Пространство топологическое

Однако, как показали в 1938 г. Эйнштейн и Бергман, можно ввести представление о пятимерном пространстве, не вступая в конфликт с обнаруживаемой на опыте четырех-мерностью макроскопических полей и не налагая на метрику условия цилиндричности. Для этого достаточно предположить, что пятимерное пространство топологически замкнуто в пятом измерении и что период пятой координаты имеет микроскопическую величину, которую в первом приближении можно положить равной нулю. [c.7]

Пятая координата конфигурационного пространства получает отчетливый физический смысл действия. В отношении пятой координаты конфигурационное 5-пространство топологически замкнуто. [c.150]

Следствие 1.4.3. Непрерывное открытое отображение f локально компактного сепарабельного метрического пространства топологически транзитивно тогда и только тогда, когда не существует двух непересекающихся открытых непустых f -инвариантных подмножеств. [c.44]

Еще более широкое понимание определения 2 получается, если в нем ограничиться рассмотрением элементов, финитных относительно Я, т.е. таких, что / = Е Х)/ для какого-либо ограниченного X. Пространство (топологическое) финитных элементов обозначаем — через Е = ( ), а двойственное ему относительно скалярного произведения в Л—через . В представлении в виде прямого интеграла (1) состоит из вектор-функций, которые только локально квадратично интегрируемы по мере (1т ). Ограниченный оператор А — 8 называем интегральным, если (11) выполняется для любых /, [c.51]

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4,27. Пусть / —равномерное пространство. Топологическая группа преобразований [/ , ( , /] называется рекурсивной, если для любого окружения а равномерной структуры пространства / существует такое допустимое подмножество Л СО, что (р, )еа, каковы бы ни были точки реЯ, де /(р. Л). [c.122]

Задача размещения заключается в определении оптимального (с точки зрения выбранного критерия оптимальности) положения элементов и связей между ними в монтажном пространстве типовой конструкции с учетом заданных конструктивно-технологических ограничений. Исходными данными в задаче решения являются принципиальная электрическая схема узла или устройства, метрические параметры и топологические свойства монтажного пространства. [c.325]

Подобно тому, как квадрате попарно эквивалентными противоположными сторонами топологически эквивалентен двухмерной поверхности тора в трехмерном пространстве. [c.208]

Эта система представляет собой математическую тепловую модель ЭМУ для средних температур его элементов, а исходная система из 11+Л тела (рис. 5.5) — ее топологическую интерпретацию, т.е. тепловую схему замещения, наглядно выражающую структурные связи при замене пространства с распределенными параметрами моделью с сосредоточенными параметрами. Данная ТС, представляя аналог, соответствующей электрической цепи, также позволяет в полной мере использовать методы и средства решения задач электротехники. [c.126]

Типичные и главные семейства. Начнем с определения. Рассмотрим семейство векторных полей v -, г). Топологическая орбитальная эквивалентность или слабая эквивалентность определяет разбиение пространства параметров на классы. ЭтО" разбиение называется бифуркационной диаграммой семейства. Если не сказано, какое отношение эквивалентности использовано при построении бифуркационной диаграммы, то подразумевается обычная эквивалентность. [c.18]

Бифуркационные диаграммы главных семейств (3= ).. Множество особых точек полей любого из семейства (3= ) образует гладкое подмногообразие в произведении фазового-пространства на пространство параметров. Бифуркационная диаграмма для главного семейства (3 ) (множество значений параметра, при которых особые точки семейства сливаются) — это множество коэффициентов многочленов степени р+1, имеющих кратные корни. При р=1 это множество — одна точка, при j, = 2 — полукубическая парабола, при ц = 3 — ласточкин хвост (рис. 5). Деформации векторных полей на прямой с вырожденной особой точкой возникают в теории релаксационных колебаний, как уравнения медленных движений в окрестности точки на складке медленной поверхности ( 2, гл. 4). В п. З.Г указаны только топологические нормальные формы таких деформаций. Для приложений существенны также гладкие нормальные формы они исследуются в 5 главы 2 и оказываются очень похожими на главные семейства (3= ). [c.24]

Представляет большой интерес выяснение сценариев перехода от периодического режима, отвечающего наличию устойчивого цикла на торе, к режиму непериодических колебаний, которому может соответствовать странный аттрактор. Это важно, в первую очередь, потому, что численное и лабораторное или даже натурное исследование большого количества физических и других задач (течение Куэтта, конвекция в плоском слое жидкости, генерация колебаний и радиотехнических и СВЧ генераторах и т. д.) показывает, что возникновение стохастических колебаний при разрушении двумерного тора, на котором число вращения рационально, — широко распространенное явление. Прежде, чем инвариантный тор разрушится, он должен потерять гладкость, оставаясь еще некоторое время топологическим подмногообразием фазового пространства. Способы потери удобно демонстрировать на примере отображения кольца в себя, которое при начальных значениях параметров имеет гладкую инвариантную кривую. Конкретный вид отображения здесь несуществен, например, оно может быть таким, как в [34], или [c.49]

Определение. Значения е, для которых о(е)б5 (Л1), называются бифуркационными, а изменение топологической структуры разбиения фазового пространства на траектории динамической системы, порожденной векторным полем w(e), при переходе через бифуркационное значение г, называется бифуркацией. [c.87]

Топологическая схема Бернулли. Пусть Q — пространство бесконечных в обе стороны последовательностей, составленных из р символов 1,..., р с расстоянием [c.112]

Все компоненты линейной связности пространства 3. двумерны. Существует взаимно однозначное отображение множества этих компонент на множество траекторий топологической схемы Бернулли из р символов. Компонента линейной связности компактна, если и только если соответствующая траектория периодична. [c.118]

Положение свободной частицы в пространстве можно определить с помощью сферических координат (г, 0, ф). Если принять эти величины за прямоугольные координаты точки, то построенное таким образом пространство будет сильно отличаться по своим геометрическим свойствам от реального пространства. Прямые линии перейдут в кривые, углы и расстояния изменятся. Однако ряд важных характеристик пространства при этом преобразовании сохранится. Точка перейдет в точку, окрестность точки преобразуется в окрестность, кривая останется кривой, смежные кривые останутся смежными. Непрерывность и дифференцируемость кривых также сохранятся. Для операций вариационного исчисления важны именно такие топологические свойства пространства, в то время как метрические свойства — расстояния, углы, площади и т. п. — не играют роли. Поэтому даже упрощенная картина пространства конфигура- [c.35]

Функции ф принадлежат к классу Сг, когда переменные (д, р) лежат в области D, а переменная t находится в некотором интервале I. Для каждого значения t в интервале I уравнения преобразования определяют топологическое отображение области D на область Et пространства Q Р) при этом преобразование допускает обращение, а именно [c.489]

Такая группа представляет с логической точки зрения соединение двух основных математических понятий — группы и топологического пространства. Если при рассмотрении группы мы изучаем в наиболее чистом виде алгебраическую операцию умножения, то при изучении топологического пространства изучаем операцию предельного перехода. [c.905]

В работе рассматриваются два типа равенств сильные и слабые. Слабые равенства образуют топологически незамкнутое множество, так как они перестают удовлетворяться после варьирования. Сильные равенства образуют замкнутое множество и задаются в -окрестности ЗА-мерного пространства координат д, q и р, содержащей 2А-мерную область, в которой выполняются слабые равенства. Следует отметить, что ряд вопросов, например вопрос о покрытии (2А.— М)-пространства Л-окрестностями и о топологии, которой подчиняются эти окрестности, не получил в работе строгого математического освещения. [c.916]

ПОЛЯ djdt на прямом произведении /XQ, /= /е[0, 1] , с помощью склейки V. точек (О, а<в) и (1, ш). Фазовый поток на подмножестве 2 евклидова пространства топологически эквивалентен надстройке над схемой Бернулли, если существует гомеоморфизм переводящий исходное поле в Х . [c.113]

Значительный прогресс мы находим в работе Эйнштейна и Бергмана (1938), в которой пятое измерение получает некоторый физический смысл. В этоП работе авторы отказываются от условия цилиндричности, налагаемого на метрические потенциалы в предыдущих работах. Поскольку, однако, наблюдаемые в природе макроскопические гравитационные и электромагнитные поля четырехмерны и не обнаруживают зависимости от пятой дополнительной координаты, необходимо допустить, что пятимерное пространство, по крайней мере приближенно, цилиндрично относйтельно пятого измерения. Из этих соображений авторы предположили, что пятимерное пространство топологически замкнуто в пятом измерении и что период пятой координаты (обозначаемый через Ь) имеет микроскопическую величину, которую в первом приближении можно положить равной нулю. Таким образом, в этой работе условие цилиндричности ослабляется и заменяется требованием микроскопической периодичности метрических потенциалов в пятой координате. [c.22]

В соответствии с этими Со 1учаями пространство параметров системы разбивается на области значений, при которых топологическая структура разбиения фазового пространства на траектории остается одинаковой. Уравнения границ указанных областей находятся из условия изменения числа [c.115]

В малой окрестности каждой своей точки л разбиение фазового пространства Ф в двумер юм случае, как уже говорилось, имеет один из видов, представленных на рис. 7.1. В трехмерном случае — один из видов, представленных на рис. 7.4 а, б, в, г, д. В случае произвольной размерности п топологически рА, лнч 1ЫХ картинок, которые, к сожало-нию, не могут быть представлены рисунками, будет п 4- 2. Одна соответствует обыкиовешюй точке и /г + 1 различным типам простых особых точек О " (р = О, 1,. .., п, [c.241]

Рисунок 2.13 - Схематическое изображение метода определения фрактальной (поклеточной) размерности границ зерен по фотографии. N=36 Границу зерна рассматривали как топологически одномерную линию, хотя в действительности она является двухмерной плоскостью в трехмерном евклидовом пространстве твердого тела. Значение фрактальной размерности границ зерен получили на образцах с гладкими и извилистыми фаницами зерен, Их структуру изменили применением различных режимов термообработки. Улучшение характеристик ползучести связывали с разностью AD фрактальной размерности фаниц для двух типов - изрезанных и гладких. Было установлено, что увеличение сгепени фрактальности границ повышает долговечность т сплава. Аналогичные результаты были получены и на других сплавах. В таблице 2.1 приведены значения D для двух тигюн i-раниц изученных сталей и разность AD.

Топологическая размерность D - всегда равна целому числу. Топологическая размерность относится к топологическому свойству фигур, т.е. к свойству, не изменяющемуся при любых деформациях, производимых без разрывов и склеиваний (при взаимно однозначных и непрерывных отображениях). Так, окружность, эллипс, контур квадрата имеют одинаковую топологическую размерность Дт=1 и одни и те же топологические свойства, т.е. эти линии могут быть деформированы одна в друтую описанным образом. Поверхность (в частности, плоскость или часть ее) - ее топологическая размерность Б евклидовом пространстве йт 2 (двумерный образ) пространство, а [c.154]

Топологическая мерность окружающего нас пространства D=3. Тем не менее, описаюше выше типы энергии с экзотическими мерностями выше трех должны каким-то образом в него "вписываться". Необходимость стабильного существования энергий высших мерностей в пространстве с топологической мерностью D=3 вызвала выделение из пространства ще трех видов энергии с низшими мерностями D=2, 1 и О, которые играют роль защитных оболочек или форм для энергий высших мерностей. Форма также является энергией, но с гораздо меньшими частотными характеристиками и меньшей мерностью, поскольку большинство аспектов пространства оказались уже проявленными. Приведем условие стабильною сушествования энергий в пространстве [c.52]

Так, в пространстве с топологической мерностью D=3 мерность формы электрической энергии D i = О, формы магнитной энергии Dm, =- 1 й формы тегшовой энергии D,i = 2. [c.52]

Далее этот эффект приводит к нескольким не менее важным следствиям, Становится возможным одновременное существование энергий различных типов в одной форме. Если несколько энергий существуют в одной форме, то интегральный показатель - мерность субстанции-может принимап, значения, отличные от Ds = 3, Появляется возможность устойчивого существования субстанций с мерностью, но модулю на единицу отличающейся от топологической мерности пространства. Так, в результате дифференциации для пространства стопологической мерностью D=3 пределы области устойчивого существования субстанции в фазовом пространстве мерности D рас-ширяегся из точки Dj = 3 в непрерывный спектр в интервале Ds (2 4), Из номограммы, представленной на рис, 1,10, можно сделать несколько очевидных, но, тем не менее, важных выводов [c.59]

Дифференциация электрической энергии может происходить в преде-лая De(4 5). Непрерывные спектры магнитной и тепловой энергий лежат, соответственно, в пределах De(3 4) и De(2 3). Согласно принципу устойчивого су/цествовання энергий в пространстве с топологической ыерносаъю D помимо вновь образовавшихся спектров энергий должны формироваться соответствующие спеклры форм. Заметим, что образующиеся дифференцированные энергии и формы имеют нецелые (дробные) мерности. [c.60]

Для выяснения топологической классификации точечных особенностей снова обратимся к отображениям в пространстве вырождения на единичную сферу. Выберем в заполненном нематиком физическом пространстве две точки А а В, соединенные некоторым контуром V. окружающим особую точку О, как показано на рис. 32. На единичной сфере контуру v отвечает определенный контур Г. Будем теперь вращать контур v вокруг прямой АВ. После полного оборота, когда контур совместится сам с собой, он опишет в физическом пространстве замкнутую поверхность о. Ее отображение S, описываемое контуром Г, покроет единичную сферу, возможно, более чем один раз. Число iV покрытий единичной сферы у отображением S является топологиче- / ской характеристикой особой точки. Ото- /. о [c.207]

Теорема сведения ([117], [20]). Локальное семействовекторных полей (и О, 0), г (О, 0)=0 топологически эквивалентно надстройке седла над ограничением семейства на его центральное многообразие. Это ограничение (обозначим его-(ш О, 0) представляет собой локальное семейство с с-мерным фазовым пространством, где с — размерность центрального многообразия ростка v -, 0)). Если локальное семейство (ш О, 0) является версальной деформацией ростка w -, 0), тО исходное семейство (и О, 0) является версальной деформацией, ростка г ( , 0). А [c.18]

Изучаются бифуркационные диаграммы для главных семейств и фазовые портреты уравнений этих семейств. Для описанных ниже главных семейств некоторая окрестность нуля в базе семейства разбивается на конечное число подмножеств (стратов). Объединение открытых стратов образует дополнение к бифуркационной диаграмме. Любые два поля, соответствующие значениям параметров из одного страта, топологически эквивалентны в некоторой (общей для всех близких к нулю значений параметров) окрестности нуля в фазовом пространстве [c.19]

Результаты исследования резюмируются ниже в виде таблиц и рисунков. Размерность фазового пространства уравнений, приводимых в таблицах, равна размерности центрального многообразия деформируемого ростка. В первом столбце таблицы указывается класс деформируемых ростков, во втором — его коразмерность V, в третьем описываются типичные ростки, в четвертом указывается топологическая нормальная форма деформируемого ростка, в пятом — главные деформации. Бифуркационные диаграммы и соответствующие фазовые портреты изображаются на рисунках, номера которых указываются в шестом столбце таблицы. Связь между типичными и главными деформациями для рассмотренных ниже классов такова. [c.19]

Прежде всего совершим топологическое отображение области р на область Р, представляющую собой внутренность круга, границей которого является окружность а — образ кривой а. Рассмотрим движение изображающей точки в преобразованной области Р (см. 21.2). Пусть М — точка области Р обозначим через М ее образ, полученный в результате инверсии относительно окружности а. В плоскости, перпендикулярной к плоскости Р, построим окружность Г на отрезке ММ как на диаметре. Всякому направлению траектории, проходящей через точку М (т. е. всякому элементу в точке М), поставим в соответствие определенную точку окружности Г. При этом, например, значение г = О будет соответствовать точке М, значение ij = л — точке М, а значения О ijj < я отвечают точкам окружности Г, для которых Z > 0. (Уравнением плоскости Р будет z = 0 через г)) обозначен угол наклона траектории в преобразованном движении к оси Ох.) Если точка М р, то ей соответствует бесконечно много точек если же М а, то одна точка. Каждому элементу соответствует одна точка пространства, и, обратно, каждой точке пространства соответствует один-един-ственный элемент. [c.621]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...