Градиентные потоки

Мощность сил взаимодействия фаз в градиентном потоке [c.7]

В рамках одномерной модели двухфазных течений капельной структуры можно проследить роль некоторых основных критериев подобия в градиентных потоках. С этой целью используется система уравнений (1.1) — (1.14) для стационарного течения (д/д% = 0). Расчетным путем исследовались конфузорные и диффу-зорные потоки с различными скоростями расширения и торможения. [c.11]

Вместе с тем влияние перечисленных критериев на характер обтекания некоторых тел, а также характерные особенности двухфазных пограничных слоев в градиентных потоках изучены еще недостаточно. Особый интерес для изучения представляют области перехода ламинарного пограничного слоя в турбулентный, а также возникновение отрыва ламинарного или турбулентного слоев. Весьма небольшая часть этих (и других) задач газодинамики двухфазных сред изучена достаточно подробно. Здесь в дополнение к основному содержанию книги рассмотрены только некоторые предварительные опытные данные, представляющие более общий интерес. Необходимость дальнейших исследований перечисленных задач очевидна. [c.16]

Яо — поток при постоянном градиенте температуры, — высоко градиентный поток (рис. 3), я поток, рассеянный волокнам. С ростом градиента температуры рассеянное поле более интенсивно затухает при удалении от межфазных границ. При умеренной концентрации волокон (( < 0,7) в разложении функций достаточно сохранить только первые члены. Обозначаем 2 = 91, = 901 = ж + iy. [c.162]

Поток из нашего первого примера может теперь рассматриваться как градиентный поток функции F(x, у, z) — -z на двумерной сфере, снабженной римановой метрикой, индуцированной стандартной евклидовой метрикой R . Рассмотрим еще два примера. [c.51]

Пусть двумерный тор вложен в как бублик , поставленный вертикально, и F, как и прежде, — отрицательная величина функции высоты г, F(x, у, z) = —z. Функция F имеет четыре критические точки на торе максимум А, два седла В и С и минимум D. Все орбиты градиентного потока, отличные от этих неподвижных точек и шести специальных орбит, которые описаны ниже, стремятся к минимуму функции F — точке D — при устремлении времени к -foo и к максимуму — точке А — при устремлении времени к -оо. Две особых орбиты соединяют точки А я В, еще две соединяют точки В и С а последние две соединяют С и D. [c.51]

Рис. 1.6.1. Градиентные потоки на торе

Некоторое особенности асимптотического поведения, которые мы наблюдали в трех приведенных примерах, имеют место для произвольных градиентных потоков. Чтобы описать эти особенности, нам понадобятся некоторые общие понятия топологической динамики. Рассмотрим топологическую динамическую систему с дискретным или непрерывным временем, определенную на фазовом пространстве X. [c.51]

Обозначим через uip(x) (соответственно через Q (ж)) w-предельное множество (а-предельное множество) точки х е М для градиентного потока функции F. [c.52]

Предложение 1.6.3. Множества Шр х) и ар х) состоят из критических точек F, т. е. из неподвижных точек градиентного потока. [c.52]

Доказательство. Пусть — градиентный поток функции F. [c.52]

Следствие 1.6.5. Если функция F имеет только изолированные критические точки, то каждая орбита градиентного потока F стремится к критической точке F при t +оо. [c.52]

В 9.3 мы увидим, как это свойство градиентного потока, рассматривае- лого в некотором вспомогательном пространстве, используется для нахождения специальных орбит некоторых динамических систем. [c.52]

Докажите, что ш-предельное множество любой точки градиентного потока связно. [c.53]

Для всякого д 1 определите С°°-функцию на компактной ориентируемой поверхности рода д, имеющую в точности три критических точки. Опишите динамику градиентного потока для этой функции. [c.53]

Из трех градиентных потоков, обсуждавшихся в 1.6, второй (на вертикальном торе), очевидно, структурно неустойчив. Это следует из того факта, что число орбит, а- или а -предельные множества которых являются седлами, изменяется, когда тор наклоняют. Эти числа являются инвариантами топологической орбитальной эквивалентности. Другие два потока (на круглой сфере и наклоненном торе) являются С-сильно структурно устойчивыми. Для первого из них имеет место устойчивость даже в более сильном смысле (см. упражнение 2.3.4). Во всяком случае, глобальные структуры орбит этих потоков достаточно просты, и наличие структурной устойчивости не кажется удивительным. [c.83]

Докажите, что любой С -поток, С -близкий к градиентному потоку <р на круглой сфере, -сопряжен с <р с помощью некоторого гомеоморфизма, близкого к тождественному. [c.83]

Предложение 3.2.2. Топологическая энтропия градиентного потока на круглой сфере равна нулю. [c.131]

Нетрудно видеть, что эта аргументация имеет достаточно общий характер. В частности, она применима к двум примерам градиентного потока на торе из 1.6. Немного постаравшись, мы могли бы обобщить эти рассуждения на случай градиентного потока любой функции с изолированными критическими точками. Мы не будем, однако, этого делать, потому что возникающее в результате утверждение слабее, чем утверждение (3.3.1), которое позволяет заключить, что топологическая энтропия любого градиентного потока равна нулю. [c.131]

Легко видеть, что ни один из примеров в первой части нашего обзора (повороты окружности, сдвиги тора, линейные потоки на торе, вполне интегрируемые гамильтоновы системы и градиентные потоки) не является разделяющим. С другой стороны, оказывается, что все примеры из второй части (растягивающие отображения окружности, топологические цепи Маркова, гиперболические автоморфизмы тора) обладают этим свойством. [c.136]

Можно ввести понятие трансверсальности критических точек функций как частный случай трансверсальности неподвижных точек отображений. А именно, пусть / М—>К является -функцией. Тогда отображение сдвига за единичное время градиентного потока является С -диффеоморфизмом относительно любой римановой метрики и его неподвижные точки — это в точности критические точки /. Таким образом, мы называем критическую точку р функции / невырожденной, если она является трансверсальной неподвижной точкой отображения сдвига за единичное время градиентного потока /. Чтобы показать, что это определение корректно, мы должны доказать, что оно не зависит от выбора римановой метрики для построения градиентного потока. Для этого выберем ортонормированный базис в пространстве и локальные координаты в окрестности точки р так, [c.297]

С индексом и структурой критических точек градиентного потока, позволяют получить информацию относительно структуры орбит некоторых сохраняющих объем (например, лагранжевых) динамических систем посредством анализа градиента соответств)тощей функции во вспомогательном пространстве возможных орбит . [c.315]

Доказательство. Достаточно применить теорему 8.6.6 к градиентному потоку, порожденному /. [c.335]

Коагуляция в градиентных потоках и из-за турбулентности жидкости широко исследована в работе [481]. Фукс [243] подробно изучал броуновское движение, накопление частиц и пыли в фильтрах, а также накоп.ление при ударе о коллекторную поверхность частиц, движущихся по индивидуальным траекто-Р1ТЯМ. В гл. 8 рассматривается гидродинамическая сепарация, а в гл. 10 — электростатическая сепарация. [c.266]

В некоторых работах, посвященных определению критического расхода, используется представление о равновесном процессе рас-щирения влажного пара в суживающихся соплах. Часто вводят предложения о изоэнтропийности течения и раздельном движении фаз (жидкая фаза движется по стенке сопла, паровая — в центральной части). Такая схема, как показывают опыты, не реализуется. Возможная область применения теории квазиравновесной конденсации и квазиравновесного движения ограничена слабо градиентными потоками в длинных трубах и свободных струях. Подтверждение этой мысли можно найти на рис. 8-6, где представлены значения относительных коэффициентов истечения Вкр(5кр = = 5кр/5кр.п кр.п — коэффициент истечения гомогенной среды, в данном случае перегретого пара) дл сопл и длинных труб. Сравнение опытных и расчетных значений Вкр отчетливо подтверждает, что предложенная в работах [Л. 247, 248] схема равновесного движения пароводяного потока в соплах не имеет места (кривые 1 и 2). Расхождение между опытом и расчетом достигает весьма больших значений (Вкр-расч/Вкр-оп= 1,12- 1,20). Вместе с тем для длинных труб постоянного сечения //а >10) отмечается удовлетворительная сходимость расчета с экспериментом (кривые 3 vi 4 на рис. 8-6). Такое совпадение для длинных труб свидетельствует [c.217]

Заметим, что F о —неубывающая (по t) функция, причем в некритических точках она возрастает. Таким образом, если у е X — некритическая гочка функции F, то F ip y)) > F y) для любого t > 0. Пусть у е w .(ж). Зафиксируем ig>On положим 5Q = F ip "(y)) — F y). Если х —>у, то из непрерывности градиентного потока следует, что (< (ж )) (1/)+ 6 . В частности, если у 6 ш(х), то существует такая последовательность i - оо, что р х)— у и, следовательно, F

F y)-hSQ/2 для достаточно большого п. Поскольку F не убывает вдоль орбит, F ip x)) > F y) -f (,/2 для достаточно больших t. Но это противоречит сходимости ip x)- y. [c.52]

С формальной точки зрения имеется некоторая двойственность между градиентными потоками и гамильтоновыми динамическими системами. Мы токажем это только для наиболее элементарного, евклидова случая. В про- транстве R ", снабженном стандартной евклидовой метрикой, стандартная [c.52]

Отметим очень существенное различие между отображениями из всех предыдущих примеров и растягивающими отображениями. В большинстве примеров возвращение либо было очень простым, т. е. имелись только неподвижные точки, как в случаях сжимающих отображений, гиперболических линейных отображений и градиентных потоков, либо, если нетривиальное возвращение имело место, все возвращающиеся орбиты вели себя одинаково, как в случаях сдвигов и линейных потоков на торах. Нужно оговориться, что для общих вполне интегрируемых систем различные орбиты ведут себя по-разному и в то же время нетривиальное возвращение имеет место. Однако фазовое пространство таких систем распадается на инвариантные множества (торы), и все орбиты на таком торе имеют одинаковую структуру. Орбиты же растягивающих отображений с различным поведением (периодического типа, плотные или с замыканием типа канторова множества) переплетены и не могут быть отделены друг от друга. Это делает структуру орбит очень сложной, асимптотическое поведение отдельной орбиты неустойчивым и очень чувствительным к начальному условию. Более того, любые две орбиты будут расходиться друг от друга с экспоненциальной скоростью, пока они не разойдутся на достаточно большое расстояние 6. Следовательно, невозможно предсказать поведение орбиты в течение длительного времени, если начальная позиция известна только с ограниченной точностью. Например, выполнение итераций Е2 на ЭВМ будет, очевидно, давать всего лишь столько осмысленных итераций, сколько есть значащих двоичных цифр в начальных данных. Кроме того, любое увеличение точности будет давать весьма скромное увеличение времени, в течение которого можно делать какие-либо предсказания о поведении данной орбиты удвоение числа значащих цифр в начальных данных и вычислении не более чем удвоит диапазон времени, в течение которого эти предсказания возможны. Аналогично, сокращение ошибки в измерении начальных данных вдвое даст всего лишь возможность произвести еще одну осмысленную итерацию. [c.55]

Применяя теорему Купки — Смейла к градиентному потоку функции и замечая, что -топология для функций переходит в С-топологию для градиентных потоков, мы получим такое следствие. [c.300]

Рассмотрим отрицательную величину функции высоты на вертикальном торе (см. рис. 1.6.1). Покажите, что риманова метрика на торе может быть возмущена таким способом, что отображение сдвига градиентного потока за единичное время является отображением Купки — Смейла. [c.304]

Лемма 9.3.8 показывает, что не существует критических точек функционала L на границе , отличных от 5 и S, где S = S обе они представляют минимальную биркгофову периодическую орбиту типа (р, q). Теперь покажем, что существует критическая точка L во внутренности 6. Для граничной точки множества некоторые из неравенств S s S обращаются в равенства. Сосредоточим наше внимание на их левой части и рассмотрим грань наибольшей размерности. Это значит, что если = 5 , то s p > S . Но в этом случае лемма 9.3.8 показывает, что L убывает с ростом s . То же верно в случае обращенных неравенств. Рассмотрим градиентный поток С функции -L на множестве (см. 1.6). Причина, по которой мы используем градиент функции —L, заключена в принципе наискорейшего спуска . Заметим, что вектор градиента функции —L на направлен внутрь на каждой грани высшей размерности. Таким образом, поток С определен на для всех положительных значений t если орбита [c.366]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...