Понятие о теории множеств и теории групп

Здесь и далее понятие группы совпадает с математическим термином группа множество объектов или совокупность элементов, удовлетворяющих определенным положениям математической теории групп [I—3] в данном случае этими элементами являются элементы симметрии. Математически строго выводятся в кристаллографии для трехмерного пространства 14 трансляционных групп. 32 точечные группы и 230 пространственных групп. [c.95]

Нетрудно заметить, что в примерах 1, 2, 4, 5 на множестве элементов, составляющих группу, можно совершенно независимо от аксиом группы ввести понятие близости между любыми двумя элементами, в силу которого групповые операции оказываются непрерывными функциями, что позволяет на такие группы (они называются топологическими) смотреть одновременно с двух точек зрения с точки зрения алгебры и с точки зрения анализа. Такое объединение оказывается весьма плодотворным. Это и используется самым существенным образом в теории групп Ли. В настоящее время под термином групп Ли понимают более широкий объект, чем тот, который ввел сам Ли и который и будет рассматриваться далее нами, [c.208]

Естественное развитие идей этого параграфа привело бы к введению понятия алгебры фон Неймана ЗЬ 0) открытого множества О. Эта алгебра есть -алгебра ограниченных операторов. Наиболее естественно эти операторы получаются с помощью спектрального разложения эрмитовых элементов. причем берется алгебра, порождаемая их спектральными проекциями. Мы не будем здесь вдаваться в объяснение такого построения. Заметим только, что есть веские основания для убеждения, что изучение алгебр М 0) — стоящее дело. Существуют соображения, в силу которых две теории поля, относящиеся к одному и тому же представлению группы Лоренца, приводят к одной и той же -матрице в том и только в том случае, если их алгебры 5 (0) изоморфны ). Этот факт придает интерес теоремам данного раздела. [c.199]

Метод Г. С. Калицына занимает особое место в исследованиях пространственных механизмов, так как он содержит распространение основных понятий теории множеств и теории групп на кинематические цепи звеньев. Воззрение на механизмы с теоретикомножественных и теоретико-групповых позиций дает возможность обосновать применение к исследованию движений механизмов теорию представлений (преобразований) групп и, следовательно, применение операций алгебры матриц к анализу перемеш,ений механизмов. [c.135]

Опираясь на основные результаты теории множеств и теории групп, Г. С. Калицын приводит следующую интерпретацию основных понятий теории механизмов. Ограничиваясь рассмотрением лишь твердых звеньев, Г. С. Калицын определяет их как множества материальных точек, представляющих отдельные части изменяющихся систем, при движении которых расстояния между двумя произвольными точками этого множества неизменны [137, 139]. [c.136]

Логическим следствием концепции Г. С. Калицына, заключающейся в трактовке основных понятий теории механизмов в терминах теории множеств и теории групп, является операторное представление преобразования элементов групп движений и, в часТ ности, матричное представление. Им разработаны матричные уравнения плоских четырехзвенных механизмов — кривошипно-ползунного, кривошипно-кулисного, кривошипно-коромыслового, а также механизмов с профильными кривыми, планетарных и дифференциальных зубчатых механизмов на основе применения матриц 2-го порядка [137]. [c.137]

Из изложенных ранее соображений по поводу преимуществ, которые возникают от приведения физических закономерностей к безразмерному виду, ясно, что именно на этом пути следует искать возможность широкого обобщения результатов такого единичного числового решения, которое выражает соотношение между размерными величинами. В самом деле, одна единственная числовая связь между безразмерными величинами определяет количественные признаки множества явлений, описываемых посредством первоначальных разжрных величин. Принято говорить, что такое множество образует группу (семейство) подобных явлений. Смысл, вкладываемый в понятие о подобии явлений, вытекает из предшествующих параграфов, в которых обсуждаются задачи нестационарной теплопроводности. Однако там не применялись термины, связанные с теорией подобия, и не были высказаны в явной форме некоторые соображения. Этот пробел здесь восполняется, поскольку освещение многих рассматриваемых далее вопросов дается именно с позиций теории подобия. [c.67]

Эргодическая теория. Фазовое пространство X является хорошим пространством с мерой, т. е. пространством Лебега (см. 6 приложения) с конечной или сг-конечной мерой д. Мы можем рассматривать в качестве структ уы на X либо меру д саму по себе, либо класс эквивалентности, который определяется совокупностью всех множеств меры нуль. Соответственно эргодическая теория изучает группы или полугруппы измеримых преобразований пространства X, которые либо сохраняют меру д, либо преобразуют ее в эквивалентную меру. В последнем случае мера д называется квазшнваршнтной мерой. В этой книге эргодическая теория играет важную, но вспомогательную роль. Она задает концептуальные и технические средства для исследования асимптотических распределений и статистического поведения орбит гладкой динамической системы. Некоторые основные понятия и результаты эргодической теории обсуждаются в гл. 4. [c.20]

Целесообразность введения понятия изолированного инвариантного множества явствует из того, что они нередко встречаются ири исследовании различных вопросовг пбегущие вШ-. ны, динамические системы с гиперболическим поведением траекторий, задача трех тел, итерации одномерных отображений. Это еще не значит, что надо пытаться построить некую общук> теорию изолированных инвариантных множеств — скорее наоборот, слишком уж разнообразными могут быть их свойства. Но четко выделяются две группы вопросов, где можно говорить об определенных теориях, в названиях которых резонно упоминаются изолированные множества. Это теория гиперболических изолированных множеств (по сравнению со всеми изолированными множествами, они образуют гораздо более узкий класс) и индексная теория (класс рассматриваемых изолированных инвариантных множеств никак не ограничивается, но изучается только некоторая специальная группа свойств). [c.211]

В теории косых произведений естественно возникает понятие коцикла. Пусть Т — автоморфизм пространства (Mi, Jii, ni), G — измеримая группа, т. е. множество, наделенное согласованными друг с другом структурами группы и измеримого пространства. Коциклом для Т со значениями в G называется измеримое отображение 0 MiXZWG, удовлетворяющее соотношению Ф хиТП- -п)=Ф хит) Ф Т Хип). Коциклы i и Фг когомологичны, если найдется такое измеримое отображение if Mi- G, что Oi(Xi, п) = [ lp Tl Xl)]- Ф2 xu п) -tl3(A i). [c.31]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...