Трансляционные группы

Для установления трансляционной группы симметрии или ячейки Бравэ необходимо дополнительно снять рентгенограммы, вращая кристалл вокруг телесной диагонали элементарной ячейки и вокруг диагоналей граней ячейки, чтобы уста- [c.51]

ТРАНСЛЯЦИОННЫЕ ГРУППЫ И ИХ НЕПРИВОДИМЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ [c.147]

Очевидно также, что она является абелевой. Поскольку трансляционная решетка бесконечна, трансляционная группа имеет бесконечный порядок. Однако введением циклических граничных условий (Борна—Кармана) ее можно преобразовать в группу конечного порядка, но с достаточно большим порядком — Л/1Л/2Л/3 Неприводимые представления группы Т (п) записываются в виде прямого произведения неприводимых представлений групп T( j3j) являющихся циклическими с порядком Nj. Для них [c.150]

Для определения множества преобразований симметрии, отвечающих подобным пространственным группам, необходимо перемножить преобразования симметрии точечных и трансляционных групп. При этом могут появиться и дополнительные элементы симметрии. Анализ показал, что число полученных таким образом пространственных групп равно 73. При получении этих групп было также учтено, что в тетрагональной, гексагональной и ромбической системах возможно несколько способов совместимого взаимного расположения элементов точечной и трансляционной симметрий. [c.151]

Пространственные решетки (ПР), или решетки Брава, — наиболее общий (абстрактный) образ внутреннего строения кристалла (рис. 5. I). ПР получаем, если исключим все особенности химической природы составляющих его частиц — форму, размер и состав молекул,, атомов или ионов и вместо частиц будем рассматривать точки (узлы решет и) — центры тяжести частиц. По взаимному расположению узлов ПР все многообразие кристаллов сводится к 14 типам. ПР, или решетка Бравэ, характеризуется прежде всего группой трансляций (три) или параллелепипедом повторяемости — элементарной ячейкой (ЭЯ) (см. рис. 5.1). Параллельным переносом (трансляцией) элементарной ячейки в трехмерном пространстве и строят ПР. Трансляция — одна из операций симметрии, поэтому решетки Бравэ можно называть также трансляционными группами . Симметрия относительного располо- [c.95]

Здесь и далее понятие группы совпадает с математическим термином группа множество объектов или совокупность элементов, удовлетворяющих определенным положениям математической теории групп [I—3] в данном случае этими элементами являются элементы симметрии. Математически строго выводятся в кристаллографии для трехмерного пространства 14 трансляционных групп. 32 точечные группы и 230 пространственных групп. [c.95]

ТРАНСЛЯЦИОННЫЕ ГРУППЫ — РЕШЕТКИ БРАВЭ (СМ. РАЗДЕЛ б СПРАВОЧНИКА) [c.20]

Эти соотношения играют главную роль при аксиоматическом представлении квантовой механики, но, как известно, могут быть выведены также индуктивно на основании применения принципа соответствия кроме того, благодаря свойствам трансляционной группы, высказывания, вытекающие из уравнения (В2.13-1), находятся в тесной связи с постулированной в теории однородностью пространства. [c.79]

Очевидно, следует теперь рассматривать как абелеву группу порядка 2Л 1 с одним образующим элементом е 01 это относится и к группам Хг и 5 3. Полную трансляционную группу 3 следует рассматривать как абелеву группу с тремя образующими элементами, имеющую порядок Л , где [c.31]

Ранее эти соотношения были получены из соотношений ортогональности и нормировки для строк и столбцов неприводимых представлений трансляционной группы . Они также могут рассматриваться как набор соотношений полноты для совокупности функций [c.203]

Таким образом, трансляционная группа коммутативна (абелева), пространственная группа в общем случае не коммутативна. [c.75]

С такими представлениями мы уже встречались в 18. Представление трансляционной группы там создавалось с помощью базиса из I вырожденных ортогональных собственных функций Мы видели, что с помощью преобразования базисных функций получаются новые эквивалентные представления. Среди них было отмечено одно представление, у которого все матрицы содержали только диагональные элементы. [c.116]

Совокупность f вырожденных базисных функций расщепляется на п отдельных совокупностей так что операции А группы преобразуют я )xJ в линейные комбинации только т)5к. . По отношению к операциям группы, следовательно, только вырождены относительно друг друга. Преобразование представления трансляционной группы (18.5) и (18.8) при этом способе выражения означает сведение представлений Я, к прямой сумме одномерных [c.116]

По аналогии с тем, что говорилось в 1 в случае трансляционной группы, можно сказать, что С/-инвариантное состояние ф на 9i обладает сильно кластерным свойством, если для всех и S из 9i [c.387]

Как было видно в гл. 1, кристаллическая решетка помимо точечной симметрии обладает и трансляционной симметрией. Это означает, что решетка преобразуется в себя и с помощью преобразований, отвечающих точечной группе симметрии, и с помощью трансляционного переноса. Полная группа движений, совмещающих решетку с собой, содержащая и операции точечной симметрии и переносы, называется группой Бравэ, бесконечная решетка, выводимая из одной точки группой Бравэ — решеткой Бравэ [1. 24]. [c.147]

Следующим приближением к описанию внутренней структуры кристаллов являются пространственные (или федоровские) группы — совокупности элементов симметрии, действующих на систему трансляций или на ячейку Бравэ (элементы симметрии дисконтинуума— пп. 5—7 в табл. 5.1). Всего получается 230 пространственных групп (Пр.гр.). Символ Пр. гр. включает символ ячейки Бравэ и далее символы осей симметрии или нормалей к плоскостям симметрии вдоль так называемых главных трансляционных направлений, которые для разных сингоний выбираются по-разному, а именно для кубической [001], [111], [ПО] для гексагональной, тетрагональной, ромбоэдрической [001], [010], [110] для ромбической [001], [010], [100] для моноклинной [010] в триклинной СИНГОНИЙ нет осей симметрии или плоскостей симметрии. [c.101]

Из приведенных выше рассуждений видно, что можно классифицировать трансляционные состояния Фсм по значениям импульса, используя группу От, и внутренние состояния Ф по типам точной симметрии F, Шр, ) пространственной группы К(П) и группы инверсии . Классификация Ф по типам симметрии групп перестановок полностью определяется спиновой статистикой и приводит к тому, что все состояния оказываются принадлежащими одному и тому же типу симметрии (П (Л), [c.111]

Сочетание точечных и трансляционных групп симметрии с преобразованиями симметрии типа плоскости скользящего отражения и винтовой оси приводит к появлению пространственных не-симморфных групп симметрии. Их число 157, и потому общее число федоровских пространственных групп 230. В международных обозначениях этих групп сначала указывается символ решетки Бравэ, затем порождающие элементы симметрии в трехпозиционном порядке, причем в необходимых случаях символы плоскостей и осей симметрии заменяются символами плоскостей скользящего отражения и винтовых осей, например PAijm m, 14], P3j21 и т. д. Последовательность указания позиций зависит от системы кристалла [24]. [c.152]

Специфическим действием обладают элементы симметрии с трансляционной компонентой — винтовые оси и скользящие плоскости. Наличие такой компоненты приводит к тому, что координаты симметрически связанных атомов отличаются друг от друга на кратные доли периодов идентичности, например, на 1/2, 1/4 или 1/3. Такие значения обращают в нуль тригонометпические функции при некоторых к, к или I. В этом случае говорят, что эти отражения погашены, вес Рпы соответствующих узлов обратной решетки равен нулю. Наблюдаемые экспериментально погашения дают возможность определять присутствие (и ориентацию) элементов симметрии с трансляционной компонентой, а также трансляционную группу (решетку Браве) и приписать данной структуре в качестве возможных одну-две-три пространственные группы. [c.247]

При изучении сложных решеток после ин-дицирования рентгенограмм выявляются те грани (/ 1 / з), к-рые не дали отражений. Затем в таблицах выбирают те пространственные группы, относящиеся к данной трансляционной группе, для которых характерно найденное выпадение отражений. Это упрощает отыскание координат атомов в элементарной ячейке, которое производится на основании соотношения интенсивностей отдельных отражений. [c.316]

Все примитивные трансляции / составляют группу из самих себя это означает, что они удовлетворяют групповым аксиомам. Трансляционная группа является побгрг/ппой пространственной группы. Результат двух трансляций не зависит от их последовательности, результат двух вращений может, в зависимости от последовачельности, привести к различным итогам. [c.75]

Для бесконечного кристалла число элементов трансляционной группы бесконечно. Если ограничить кристалл основной областью с циклическими граничными условиями, то трансляционная группа делается конечной и содержит такое число трансляций, сколько в основной области ячеек Вигнера —Зейтца. В дальнейшем мы ограничимся эгим случаем. [c.75]

Закончим этот параграф двумя замечаниями. В 15 мы ввели циклические граничные условия, чтобы сделать трансляционную группу конечной. Тогда число различных / , равно числу узлов решетки в основной области. Две примитивные трансляции / , и Ri + NiUi в этом случае идентичны. Это, однако, означает, что и [c.90]

Магнитные свойства. Среди магнитоупорядоченных материалов в особую группу выделяют ферримагнетики, или, иначе, ферриты. В отличие от простых ферромагнетиков, или антиферромагнетиков, характерной особенностью которых является расположение магнитных атомов в трансляционно-эквивалентных узлах, к ферримагнети-кам относят материалы, в которых имеются неэквивалентные в кристаллографическом и (или) в магнитном отношении подрешетки. При таком определении ферри-магнетизма ферромагнетик представляет собой частный Jiy4afl ферримагнетика с одной магнитной подрешеткой, а простой антиферромагнетик — частный случай ферримагнетика с двумя эквивалентными подрешетками. Наличие неэквивалентных подрешеток определяет богатство магнитных свойств ферримагнетиков, отличающихся от свойств ферро- и антиферромагнетиков, хотя при определенных условиях можно найти общие черты среди этих различных групп магнетиков. [c.707]

Ранее мы выяснили, что конденсация атомов (или ионов и электронов) приводит к понижению энергии системы и является вследствие этого энергетически выгодным процессом. Поэтому в невозбужденном состоянии при предельно низких температурах все тела находятся в конденсированном состоянии, причем, за исключением гелия,—это твердые кристаллические тела. Гелий при нормальном давлении — жидкость, но при давлении в 30 кбар он также становится кристаллом. Существуют различные подходы к объяснению самого факта существования в твердом теле периодического расположения атомов (трансляционной симметрии). Так, согласно теореме Шенфлиса, всякая дискретная группа движений с конечной фундаментальной областью (т. е. элементарной ячейкой) имеет трехмерную подгруппу параллельных переносов, т. е. решетку [22]. Можно объяснять необходимость существования кристаллической решетки, а в конечном счете и вообще симметричного расположения атомов, исходя из третьего закона термодинамики. Согласно этому закону, при приближении к абсолютному нулю температуры энтропия системы должна стремиться к нулю. Но энтропия системы пропорциональна логарифму числа возможных комбинаций взаимного расположения составных частей системы. Очевидно, любое не строго правильное расположение атомов влечет за собой большое число равновозможных конфигураций атомов и приводит к относительно большой энтропии, и только строго закономерное расположение атомов может быть единственным. Поэтому равная нулю энтропия совместима только со строго повторяющимся взаимным расположением составных частей тела [1]. Иногда симметричность расположения атомов в кристалле объясняют исходя из однородности среды. [c.124]

Совокупность всех возможных преобразований симметрии кристаллической структуры называется пространственной, или федоровской, группой симметрии. Эти группы симметрии были выведены Е. С. Федоровым в 1890 г. и независимо чуть позже А. Шен-флисом за двадцать лет до экспериментального доказательства существования пространственной решетки кристалла. Различают два типа пространственных групп симметрии симморфные и не-симморфные. Симморфные группы возникают при размещении элементов симметрии точечных групп в узлах решетки Бравэ. Если обозначить федоровскую симморфную группу символом Фс, трансляционную — 7, точечную —/С, то между ними существуют следующие соотношения [c.151]

Существуют разл. формулировки Г. т. Для мн. приложений достаточна следуюхцая. Пусть локальная трансляционно-инвариантная теория поля инвариантна относительно непрерывной группы G, описываемой я сохраняющимися токами /д (jt), —О [х — про- [c.501]

Смотреть страницы где упоминается термин Трансляционные группы : [c.49] [c.148] [c.101] [c.351] [c.459] [c.315] [c.196] [c.12] [c.12] [c.39] [c.107] [c.128] [c.120] [c.134] [c.256] [c.518] [c.513] [c.278] [c.357] [c.106] [c.166] [c.127]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...