Вывод ОЗК с помощью кинетического уравнения

Аналогичная трактовка теории Энскога содержится в работах [120, 121], где для квантовых систем выводится линеаризованное кинетическое уравнения типа уравнения Энскога. В этом случае корреляции, связанные с сохранением энергии, учитываются посредством того, что все средние значения вычисляются с помощью канонического распределения Гиббса с полным гамильтонианом системы, включающим оператор взаимодействия. [c.296]

С их помощью уравнение (7.2.4) можно записать в более простом виде. Соответствующие преобразования сами по себе элементарны, но несколько громоздки. Поэтому мы дадим другой вывод обобщенного кинетического уравнения для g t), исходя непосредственно из уравнения Лиувилля с граничным условием ( R ) при t —оо. Это уравнение имеет вид [c.111]

Ниже будут рассмотрены методы построения моделей сплошных сред, т. е. методы отыскания необходимого числа определяющих течение параметров и построения управляющих ими уравнений, с помощью кинетического уравнения Больцмана. В принципе соответствующие уравнения для макроскопических величин можно построить и из феноменологических (макроскопических) рассмотрений, минуя кинетическую стадию ). Однако входящие в эти уравнения кинетические коэффициенты (коэффициенты вязкости, теплопроводности, диффузии и т. п.) не могут быть найдены из феноменологических теорий и для их определения требуются дополнительные соображения или эксперименты. Так, например, при феноменологическом выводе уравнений Навье—Стокса, предполагая пропорциональность компонент тензора напряжений компонентам тензора деформаций, мы должны ввести 81 неизвестный коэффициент пропорциональности. Вводя дополнительные предположения об изотропности и однородности среды, все эти коэффициенты удается выразить через два коэффициента вязкости, кото- [c.96]

Как правило, вывод кинетического уравнения сопровождается априорной гипотезой весьма специфического типа. Дело заключается в том, что уже давно приблизительно ясно, какую структуру должно иметь кинетическое уравнение (например диффузионного типа, типа уравнения баланса или больцмановского типа и др.). Эта структура навязана в значительной степени вероятностным характером процессов, которые мы желаем описать с помощью кинетического уравнения. Поэтому, в определенном смысле, задача может быть сформулирована от ответа . Исходя из уравнения Лиувилля, мы можем прийти к кинетическому уравнению, избавившись от некоторых членов, благодаря которым динамический характер движения существенно отличается от случайного. Поэтому вывод кинетического уравнения обычно сопровождается формулировкой в той пли иной форме некоторого принципа или априорной гипотезы, формальная цель которой удалить лишние члены. Фактическое содержание подобных гипотез связано с введением в рассматриваемую систему необходимой доли случайности, плп хаоса. [c.105]

Вывод ОЗК с помощью кинетического уравнения [c.130]

Настоящая глава посвящена в основном элементарному рассмотрению спонтанного нелинейного эффекта — двухфотонного излучения нагретого вещества [184],- В 5,1 обсуждается связь многофотонных переходов и высших моментов поля, В 5,2 эти моменты с помощью теории возмущений выражаются через равновесные моменты вещества, что позволило в 5,3 оценить третий момент поля, излучаемого нецентросимметричным веществом. В 5.4 с помощью кинетического уравнения и эффективного двухфотонного гамильтониана выводится приближенный нелинейный ОЗК, дающий связь между вторыми и четвертыми моментами теплового излучения (ТИ) и кубической матрицей рассеяния (МР) излучателя. В конце 5.4 рассмотрен ОЗК для случая, когда одновременно разрешены одно- и двухфотонные переходы (при этом третий момент ТИ выражается через квадратичную МР), [c.149]

В связи со сказанным целесообразно подойти более строго к проблеме вывода кинетического уравнения и к его возможным обобщениям. Это можно сделать с помощью весьма общего и строгого метода, предложенного Н. Н. Боголюбовым [38, 39], к краткому изложению которого мы и переходим. [c.474]

Для широкого круга процессов, протекающих в газах, достаточно описания с помощью одночастичных функций распределения Уравнения, которым удовлетворяют одночастичные функции распределения, называют кинетическими. Продуктивность их использования уже была продемонстрирована ранее. Теперь перед нами стоит задача вывода кинетических уравнений. При решении такой задачи нам придется использовать не только одночастичные функ-пии распределения. [c.180]

Мы показали, таким образом, что хаотизация фаз волны, описанная в 7.2, существенно используется при выводе кинетического уравнения (3.17) из первых принципов. Последнее предполагает непосредственное использование свойств динамики при движении с перемешиванием. Обратим также внимание на то, что кинетическое описание (3.17) возникает для функции распределения F I, t), определенной с помощью функции /(/, О, t) соотношением (3.14). [c.140]

Согласно предложенной схеме, суммарной реакцией является А 4- В -> В -Ь Е. Предполагается, что концентрации реагентов А и В поддерживаются на желаемом неравновесном уровне с помощью соответствующих потоков. Продукты реакции В и Е выводятся после их образования. Предполагается также, что реакции происходят в хорошо перемешиваемых растворах. Кроме того, пусть все обратные реакции происходят настолько замедленно, что ими можно пренебречь. Тогда получим следующие кинетические уравнения [c.415]

Рассматривая взаимоотношения между силами, действующими одновременно на систему в различных направлениях, и соответствующими им скоростями и ускорениями, Гельмгольц ) с помощью выражения кинетического потенциала и уравнений Лагранжа выводит законы взаимности между силами и ускорениями, силами и скоростями, силами и координатами. Так, например, , где Ра, Рс — силы, действующие на [c.853]

Дадим теперь краткий очерк кинетической теории и выведем уравнение для свободной энергии в функции главных величин деформации, с помощью которой мы будем выводить реологические уравнения состояния в форме (4.12), главным образом с целью пояснения метода, основанного на использовании величин [c.112]

Мощность реакций идеальных нестационарных связей согласно (2) не равна нулю. Тем не менее для реономных систем имеются аналоги теорем об изменении кинетической энергии и полной механической энергии в форме, не содержащей реакций идеальных связей. Приведём вывод этих теорем с помощью уравнений Лагранжа второго рода. [c.48]

Вывод закона изменения момента М аналогичен выводу уравнения (2.111) для момента М. Действительно, умножим обе части уравнения (4.43), взятого для /-той точки, векторно слева на г и просуммируем полученные выражения по всем точкам. Затем учтем, что у/ — скорость -той точки относительно 5 — равна производной от г/ по времени при постоянных штрихованных ортах. Тогда, исключая внутренние силы взаимодействия с помощью третьего закона, получим закон изменения кинетического момента относительно неинерциальной системы отсчета [c.189]

Кинетическая теория классического газа представляет собой вполне законченную область физики. Для описания газа используется уравнение Больцмана, которое решается обычно методом Чепмена-Энскога, т.е. разложением по обратным степеням члена столкновений. Тем самым из уравнения Больцмана выводятся уравнения газодинамики, т.е. уравнения Навье-Стокса. Кинетические коэффициенты этих уравнений вычисляются с помощью уравнения Больцмана. В случае очень резких градиентов, например, имеющих место в ударной волне, вместо уравнений Навье-Стокса можно воспользоваться методом моментов с той или иной процедурой замыкания высших моментов. Такой подход дает вполне удовлетворительные результаты. [c.305]

Описание сильно неравновесных состояний, а также вычисление кинетич. коэф. производятся с помощью кинетического уравнения Больцмана. Это ур-ние представляет собой интегродифференц. ур-ние для одночастичной ф-ции распределения (в квантовом случае — для одночастичной матрицы плотности, или статистич. оператора). Оно содержит члены двух типов. Одни описывают изменение ф-ции распределения при движении частиц во внеш. полях, другие — при столкновениях частиц. Именно столкновения приводят к возрастанию энтропии неравновесной системы, т, е. к релаксации. Замкнутое, т. е. не содержащее др. величин кинетич. ур-ние, невозможно получить в общем виде. При его выводе необходимо использовать малые параметры, имеющиеся в данной конкретной задаче. Важнейшим примером является кинетич. ур-ние, описывающее установление равновесия в газе за счёт столкновений между молекулами. Оно справедливо для достаточно разреженных газов, когда длина свободного пробега велика по сравнению с расстояниями между молекулами. Конкретный вид этого ур-ния зависит от эфф. сечения рассеяния молекул друг на друге. Если это сечение известно, ур-ние можно решать, разлагая искомую ф-цию по ортогональным полиномам. Таким способом можно вычислить кинетич. коэф. газа, исходя из известных законов взаимодействия между молекулами. Кинетич. ур-ние учитывает только парные столкновения между молекулами и описывает только первый неисчезающий член разложения этих коэф. по плотности газа. Удалось найти и более точное ур-ние, учитывающее также тройные столкновения, что позволило вычислить следующий член разложения. [c.672]

Кинетическое уравнение для одночастичной матрицы плотности можно вывести из квантового уравнения Лиувилля различными способами. В частности, для этого достаточно построить статистический оператор g t), удовлетворяющий граничному условию ослабления корреляций в отдаленном прошлом, и выразить его через ква-зиравновесный статистический оператор Qq t) который, в свою очередь, зависит от одночастичной матрицы плотности. Такой метод оказывается особенно удобным для систем со слабым взаимодействием частиц, так как он позволяет построить интеграл столкновений, исходя только из общих свойств системы. Вывод квантовых кинетических уравнений с помощью этого метода дается в параграфе 4.1. Другой подход к квантовой кинетической теории основан на цепочке уравнений для 5-частичных матриц плотности которые аналогичны классическим 5-частичным функциям распределения. В случаях слабого взаимодействия между частицами или малой концентрации частиц, квантовую цепочку уравнений можно решить с помощью теории возмущений. Некоторые разновидности этого подхода изложены в книгах [35, 57]. В параграфах 4.2 и 4.3 мы рассмотрим квантовую цепочку уравнений с точки зрения метода неравновесного статистического оператора. Вначале мы построим групповое разложение интеграла столкновений для систем с малой плотностью, а затем обобщим метод на плотные квантовые системы. [c.248]

Вывод обобщенного кинетического уравнения для волн, приводящий к учету спонтанного излучения, был дан для случая продольных плазменных колебаний в работе автора [9]. В этой работе, так же как и в работе Матсуда и Ростокера [10), обобщенное кинетическое уравнение для волн было получено с помощью развития метода корреляционных фушщий Боголюбова [11, 12]. Целый ряд приложений обобщенного кинетического уравнения поля дан, например, в работах [13—26]. [c.323]

В этой работе выражение для диффузионного потока выводится из кинетического уравнения при помощи так называемого приближения 13 моментов Трэда. Это приближение обладает рядом преимуществ по сравнению с методом Чэпмена — Энскога, на основе которого получается выражение (7.15), всякий раз, когда приходится принимать во внимание высшие приближения в разложении функции распределения. Оказывается, что выражение (7.15) для диффузионного потока справедливо только в отсутствие вязкого переноса импульса в газе. В условиях, когда существует вязкий перенос импульса (т. е. градиент скорости), выражение [c.373]

Каждое из этих двух уравнений связывает осмотическое явление с явлением переноса. Уравнение (5.39), известное под названием соотношении Саксена, было выведено еще ранее с помощью кинетических соображений. Однако использовать такие кинетические соображения возможно лишь в том случае, если принимается какая-либо упрощенная модель перегородки, разделяющей две фазы, например, если диафрагму уподобляют капилляру с постоянным сечением. Смысл термодинамического вывода состоит в том, что он сохраняет силу независимо от природы диафрагмы или пористой стенки. [c.80]

Как уже отмечалось, диффузионный поток вещества зависит не только от градиента концентрации, но и от градиентов других потенциалов. Рассмотрим еще раз взаимосвязь градиентов концентрации и температуры. Хотя градиенты давления и массовых сил также могут вызывать перенос вещества, в рассматриваемых в настоящей книге вопросах они не играют роли. Точные соотношения для диффузионного потока в газах низкой плотности получены с помощью кинетической теории. Бэрон [Л. 5] предложил следующее уравнение для плотности диффузионного потока компонента 1 в бинарной смеси, обусловленного градиентами концентрации и температуры (вывод этого уравнения приведен в книге Чепмена и Каулинга [Л. 6]) [c.31]

Итак, мы видели, что для учета эффектов обрезания траекторий частиц на длине свободного пробега необходимо просуммировать бесконечную последовательность членов в цепочке уравнений для приведенных функций распределения. Типичный подход к решению подобных проблем состоит в применении диаграммной техники , дающей графическое представление рассматриваемых величин и позволяющей сформулировать простые правила, с помощью которых может быть выписан любой член теории возмущений. В классической кинетической теории диаграммная техника такого рода была впервые разработана Балеску [56, 57]. В настоящем разделе будет рассмотрен ее вариант [26], который позволяет в удобной форме учесть граничные условия для приведенных функций распределения. Будут сформулированы правила построения диаграмм для приведенных функций распределения и интеграла столкновений в любом порядке теории возмущений по плотности. Кроме того, мы рассмотрим несколько простых примеров вывода кинетических уравнений с помощью диаграммного метода. [c.181]

Обобщенное кинетическое уравнение в технике временных функций Грина выводится из уравнений Каданова-Бейма (6.3.46) и (6.3.48). Вычитая второе уравнение из первого, а затем исключая и с помощью соотношений (6.3.39), получим [c.49]

Связь между функциями Грина и одночастичной матрицей плотности. Уже отмечалось, что при выводе кинетического уравнения методом функций Грина требуется найти выражения для временных корреляционных функций через функцию Вигнера / . В предыдущем разделе эта проблема была решена в простейшем квазичастичном приближении. Результатом являются соотношения (6.3.79) и (6.3.80). Исключая функцию Вигнера с помощью формулы (6.3.64), легко также записать корреляционные функции через одночастичную матрицу плотности. [c.56]

Необходимость вывода кинетического уравнения на основе 1 пантовомеханического рассмотрения диктуется целым рядом причин. Прежде всего, столкновения молекул газа отнюдь не всегда происходят по законам классической механики. Последнее проявляется в том, что сечепие соударения частиц, входящее в интеграл столкнопепий Больцмана, должно вычисляться с помощью квантовой теории. С другой стороны, квантовое кинетическое уравнение необходимо в условиях, когда оказываются немалыми средние числа заполнения квантовых состояний частиц, а поэтому становится существенной квантовая статистика. В последующем изла-гае.мом здесь выводе кинетических уравнений, по многом подобном предложенному Боголюбовым и Гуропым [1, 2], мы будем стремиться учесть оба таких квантовых эффекта. [c.206]

При помощи этого решения из уравнения переноса получается приближение основной системы уравнений сплошной среды, используемое для изучения движения невязких газов и жидкостей. Следующее приближение f служит для вывода уравнений движения вязких газа и жидкости. Отыскивая методом Чэпмэна-Энскога третье приближение решения кинетического уравнения, получаем уравнения, с помощью которых можно решать задачи о движении сильно разреженных газов — задачи молекулярной аэродинамики, весьма актуальные для исследования движения ракет и спутников в верхних слоях атмосферы. [c.21]

Изучается поведение реального разреженного газа, обладающего конечным радиусом взаимодействия, на различных масштабах времени. С помощью уравнения Лиувиля и обрезанных функций распределения получена система уравнений, из которой методом внешних и внутренних разложений получаются кинетические уравнения. На основании последних выводятся гидродинамические уравнения и вычисляются коэффициенты переноса. Библиогр. 8 назв. [c.203]

Квантовое кинетическое уравнение типа уравнения Больцмана было впервые приведено в работах Улинга и Уленбека [153, 154]. Строгий вывод этих уравнений, основанный на предположении об ослаблении корреляций, был дан Боголюбовым [101, 102]. Другая форма квантового кинетического уравнения, имеющая вид основного кинетического уравнения toaster equation), была предложена Паули [155] и обоснована с помощью приближения хаотических фаз также Боголюбовым (см. [102, с. 5]). [c.198]

В настоящей главе равновесное поле в вакууме и в линейной сплошной среде обсуждается кратко в 4.1 и 4.2 соответственно, а следующие разделы посвящены ТИ. В 4.3 дается краткое описание макроскопического метода расчета ТИ с помощью ФДТ. Этот л етод развивался в основном Левиным и Рытовым [144, 162], получившими общую формулу ( обобщенный закон Кирхгофа ), выражающую вторые моменты поля через диэлектрическую проницаемость и функцию Грина для макроскопических уравнений Максвелла. В 4.4 выводится новая форма обобщенного закона Кирхгофа (ОЗК), выражающая моменты поперечного ноля через матрицу упругого рассеяния по отношению к фурье-амплиту-дам E]i (или операторам а ) [137, 184]. Далее, в 4.5 ОЗК выводится другим способом — с помощью однофотонного кинетического уравнения для поля, из которого следует гауссов характер статистики ТИ. Наконец, в 4.6 и 4.7 рассматривается связь моментов поля в дальней зоне излучателя с моментами операторов рождения и уничтожения. [c.111]

Описание сильно неравновесных состояний, а также вычисление кинетич. коэфф. производятся при помощи к и-нетического уравнения. Оно представляет собой интегродифф. ур-ние для одночастичной ф-ции распределения, к-рая получается из введённой равенством (2) 7У-частичной ф-ции распределения интегрированием по координатам и импульсам всех ч-ц, кроме одной. В квант, случае вместо одночастичной ф-ции распределения пользуются одночастичной матрицей плотности, или статистич. оператором. Такое замкнутое, т. е. не содержащее др. величин, ур-ние невозможно получить в общем виде. При его выводе необходимо использовать малые параметры, имеющиеся в данной конкретной задаче. Важнейшим примером явл. кинетическое уравнение Больцмана, описывающее установление равновесия в газе за счёт столкновений между молекулами. Конкретный вид этого ур-ния зависит от коэфф. сечения рассеяния молекул друг на друге. Если это сечение известно, то можно вычислить кинетич. коэфф. газа. Ур-ние Больцмана учитывает только парные столкновения между молекулами и описывает только первый неисчезающий член разложения этих коэфф. по плотности газа. Удалось найти и более точное ур-ние, учитывающее также тройные столкновения, что позволило вычислить следующий член разложения. [c.722]

Для вывода уравнений движения локальные перемещения, определяемые равенством (28), подставляются в соотношения упругости для волокон и связующего. Плотность энергии деформации в каждом элементе интегрируется по локальным координатам (при фиксированном х) и для того, чтобы получить плотность энергии деформации V (и, Ф) в точке х, делится на объем элемента. Аналогично получается плотность кинетической эхтергии Т (и, Ф) в точке X. Уравнения движения и граничные условия записываются с помощью принципа Гамильтона в виде [c.294]

Труд Бернулли, опирающийся на его многочисленные опыты, а в теоретической части на восходящий к Лейбницу принцип сохранения живых сил, чрезвычайно богат содержанием. Здесь под другим названием появляются понятия работы и, при сравнении достоинств различных машин, коэффициента полезного действия здесь изложены основы кинетической теории газов и выводится закон Бойля—Маряотта как частный случай более общей зависимости, в которой принят во внимание объем, занимаемый частицами воздуха здесь впервые решается важная задача об определении давления в установившемся потоке несжимаемой жидкости постоянной плотности р, движущемся со скоростью V. G помощью простых и наглядных физических соображений здесь выводится знаменитое уравнение Бернулли, которое теперь пишется в виде [c.192]

Если исходная система нелинейна то уравнения (15) описывают малые колебания системы относительно положения равновесия. Для получения этих уравнений следует либо непосредственно использовать малость отклонений от положения равновесия при составлении уравнений (если последние выводятся из законов динамики), либо линеаризировать соответствующие нелинейные уравнения, либо аппроксимировать кинетическую и потенциальную энергию системы при помощи квадратичных форм, коэффициенты котсрых совпадают с коэффициентами уравнений малых колебаний (15). [c.57]

Методы составления дифференциальных уравнений колебаний упругих систем. Они изложены В разделе 1 данного тома. При выводе уравнений динамики надо согласно принципу Даламбера к действующим силам добавить распределенные силы инерции. В случаях, когда упругая система взаимодействует с упругоподве-шенными сосредоточенными массами, целесообразно применять метод уравнений Лагранжа II рода. С этой целью надо составить выражения для кинетической энергии системы, потенциальной энергии деформаций и выражения для обобщенных сил, затем с помощью уравнений Лагранжа II рода получить дифференциальные уравнения колебаний. Метод уравнений Лагранжа удобен для получения дифференциальных уравнений вынужденных колебаний, когда формы свободных колебаний известны. [c.330]

Решение. Обычно в курсах теоретической механики дифференциальное уравнение вращения твердого тела вокруг неподвижной оси выводится с помощью теоремы об изменении главного момента количеств движения. Вместе с тем можно, минуя эту теорему, получить искомое уравнение с помощью теоремы об изменении кинетической энергии в диф-ферен1щальной форме [c.374]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...