Суперпозиция волн нормальных

Рассмотрим дисперсионное соотношение для симметричных волн в форме (1.4) при некотором фиксированном п, т. е. для определенной нормальной волны. Видно, что при возрастании частоты величина sin 9, а следовательно, и угол 9 уменьшаются, и для очень высоких частот нормальная волна представляет собой суперпозицию волн (1.1), распространяющихся вдоль оси 0. . [c.113]

В разд. 4.2 и 4.3 мы обсудили распространение электромагнитного излучения в анизотропных средах, используя метод независимых волн (нормальных мод). Эти нормальные моды характеризуются четко определенными состояниями поляризации и фазовыми скоростями они получаются диагонализацией тензора поперечной непроницаемости rii в (4.3.8). Любая волна, распространяющаяся в анизотропной среде, может быть представлена в виде линейной суперпозиции этих нормальных мод с постоянными амплитудами. Пусть [c.114]

Однако в некоторых случаях удобно и даже предпочтительнее описывать распространение волн с помощью линейной суперпозиции невозмущенных нормальных мод, особенно в случае, когда возмущение мало (т. е. Де е). При этом амплитуды мод >1, и теперь не являются постоянными, поскольку и при наличии возмущения Де в общем случае не являются нормальными модами. Тем не менее полное поле можно представить в виде [c.115]

Используя выражения, полученные в случае фазовой модуляции при n — 2, можно также прийти к выражениям (7.4.38). Таким образом, падающий световой пучок поляризован вдоль невозмущенной главной оси d,. При наличии возмущения новые нормальные моды для случая и, = поляризованы в направлениях, которые составляют угол 45° с невозмущенными осями (см. первый пример в разд. 7.2). Падающую оптическую волну можно представить в виде линейной суперпозиции новых нормальных мод [c.274]

До сих пор рассматривалось распространение волн в среде без препятствий. В среде с препятствиями возможны отражения, образование стоячих волн. Законы отражения акустических волн малой амплитуды, как известно, являются следствием принципа Гюйгенса, который, в свою очередь, основывается на принципе суперпозиции волн. Поскольку для волн конечной амплитуды принцип суперпозиции не выполняется, можно предполагать, что волны конечной амплитуды будут иметь некоторые особенности при отражении от препятствий, и законы отражения для них должны быть в некоторой мере уточнены. В качестве примера можно качественно рассмотреть нормальное отражение цуга пилообразной волны от абсолютно мягкой (свободной) границы. В слзгчае волн малой амплитуды, как известно, на границе происходит изменение фазы давления на 180°, т. е. волна давления превращается в волну разрежения. Скачок давления в пилообразной волне при таком отражении должен перейти в скачок разрежения, а эта форма волны является неустойчивой, и в процессе дальнейшего распространения, как показывают экспериментальные работы [19, 20], волна изменяется так, что скачок разрежения все более и более сглаживается. [c.84]

Итак, напряженности электрического и магнитного полей в кристалле являются суперпозицией двух нормальных волн частоты со = г, движущихся навстречу друг другу с показателями преломления 1 и щ. Плотность потока энергии внутри кристалла, усредненная по времени, определяется выражением [c.472]

Осуществим теперь в (44.4) переход й лучевому приближению, считая Лр -> оо. Как следует из 24, Д (г, ) представляется в этом случае в виде суперпозиции волн, распространяющихся в сторону положительных и отрицательных 2. Изложение в 24 ведется для случая нормального падения волны. При переходе к наклонному падению надо п (г) заменить на г — [c.266]

Но главная трудность изучения распространения звука в волноводах лежит в том, что даже при одной частоте в данном волноводе могут существовать волны, меняющие форму при распространении. Гармонические волны, распространяющиеся без изменения формы, называют нормальными волнами данного волновода. Можно показать, что любая гармоническая волна может быть представлена в виде суперпозиции таких нормальных волн. Поэтому начнем с нахождения всех нормальных волн данного волновода на различных частотах, с определения скорости их распространения, дисперсии, распределения давления и скоростей частиц по сечению волновода. Вначале ограничимся простейшими типами волноводов трубами и слоями с жесткими границами. Таковы все искусственные волноводы, более простые, чем естественные волноводы в непрерывных слоистых средах. [c.232]

Поле звукового давления в слое жидкости при наличии гармонического источника может быть представлено, как известно, в виде суперпозиции Л" нормальных волн (при З- 0 - поверхность воды) [c.65]

Переход от реальных тепловых колебаний решетки к нормальным колебаниям. Атомы кристаллической решетки совершают тепловые колебания относительно положений равновесия—узлов решетки. В идеальной решетке все атомы физически равноправны. В такой структуре взаимосвязанных атомов смещение любого из атомов распространяется по всему коллективу по кристаллической решетке бежит волна — типичное коллективное движение. Совокупность коллективных движений может быть представлена Б виде суперпозиции плоских монохроматических волн (так называемых нормальных волн) вида [c.132]

При рассмотрении интерференции в плоских пластинах до сих пор были приняты во внимание только два луча либо луч, отраженный от первой поверхности, и луч, отраженный от второй поверхности, либо луч, прошедший через пластинку без отражения, и луч, отраженный от второй поверхности, затем от первой и прошедший через пластинку. В действительности в пластинке лучи могут отражаться дважды, трижды, четырежды и т. д. — много раз, особенно, если пластинка достаточно велика и падение луча близко к нормальному. В обычной стеклянной пластинке уже после второго отражения поток энергии настолько слаб, что практически влиянием многократных отражений пренебрегают. Иная картина получается, если поверхности, ограничивающие плоскопараллельную пластинку, обладают высоким коэффициентом отражения. Тогда влияние многократных отражений делается заметным как в проходящем через пластинку свете, так и в отраженном. Причем следует подчеркнуть, что расстояние между полосами и разность хода между соседней парой лучей остаются прежними и только сильно меняется распределение энергии (интенсивность) в интерференционной картине. Если для двухлучевой интерференции это распределение соответствовало обычному закону при суперпозиции дву < волн, т. е. [c.29]

Полученные представления для нормальных волн (1.7) являются инвариантными по отношению к замене величины на —Это означает, что для каждой нормальной волны, бегущей в положительном направлении оси 0. , есть двойник — нормальная волна, бегущая в отрицательном направлении. Суперпозиция таких двух волн, взятых с одинаковой амплитудой, дает стоячую волну, которую можно рассматривать как собственную форму колебаний слоя. [c.113]

Важно отметить, что в этом случае угол падения у плоских сдвиговых волн, суперпозицией которых определяется волновое поле, равен 45°. Как отмечалось в главе 2, это единственный отличный от нормального падения случай, когда отражение волн от границы происходит без возбуждения волн иного типа. Ниже показано, что такие моды, связанные с существованием только SV-волн, очень важны и при изучении установившихся колебаний конечных тел. [c.140]

Обмен энергией между невозмущенными модами, обусловленный возмущением диэлектрического тензора, аналогичен переходу между состояниями атома под действием нестационарного возмущения. При этом метод расчета, который иногда называют методом вариации постоянных, является весьма простым. Он состоит в том, что вектор электрического поля электромагнитной волны записывают в виде суперпозиции нормальных мод, отвечающих невозмущенному диэлектрическому тензору, причем коэффициенты такого разложения, очевидно, зависят от г, поскольку при As Ф О волны Е, (х, уже не являются независимыми модами [c.197]

В случае нормального падения (д = 0) эта формула вырождается в выражение для силы волнового давления в струне. Отметим, что приведенное здесь решение для бесконечной мембраны полностью переносится на случай мембраны, представляющей собой полосу конечной ширины Z. В этом случае при любом закреплении краев мембраны собственные функции будут гармоническими по координате у и решение для волновых полей в мембране будет представлять собой суперпозицию гармонических волн вида (5.40), (5.41) с различными СО. При этом решения (5.42) и (5.44) и вытекающие из них свойства останутся справедливыми. [c.203]

Рассмотрим некоторые детали электрооптического эффекта нз примере исходно одноосного и исходно изотропного кристаллов [1.24, 1.25]. В одноосном кристалле плоскую световую волну с произвольным направлением распространения и направлением линейной поляризации можно представить в виде суперпозиции двух так называемых нормальных мод. Эти моды являются волнами с взаимно-перпендикулярной поляризацией, и каждая из них распространяется по кристаллу со своим показателем преломления. Одной из нормальных мод является такая волна, поляризация которой одновременно перпендикулярна и к оптической оси, и к направлению распространения волны. Эта волна называется обыкновенная , и ей соответствует обыкновенный показатель преломления п . Вторая мода, после того как определена обыкновенная волна, уже находится однозначно и называется необыкновенная . Ей соответствует необыкновенный показатель преломления п . Заметим, что Пд одинаков для всех обыкновенных волн в кристалле, а п е зависит от направ- [c.14]

I ругая трактовка равновесного излу-иения, восходящая к Рэлею, состоит в том, чтобы само электромагнитное поле в полости рассматривать как набор осцилляторов. Можно говорить о собственных колебаниях этого поля и применить к ним методы статистической механики, а не вводить вспомогательный планковский осциллятор, взаимодействующий с излучением. Пусть для определенности полость имеет форму куба с ребром а ее стенки — зеркальные. Собственные нормальные колебания поля в таком объемном резонаторе представляют собой стоячие волны различных частот. Полное поле можно представить как суперпозицию таких стоячих волн, и в энергетическом отношении оно ведет себя как система невзаимодействующих гармонических осцилляторов. Для нахождения спектральной плотности энергии поля нужно подсчитать число независимых стоячих волн в полости с частотами в интервале от ы до о)-1-с]а). Как и в одномерном случае струны, закрепленной на концах, здесь для любого нормального колебания необходимо, чтобы вдоль каждого ребра укладывалось целое число полуволн. Пусть направление во ны (нормаль к плоскостям равных фаз) образует углы а, р и V с ребрами куба. Проекция любого ребра на это направление должна быть равна целому числу полуволн [c.435]

Таким образом, отношение амплитуд двух нормальных волн, образующих суперпозицию (56.74), при выполнении неравенства (56.73а) определяется выражением [c.475]

Рис. 2.7. Фурье-анализ прямоугольной волны f (г), а) Прямоугольная волна и три первые составляющие разложения Фурье. Цифры /, 3 и 5 относятся к нормальным модам 1, 3 и 5 б) прямоугольная волна и суперпозиция f + з -g первых трех составляющих разложения Фурье.

Рассмотрим одну монохроматическую компоненту солнечного света.Электрическое поле (этой компоненты) действует на молекулу воздуха, и каждый колеблющийся электрон молекулы испускает волны во всех направлениях. Глаз наблюдателя регистрирует часть этих волн. Но для данной молекулы (назовем ее №1) можно найти другую молекулу (№2), которая отстоит от наблюдателя дальше на 1/зХ,. Если обе молекулы возбуждаются с одинаковой амплитудой и фазовой постоянной, то суперпозиция посланных ими волн у наблюдателя будет давать нуль. Для рассеяния под углом 90° мы, очевидно, можем удовлетворить этим условиям для фаз и амплитуд, если концентрация молекул воздуха достаточно велика, так что практически всегда для каждой молекулы №1 можно найти молекулу № 2. (При рассеянии под углом, близким к нулю, молекулы, находящиеся на расстоянии от наблюдателя, большем на возбуждаются на полпериода раньше. Поэтому они не создадут деструктивной интерференции.) При нормальных условиях концентрация молекул близка к 3-см . Поэтому куб с ребром 5-10-5 сл (длина волны голубого света) содержит около 4-10 молекул, т. е. около 100 молекул вдоль каждого ребра куба размером в одну длину волны. Такое число молекул кажется более чем достаточным для создания полностью деструктивной интерференции, даже если учесть экспоненциальное уменьшение плотности воздуха с высотой. Таким образом, мы пришли к заключению, что часть неба, соответствующая рассеянию солнечного света под углом 90°, должна быть черной , а не ярко голубой [c.491]

Рассмотрим одну из основных и в то же время элементарных задач теории нелинейных колебаний и волн — взаимодействие трех связанных осцилляторов с квадратичной нелинейностью. При отсутствии нелинейности, как мы знаем, в системе из трех связанных осцилляторов будут происходить движения, представляющие собой просто суперпозицию колебаний на трех нормальных частотах Ш2, и>з). Уравнения системы, записанные в нормальных координатах, имеют вид -Ь -I- = О (j = 1, 2, 3). Наличие слабой нелинейности приведет к [c.350]

Допустим теперь, что на непрозрачный экран с отверстием нормально падает плоская линейно поляризованная электромагнитная волна. На вспомогательной поверхности Р вектор Е будет иметь одно и то же направление, параллельное плоскости экрана. Принцип Гюйгенса сводит задачу о дифракции к суперпозиции коллинеарных векторных колебаний того же направления. Поэтому следует ожидать, что в дифрагированной волне вектор Е всюду будет параллелен плоскости экрана. Это будет так и вдали от экрана, где дифрагированные волны разных направлений расходятся и перестают накладываться друг на друга. Так будет и в волне, дифрагировавшей косо к плоскости экрана. Но в действительности вектор Е перпендикулярен к дифрагирующим лучам и образует с вычисленным направлением угол, равный углу дифракции -О (рис. 163). [c.277]

Поле в слое имеет сложную интерференционную структуру, обусловленную суперпозицией всех нормальных волн, распространяющихся в слое. Эудем интересоваться средними значениями поля в слое. Модуль квадрашта звукового давления можно записать как произведение звукового давления р на его комплексно сопряженную величину [c.65]

С анизотропией (и гиротропией) связаны разнообразные явления. Однородная А, с. оказывает существенное влияние на свойства распространяющихся в ней нормальных волн, определяя, в частности, их поляризацию и различие направлений распространения boj -нового (фазового) фронта и энергии волн (см, также Кристаллооптика И Двойное лучепреломление). В неоднородной А. с. может происходить линейное вз-действие поляризов, волн (см. Линейное взаимодействие волн), приводящее к перераспределению энергии между нормальными волнами, но не нарушающее суперпозиции принцип. Последний нарушается в случае нелинейного взаимодействия волн, к-рое в А. с. также обладает своеобразными анизотропными свойствами (см. Нелинейная оптика и Нелинейная акустика). См. также Анизотропия, Магнитная анизотропия, Оптическая анизотропия. [c.84]

Динамика колебаний. Свободные, пли собственные, К. являются движением системы, предоставленной самой себе, в отсутствие внеш. воздействий. При малых отклонениях от состояния равновесия движения системы удовлетворяют суперпозиции принципу, согласно к-рому сумма двух произвольных движений также составляет допустимое движение системы такие движения описываются линейными (в частности, дифференц.) ур-ниями. Если система ещё и консервативна (т. е. в ней нет потерь или притока энергии извне), а её параметры не изменяются во времени (о переменных параметрах будет сказано ниже), то любое собств. К. может быть однозначно представлено как сумма нормальных колебаний, синусоидально изменяющихся во времени с определ. собств. частотами. В колебат. системах с сосредоточенными параметрами, состоящих из JY связанных осцилляторов напр., цепочка из колебат, электрич. контуров или из соединённых упругими пружинками шариков), число нормальных К. (мод) равно 7V. В системах с распреде лёнными параметрами (струна, мембрана, полый или открытый резонатор) таких К. существует бескопечное множество. Напр,, для струны с закреплёнными концами длиной L моды отличаются числом полуволн , к-рые можно уложить на всей длине струны L — nX 2 (д=0, 1, 2,. . ., оо). Если скорость распространения волн вдоль струны равна v, то спектр собств. частот определится ф-лой [c.401]

ЛИНЕЙНОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ВОЛН — явление перераспределения волнового движения между различными нормальными волнами, происходящее в результате изменения свойств среды в пространстве и(или) во времени под действием внеш. факторов. Это явление наз. также линейнои трансформацией волн. Оно пе связано с нарушением принципа суперпозиции волновых полей, в отличие от нелинейного взаимодействия волн, при к-ром пространственно-временное изменение свойств среды обусловлено самими взаимодействующими волнами. [c.584]

Формулы (2.5) и (2.7) показывают, что все характеристики волнового поля являются результатом сложения бесконечного чивла волн. В такой суперпозиции принимает участие конечное чивло N + М) нормальных волн, соответствующих вещественным I, = = и чисто мнимым корням дисперсионного уравнения, [c.249]

В работах, посвященных теории связанных линий, можно найти различные подходы к решению телеграфных уравнений (11, 13, 23, 27—34]. Несмотря на некоторое разнообразие математических методов, все решения основываются на представлении полной картины волновых процессов в МСПЛ в виде суперпозиции нормальных волн [27]. [c.17]

Есть здесь, однако, ряд трудностей, о которых необходимо сказать хорошо коллимированные звуковые пучки, как нетрудно видеть, не удовлетворяют уравнениям гидродинамики в излзшении ограниченного поршня всегда есть компоненты скорости, направленные тангенциально к неподвижной поверхности поршня. Такое излзшение может быть представлено как суперпозиция плоских волн, волновые векторы части из которых не нормальны к по- [c.94]

Как отмечалось выше, решения, полученные на основе бор-новского приближения, с одной стороны, и преобразования Рытова— с другой, приводят к разным плотностям распределения амплитуды Л возмущенной волны. Единственной случайной величиной, присутствующей в рещении, в обоих случаях является возмущение показателя прело.мления п. Выражение (8.4.42) дает полевое возмущение О как суперпозицию огро.миого числа незавпси.мых вкладов различных частей турбулентной среды. В соответствии с центральной предельной теоре.мой. мы вправе ожидать, что действительная и мнимая части величины 111 подчиняются гауссовскому, или нормальному, распределению. Предсказываемое распределение интенсивности полной волны зависит от дисперсий действительной и мнимой частей величины и1 и от их корреляции. Если эти дисперсии равны, а коэффициент корреляции равен нулю, то сум.ма величин Ыо и 11 будет равна сумме постоянного (неслучайного) фазора и кругового комплексного гауссовского фазора. Согласно результатам гл. 2, 9, п. Г, при этих условиях величииа Л= и [c.375]

Во лшогих физических явлениях движение представляет собой суперпозицию двух гармонических колебаний, имеющих различные угловые частоты j и со . Эти колебания могут, например, соответствовать двум нормальным модам системы, имеющей две степени свободы. Примером другого рода будут гармонические колебания, вызванные внешними силами. Источниками таких внешних сил могут быть, например, два камертона различной частоты. Каждый камертон издает свою собственную ноту , которая распространяется в воздухе как звуковая волна. Движение воздуха, воспринимаемое нашей барабанной перепонкой, будет суперпозицией двух гармонических колебаний. [c.42]

Итак, для вычисления нормальной производной волнового поля на границе 5, в фиксированной точке наблюдения N s,0), прежде всего следует определить целое число М, удовлетворяющее нравенству (5.26). Число М указывает максимальное число волн геометрической оптики, которые могут наблюдаться порознь друг от друга в точке N. Волновые поля этих волн описываются формулами лучевого метода, причем для волн последних номеров справедлива формула (5.29), которая может быть получена как при помощи уточнения формул лучевого метода, так и путем выделения соответствующих интегралов из суперпозиции (5.15). Нормальная производная поверхностной волны, т. е. суммарного эффекта волн, для которых число отражений превосходило бы (М—1), описывается формулой (5.20) [c.376]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...