразие М компактно и, связно, а его фундаментальная группа тг, (М) бесконечна, то Мф0. [c.379]

Замечание. В частности, заметим, что v(M) > О тогда и только тогда, когда фундаментальная группа М растет экспоненциально для некоторого (а следовательно, и любого) конечного множества образующих. [c.381]

Теперь мы можем показать, что если фундаментальная группа растет экспоненциально, то множество минимальных геодезических достаточно велико для того, чтобы обеспечить положительную топологическую энтропию геодезического потока. [c.381]

Рассмотрим теперь компактные ориентируемые поверхности с бесконечной фундаментальной группой, т. е. сферы с д > 1 ручками. Читатель может найти описание фундаментальных групп и универсальных накрытий таких поверхностей в 5 дополнения. Мы рассмотрим свободные гомотопические классы замкнутых геодезических. Полезно заметить, что понятие степени такого гомотопического класса корректно определено. Следующее утверждение представляет собой аналог предложения 9.3.14 для геодезических потоков на поверхностях. [c.382]

Опишите метрику на листе Мёбиуса, обладающую тем свойством, что кратчайшая геодезическая в гомотопическом классе П образующей 7[ фундаментальной группы и кратчайшая геодезическая в различны. [c.384]

Докажите, что фундаментальная группа 5Г (М) компактного многообразия, допускающего метрику отрицательной секционной кривизны, растет экспоненциально, т. е. для любой конечной системы Г образующих я [(М) число элементов 7 е ТГ (М), которые могут быть представлены словами длины, не превосходящей п, растет с ростом п экспоненциально. [c.554]

Доказательство. Утверждение эквивалентно гиперболичности линейного отображения /,, индуцированного диффеоморфизмом / на фундаментальной группе Z" тора Т", потому что соответствующая матрица определяет на Т . Сначала, используя спектральное разложение (теорему 18.3.1), представим неблуждающее множество NW f) как объединение [c.588]

При отождествлении кривых, гомотопных с сохранением концов, получается группа, называемая фундаментальной группой тг,(М, р) пространства М в точке р. Связное пространство с тривиальной фундаментальной группой называется односвязным. [c.695]

Имеется естественное взаимно однозначное соответствие между классами сопряженности подгрупп Г[(М) и классами накрытий по модулю гомеоморфизмов, коммутирующих с накрывающими преобразованиями. В частности, универсальное накрывающее пространство единственно. Это взаимно однозначное соответствие может быть описано следующим образом. Предположим, что (М, ir) — накрытие М и х. ir y). Так как многообразие М линейно связно, существуют такие кривые с [0,1]— М, что с( ) = х для = 1,2. Под действием тг они проектируются в замкнутые кривые на М. Любое непрерывное отображение индуцирует гомоморфизм фундаментальных групп. Любое непрерывное отображение обладает поднятием, так что гомотопия цикла тг о с, сохраняющее точку jf, может быть поднята до гомотопии кривой с, и, так как по предположению множество у) дискретно, эта гомотопия сохраняет концы. В частности, гомотопные кривые проектируются в гомотопные кривые, и если положить X, = Х2, то фундаментальная группа пространства М вкладывается в фундаментальную группу М как подгруппа. Это подгруппа, соответствующая накрытию. Кроме того, эта подгруппа является собственной, если проекция тг не является гомеоморфизмом, т. е. накрытие нетривиально. Таким образом, у односвязного пространства нет нетривиальных собственных накрытий. Можно также показать, что любые два накрытия М, и многообразия М обладают общим накрытием М", так что универсальное накрывающее определено однозначно. Любое топологическое многообразие обладает универсальным накрывающим. [c.696]

Фундаментальная группа поверхности может быть представлена различными способами. В процессе вклейки ручек получаются образующие а ,Ъ , i = 1,..., g, где каждая пара соответствует ручке и о, Ь, а7 6f Oj oj 6 = Id. Это представление соответствует также отождествлению сторон 4з-угольника, которое дает эту же поверхность рода д. (Для поверхности рода 1 —тора — эта конструкция соответствует его определению как R /Z для поверхности рода 2 — кренделя — эта конструкция аналогична определению его с помощью восьмиугольника, приведенному в пп. 5.4 д и 14.4 б, хотя отождествление сторон производится по-другому.) [c.713]

При изучении топологич. свойств методами алгебраической Т. каждому (достаточно хорошему) пространству сопоставляется алгебраич. характеристика — линейное пространство, группа, кольцо и пр., причём это сопоставление (функтор) должно обладать свойством естественности или ковариантности отображениям топологич. пространств сопоставляются алгебраич. отображения (гомоморфизмы—см. Группа) их алгебраич. характеристик. Простейшим примером является фундаментальная группа пространства. Элементами фундаментальной группы п Х, Хо) пространства X с отмеченной точкой Хо являются гомотопические классы петель — замкнутых путей с началом и концом в точке Ло (в процессе гомотопии начало и конец пути должны оставаться [c.146]

Несмотря на значительные достижения в развитии взаимосвязи симметрия — сохранение в классической механике (лагранжев, гамильтонов и, особенно, лиевский варианты), большой прогресс был достигнут лишь в теории относительности установление обсуждаемой взаимосвязи для галилеево-ньютоновой и пуанкаревской групп — фундаментальных групп классической и релятивистской физики и оформление отношения к этой взаимосвязи как общей и принципиальной закономерности физической теории. [c.235]

СТО показала, к каким результатам может привести расширение фундаментальной группы. Поэтому сразу же после построения основ СТО возникли попытки расширения группы Пуанкаре. Одна из них заключалась в переходе к классу равноускоренных систем отсчета (Эйнштейн, 1907 г.) что позволило сформулировать принцип эквивалентности, явившийся физической основой расширения группы Пуанкаре до группы произвольных координатных преобразований ( -группа, Эйнштейн, 1915 г.) Другая попытка была связана с обнаружением конформной инвариантности уравнений Максвелла (С-группа, Бэйтмэн и Каннингхэм, 1909 г.) , Естественно, что открытие этих симметрий в свете нового понимания взаимосвязи симметрия — сохранение как весьма общей и важной физической закономерности ставило вопрос о характере и физическом смысле соответствующих законов сохранения. [c.247]

Приведенное топологическое рассмотрение можйо сделать более детальным и строгим. Классы отображений петель образуют группу, называемую фундаментальной группой отображений. Мультипликативные свойства фундаментальной группы определяют способ, которым дефекты могут комбинировать друг С другом [15]. Для нематического упорядочения, например, эта группа является двухэлементной абелевой группой. Как мы увидим ниже, холестерическая фаза, а также двуосные нематики описываются неабелевыми фунДамёктальными группами. [c.93]

Теорема 1 [165]. Предположим, что гамильтонова система имеет на поверхности Е ориентируемый боттовский интеграл /. Тогда, если группа гомологий Н1(17,2) конечна или ранг фундаментальной группы 7г Е) равен 1, то гамильтонова система имеет на Е по меньшей мере две устойчивые замкнутые траектории, при этом / достигает на каждой из этих траекторий строгого локального минимума или максимума. [c.149]

Общие утверждения об отсутствии замкнутых траекторий, охватывающга цилиндр, для систем, обладающих центральной симметрией. В предыдущем разделе рассматривались замкнутые траектории систем дифференциальных уравнений, стягиваемых в точку по двумерной фазовой поверхности. Такие траектории представляют часть тривиальной компоненты фундаментальной группы. В отличие от траекторий, рассматриваемых в предыдущем параграфе, замкнутые кривые, которые не стягиваются по фазовому многообразию в точку, могут не существовать. Последнее связано с тем, что топология фазового многообразия может препятствовать существованию нетривиальной компоненты у фундаментальной группы данного многообразия. [c.84]

Следствие 2. При Е = Е2 получгш фундаментальную группу окружности которая изоморфна 2. Если же [c.177]

Теперь рассмотрим непрерывное отображение / компактного связного многоооразия М, и пусть р М. Зафиксируем непрерывный путь а, соединяющий точку р с ее образом /(р), т. е. такое отображение а [О, 1] —+ М, что а(0) = р, а(1) = /(р). Тогда мы можем определить эндоморфизм / фундаментальной группы тг = тг,(М, р), где образ элемента, определяемого петлей 7 [О, 1]-+М, 7(0) = 7(1) = й представляется петлей а/(7)а , состоящей из пути а, петли / о 7 и затем снова из пути а, но проходимого в противоположном направлении. [c.127]

В 3.1 было введено несколько инвариантов, описьшающих асимптотический рост сложности структуры орбит. Наиболее непосредственную информацию такого рода содержат такие инварианты, как рост числа периодических орбит (3.1.1) и топологическая энтропия (определение 3.1.3), отражающая скорость роста числа орбит, различимых с ограниченной точностью. С другой стороны, мы определили энтропию фундаментальной группы (3.1.23) и спектральные радиусы действия данного преобразования на группах гомологий (п. 3.1 д), которые не столь непосредственно отражают рост топологической сложности орбит с гомотопической и гомологической точек зрения. Очевидное преимущество последних инвариантов состоит в том, что их, вообще говоря, легче вычислять, так как они инвариантны относительно гомотопической эквивалентности. Например, поскольку каждое отображение тора гомотопически эквивалентно линейному отображению (подробнее см. в 2.6 и 8.7), для вычисления энтропии фундаментальной группы и спектральных радиусов действий на группах гомологий достаточно рассматривать лишь линейные отображения. В данной главе мы покажем, как с помощью этих гомотопических и гомологических инвариантов получить информацию относительно роста сложности орбит, т. е. установим количественную связь между ростом (и, в частности, существованием) периодических орбит и топологической энтропией с одной стороны и этими топологическими характеристиками с другой. [c.314]

Подчеркнем различие между одномерными топологическими характеристиками (например, связанными с фундаментальной группой и первой группой гомологий) и характеристиками более высоких размерностей в первом случае связь с ростом сложности орбит имеет место для произвольных непрерывных отображений (см. теорему Меннинга 8.1.1 и предложение 8.2.4 об отображениях окружности), в то время как в последнем случае часто существенна гладкость отображения (теорема Мизюревича — Пшй-тицкого 8.3.1 и следствие 8.6.11). [c.314]

Лемма 8.1.2. Пусть Л — число, определенное выше. Рассмотрим ( А)-плотное множество гу,,..., w С М. Зафиксируем точку р М и дуги j, соединяющие р с w , а также дуги с В Л/4) и VB wj,X/4), соединяющие точки и Wj для таких (i,j), что B Wi, Л/4)пБ(гу , Л/4)т 0. Тогда петли j y j" являются множеством образующих фундаментальной группы 7Г,(М, р), которое мы обозначим через Г. [c.315]

Переходя к более общему случаю, пус f М — М — непрерывное отображение связного многообразия М я М — универсальное накрытие М. Тогда фундаментальная группа действует преобразованиями накрытия на 7, и два поднятия F, и могут быть названы эквивалентными, если существует такое преобразование иакрытия 7, что = 7 il7, Обозначим это отношение эквивалентности Проекции неподвижных точек отображений [c.340]

Мы показали, что чисто топологическое свойство компактных многообразий гарантирует существование минимальных геодезических относительно любой римановой метрики на этом многообразии. Далее мы выразим эту связь количественно, показав, что при наличии более сильного топологического свойства, а именно экспоненциальной скорости роста фундаментальной группы 7T,(Af), можно гарантировать определеннуто данамиче-скую сложность множества минимальных геодезических для любой метрики на М, а именно положительность топологической энтропии геодезического потока, суженного на это множество. [c.379]

Теорема 9.7.1. Пусть (М, д) — компактная ориентируемая поверхность с бесконечной фундаментальной группой и римановой метрикой д, и пусть а—некоторый свободный гомотопический класс замкнутых кривых на М и т Тогда кратчайшая кривая из а" имеет вид с = с- с- с, где сесг. [c.383]

Нас в основном интересует случай связных многообразий, для которых линейная связность гарантирует, что группы, соответствующие различным точкам р, изоморфны. Таким образом, в этом случае можно писать просто Г[(М). Так как фундаментальная группа определена по модулю гомотопии, она одинакова для двух гомотопически эквивалентных пространств, т. е. представляет собой гомотопический инвариант. Свободные гомотопические классы кривых (т. е. без отмеченной точки) соответствуют в точности классам сопряженности кривых по модулю замены отмеченной точки, так что имеется естественное взаимно однозначное соответствие между классами свободно гомотопных замкнутых кривых и классами сопряженности в фундаментальной группе. [c.695]

Примеры. Пространство ( , ехр(2тп( ))) — накрывающее единичной окружности. Геометрически можно представить себе это накрытие как спираль i), накрывающую единичную окружность при проектировании. Аналогично, отображение, определенное взятием дробной части, определяет накрытие окружности M/Z пространством R. Тор накрывается цилиндром, который, в свою очередь, накрывается плоскостью R . Отметим, что фундаментальная группа Z цилиндра является подгруппой фундаментальной группы тора (Z ), а пространство R представляет универсальное накрывающее обоих пространств, Pa тягивaюш e отображения окружности (1.7.1) определяют иакрытия окружности окружностью. Факторы верхней полуплоскости Пуанкаре накрывак тся верхней полуплоскостью (пп. 5.4.В, 5.4.д). [c.696]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...