Потенциальная энергия деформации Общие выражения

Предполагая, что балка находится в критическом состоянии, когда возможна не плоская форма изгиба, составить общее выражение потенциальной энергии деформации системы (1 ), потенциальной энергии внешних сил Т) и полной потенциальной энергии системы (5). [c.168]

Определение собственных частот колебаний диска. Задача расчета собственных частот колебаний диска подробно исследована в работах [6, 21, 42, 63]. Используем вариационный метод, который является продолжением рассмотрения общего случая изгиба диска в гл. 2 7. Потенциальная энергия деформации изгиба П дана в (2.175) и (2.176). Выражения для потенциалов поперечной нагрузки и сил на контурах (силовые функции [c.215]

Пусть теперь v= vj Vj. .. v —матрица-столбец узловых перемещений всего упругого тела, записанная в блочной форме п —общее число узлов). Для дальнейших рассуждений удобно в выражение для потенциальной энергии деформации конечного элемента включить перемещения всех узлов упругого тела и представить его в виде [c.118]

В выражении для потенциальной энергии деформации интегралы заменяются приближенными конечными суммами, основанными на схеме расчетной конечно-разностной сетки, покрывающей поверхность пластинки. Далее, используя формулы для стандартных конечных разностей с неравномерными интервалами, общую потенциальную энергию деформации пластинки окончательно выразим в квадратичной форме F через конечные разности для перемещений га " у [c.116]

Поскольку при выводе основного дифференциального уравнения движения влиянием касательных напряжений на перемещения пренебрегают, то соответствующее выражение для потенциальной энергии деформации будет содержать только члены, зависящие от изгибающих и крутящих моментов, Поэтому не требуется удовлетворять граничному условию для перерезывающей силы в граничной узловой подобласти до минимизации общей потенциальной энергии деформации. Следовательно, для показанной на рис. 2( ) узловой подобласти, расположенной на свободном крае, с учетом граничных условий для изгибающего момента потенциальная энергия деформации от действия изгибающих моментов может быть выражена в следующем виде [c.120]

Общие выражения. Под действием внешних сил упругое тело испытывает деформацию, при которой силы совершают некоторое количество работы. Эта работа превращается в потенциальную энергию деформации тела. [c.153]

Напишите выражения удельной потенциальной энергии деформации в общем случае напряженного состояния в точке. [c.375]

Составим выражения потенциальной и кинетической энергии оболочки, совершающей гармонические колебания с частотой ю. В общем выражении потенциальной энергии деформации сохраняется только слагаемое Пз. Входящие в него параметры изменения кривизны определяются формулами [c.266]

Подытоживая все сказанное, запишем общее выражение для потенциальной энергии упругой деформации стержня в условиях сложного изгиба с одновременным кручением, а также растяжением-сжатием [c.231]

Положим, что в некоторой части оболочки по тем или иным причинам возникли моменты и перерезывающие усилия (это произойдет, например, если к краю оболочки будут приложены внешние моменты и нормальные к срединной поверхности силы). Так как срединная поверхность оболочки искривлена (первый фактор, вызывающий краевой эффект), то равновесие будет в общем случае возможно только при одновременном наличии и тангенциальных сил. Но если обратиться теперь к выражению потенциальной энергии оболочки (5.31.9), то заменив в нем компоненты деформации через усилия и моменты по формулам [c.363]

Следует подчеркнуть ту особенность этого уравнения, что в него входят скалярные, а не векторные величины. Конвективный член, как и в уравнении количества движения, превращен в выражение чистого притока изучаемой субстанции — в данном случае кинетической энергии — из рассматриваемой области. Члены, выражающие напряжения, также сгруппированы в поверхностный интеграл, который представляет здесь общий запас энергии, за счет которой совершается работа в рассматриваемой области внешними напряжениями — частью на изменения кинетической и потенциальной энергии жидкости и частью на совершение неэластичных деформаций. Сопротивление последнему действию входит в состав конечного объемного интеграла, который является мерой интенсивности диссипации механической энергии, т. е. мерой интенсивности ее преобразования в тепло. [c.65]

Полученные нами теоремы и формулы дают общий метод определения упругих деформаций как отдельных тел, так и конструкций, составленных из них, в том случае, когда известно выражение потенциальной энергии через внешние силы. Это выражение для всех изученных случаев деформированного состояния тел без труда получается с помощью теоремы Клапейрона. [c.269]

Функционал, стационарность которого рассматривается, должен быть выражен через тензор напряжений или его инварианты, если среда изотропна геометрические величины не должны в него входить. В линейной теории упругости это не сопряжено с трудностями, так как выражение линейного тензора деформации через тензор напряжений Т известно и это позволяет сразу же получить представление удельной потенциальной энергии через напряжения. В нелинейной теории эта процедура требует обращения уравнения состояния материала о практической неосуществимости такой операции в общем случае (для любого материала) говорилось в 14 и II, 8. Но ход вывода принципа стационарности дополнительной работы требует предположения, что обращение осуществлено принимается, что соотношение [c.141]

Этот вопрос можно иллюстрировать рассмотрением следующей статической задачи. Согласно общему принципу механики ( 74), если в системе, первоначально находившейся в равновесии, соответствующего типа силами производятся заданные смещения (недостаточные для определения конфигурации системы), то получающаяся деформация определяется из условия, требующего, чтобы потенциальная энергия была минимально возможной. Применим этот принцип к случаю упругой оболочки, где заданные смещения таковы, что сами по себе не предполагают растяжения средней поверхности. Получающаяся в результате деформация, вообще говоря, включает как растяжение, так и изгиб, и всякое выражение для энергии должно иметь вид [c.413]

Вернемся к общему случаю и рассмотрим материал, для которого существует удельная потенциальная энергия 11 (энергия, отнесенная к единице объема до деформации), определяемая градиентом перемещения - тензором с компонентами ди /дх . Составим выражение для так называемой полной энергии, отнесенной к объему элемента до деформации (полагаем, что внешние объемные силы отсутствуют) [c.73]

В тебрии наибольшей энергии за основание для установления критерия разрушения принимается количество энергии деформации,, накопленное в единице объема материала ). Пользуясь общим выражением потенциальной энергии деформации д(выражение (195) т. I,. стр. 277) и приравнивая энергию цля случая, показанного на рис. 295,. энергии на пределе текучести при простом р астяжении, находим критерий для начала текучести [c.373]

Разделив выражение 61/ на первоначальный объем параллелепипеда 6 =6/36/36/3, получим общее количество и потенциальной энергии, приходящееся на единицу объема тела, т. е. так называемую полную уде./1ьную потенциальную энергию деформации [c.111]

Квадратичный закон состояния Синьорини. Общие законы состояния нелинейно-упругой среды конкретизируются или заданием явного выражения удельной потенциальной энергии деформации через инварианты мер либо тензоров деформации, или совместимых с ее существованием явных выpaжefшй этих законов. Рассмотрение простейших напряженных состояний, использующее эти выражения с априорно вводимыми коэффициентами, приводит к соотношениям, допускающим сравнение с данными измерений к позволяющим дать числовые оценки этих коэффициентов. [c.657]

Состевляя выражение потенциальной энергии деформации отдельно для каждого иэ подтреугольников по схеме 1.1, получим общее значение ее в виде суммы, которая для пластины имеет вид [c.51]

Введем матрицу-столбец z = SiSa-.-Su , в которой перечислены значения Sr для всех узлов в порядке их нумерации (п — общее число узлов). Подобно тому как это делалось при вычислении потенциальной энергии деформации и потенциалу внешних сил конечноэлементной модели (см. 4.6), выполним суммирование в (5.98), приведя выражение для Ф к виду [c.196]

Для определения общей потенциальной энергии деформируемой системы, обусло1зленной действием изгибающих и крутящих моментов, введена конечно-разностная схема с пересекающейся сеткой. Использование этой схемы дозволяет уменьшить погрешность аппроксимации выражений для потенциальной энергий деформации, вызванной крутящим моментом, с помощью конечно-разностных соотношений, и, кроме того, исчезает необходимость введения фиктивных узлов в граничной области. Узловые подобласти, используемые в этом методе, дают возможность получить приближенные конечные суммы, базирующиеся на значениях функций в узлах сетки, покрывающей определенным образом рассматриваемую пластинку. Выражение потенциальной энергии деформации для граничных узловых подобластей соответственно изменяется таким образом, чтобы удовлетворялись граничные условия для изгибающего момента и чтобы обеспечивалась возможность применения центральных конечных "разностей в районе границ. Дополнительные граничные условия для напряжений удовлетворяются автоматически в процессе минимизации, приводящей к конечно-разностным соотношениям, подобным тем, которые получаются при прямом использовании метода конечных разностей, но без применения фиктивных узлов, лежащих за границей пластинки. [c.115]

Эта теория основывается на предположении, что количество работы, приходящейся па единицу объёма тела и необходимой для того, чтобы довести материал до пределыюго состояния, одинаково, независимо от характера напряжённого состояния. Удельная работа деформации или численно ей равная потенциальная энергия единицы объёма, выраженная через главные напряжения Сц а, и а,, в общем случае напряжённого состояния равна (фиг. 121) [c.79]

Функция, о которой здесь идет речь, есть взятая с обратным знаком потенциалыая энергия деформированного упругого тела, отнесенная к единице объема и выраженная в компонентах деформации частные производные этой функции по компонентам деформации равны компонентам напряжения. Грин предполагал, что эта функция может быть разложена по степеням и произведениям компонентов деформации, поэтому он представил ее в виде суммы однородных функций этих величин первого, второго, третьего и высших порядков. Первый из этих членов должен быть равен нулю, ибо потенциальная энергия до деформации должна иметь наименьшее значение а так как все деформации малы, то существенное значение имеет только один второй член. Из этого принципа Грин вывел свои уравнения теории упругости, содержащие в общем случае 21 постоянную. В случае изотропии остаются только две постоянные, и уравнения совпадают с теми, которые приведены в первом мемуаре Коши. [c.25]

Должна лежать в соприкасающейся плоскости той кривой, по которой располагается изогнутая ось, и когДа Бине (В1пе1) ввел уравнение моментов относительно касательной, то Пуассон на основании этого уравнения пришел к заключению,-что крутящий момент постоянен. Лишь постепенно возникло представление о двух изгибающих пара в двух главных плоскостях, и был найден способ определения меры закручивания. Когда эти элементы теории были получены, стало ясно, что, зная соотношения, связывающие, изгибающие и крутящие моменты с кривизной и степенью кручения и пользуясь обычными условиями равновесия, можно определить форму изогнутой оси, степень кручения стержня вокруг этой оси, а также растягивающую и Перерезы вающую силу в любом данном сечении. Изгибающие и крутящие. пары, а также растягивающая и перерезывающая силы, происходят от усилий, приложенных к, элементам поперечных сечений, и правильные выражения для этих пар и сил следует искать при помощи общей теории. Но здесь возникает затруднение, состоящее в том, Что общие уравнения применимы лишь тогда, когда смещения малы между тем для таких тел, как спиральные пружины, смещения ни в коем случае нельзя считать малыми. КирхГоф (КтеЬЬоК) первый преодолел Это затруднение. Он показал, что общие уравнения применимы со всей строгостью к малой части тонкого стержня, все линейные размеры которой того же порядка малости, что и диаметры, поперечного сечения. Он считал, что уравнения равновесия или движения такой части можно в первом приближении упростить, пренебрегая силами -инерции и массовыми силами. Исследования, содержащиеся в теории Кирхгофа, носят в значительной своей части кинематический, характер. Когда тонкий стержень подвергается изгибу и скручиванию, то каждый его элемент испытывает деформацию, аналогичную тем деформациям,. которые имеют место в призмах Сен-Венана но соседние элементы должны непрерывным образом переходить один в Другой. Для того чтобы выразить непрерывность этого рода, необходимы некоторые условия. Эти условия принимают форму диференциальных уравнений, которые связывают относительные смещения точек малой части стержня с относительными координатами этих точек и с величинами, которые определяют положение данной части относительно всего стержня в целом. Из этих диференциальных уравнений Кирхгоф получил картину деформации в элементе стерл я и нашел выражение для потенциальной энергии, отнесенной к единице -длины, через относительное удлинение, компоненты кривизны и степень кручения. Он получил уравнения равновесия и колебаний, варьируя функцию, Выражающую энергию. В случае, когда тонкий стержень подвергается действию внешних сил, приложенных лишь иа его концах, уравнения, которыми определяется форма изогнутой оси, идентичны, как показал Кирхгоф, с уравнениями движения тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки. Эта теорема носит название кинетической аналогии Кирхгофа . [c.36]

Исследование деформации упругих систем, как известно, заключается в составлении дифе-ренциального уравнения, характеризующего рассматриваемую деформацию, и затем в разыскании решения этого уравнения, удовлетворяющего известным граничным условиям рассматриваемой задачи. В то время как составление диференциальных ур-ий производится без особых затруднений помощью приложения к частным случаям общих выводов теории упругости, решение этих уравнений часто оказывается сопряженным с затруднениями чисто математич. характера, к-рые или не могут быть разрешены или приводят к результатам, мало пригодным для практич. использования вследствие слон -ности или отсутствия необходимой наглядности. Решение таким путем новых задач, могущих встретиться в инженерной практике, далеко выходя из рамок обычных расчетов и принимая характер научно-исследовательской работы, оказывается обычно невыполнимым в обстановке практической деятельности инженера. Применение метода потенциальной энергии, как известно, дает возможность более просто получить приближенное решение задачи, избегнув необходимости интегрирования соответствующего ей диференциального уравнения. Однако те же результаты, но гораздо проще, можно получить, и не прибегая к методу потенциальной энергии, а применив метод непосредственного интегрирования диференциального ур-ия помощью бесконечных рядов. Сущность этого метода заключается в том, что заранее задаемся подходящим видом искомой функции, входящей в диференциальное ур-ие рассматриваемой задачи, после чего, подставляя ее в это ур-ие, определяем входящие в нее неизвестные параметры. Под подходящим видом ф-ии в данном случае разумеется такой вид ее, при к-ром полностью удовлетворяются вытекающие для нее из условий задачи граничные условия и к-рый по возможности точно отвечает действительному виду этой ф-ии чем ближе к действительности окажется выбранный вид подходящей ф-ии, тем ббльшую точность будет иметь полученное решение. Т. к. любая из интересующих нас ф-ий м. б. представлена с любой точностью соответствующим тригонометрич. рядом Фурье, то, задаваясь подходящей ф-ией в виде такого ряда, будем получать в таком же общем виде и искомые решения задачи, к-рые затем м. б. вычислены с любой степенью точности. Получающееся таким путем общее решение очевидно представляет собой выраженную в виде ряда Фурье ф-ию, отве- [c.97]

В уравнении (4.1.2) выражение — -ро) можно трактовать как кажущуюся энергию активации и термофлуктуационного процесса. На основании этого, исходя из общих представлений Я. П. Френкеля [100] и Г. Эйринга (101,134] об активированных процессах как преодолении потенциальных барьеров (сил ыеж-частлчного взаимодействия), Г. М. Бартенев [468 предложил термофлуктуацион-ную теорию для кинетического процесса прорастания трещин при тепловых колебаниях взаимодействующих частиц, положения равновесия которых изменяются в связи с деформацией потенциальных барьеров под действием внешней нагрузки. [c.187]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...