Основные понятия теории конечных групп

I. Основные понятия теории конечных групп [c.362]

Книгу отличает более глубокий, чем обычно принято в учебной литературе, анализ оснований классической и релятивистской механики, выполненный с единым для этих парадигм подходом. Курс включает изложение элементов теории групп Ли, достаточное для понимания особенностей применения теоретико-групповых идей в современной механике и физике. Традиционные разделы теоретической механики подвергнуты серьезной методической переработке с целью, с одной стороны, максимально упростить введение основных понятий, доказательства теорем и основных методов, с другой стороны, заменить устаревшие представления более эффективными современными. Последнее относится, например, к аппарату теории конечных поворотов. [c.2]

Таким образом, мы прежде всего поставили задачу рассмотреть теорию структуры кристаллических пространственных групп и их неприводимых представлений. При этом предполагалось, что читатель достаточно подготовлен, чтобы следить за последовательным изложением теории, довольно тесно связанной с обычной теорией конечных групп и ее приложений. В начальной части книги (т. 1, 1—65) мы постепенно вводим основные понятия мы строим неприводимые представления пространственных групп методом, представляющим собой по существу индукцию от подгруппы, хотя и не даем априорного абстрактного определения индукции она появляется скорее как необходимое следствие непосредственного и систематического описания неприводимых представлений. Далее мы формально определяем процедуру индукции для неприводимых представлений и характеров После того как эти вопросы развиты до уровня, на котором читатель должен уверенно ориентироваться в структуре представлений и характеров, мы вводим проективные представления. Это позволяет дать более компактное и экономное описание разрещенных представлений которые могут быть использованы для индуцирования неприводимых представлений [c.255]

После того, как мьг познакомились с некоторыми основными понятиями и теоремами теории конечных групп, можно перейти к рассмотрению конкретных групп и к приложениям методов теории групп к физическим задачам. Больгыая часть приложений, как мы увидим, основана на тереме Вигнера, которая будет доказана в этой главе. [c.54]

Принципиально новым шагом в развитии взаимосвязи симметрия — сохранение были открытие и разработка Софусом Ли теории бесконечно малых канонических преобразований и установление на этом пути канонического варианта обсуждаемой взаимосвязи. С. Ли вошел в историю науки, прежде всего, как создатель теории непрерывных групп. Но основной движуш вй силой этих его исследований было стремление разработать обш,ую теорию интегрирования дифференциальных уравнений, аналогичную теории Галуа для алгебраических уравнений Благодаря новой принадлежаш,ей ему концепции задачи интегрирования дифференциальных уравнений он пришел, с одной стороны, к открытию преобразований прикосновения (или,что то же самое, касательных или контактных преобразований, совпадающих в механике с каноническими преобразованиями. — В. В.) и к теории инвариантов этих преобразований, а с другой стороны, к теории конечных непрерывных групп преобразований... Основные понятия и первые применения тео-232 рии канонических преобразований связаны с именем Якоби (см. гл. XI). Но наиболее глубокие результаты в развитии этой теории были, достигнуты лишь благодаря введению Софусом Ли бесконечно малых преобразований. В 1899 г. Дарбу писал в некрологе, посвященном С. Ли [c.232]

В главах 2—7 и 9 излагается теория пространственных групп. В гл. 2 дается описание структуры кристаллических пространственных групп как групп симметрии трехмерного пространства кристалла. Особое внимание уделяется математической структуре кристаллических пространственных групп. Мы не приводим полного описания 230 пространственных групп, так как оно вместе с иллюстрациями имеется в литературе. В гл. 3 дается обзор стандартного материала по теории представлений конечных групп. Хотя этот материал широко известен, он необходим нам как основа для изложения теории представлений пространственных групп. В гл. 4 излагается теория представлений группы трансляций Неприводимые представления групп трансляций кристалла играют центральную роль в теории, поэтому важно рассмотреть их надлежащим образом, а также правильно ввести понятие первой зоны Бриллюэна. Далее в гл. 5 дается детальный вывод построения и свойств неприводимых предста влений и векторных пространств кристаллической пространственной группы . Этот материал оказывается центральным для характеристики собственных функций и собственных значений при их классификации по симметрии. Рассмотрение в главах 6 и 7 посвящено определению коэффициентов приведения для пространственных групп. Эти коэффициенты приведения являются основными входящими в рассмотрение величинами при определении правил отбора. С математической точки зрения они являются коэффициентами рядов Клебша — Гордана в разложении прямого произведения неприводимых представлений двух пространственных групп. [c.19]

Эргодическая теория. Фазовое пространство X является хорошим пространством с мерой, т. е. пространством Лебега (см. 6 приложения) с конечной или сг-конечной мерой д. Мы можем рассматривать в качестве структ уы на X либо меру д саму по себе, либо класс эквивалентности, который определяется совокупностью всех множеств меры нуль. Соответственно эргодическая теория изучает группы или полугруппы измеримых преобразований пространства X, которые либо сохраняют меру д, либо преобразуют ее в эквивалентную меру. В последнем случае мера д называется квазшнваршнтной мерой. В этой книге эргодическая теория играет важную, но вспомогательную роль. Она задает концептуальные и технические средства для исследования асимптотических распределений и статистического поведения орбит гладкой динамической системы. Некоторые основные понятия и результаты эргодической теории обсуждаются в гл. 4. [c.20]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...