Стационарное движение. Уравнения возмущений

СТАЦИОНАРНОЕ ДВИЖЕНИЕ. УРАВНЕНИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ [c.301]

Стационарное движение. Уравнения возмущений [c.301]

СТАЦИОНАРНОЕ ДВИЖЕНИЕ. УРАВНЕНИЯ ВОЗМУЩЕНИИ [c.303]

Для всякой задачи о движении вязкой жидкости в заданных стационарных условиях должно, в принципе, существовать точное стационарное решение уравнений гидродинамики. Эти решения формально существуют при любых числах Рейнольдса. Но не всякое решение уравнений движения, даже если оно является точным, может реально осуществиться в природе. Осуществляющиеся в природе движения должны не только удовлетворять гидродинамическим уравнениям, но должны еще быть устойчивыми малые возмущения, раз возникнув, должны затухать со временем. Если же, напротив, неизбежно возникающие в потоке жидкости сколь угодно малые возмущения стремятся возрасти со временем, то движение неустойчиво и фактически существовать не может ). [c.137]

Устойчивость стационарных движений можно определить известным методом возмущений, заключающимся в составлении уравнений для малых вариаций вокруг найденных стационарных значений и = а1, v = b , соответствующих равновесию вспомогательной системы, описываемой укороченными уравнениями. [c.73]

Стационарным называют такое движение, для которого система дифференциальных уравнений возмущенного движения оказывается [c.230]

Уравнение (5-74) при отыскании автомодельного или стационарного решения вида д (х— t) сразу переходит в уравнение (5-63) и отвечает за возникновение прогрессивных волн типа периодического бора. Из уравнения (5-74) следует, что количество движения в возмущении растет по времени. Проинтегрировав уравнение (5-75) по X от —оо до 4-00, получим закон роста п.мпульса [c.122]

Допустим, что основное дифференциальное уравнение (IV.58) тем или иным способом решено, т. е. найдены функции х,- (/), удовлетворяющие этому уравнению. Для того чтобы выяснить, устойчиво ли какое-то определенное решение х, (t), нужно исследовать возмущенное движение х,- + бх,-, которое возникнет после того, как режим нарушен некоторым мгновенным возмущением. Здесь бх, (/) — вариация функции x (/), т. е. дополнительное движение, отличающее возмущенное движение от исследуемого стационарного режима. Начальная тенденция дополнительного движения бх,- t) позволит сделать заключение об устойчивости движения Х . [c.284]

Быть может, здесь уместно будет сделать некоторые дополнительные замечания по общему вопросу об устойчивости динамических систем. В общем мы следуем обычному способу и рассматриваем положение равновесия или стационарное движение как устойчивое или неустойчивое, смотря по характеру решения приближенного уравнения для возмущенного движения. Если это решение состоит из ряда, члены которого имеют вид то обычно назы- [c.447]

Наличие двух надкритических движений физически понятно, Если возмущение мало и описывается линейными уравнениями, то имеет место естественное вырождение наряду с некоторым возмущением возможно и другое, отличающееся от него знаком. Нелинейность приводит к тому, что это вырождение снимается оба стационарных движения при увеличении надкритичности начинают отличаться не только знаком (направлением движения), но и формой, что описывается старшими членами в разложениях (2. 28). Если полость имеет достаточно высокую симметрию, то оба стационарных движения получаются одно из другого некоторым преобразованием симметрии. Поэтому оба движения обладают одинаковой интенсивностью и приводят к одинаковому тепловому потоку через полость (соответствующий пример будет обсужден в 23). Если же полость несимметрична, то стационарные движения могут существенно различаться по своим характеристикам. [c.145]

Эти уравнения по форме совпадают с амплитудными уравнениями возмущений покоящейся жидкости, с той, однако, разницей, что вместо свободного параметра — числа Рэлея — в уравнения входит теперь критическое число зависящее от волнового числа стационарного движения к. Линейные уравнения (22.9) не содержат коэффициентов, зависящих от горизонтальных координат X и у, и потому можно искать решения, зависящие периодически от этих координат. Для таких возму- [c.151]

Запишем теперь уравнения малых возмущений стационарного движения. Повторяя все рассуждения 43, получим вместо (43.11), (43.12) систему уравнений для амплитуд возмущений функции тока и температуры [c.327]

Задача об устойчивости заданного движения материальной системы может рассматриваться с различных точек зрения. Речь может идти, во-первых, о разыскании оценок отклонений обобщенных координат и обобщенных скоростей от их значений в опорном движении в любой момент времени, когда начальные возмущения достаточно малы. Об основывающемся на этом воззрении определении устойчивости движения по Ляпунову кратко говорилось в п. 11.10, а составлению уравнений возмущенного движения — уравнений в вариациях — были посвящены пп. 11.14—11.17. Во-вторых, может рассматриваться лишь орбитальная устойчивость, когда вопрос о протекании во времени возмущенного движения отодвигается на второй план, а изучаются лишь траектории возмущенного движения и устанавливаются критерии их близости к опорной траектории. При этом часто, ограничивая постановку задачи, рассматривают только консервативные возмущения — такие, при которых на возмущенных траекториях сохраняется то же самое значение постоянной энергии /г, что и на опорной траектории. Принцип стационарного действия Лагранжа оказывается при этой постановке задачи наиболее приспособленным методом исследования орбитальной устойчивости, поскольку траекториями как опорного, так и возмущенного движений являются геодезические линии многообразия / элемента действия, т. е. простейшие геометрические [c.721]

Стационарное решение уравнения (4.88) даёт распределение вероятностей в установившемся режиме работы лазера. Из него можно получить среднее значение числа фотонов (п) . С другой стороны, это же стационарное значение числа фотонов, которое обозначим qst, получается из системы уравнений (4.68), если в них положить производные равными нулю. В [168] показано, что даже если лазер работает при значительном превышении порога, он всё ещё хорошо описывается уравнениями движения (4.86), для которых разложение по теории возмущений обрывается на втором неисчезающем члене. Таким образом. [c.164]

Таким образом, если F — U имеет, минимум для всех значений , ii,. ... то стационарное движение, определяемое уравнениями (1), устойчиво для всех возмущений, которые не изменяют импульсы и, v,. .. [c.84]

Здесь х,(5. О, хгО , 0. О [О, /] — координаты точек нити и неопределенный множитель Лагранжа, Е), Е2— коэффициенты вязкого трения. Последнее уравнение в (2.12) есть условие нерастяжимости нити. Уравнения движения имеют решение Хю = + я, Х2о = О, 1о = 0, К=У7(Е )2, соответствующее равномерному движению нити вдоль оси Ох,. Представленная модель может служить моделью поезда, движущегося вдоль рельсов совпадающих с осью Ох . Рассмотрим возмущенное движение нити в окрестности стационарного движения, полагая х, = х,о + ч s, I), хг = (я, I). Линеаризуем уравнения (2.11), (2.12), считая переменные и з. О, (ж. О, М , О и их производные малыми. В результате получим уравнения [c.289]

Математическое исследование вопроса об устойчивости того или иного движения по отношению к бесконечно малым возмущениям должно происходить по следующей схеме. На исследуемое стационарное решение (распределение скоростей в котором пусть будет Vo(at, у, z)) накладывается нестационарное малое возмущение Vj (х, у, z, f), которое должно быть определено таким образом, чтобы результирующее движение V == Vq + Vi удовлетворяло уравнениям движения. Уравнение для определения получается подстановкой в уравнения [c.127]

Малые возмущения стационарного однородного решения со скольжением фаз. Рассмотрим на основе уравнений двухскоростного движения эволюцию слабых возмущений полученного ста- [c.304]

Расхождение в результатах объясняется различием критериев устойчивости решений стохастических дифференциальных уравнений и выбором методики исследования. Отметим, что данная методика дает возможность исследовать приближенными методами движение систем в переходных режимах как при стационарных, так и нестационарных возмущениях, а в сочетании с методом статистической линеаризации перенести изложенные выше результаты на случай существенно нелинейных параметрических систем. В работе [54] исследование подобных систем приведено с использованием асимптотического метода и нестационарных уравнений ФПК. Из у.равнений (6.58), (6.59) следует, что наличие флюктуаций при линейных членах f н f приводит к увеличению дисперсии движения системы. Из рис. 70 видно, что наличие флюктуаций в нелинейных членах также приводит к изменению дисперсии системы по сравнению с системой с постоянными параметрами. Однако, как нетрудно показать из анализа выражения (6.54), увеличение дисперсии флюктуаций в нелинейных членах приводит к уменьшению дисперсии. В работе [27 ] рассмотрена проблема снижения резонансных амплитуд за счет введения флюктуаций при линейном члене /. При этом введение флюктуаций предполагалось кратковременным. Выражение (6.54) показывает новые возможности при решении подобных проблем в сочетании с принципом управления по возмущению (компенсация возмущений). [c.249]

Задача о распаде струй решается посредством рассмотрения устойчивости данного течения жидкости. Математическое исследование устойчивости движения по отношению к малым возмуш,ениям может быть проведено с помощью уравнений движения. С этой целью на стационарное основное течение накладывается нестационарное малое возмущение так, чтобы результирующее движение удовлетворяло уравнениям движения. При скоростях истечения, имеющих практический интерес, влияния силы тяжести на движение жидкости можно не учитывать. В этом случае на жидкую струю действуют силы вязкости, поверхностного натяжения и гидродинамического давления. jit, [c.25]

Решение исходной системы уравнений неразрывности, движения и энергии можно получить методом разложения в ряд по малому параметру. Согласно теории пограничного слоя [41 ] уравнение нестационарного течения в пограничном слое можно разделить на уравнения для стационарного течения и нестационарного возмущающего воздействия. Для периодического возмущения, которое имеет место при гармоническом колебании пластины, решение уравнений динамического и температурного пограничных слоев можно представить в виде ряда [c.152]

Глава 2 посвящена исследованию стационарных процессов переноса тепла и движения жидкости в каналах ядерных реакторов. На основе сопряженных уравнений вводится понятие функций ценности источников тепла и движущих сил в потоке теплоносителя. Строится теория возмущений для линейных функционалов температуры и скорости потока. Рассматриваются функции Грина основного и сопряженного уравнений переноса тепла и гидродинамики, поясняющие физический смысл введенных функций ценности. [c.6]

Система из s линейных уравнений (9.34) называется уравнениями возмущенного движения или уравнениями в вариациях. Если невозмущенное движение таково, что коэффициенты уравнений (9.34) постоянны, то это движение называется стацяонардым. Для стационарного движения справедливо [c.262]

Имея в виду изучить устойчивость стационарного движения пскус-ственного спутника относитсльпо величин г, г, О, О и ф, составим уравнения возмущенного движения. Для этого воспользуемся уравнениями Лагранжа второго рода [c.26]

Рассмотрим вопрос об устойчивости равновесного положения оси враш,ающегося ротора (р = 0), сделав предварительно одно тривиал1.ное, но вместе с тем важное замечание координаты и их скорости долна1ы быть определены для каждого состояния системы. При исследовании стационарного движения неуравновешенного ротора, установленного в нелинейных подшипниках (см. пример 5 4.5), удобна пользоват(,ся полярными координатами. Но в положении равновесия радиус р центра масс С ротора и его скорость р равны нулю (р = О, р - 0), а полярный угол ф и угловая скорость ф не имеют смысла. Кроме того, в полярных координатах уравнения двия ения оси ротора (они являются одновременно и уравнениями возмущенного движения около полои ения равновесия) имеют вид [c.96]

В инженерной практике широко распространены конструкции, элементы которых имеют полости или отсеки, содержащие жидкость, иапример, объекты авиационной и ракетно-космической техники, танкеры и плавучие топливозаправочные станции, суда для перевозки сжиженных газов и стационарные резервуары, предназначенные для хранения нефтепродуктов и сжиженных газов, ректификационные колонны и т. д. В большинстве случаев жидкость-заполняет соответствующие полостн или отсеки лишь частично, так что имеется свободная поверхность, являющаяся границей раздела между жидкостью и находящимся над ней газом (в частности, воздухом). Обычно можно считать (за исключением особых случаев движения тела с жидкостью в условиях, близких к невесомости, которые здесь не рассматриваются), что колебания жидкости происходят в поле массовых сил, гравитационных и инерционных, связанных с некоторым невозмущенным движением. Как правило, это поле можно в первом приближении считать потенциальным, а само возмущенное движение отсека и жидкости — носящим характер малых колебаний, что Оправдывает линеаризацию уравнений возмущенного движения. Ряд актуальных для практики случаев возмущенного движения жидкости характеризуется большими числами Рейнольдса, что позволяет использовать при описании этого движения концепцию пограничного слоя, считая, кроме того, жидкость несжимаемой. Эти гипотезы лежат в основе теории, излагаемой ниже [23, 28, 32, 34, 45, 54J. Учету нелинейности немалых колебаний жидкости посвящены, например, работы [15, 26, 29, 30]. Взаимное влияние колебаний отсека и жидкости при ее волновых движениях может сильно изменять устойчивость системы, а иногда порождать неустойчивость, невозможную при отсутствии подвижности жидкости. В качестве примера можно привести резкое ухудшение остойчивости корабля при наличии жидких грузов и Динамическую неустойчивость автоматически управляемых ракет-носителей и космических аппаратов с жидкостными ракетными двигателями при неправильном выборе структуры или параметров автомата стабилизации. Поэтому одной из основных Задач при проектировании всех этих объектов является обеспечение их динамической устойчивости [9, 10, 39, 43]. Для гражданских и промышленных сооружений с отсеками, содержащими жидкость, центр тяжести при исследовании их динамики смещается в область определения дополнительных гидродинамических нагрузок, например при сейсмических колебаниях сооружения [31]. [c.61]

Для стационарных решений автономных систем, т. е. для решений вида г/,- = onst дифференциальиые уравнения возмущенного движения имеют вид [c.34]

Более результативным нам представляется второй подход, связанный с исследованием устойчивости стационарных надкритических движений. Этот подход был начат и существенно продвинут работами Шлютера, Лорца и Буссэ р-гэ]. в основе этого подхода лежит рассмотрение малых возмущений вторичных стационарных движений в линейном приближении. При этом, разумеется, теряется возможность проследить за эволюцией конечного возмущения. Однако решение наиболее интересного вопроса об устойчивости ячеистых движений удается провести гораздо более последовательно, чем в мегоде взаимодействующих мод рассмотрение ведетря на основе полных уравнений конвекции, тогда как в методе взаимодействующих [c.148]

Дополнительную информацию дает работа Буссэ [ ], в которой для исследования стационарных движений и их устойчивости применялся метод Галеркина, применимость которого не ограничена малой надкритичностью. В этой работе рассматривался случай обеих твердых границ слоя. Исследовалась устойчивость лишь двумерных конвективных структур. Для простоты автор ограничился предельным случаем достаточно больших значений числа Прандтля, когда можно пренебречь инерционными членами в уравнении Навье — Стокса (сохраняя, однако, нелинейные члены в уравнении тепло,проводности). Принимались следующие аппроксимации температуры стационарного движения Т и возмущения f [c.153]

Обращение в нуль декремента невырожденной монотонной моды в случае, когда основное движение и возмущение не обладают различными свойствами симметрии, означает исчезновение устойчивого стационарного решения вследствие его слияния с неустойчивым (рис. 174, л) при этом в системе могут возникать колебания конечной амплитуды с большим периодом (бифуркация рождения цикла из сепаратрисы седлоузла), либо происходит переход на какой-либо иной устойчивый режим. В задачах конвекции распространена ситуация, когда в результате монотонной неустойчивости развивается новое стационарное движение, не обладающее симметрией исходного. Прежнее движение при этом продолжает существовать как неустойчивое. В частности, эта ситуация имеет место при потере устойчивости равновесия в полости, подогреваемой снизу. Если параметры жидкости являются постоянными, то амплитуда в припороговой области описывается вещественным аналогом уравнения (38.1) при этом имеет место бифуркация типа вилки (рис. 174, б). При нарушении [c.281]

Рассмотрим случай, когда с11тХо = О, т.е. Хо(с) = х°(с) , где х°(с) — семейство стационарных движений системы (Г(х (с)) = 0). Пусть = 5х = х — х°(с°), тогда линеаризованная система уравнений возмущенного движения имеет вид [c.432]

Неасимптотическая устойчивость не является, вообще говоря, грубым свойством, что легко видеть на примерах. Е. А. Барбашин (1950— 1951) доказал грубость асимптотической устойчивости для стационарных уравнений возмущенного движения в предположении непрерывной дифференцируемости функций (х). Грубость асимптотической устойчивости в случае периодических по времени дифференцируемых функций (х, г) была показана X. Массера. Для общего случая функций Х, грубость равномерной по д о о асимптотической устойчивости показана [c.50]

Пример. Однородная сфера единичной массы радиусом а подвешена на нити длиной Ь к неподвижной точке и приведена во вранхение вокруг вертикального диаметра. В состоянии этого стационарного движения сфере сообщается небольшое воэмун ,е1ше. Пусть Ьх, Ьу к Ь — координаты точки на поверхности сферы, к которой прикреплена нить, Ьх- г а , (/ -- - аг) и 6 г а — координаты центра сферы неподвижная точка принята за начало системы координат, а ось г направлена вертикально вниз. Кроме того, пусть срЧ где ф и ф имеют смысл, обычно придаваемый им при использовании кинематических уравнений Эйлера (см. т. I, гл. V). Поэтому до сообщения возмущения у/ — п. Показать, что функция Лагранжа дастся выражением [c.96]

Как следует из материала гл. 1, нас будет интересовать в основном стационарный отклик на возмущение периодическими электромагнитными полями. Однако все рассматриваемые нами системы подвержены неизбежным стохастическим возмущениям. Затухание, которое было введено в классические уравнения движения феноменологическим образом, обусловлено усредненным действием этих возмущений. Физическое происхождение этих случайных возмущений различно. Тепловое движение в жидкостях, колебания )ешетки в кристаллах, спонтанное излучение, безызлучательный распад при спонтанной эмиссии фононов, столкновения с электронами проводимости, ионные или молекулярные столкновения в газе — все эти процессы могут быть причиной возмущений. При полуклассическом подходе случайное возмущение Ж 1) —оператор, действующий только на рассматриваемую материальную систему. Изменения электромагнитных полей, колебания, движение частиц описываются классически стохастическим образом. Среднее значение Х[(1) > = О, т. е. все матричные элементы [c.61]

Для системы (R) это же частное решение, в котором 91 = 92 =. .. = = = onst = О, а следовательно, и = gg = — = определяет ее равновесное состояние. Таким образом, равновесному состоянию (10.45) системы (R) будет соответствовать стационарное движение системы (L). Дадим теперь системе (В) некоторое начальное возмущение, не изменяя постоянных и предостав м ее самой себе. Она будет двигаться согласно уравнениям (10.43), которые будут уравнениями ее возмущенного движения. Если эти уравнения таковы, что можно найти знакоопределенную функцию V координат q , . 9s. производная которой по t бу- [c.420]

Из (1.5) следует, что (alh) < 1, если х рДМАР) < 1 наоборот, если уР-р (МАР) > 1, то (1 - alb) < 1. Соотношения (1.1)-(1.5) отвечают стационарному состоянию цилиндрической массы жидкости, совершающей циркуляционное движение. Исследуем возмущенные движения, когда частицы жидкости могут перемещаться в радиальном направлении. Для этого дадим краткий вывод уравнений, описывающих радиальные колебания рассматриваемой массы жидкости, а также их полный анализ. [c.4]

Проблема устойчивости течения жидкости хорошо известна в классической гидромеханике. В обш ем виде эту проблему можно сформулировать следующим образом. Пусть дана хорошо постаь-ленпая краевая задача. Может существовать (и даже быть получено в явном виде) точное решение уравнений движения, удовлетворяющее всем граничным условиям, которое является стационарным в эйлеровом смысле d dt = 0). Все же такое решение может быть неустойчивым в том смысле, что если в некоторый момент времени наложить на это решение малые возмущения, то эти возмущения самопроизвольно будут стремиться возрастать с течением времени, а не затухать. Это означает, что существует другое (возможно, нестационарное) решение уравнений движения и что практически наблюдаемый режим течения будет нестационарным, поскольку, конечно, в реальном случае невозможно избежать каких-либо возмущений. Типичным примером этого является турбулентное течение в трубе постоянного сечения, где имеется также стационарный, но неустойчивый режим течения, называемый ламинарным. [c.297]

Плоское (т. е. одномерное) возмущение в условиях стационарного плоскопараллельного движения характеризуется производной дwJдz, которая в дальнейшем обозначается через со. Продифференцировав данное уравнение по г, получим [c.414]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...