Исследование уравнений Лагранжа

Исследование уравнений Лагранжа [c.136]

ИССЛЕДОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ ЛАГРАНЖА 137 [c.137]

Цель исследования уравнений Лагранжа состоит как раз в том, чтобы показать, что такой детерминизм полностью сохраняется при использовании лагранжева формализма. Чтобы доказать это, нужно выяснить структуру двух основных функций, которые входят в уравнения Лагранжа, — кинетической энергии Т и лагранжиана L как функций координат q, скоростей q и времени. Эти две функции играют столь важную роль во всем последующем изложении, что выявление их структуры существенно и само по себе. [c.137]

ИССЛЕДОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ ЛАГРАНЖА [c.139]

ИССЛЕДОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ ЛАГРАНЖА 141 [c.141]

ИССЛЕДОВАНИЕ УРАВНЕНИИ ЛАГРАНЖА 143 [c.143]

Доказательство. При исследовании уравнений Лагранжа было установлено, что в стационарном случае [c.209]

Исследование уравнений Лагранжа............ 52 [c.5]

I 7 ИССЛЕДОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ ЛАГРАНЖА 53 [c.53]

Мы не будем более подробно заниматься механикой системы, на которую действуют импульсы, а перейдем к исследованию уравнений Лагранжа для непрерывного движения. Мы будем предполагать, что связи, действующие между частями системы, не являются явными функциями времени мы покажем особо, что те случаи вынужденного движения, которые нам придется рассматривать, не выходят за пределы исследования. [c.121]

Такие решения с применением систем уравнений Лагранжа второго рода являются приближенными не только из-за численных методов решения дифференциальных уравнений, но и потому, что трение в кинематических парах здесь можно оценить лишь весьма приближенно, а упругость звеньев и зазоры в кинематических парах не учитываются вообще. Поэтому при разработке опытных образцов ПР применяют экспериментальные методы динамического исследования ПР, позволяющие с помощью соответствующих датчиков и аппаратуры записать осциллограммы перемещений, скоростей и ускорений звеньев и опытным путем учесть как неточности теоретического расчета, так и влияние ранее неучтенных факторов. [c.338]

Дифференциальные уравнения движения механической системы в обобщенных координатах были получены Лагранжем. Уравнения Лагранжа определяют движение механической системы в наиболее общей форме. Эти уравнения Лагранж применил к исследованию малых колебаний системы, имеющих большое практическое значение. [c.6]

Так как вывод этих уравнений основан на уравнениях Лагранжа второго рода для консервативной системы (126.3), то они также могут применяться к исследованию движений лишь консервативных систем. [c.369]

В предыдущих главах было показано, что уравнения Лагранжа обычно представляют собой систему нелинейных дифференциальных уравнений. Если же ограничиться исследованием движений, происходящих вблизи положения равновесия, то уравнения Лагранжа можно упростить — они заменяются в этом случае приближенными линейными дифференциальными уравнениями. Решения таких уравнений хорошо изучены, их можно записать в замкнутой форме с помощью элементарных функций, и это позволяет детально исследовать данный класс движений. [c.207]

В общем случае тот факт, что уравнения (15) получались линеаризацией уравнений Лагранжа, не придает этим уравнениям каких-либо особенностей, которые позволили бы выписать их решение и изучить возникающие движения проще, чем это могло бы быть сделано при исследовании системы линейных уравнений самого общего вида. Иначе обстоит дело в том случае, когда система консервативна и матрица С = с /, является матрицей положительно определенной квадратичной формы ). Тогда в уравнениях линейного приближения [c.236]

Исследование малых колебаний консервативной системы с несколькими степенями свободы вблизи ее положения устойчивого равновесия удобно проводить, используя уравнения Лагранжа второго рода. [c.467]

Далее в уравнения Лагранжа первого рода вводятся члены, соответствующие реакциям односторонних связей, на которые пришли точки системы, снова строится решение этих уравнений и повторяется исследование, рассмотренное выше. Как видно из сказанного, решение частных задач механики посредством применения уравнений Лагранжа первого рода связано со значительными трудностями. [c.36]

Основным отличием методики решения задач при помощи уравнений Лагранжа второго рода от методики решения задач иными способами, основанными на применении теорем динамики, является единая общая последовательность отдельных этапов решения и исследования каждой задачи. Можно указать следующую последовательность решения задач динамики при помощи уравнений Лагранжа второго рода. [c.135]

Общая методика исследования движения системы в этом случае, по существу, не отличается от методики, рассмотренной в 7 при изучении применения уравнений Лагранжа первого рода к нахождению закона движения несвободной системы. Рассмотрим этот вопрос подробнее. [c.136]

Канонические уравнения применяются, главным образом, при исследовании теоретических проблем аналитической механики,в особенности при изучении общих методов интегрирования уравнений динамики. Широко применяются канонические уравнения и в небесной механике. С другой стороны, их применение к простейшим конкретным задачам не приводит к большей эффективности по сравнению с решением, основанным на уравнениях Лагранжа второго рода. [c.149]

К исследованию явления удара можно применить уравнения Лагранжа второго рода в обобщенных координатах. [c.468]

Задание Д-19. Применение уравнений Лагранжа второго рода к исследованию движения механической системы с одной степенью свободы [c.311]

Для исследования собственных колебаний в системе с п степенями свободы воспользуемся уравнениями Лагранжа. Пусть движение в системе определяется п независимыми обобщенными координатами q , q ,. .., [c.281]

Найдя аналитическое решение для любого числа делений, можно предельным переходом (п —> оо) получить результат, соответствующий непрерывной струне. Для исследования системы с п массами удобно использовать уравнения Лагранжа второго рода, которые имеют вид [c.41]

Кроме того, по предложению читателей в книгу включена глава, посвященная электромеханическим аналогиям и их применению к исследованию колебаний. В этой главе рассмотрено построение электрических моделей — аналогов механических систем и на примерах показано применение уравнений Лагранжа — Максвелла к исследованию колебаний в электрических цепях и в электромеханических системах. [c.3]

ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ И ПРИМЕРЫ ПРИМЕНЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ЛАГРАНЖА - МАКСВЕЛЛА К ИССЛЕДОВАНИЮ КОЛЕБАНИЙ ЭТИХ СИСТЕМ [c.218]

Для исследования движения звеньев при освобожденном водиле воспользуемся уравнениями Лагранжа второго рода, приняв в качестве обобщенных координат углы срх и фз поворота колес / и 3, [c.270]

Для дальнейшего исследования напишем уравнения Лагранжа второго рода [c.295]

Составление уравнений движения механизмов с несколькими степенями свободы рассмотрим сперва на примере исследования однорядного зубчатого дифференциала, показанного на рис. 36. Уравнения Лагранжа второго рода для рассматриваемого механизма имеют вид [c.146]

Механизмы с электроприводом можно рассматривать как электромеханические системы. Для исследования их динамики методически наиболее удобными являются уравнения Лагранжа— Максвелла, которые имеют форму уравнений Лагранжа второго рода и позволяют автоматически получать не только уравнения движения механической части системы, но и связанные с ними уравнения электрической части. [c.280]

Применение уравнений (16.10) при исследовании динамики механизмов с переменными массами звеньев крайне затруднительно вследствие сложности выражения (16.14) для дополнительного члена Di. Кроме того, при вычислении кинетической энергии Т надо иметь ввиду, что массы звеньев и отдельных материальных частиц зависят в общем случае от времени, обобщенных координат qi и обобщенных скоростей qt, что усложняет вычисление частных и полных производных. Поэтому для задач теории механизмов и машин более удобным является другой вид уравнений Лагранжа второго рода, который получается на основании принципа затвердевания. [c.302]

Глава XII этой книги содержит подробное исследование движения под действием центральной силы. В ней проводится изучение орбит для некоторых законов изменения силы, отличных от обычного закона обратной пропорциональности квадрату расстояния. Изложение ведется достаточно элементарно, без использования уравнений Лагранжа. [c.108]

Углы Эйлера. Мы уже говорили, что так как элементы Uij не являются независимыми, то они не могут быть приняты за обобщенные координаты. Поэтому для исследования движения твердого тела с помощью лагранжиана необходимо предварительно выбрать три независимых параметра, определяющих ориентацию твердого тела. Только после того, как такие обобщенные координаты будут выбраны, можно будет вычислять лагранжиан и составлять уравнения Лагранжа. Известен целый ряд таких параметров. Наиболее распространенными и удобными из них являются углы Эйлера. Поэтому мы дадим сейчас определение этих углов и покажем, как можно через них выразить элементы матрицы ортогонального преобразования, [c.124]

В первых двух главах этой книги мы всесторонне рассмотрели уравнения Лагранжа, а позднее — ряд приложений этих уравнений. В этой главе мы продолжим развитие формальных методов механики и получим уравнения движения, известные под названием уравнений Гамильтона. Правда, к физической стороне вопроса ничего не прибавится, однако мы получим новый (более сильный) метод исследования механических систем. В дальнейшем мы будем предполагать, что рассматриваемые системы являются голономными, а действующие на них силы обладают потенциалами, зависящими от положения или от скорости (см. 1.5). [c.240]

Циклические координаты и метод Рауса. Уравнения Гамильтона особенно удобны при исследовании систем, содержащих циклические координаты. Согласно определению, данному в 2.6, циклической координатой называется координата, которая не входит в лагранжиан, и отсюда, как мы знаем, следует (на основании уравнений Лагранжа), что обобщенный импульс Pi, соответствующий этой координате, является постоянным. Но если pj будет равно нулю, то согласно уравнениям (7.12) про- [c.243]

Лагранжа, которая будет очень удобна для дальнейших математических исследований. Перед тем как применить это преобразование к уравнениям Лагранжа, обсудим его общие математические свойства. [c.191]

Первоначально лагранжев формализм был разработан, главным образом, для того, чтобы обойти затруднения, связанные с исследованием систем с механическими связями. Позже с развитием физики выяснилось удобство этого формализма в связи с ковари-антной формой уравнений Лагранжа для описания движений и в тех случаях, когда связи отсутствуют. [c.156]

Записанный так функционал, определенный на пучке (40), носит название действия по Гамильтону и играет важную роль при исследовании движения а потенциэотьных полях. Из сказанного следует, что движение, удовлетворяют, е уравнениям Лагранжа, представляет экстремаль функционала (48). В следующем параграфе мы докажем приведенную выше теорему Эйлера для однопараметрического пучка специального типа, пока же выведем формулу для вариации действия эта формула потребуется нам в дальнейшем. [c.275]

Рассмотренные примеры показывают, что для голономных систем основные теоремы динамики можно рассматривать как проявление свойств циклических координат. Ясно, что удачный выбор лагран-жевых координат в значительной мере облегчает интегрирование и исследование системы уравнений Лагранжа. При выборе координат полезно стремиться к тому, чтобы из них как можно больше оказались циклическими. [c.560]

СЛИ рассматривать материальную точку, которая обладает кинетической энергией системы и находится иод действием всех обобщенных сил системы, то уравнения Лагранжа второго рода представляют собой проекции уравнений движения. этой точки а координатные линии s-мерного пр(зстранства. Такое геометрическое предс гавление движения системы материальных точек в ряде случаев является полезным при исследовании движения различных механических систем. [c.81]

Уравнения Лагранжа второго рода с множителями применяются главным образом для исследования движений систем с неголономными связями, а также в тех случаях сложных го-лономных связей, когда выявление некоторых обобщенных координат оказывается затруднительным. Подробное изложениг теории уравнений Лагранжа, в том числе и уравнений с множителями, относится к специальному курсу аналитической механики ). [c.420]

Описание задания. Цель расчета — приобретение опыта составления и исследования уравнений движения голономных ме.ханиче-ских систем в форме уравнений Лагранжа 2-го рода. Аналитически определяют положение равновесия системы, с помощью ЭВМ находят ее движение относительно этого положения, определяют динамические реакции. [c.121]

Гамильтон (1805—1865). Совершенно новый мир, скрывавшийся за достижениями Лагранжа, открылся в исследованиях сэра Уильяма Роуанн Гамильтона. Уравнения Лагранжа были довольно сложными дифференциальными уравнениями второго порядка. Гамильтон сумел преобразовать их в систему дифференциальных уравнений первого порядка с удвоенным числом переменных позиционные координаты и импульсы рассматривались при этом как независимые переменные. Дифференциальные уравнения Гамильтона линейны и разрешены относительно производных. Это простейшая и наиболее удобная форма, к которой могут быть приведены уравнения вариационной задачи. Отсюда название канонические уравнения , данное им Якоби. [c.391]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...