Общее выражение для энергии деформации

Общее выражение для энергии деформации [c.41]

Закон изменения энергии. Найдем энергию собственного поля деформаций. Используя (6.6) и общее выражение для энергии подпружиненной струны (см. [6.6]), получим [c.243]

Здесь и — удельная энергия деформации, а т — касательное напряжение. Для того чтобы использовать это выражение в случае стержня при кручении, надо получить общее выражение для энергии и, а затем проинтегрировать его по всему объему стержня. [c.107]

В качестве общего выражения для свободной энергии деформированного изотропного тела удобно написать вместо (4,1) другое, воспользовавшись указанным разложением произвольной деформации на сдвиг и всестороннее сжатие. Именно, выберем в качестве двух независимых скаляров второй степени суммы квадратов компонент соответственно первого и второго членов в (4,2). Тогда F будет иметь вид ) [c.22]

Подытоживая все сказанное, запишем общее выражение для потенциальной энергии упругой деформации стержня в условиях сложного изгиба с одновременным кручением, а также растяжением-сжатием [c.231]

Закон изменения импульса. Собственное поле деформаций, движущееся вместе с нагрузкой, переносит не только энергию, но и импульс (интересно заметить, что вопрос о волновом импульсе в упругих системах до сих пор остается дискуссионным [6.18]). Используя общее выражение для волнового импульса в струне и (6.6), получим для импульса собственного поляр [c.245]

Условимся обозначать ту часть области О, которая расположена вне рассматриваемой окрестности кривой у, через Ль саму окрестность — через Ац, а оставшуюся часть оболочки через А2- Найденное нами выражение для энергии и существенно зависит от формы оболочки в переходной зоне Л12 эта форма определяется функциями ы, V, задающими деформацию. Так же, как при исследовании закритических деформаций в 2, энергию I/ мы определим из условия минимума при заданной общей деформации. Эту деформацию мы характеризуем разностью к составляющих по бинормали кривой у изгибающих полей внутри и вне области О. [c.74]

Тот факт, что общие выражения для Т н V приводятся к сумме квадратов, показывает, что деформация, отвечающая произвольной поверхностно-сферической функции, принадлежит к нормальному типу . Таким образом, принимая Сп пропорциональной со5(<г / + е), на основании того, что энергия Т+ У должна быть постоянной, мы снова приходим к результату (10). [c.565]

Плотность упругой энергии. Число постоянных S j и Сц, которое в общем случае равно 36 [уравнения (4.12) и(4.13)], можно уменьшить с помощью некоторых соображений. Плотность упругой энергии U в приближении закона Гука является квадратичной функцией деформаций (вспомните выражение для энергии растянутой пружины). Таким образом, для U можно записать следующее выражение [c.155]

Подставив в общее выражение для приращения удельной энергии деформации изотропного тела, написанное в форме 1П (15.12), [c.204]

Этот вопрос можно иллюстрировать рассмотрением следующей статической задачи. Согласно общему принципу механики ( 74), если в системе, первоначально находившейся в равновесии, соответствующего типа силами производятся заданные смещения (недостаточные для определения конфигурации системы), то получающаяся деформация определяется из условия, требующего, чтобы потенциальная энергия была минимально возможной. Применим этот принцип к случаю упругой оболочки, где заданные смещения таковы, что сами по себе не предполагают растяжения средней поверхности. Получающаяся в результате деформация, вообще говоря, включает как растяжение, так и изгиб, и всякое выражение для энергии должно иметь вид [c.413]

В соответствии с работой [14] можно записать общее выражение для определения энергии деформации произвольной системы [c.64]

Для того чтобы иметь возможность применять общие термодинамические соотношения к тем или иным конкретным случаям деформаций, необходимо иметь выражение для свободной энергии тела F как функции от тензора деформации. Это выражение легко получить, воспользовавшись малостью деформаций и соответственно этому разложив свободную энергию в ряд по степеням При этом мы будем пока рассматривать только изотропные тела соответствуюш,ие выражения для кристаллов будут получены ниже, в 10. [c.21]

Полагая, в частности, = 1, приходим к формуле для Si(k),. совпадающей с полученной в разд. П1,Д. Выражение для плотности энергии W k,X) для кинематически допустимой деформации общего вида будет приведено в разд. VI, В. [c.332]

Определение собственных частот колебаний диска. Задача расчета собственных частот колебаний диска подробно исследована в работах [6, 21, 42, 63]. Используем вариационный метод, который является продолжением рассмотрения общего случая изгиба диска в гл. 2 7. Потенциальная энергия деформации изгиба П дана в (2.175) и (2.176). Выражения для потенциалов поперечной нагрузки и сил на контурах (силовые функции [c.215]

Пусть теперь v= vj Vj. .. v —матрица-столбец узловых перемещений всего упругого тела, записанная в блочной форме п —общее число узлов). Для дальнейших рассуждений удобно в выражение для потенциальной энергии деформации конечного элемента включить перемещения всех узлов упругого тела и представить его в виде [c.118]

Как известно, упругие свойства всяких тел характеризуются удельной энергией их деформации. Выведем ее выражение для оболочки, выполненной из трансверсально-изотропного материала, поверхность изотропии которой совпадает со срединной поверхностью. Исходим из общей формулы для приращения удельной механической работы деформации в теории упругости [c.34]

Поскольку в случае чистого изгиба кривизна представляет собой постоянную величину для всей поверхности пластинки, то общую энергию деформации для всей пластинки мы получим, если в выражении (а) вместо элементарной площадки dx dy подставим площадь А всей пластинки. Тогда будем иметь [c.61]

В выражении для потенциальной энергии деформации интегралы заменяются приближенными конечными суммами, основанными на схеме расчетной конечно-разностной сетки, покрывающей поверхность пластинки. Далее, используя формулы для стандартных конечных разностей с неравномерными интервалами, общую потенциальную энергию деформации пластинки окончательно выразим в квадратичной форме F через конечные разности для перемещений га " у [c.116]

Поскольку при выводе основного дифференциального уравнения движения влиянием касательных напряжений на перемещения пренебрегают, то соответствующее выражение для потенциальной энергии деформации будет содержать только члены, зависящие от изгибающих и крутящих моментов, Поэтому не требуется удовлетворять граничному условию для перерезывающей силы в граничной узловой подобласти до минимизации общей потенциальной энергии деформации. Следовательно, для показанной на рис. 2( ) узловой подобласти, расположенной на свободном крае, с учетом граничных условий для изгибающего момента потенциальная энергия деформации от действия изгибающих моментов может быть выражена в следующем виде [c.120]

Для ТОГО чтобы подробнее пояснить общий вид уравнений (11.73), рассмотрим частный пример. Предположим, что некоторая конструкция дважды статически неопределима и что к ней приложены две нагрузки Рх и Р . Тогда энергия деформации основной системы, являющаяся квадратичной формой от двух лишних неизвестных Xi и и от нагрузок Р и Р , будет иметь следующий общий вид (см. выражение (11.44)) [c.532]

Полученные нами теоремы и формулы дают общий метод определения упругих деформаций как отдельных тел, так и конструкций, составленных из них, в том случае, когда известно выражение потенциальной энергии через внешние силы. Это выражение для всех изученных случаев деформированного состояния тел без труда получается с помощью теоремы Клапейрона. [c.269]

Формула (3.27) даёт нам самое общее выражение также и для так называемой энергии деформации. Мы видим, что энергия деформации выражается через компоненты деформации как однородная функция второй степени. [c.70]

Функционал, стационарность которого рассматривается, должен быть выражен через тензор напряжений или его инварианты, если среда изотропна геометрические величины не должны в него входить. В линейной теории упругости это не сопряжено с трудностями, так как выражение линейного тензора деформации через тензор напряжений Т известно и это позволяет сразу же получить представление удельной потенциальной энергии через напряжения. В нелинейной теории эта процедура требует обращения уравнения состояния материала о практической неосуществимости такой операции в общем случае (для любого материала) говорилось в 14 и II, 8. Но ход вывода принципа стационарности дополнительной работы требует предположения, что обращение осуществлено принимается, что соотношение [c.141]

Из вышеизложенного следует, что на площадках, перпендикулярных этим направлениям, при всестороннем расширении (или сжатии) материала будут действовать только нормальные напряжения. Понятие главных осей анизотропии позволяет устранить произвол в подходе к описанию механических свойств анизотропных материалов самого общего вида, поскольку тем самым появляется характерная, связанная с частицами материала, декартова система координат. Теперь можно сказать, что два анизотропных материала тождественны по своим механическим свойствам, если выражения для их удельных энергий деформаций, будучи отнесены к главным осям анизотропии, тождественны. [c.151]

Еще один частный класс трехмерных задач порождается осесимметричными конструкциями. Многочисленные инженерные объекты в области машиностроения, ядерной и аэрокосмической промышленности, включая бетонные и стальные резервуары, ядерные реакторы, роторы, поршни, оболочки и ракетные двигатели попадают в класс осесимметричных конструкций. В отличие от общих трехмерных задач здесь для задания соотношений используются цилиндрические, а не прямоугольные координаты. В некоторых случаях получающиеся упрощения выражений компенсируются за счет усложнения процесса интегрирования энергии деформации при получении матрицы жесткости. [c.325]

Вернемся к общему случаю и рассмотрим материал, для которого существует удельная потенциальная энергия 11 (энергия, отнесенная к единице объема до деформации), определяемая градиентом перемещения - тензором с компонентами ди /дх . Составим выражение для так называемой полной энергии, отнесенной к объему элемента до деформации (полагаем, что внешние объемные силы отсутствуют) [c.73]

В своей книге по теории упругости Ламе сообщает о другом вкладе своего бывшего коллеги в эту науку, который он именует теоремой Клапейрона. Согласно этой теореме сумма произведений приложенных к телу внешних сил на компоненты смещений по направлениям этих сил в точках их приложения равна удвоенному значению соответствующей энергии деформации тела. По-впдимому, эта теорема была сформулирована Клапейроном за много времени до выхода в свет книги Ламе, и ею, вероятно, отмечается первый случай вывода общего выражения для энергии деформации изотропного тела. В 1858 г. Клапейрон был избран в члены Dpaнцyз кoй Академии наук. Он продолжал свою работу в Академии и в Школе мостов и дорог до своей смерти в 1864 г. [c.145]

Известен ряд теорий, называемых теориями оболочек и пластин средней толщины, построенных на более строгой основе, чем гипотезы Кирхгофа—Лява, т. е. на основе, позволяющей получить более высокое, чем первое, приближение. В этих теориях учитываются г х,, T zxi и о . Разумеется, в теории оболочек средней толщины необходимо сохранять соответствующие им доли в общем выражении для энергии деформации. Однако это выходит за рамки настоящей книги, полностью посвя1Денной теории первого приближения. [c.125]

Точно так же уравнения равновесия могут быть выведены из соотношения между энергией упругой деформации и совершаемой Нагрузками работой, задаваемого принципом виртуальных работ, путем применения вариационного исчисления. Это нетрудно сделать, когда можно воспользоваться простыми выражениями для энергии деформации, но это нелегко сделать с более сложными выражениями для энергии деформации, подобными тем, что выводятся из более точных общих соотношений между деформациями и перемещениями (см. главу 6) и которые включают в себя множество различных соотношений и л1ногочисленные промежуточные параметры. В любом случае представляется более естественным выводить уравнения равновесия так же, как будем делать и мы, непосредственно из физического смысла задачи в соответствии с простым законом равновесия. [c.25]

Нашей задачей является найти выражение для энергии деформации балки. Техническая теория изгиба балок основывается на представлении, что деформация балки, если пренебречь очень малыми величинами, определяется деформацией ее средней линии ( / == г = 0). К выражению для работы деформации можно притти, лнбо делая специальные допущения относительно деформации, например, что поперечные сечения балки, перпендикулярные к средней линии, остаются и при изгибе к ней перпендикулярными и плоскими, либо выбирая строго интегрируемый случай, и распространяя получающееся из него выражение для работы деформации на общий случай изгиба. Мы остановимся на последнем методе и для простоты будем рассматривать перемещения средней линии только в направлении оси общий случай получается отсюда наложением друг на друга напряжений и деформаций. [c.70]

В тебрии наибольшей энергии за основание для установления критерия разрушения принимается количество энергии деформации,, накопленное в единице объема материала ). Пользуясь общим выражением потенциальной энергии деформации д(выражение (195) т. I,. стр. 277) и приравнивая энергию цля случая, показанного на рис. 295,. энергии на пределе текучести при простом р астяжении, находим критерий для начала текучести [c.373]

Состевляя выражение потенциальной энергии деформации отдельно для каждого иэ подтреугольников по схеме 1.1, получим общее значение ее в виде суммы, которая для пластины имеет вид [c.51]

Для определения общей потенциальной энергии деформируемой системы, обусло1зленной действием изгибающих и крутящих моментов, введена конечно-разностная схема с пересекающейся сеткой. Использование этой схемы дозволяет уменьшить погрешность аппроксимации выражений для потенциальной энергий деформации, вызванной крутящим моментом, с помощью конечно-разностных соотношений, и, кроме того, исчезает необходимость введения фиктивных узлов в граничной области. Узловые подобласти, используемые в этом методе, дают возможность получить приближенные конечные суммы, базирующиеся на значениях функций в узлах сетки, покрывающей определенным образом рассматриваемую пластинку. Выражение потенциальной энергии деформации для граничных узловых подобластей соответственно изменяется таким образом, чтобы удовлетворялись граничные условия для изгибающего момента и чтобы обеспечивалась возможность применения центральных конечных "разностей в районе границ. Дополнительные граничные условия для напряжений удовлетворяются автоматически в процессе минимизации, приводящей к конечно-разностным соотношениям, подобным тем, которые получаются при прямом использовании метода конечных разностей, но без применения фиктивных узлов, лежащих за границей пластинки. [c.115]

Так же как и в случае массивов неупорядоченных дислокаций [208], полностью усредненный по всем ориентациям оси х, реализациям дисклинационной структуры и объему зерна А квадрат нормальной деформации использовался для оценки среднеквадратичной деформации. Дополнительный анализ показал 210], что квадруполи, принадлежащие пяти ближайщим координационным сферам, что соответствует N = 11, дают вклад, равный 99 % от общей упругой энергии, запасенной в данном зерне. Окончательное выражение для среднеквадратичной упругой деформации имеет вид [c.109]

Плотность лагранжиана, используемого в задачах динамики (линейной или нелинейной) теории упругости, определяется выражением L = W — Т — Р, где W — плотность энергии деформации, Т — плотность кинетической энергии и Р — потенциал внешних сил. при лагранжевом подходе к описанию движения (материальные координаты Х[ являются независимыми переменными) в общем случае можно считать, что L — функция переменных У , / = (5У,/(ЗХ/(или, что эквивалентно, переменных /), Ui, Ui, а также независимых переменных Х, (для неоднородных систем) и t (для неголономных систем). Такнм образом, t [c.150]

Если же используются неортогональные ряды, то выражение энергии деформации будет додержать, кроме квадратов, еще и произведения неизвестных, и уравнения возможной работы будут в общем случае содержать все, или по крайней мере более одной, низвестные, и тогда требуется решать систему уравнений. Это значительно увеличивает трудности и ограничивает число членов, которое практически Можно использовать. При использовании подобных методов S задачах для пластин и оболочек, особенно в случае, когда краевые условия отличаются от условий свободног,о опирания или прогибы не малы по сравнению с толщиной и поэтому должна использоваться нелинейная теория, уравнения, вытекающие из принципа возможной работы (которые часто представляют единственный, практический путь получения какого-либо решения вообще), могут, оказаться настолько трудными для решения, что на практике используются, если позволяют время и средства, один член (метод Релея) или в лучшем случае несколько членов, и при этом может оказаться трудным указать, насколько точная аппроксимация при этом достигается. Близость аппроксимации в этом случае зависит, конечйо, от того, насколько точно с помощью одной или нескольких выбранных функций можно представить истинную форму, которая в свою очередь может быть только грубо определена из экспериментов. Хотя в случае задач о балках такие случаи либо встречаются редко, ли- j6o Имеют другие, более приемлемые решения, эти вопросы можно в сильной степени прояснить путем Простых иллюстраций на задачах о балках. [c.102]

Очень важно, что энергии изгибных деформаций, определяемые с помощью приближенных выражений для деформаций, весьма близки тем, что определяются с помощью точных выражений причем при самом большом прогибе, превышающем те прогибы, которые могут встретиться в практических задачах. Это наводит на мысль о возможности значительного упрощения общей теории тонких оболочек, так как в больш инстве тех случаев, когда она применяется, имеются изгибные деформации и те части деформации, которые пропорциональны степеням z более высоким, чем первая. [c.422]

Для случая упругого материала, когда материал следует закону Гука, явные решения можно получить, рассмотрев вместо уравнений равновесия принцип возможных работ, воспользовавшись выражением (6.14) для энергии упругой деформации и выражениями (6.18) для деформаций. Однако энергетические методы имеют много недостатков таких, как тот, что с их помощью можно получить решения только в виде рядов, которые в случае исследования локальных явлений сходятся, как уже отмечалось ранее, медленно. Поэтому в данном параграфе будут полуяены общие уравнения равновесия тонких оболочек. Для tOjo чтобы придать. выбираемым соотношениям между деформациями и перемещениями необходимую общность, будем стараться сначала вводить только такие допущения, которые соответствуют основополагаю- [c.425]

Введем матрицу-столбец z = SiSa-.-Su , в которой перечислены значения Sr для всех узлов в порядке их нумерации (п — общее число узлов). Подобно тому как это делалось при вычислении потенциальной энергии деформации и потенциалу внешних сил конечноэлементной модели (см. 4.6), выполним суммирование в (5.98), приведя выражение для Ф к виду [c.196]

Особенно трудным оказывается детальный расчет упругой энергии или кристаллографических параметров при совместном рассмотрении требований кристаллографической теории и теории, учитывающей упругую энергию заключенной в матрицу пластины. Выражения для упругой энергии, полученные с использованием предположения Боулза — Маккензи о малой однородной дилата-ции, показывают (с учетом обусловленного ею изменения кристаллографии), что воздействие матрицы при некоторых превращениях может привести к отклонениям от условия деформации с инвариантной плоскостью для габитусной плоскости (Кристиан [18,19]). Этот подход, по-видимому, может объяснить довольно загадочный результат, заключающийся в том, что эмпирические параметры дилатации, необходимой для объяснения экспериментальных данных, часто оказываются противоположными по знаку общему изменению объема при превращении. [c.337]

Для распространения трещины внезапного хрупкого разрушения необходим непрерывный подвод достаточного количества энергии для непрерывного образования критической пластической деформации у края продвигающейся по сечению трещины. На основании общей экспоненциальной зависимости освобождаемой энергии упругой деформации от размера трещины Uy = f (I) = = onst где % — величина, близкая к единице, например, X 1,3, люжет быть получено следующее выражение для предельного напряженпя [c.317]

Должна лежать в соприкасающейся плоскости той кривой, по которой располагается изогнутая ось, и когДа Бине (В1пе1) ввел уравнение моментов относительно касательной, то Пуассон на основании этого уравнения пришел к заключению,-что крутящий момент постоянен. Лишь постепенно возникло представление о двух изгибающих пара в двух главных плоскостях, и был найден способ определения меры закручивания. Когда эти элементы теории были получены, стало ясно, что, зная соотношения, связывающие, изгибающие и крутящие моменты с кривизной и степенью кручения и пользуясь обычными условиями равновесия, можно определить форму изогнутой оси, степень кручения стержня вокруг этой оси, а также растягивающую и Перерезы вающую силу в любом данном сечении. Изгибающие и крутящие. пары, а также растягивающая и перерезывающая силы, происходят от усилий, приложенных к, элементам поперечных сечений, и правильные выражения для этих пар и сил следует искать при помощи общей теории. Но здесь возникает затруднение, состоящее в том, Что общие уравнения применимы лишь тогда, когда смещения малы между тем для таких тел, как спиральные пружины, смещения ни в коем случае нельзя считать малыми. КирхГоф (КтеЬЬоК) первый преодолел Это затруднение. Он показал, что общие уравнения применимы со всей строгостью к малой части тонкого стержня, все линейные размеры которой того же порядка малости, что и диаметры, поперечного сечения. Он считал, что уравнения равновесия или движения такой части можно в первом приближении упростить, пренебрегая силами -инерции и массовыми силами. Исследования, содержащиеся в теории Кирхгофа, носят в значительной своей части кинематический, характер. Когда тонкий стержень подвергается изгибу и скручиванию, то каждый его элемент испытывает деформацию, аналогичную тем деформациям,. которые имеют место в призмах Сен-Венана но соседние элементы должны непрерывным образом переходить один в Другой. Для того чтобы выразить непрерывность этого рода, необходимы некоторые условия. Эти условия принимают форму диференциальных уравнений, которые связывают относительные смещения точек малой части стержня с относительными координатами этих точек и с величинами, которые определяют положение данной части относительно всего стержня в целом. Из этих диференциальных уравнений Кирхгоф получил картину деформации в элементе стерл я и нашел выражение для потенциальной энергии, отнесенной к единице -длины, через относительное удлинение, компоненты кривизны и степень кручения. Он получил уравнения равновесия и колебаний, варьируя функцию, Выражающую энергию. В случае, когда тонкий стержень подвергается действию внешних сил, приложенных лишь иа его концах, уравнения, которыми определяется форма изогнутой оси, идентичны, как показал Кирхгоф, с уравнениями движения тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки. Эта теорема носит название кинетической аналогии Кирхгофа . [c.36]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...