Общее решение однородной краевой задачи

Общее решение однородной краевой задачи [c.92]

Представляется естественным к точкам, в которых нарушается регулярность решения, относить и те точки, в которых происходит изменение характера краевых условий (даже, если сама граница гладкая). Указанные особенности нельзя выявить заранее, однако весьма важные сведения могут быть все же получены. В работе [122], относящейся к поведению решения общих эллиптических краевых задач (и, следовательно, задач теории упругости) в окрестности нерегулярных точек границы, установлены следующие результаты. Показано, что решение в окрестности этих точек представляется в виде асимптотического ряда и бесконечного дифференцируемой функции. Слагаемые этого ряда содержат специальные решения однородных краевых задач для модельных областей (для конуса, если на поверхности коническая точка, для клина, если угловая линия). Эти решения зависят только от локальных характеристик (величины телесного или плоского угла и типа краевых условий). В ряде случаев (они далее будут подробно рассмотрены) построение этих решений сводится к трансцендентным уравнениям. Величины же коэффициентов при них зависят от задачи в целом. [c.306]

Вопрос О пространственной идеализации обусловлен тем, что в настоящее время практически могут быть решены только двумерные задачи, в которых предполагается, что поля температур, напряжений и деформаций меняются только по рассматриваемому сечению тела и однородны в направлении, перпендикулярном этому сечению. В общем случае, строго говоря, процесс деформирования при сварке может быть описан только посредством решения трехмерных краевых задач, так как температура при многопроходной сварке неравномерно распределена как по поперечному относительно шва сечению сварного элемента, так и в направлении вдоль шва. [c.280]

В книге со всей разумной полнотой и строгостью рассматривается линейная статика тонкой упругой однородной изотропной оболочки. Выводятся общие уравнения теории, обсуждаются возможные приближенные методы их решения, исследуются краевые задачи, возникающие в процессе приближенного расчета оболочек. [c.2]

Согласно (3.10), если Ф(2) и 4 (2 ) удовлетворяют граничным условиям, то Ф(С12) и F( i2) ( l — произвольное действительное число) также им удовлетворяют. Вследствие линейности и однородности краевой задачи функции С2Ф г) и 2W z) (С2 — произвольный действительный параметр) также будут решениями. Следовательно, общее решение, порожденное некоторыми решениями Ф(2) и 4 (2), имеет вид соответственно С2Ф(С12) и 2 F( i2) иначе говоря, множество искомых функций допускает группу подобия (автомодельные решения). Согласно определению группового свойства Р ], функции Ф(2) и Ч (2) должны удовлетворять функциональному уравнению [c.60]

Подставляем общее решение (3.38) в систему уравнений р.36) и граничные условия после сокращения общего множи- теля получаем на плоскости ху однородную краевую задачу в области 5 для функций Рт(х,у), где 5 —поперечное сечение цилиндра. Решение этой задачи существует только при некоторых (собственных) значениях X и определяется, очевидно, с точностью до произвольных множителей. Таким образом, мы приходим к типичной задаче на собственные значения. [c.69]

Замечание. В [15] указан способ представления общего решения однородной системы п линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами в виде дифференциального оператора, примененного к п функциям ф , каждая из которых определяется из своего более простого, чем исходные, дифференциального уравнения. Для сведения краевой задачи к ИУ по границе можно использовать потенциалы , соответствующие дифференциальным уравнениям для функций (pi. В теории упругости подобный способ применяется в [16]. [c.187]

Однородное интегральное уравнение, союзное к (2.24), представляет собой уравнение, которое можно получить, если пытаться построить решение первой основной задачи для областей Dt, 02, Оз, . .., От в виде обобщенного упругого потенциала двойного слоя, распределенного на всех поверхностях ). Поскольку краевые условия однородны, то все смещения в дополнительных областях будут равны нулю, а следовательно, будут равны нулю и напряжения. Из непрерывности же вектора напряжений на границе будет вытекать, что во всей области О напряжения равны нулю, что приводит к смещениям тела как жесткого целого. Поскольку же нетривиальное решение при однородных условиях существует, то в общем случае уравнение [c.567]

В этой главе излагается общий подход к решению проблемы особых точек, основанный на понятии корректной краевой задачи и теореме об однородных решениях Р ]. В сочетании с простейшими инвариантно-групповыми соображениями предлагаемый подход позволил достаточно полно изучить наиболее интересные случаи в плоской статической задаче теории упругости, а также случай цилиндрической точки. [c.52]

Параграф 5.1 посвящен развитию метода однородных решений в контактных задачах для тел конечных размеров сложной неканонической формы. Дается общая постановка задач, приводится описание схемы метода. Показывается, что метод однородных решений может быть с успехом применен к широкому классу существенно смешанных задач для тел, часть границы которых совпадает с парой координатных поверхностей канонической системы координат, на которой задаются смешанные граничные условия, а другая часть границы задается достаточно произвольно, и на ней ставятся несмешанные граничные условия. Дается сравнительная характеристика эффективности и границ применимости различных численных методов для удовлетворения краевым условиям при помощи однородных решений, отмечаются трудности, возникающие при использовании методов коллокации и наименьших квадратов, показываются преимущества использования методов Ремеза первого и второго рода. [c.18]

Естественно, что при решении краевых задач для линейного однородно стареющего вязкоупругого тела при общих граничных условиях можно воспользоваться суперпозицией рассмотренных случаев. [c.35]

Правые части удовлетворяют аналогичным условиям (4.13). Задача (4.16), (4.17) является самосопряженной краевой задачей на отрезке (О, Ь). Легко показать, не обращаясь даже к общей теории, а непосредственным подсчетом, что для разрешимости (причем однозначной) этой задачи необходимо и достаточно, чтобы соответствующая однородная задача имела только тривиальное решение, для чего в свою очередь необходимо и достаточно, чтобы [c.255]

Из общего числа безразмерных величин к число комплексов равно I — к, а число симплексов равно и — /, где I — число групп однородных величин, которое содержится в п [Л.48]. Уравнение (7-1) может рассматриваться как решение некоторой задачи математической физики, сформулированной в виде уравнений процесса и краевых условий, а уравнение (7-2) — как безразмерная форма того же решения. [c.263]

Заметим, что разработан метод определения указанных коэффициентов для общего случая эллиптических краевых задач [154, 155]. Для них получены явные интегральные представления, в которые входят исходные краевые условия и некоторые специальные решения вспомогательной однородной краевой задачи. Указанные решения зависят только от конфигурации области и характера краевых условий. Они определяются однозначно главными членами своей асимптотики и так же, как функции (8.17), имеют особенность в нерегулярной точке границы. Реализация этого метода представляется особенно эффективной тогда, когда требуется для одной и той же области решить совокупность однотипных краевых задач, поскольку потребуется лишь один раз решать вспомогательную задачу. В [162] приведены примеры, иллюстрирующие применение метода в задачах теории упругости. [c.312]

В большинстве практически важных случаев для описания докритического равновесного положения оболочки можно использовать линейные уравнения изгиба. При этом характеристики основного напряженно-деформированного состояния пропорциональны параметру нагрузок. Если же в уравнениях устойчивости сохраняются члены, которыми учитывается влияние перемещений и деформаций перед потерей устойчивости, то зависимость коэффициентов этих уравненй от параметра нагрузок в общем случае остается нелинейной. Эта зависимость становится линейной лишь тогда, когда пренебрегается как нелинейностью основного равновесного состояния, так и влиянием докритических деформаций. В этом случае решение задачи устойчивости сводится к определению собственных чисел и собственных элементов линейной однородной краевой задачи для системы дифферециальных уравнений с частными производными. Упрощенные уравнения такого типа позволяют выявить точки бифуркации и нашли широкое применение [c.61]

НОГО уравнения определяют внутренние силы в сечениях оболочки и деформированное состояние ее от краевых воздействий. Общее решение однородного дифференциального уравнения четвертого порядка выполняется при четырех неизвестных постоянных. Поэтому необходимо учитывать четыре краевые условия задачи, по два на каждой стороне оболочки. [c.25]

В общем решении для компонент тензора напряжений присутствует пеопре-делеппый множитель К. Появление множителя К обусловлено однородностью краевой задачи на собственные значения. Таким образом, без ограничения общности можно положить значение константы с равным какому-либо ненулевому числу. Пусть С1 = 1. В результате формально получается, что с помощью подбора только одной константы необходимо удовлетворить сразу двум условиям отсутствия поверхностных усилий на берегах трещины. Однако в силу симметрии задачи одно этих условий будет заведомо выполняться. Так, для трещины нормального отрыва необходимо удовлетворить только условию / (тг) = О, а для трещины нонеречного сдвига — условию /(тг) = 0. [c.311]

Основные работы, посвященные решению задач о наращивании методами теории упругости, приведены в [5241. На основе теории упругоползучего тела в работе [494] исследовано напряженно-деформированное состояние в однородных телах при их наращивании. В более общей постановке эта задача рассматривалась в [171]. Установлению определяющих соотношений и исследованию краевых задач вязкопластических течений "твердых тел посвящены работы [208, 209]. Уравнениям деформирования не вполне упругих и вязкопластических тел посвящены работы [217—220]. Задача термоползучести для неоднородно-стареющего тела исследована в [94, 95]. Плоская задача вязкоупругости для неоднородной среды, а также влияние старения материала на напряженно-деформированное состояние около отверстий исследовались в [429, 430, 474]. [c.27]

Восьмая глава посвящена исследованию упругопластического деформирования и структурного разрушения слоистых композитов. Рассматривается постановка и рш1ение стохастических краевых задач в перемещениях и напряжениях для общего случгш нелинейных определяющих соотношений пластически сжимаемых и случайно чередующихся слоев с учетом разброса прочностных свойств и возможных механизмов разрушения. Граничные условия задач соответствуют произвольно заданному макроскопически однородному деформированному или напряженному состоянию композита. Моделируются многостадийные процессы деформирования и разрушения слоистых композитов. В данной главе, как и в предыдущей, закритическая стадия деформирования, проявляющаяся в разупрочнении материала, обнаруживается при решении задач как результат структурного разрушения. Это позволяет на базе использования апробированных моделей механики композитов в ходе проведения вычислительных экспериментов исследовать основные закономерности закритического деформирования композиционных материалов различной структуры. [c.12]

Итак, установлена замкнутая система линейных однородных уравнений устойчивости слоистых композитных оболочек. Записанная в вариациях обобщенных перемещений система состоит из пяти дифференциальных уравнений в частных производных с двумя независимыми переменными j S относительно пяти искомых функций и , и . И", TTj. Ее порядок от числа слоев оболочки не зависит и равен 12, что соответствует количеству задаваемых для нее краевых условий (3.3.6). Зависимость коффициентов этих уравнений от параметра внешних нагрузок проявляется через характеристики основного состояния (перемещения, деформации, усилия) и в общем случае нелинейна. Задача заключается в определении таких значений этого параметра, при которых линейная однородная система уравнений устойчивости, подчиненная надлежащим однородным краевым условиям, допускает нетривиальное решение. Этими значениями параметра нагрузок определяются критические точки, которые, согласно существующей классификации [45, 51 ], могут быть двух типов — точки бифуркации и предельные точки. При переходе через точку бифуркации может теряться устойчивость по типу разветвления форм равновесия. Переходу через предельную точку соответствует скачкообразный переход от одной равновесой формы к другой [45, 51 ]. [c.61]

Поэтому данная краевая задача описывается с помощью дифференциальных уравнений (67) и (68) при граничных условиях, определяемых уравнениями (70), (71) и (76). Общее решение для каждой зависимой переменной состоит из суммы двух частей 1) общего решения соответствующей системы однородных уравнений 2) частного решения. Ёдинственными равными тождественно нулю функциями в частном решении (обозначаемом нижним индексом Р) являются [c.56]

Из (31), (33) следует, что (32) представляет собой разложение по действительным показателям степени В, по крайней мере, в области пе очепь больших значений Ке и Рг. Заметим, что при Рг = О или Ке = О система функций, отвечающая положительным показателям степени при В, тп(п<0) также совпадает, как и при га > О, с полной липейно независимой системой полиномов Лежандра. Можно полагать, как и в случае с га > О, что свойства полноты и линейной независимости функций (га<0) сохраняются и при Рг >0, Ке > 0. Это дает основание утверждать, что решение тепловой задачи в шаровом слое также существует и единственно и представимо в виде разложения (32). Видимо, существование и единственность решения краевой задачи для однородного уравнения конвективной теплопроводности будут иметь место, как в случае уравнения Лапласа, и для областей более общего вида. [c.268]

Интегральные члены в формулах (2.46) выражают частное решение неоднородной системы (2.45), а внеинтегральные члены представляют общее решение соответствующей однородной системы уравнений. Присутствие в формулах (2.46) трех произвольных аналитических функций ф, -ф и означает, что при этом можно обеспечить выполнение трех краевых условий. Кроме того, формулы (2.46) позволяют строить бесконечное множество полных систем частных решений системы (2.45), при помощи которых можно решать. различные краевые задачи для областей частного вида (круг, круговое кольцо и т. п.). Эти частные системы решений можно использовать также для аппроксимации решений для областей любого вида. [c.277]

Без знакомства с основами этой теории почти Jвeвoзмoжнo читать главы III—V настоящей книги, где читатель часто найдет ссылки на монографию автора по обобщенным аналитическим функциям. Однако следует отметить, что имеется широкий.класс оболочек, В который входят сферические оболочки, а также про-ективно им эквивалентные оболочки, очерченные по поверхностям 2-го порядка положительной кривизны, для которых обобщенные уравнения Коши—Римана становятся классическими (однородными и неоднородными) уравнениями Коши—Римана.. В зтом случае от читателя требуется знакомство с общей теорией аналитических функций от одной Гомплексной переменной, а также владение методами решения краевых задач Римана—Гильберта В объеме монографии Н. И. Мусхелишвили Сингулярные йнте-гральные уравнения . Надо заметить в связи с этим тот важный факт, что многие результаты, относящиеся к указанному частному классу оболочек, почти без изменения переносятся на случай выпуклых оболочек, произвольного очертания. Это обстоятельство, очевидно, несколько облегчает чтение книги тем читателям,. [c.6]

В силу того что в общем случае нагрузкар (s) на S не самоуравновеше-на, дополнительно предположим, что тело закреплено от смещений и поворотов в некоторой точке V. Определим из решения этой задачи вектор перемещений (s) на 5. Вычитая полученный вектор перемещений из заданного м (s), сведем исходную задачу к случаю однородных статических краевых условий на S. Таким образом, поставленную задачу, не нарушая общности, можно рассматривать с нулевым вектором напряжений на 5 (p (s) =0) и кинематическим краевым условием, равным и,1 = — [c.64]

Было предложено несколько приемов использования однородных решений для выполнения краевых условий на поперечных сторонах полосы. Ни один из них не д.ает строгого решения этой задачи — точного выполнения краевых условий общего вида по два на каждом из краев (левом и правом). Наиболее простой прием выполнения краевых условий в среднем описан в п. 7.9 гл. V. Выполнение краевых условий в ряде наперед выбираемых точек поперечной стороны затруднительно вследствие знакопеременности однородных решений, тем более частой, чем выше номер соответствующего взятому решению корня. [c.513]

Задачи, рассмотренные в настоящей статье, при малых магнитных числах Рейнольдса сводятся к уравнению Пуассона или к неодно-эодному эллиптическому уравнению более общего вида с линейными краевыми условиями. Однородные уравнения получаются только в отдельных случаях. Вместе с тем при рассмотрении конкретных задач предпочтительнее пользоваться однородными уравнениями, для которых существуют эффективные методы решения, основанные на теории функции комплексного переменного. Поэтому представляет интерес изучение задач о течении в каналах с диэлектрическими стенками, так как отсюда получаются наиболее простые частные решения неоднородных уравнений, необходимые для перехода к однородным. [c.533]

Равновесие круглой толстой плиты, нагруженной равномерно распределенной нагрузкой, было изучено при помощи однородных решений Г, Н, Бухариновым (1952), применившим соотношение обобщенной ортогональности П, Ф. Папковича (1940) это соотношение было указана Папковичем для краевых условий функций однородных решений, соответствующих обращению в нуль самих функций и их первых производных на параллельных сторонах полосы строгое обоснование метода Папковича было дано позднее Г. А. Гринбергом (1953), Равновесие круглой плиты под действием произвольной осесимметричной нагрузки исследовано при помощи однородных решений В. К, Прокоповым (1958), Осесимметричный изгиб круглой плиты в весьма общей постановке рассмотрен Б, Л. Абрамяном и А, А, Баблояном (1958) точное решение задачи о равновесии защемленной по боковой поверхности плиты при помощи бесконечных систем алгебраических уравнений дали В. Т. Гринченко и А, Ф. Улитка (1963) аналогичные результаты получены Г, М, Валовым (1962), Некоторые частные случаи осесимметричного изгиба толстых плит рассмотрены [c.19]

Сложность одновременного точного выполнения всех краевых условий на поверхностях цилиндра заставила искать приближенных путей решения задачи так, С. И. Тренин (1952) представлял напряженное состояние двумя тензорами основным и корректирующим, причем последний не дает напряжений на боковой поверхности (однородные решения), а его параметры определяются энергетическим путем. Более общая (не осесимметричная) задача о полом цилиндре рассматривалась аналогичным образом В. И. Ионовым (1957) Я, С, Шаин (1962) дал построение корректирующего тензора в первом приближении. [c.20]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...