Уравнения упругой механической системы

Уравнения упругой механической системы [c.248]

В рассмотренных выше системах с сосредоточенными постоянными имеет место пространственное разделение элементов массы и упругости (механические системы) или емкости и индуктивности (электрические системы). В этих системах можно не учитывать времени передачи возмущения от точки к точке, оно мало по сравнению с периодом колебаний. В системах происходят колебательные процессы, зависящие от единственной переменной — времени t. Поэтому движения в системах со сосредоточенными параметрами описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями. [c.319]

В уравнении (28) мы рассматриваем колебания упругой механической системы, подчиняющейся закону Гука. Принимаем при этом, что возмущающая сила изменяется по гармоническому закону. [c.17]

Систематические исследования задач конструкционного демпфирования ведутся в течение последнего десятилетия в Советском Союзе и за рубежом (см. литературу в конце статьи). Они относятся к упрощенным типовым схемам и строятся в предположении, что материал элементов соединений совершенно упругий и фрикционные свойства контактных поверхностей описываются законом Кулона. При этих предположениях представляется возможным произвести исследование гистерезисных свойств типовых конструкций при их медленном нагружении (по симметричному или асимметричному циклам) и, следовательно, записать уравнение движения механической системы, в которых демпфирующие свойства отображены достаточно надежно. [c.210]

Предварительные замечания. Под упругими распределенными системами понимают упругие механические системы с непрерывно распределенными массой и жесткостью. Они имеют бесконечное число степеней свободы. В отличие от систем с сосредоточенными параметрами (с конечным числом степеней свободы п), динамическое поведение которых можно описать системой обыкновенных дифференциальных уравнений относительно обобщенных координат i/y (I) (/ = 1, 2,. .., а) (см. часть первую), поведение распределенных систем описывают дифференциальными уравнениями в частных производных относительно некоторых функций координат и времени. Распределенные упругие системы называют линейными, если они описываются линейными уравнениями в частных производных. При решении задач динамики для распределенных упругих систем, кроме начальных условий, требуется формулировка краевых условий. [c.135]

Предварительные замечания. Под упругими системами с распределенными параметрами понимают упругие механические системы с непрерывно распределенными массой и жесткостью. Они имеют бесконечное число степеней свободы, их динамическое поведение выражают дифференциальными уравнениями в частных производных. При решении задач динамики для распределенных упругих систем, кроме начальных условий, требуется задавать краевые (граничные) условия. [c.329]

Подставив данное выражение в уравнения Лагранжа второго рода и выполнив необходимые преобразования, уравнения движения упругой механической системы КА — ГИО запишем в виде [c.108]

Механическая система, состоящая из дисков 1 к 2, установленных на упругом валу 3, совершает угловые колебания, которые описываются дифференциальными уравнениями [c.347]

При составлении дифференциальных уравнений свободных колебаний механической системы, на которую действуют восстанавливающие упругие силы, определение потенциальной энергии вызывает в ряде случаев затруднения. В этих случаях применение вместо коэффициентов жесткости коэффициентов влияния существенно упрощает решение задачи. [c.109]

Одним из наиболее замечательных примеров эффективности аналитических методов является приложение уравнений Лагранжа к теории малых колебаний вблизи положения устойчивого равновесия. Эта теория чрезвычайно важна при изучении упругих свойств твердых тел, колебаний молекулярных структур, теории теплоемкости и других фундаментальных проблем. Наиболее замечательной чертой теории является ее общность. Независимо от степени сложности механической системы ее движение вблизи положения равновесия описывается всегда одинаковым образом. Конкретные вычисления усложняются по мере увеличения числа степенен свободы, однако теоретические аспекты задачи остаются неизменными. [c.175]

Кроме того, определим коэффициент динамичности для двухмассовой механической системы без двигателя. Положим в системе уравнений движения (10.1) = 0. Передаточную функцию для момента сил упругости при принятых обозначениях (10.7) получим в виде [c.88]

Система уравнений движения (25.1) записана в квазилинейном виде, причем матрицы В (у, у), С (у, у) и вектор-функция 5 (у, -у) характеризуют упруго-диссипативные свойства звеньев и соединений. Для рассматриваемой цепной я-массовой механической системы матрицы В у, у), С у, у) являются трехдиагональными (см. п. 16, 33). [c.148]

Рассмотрим динамическую схему многоступенчатого редуктора в общей схеме механической системы (рис. 32, а). Пусть обобщенные координаты выбраны таким образом, что основным звеном системы является звено g. Тогда упруго-инерционные параметры динамических графов зубчатых колес при построении динамической схемы редуктора должны быть приведены к скорости вращения звена g. Уравнение движения массы 1. динамической схемы редуктора [c.90]

Если для двухступенчатой передачи выполняется неравенство (4.86), то в динамической схеме механической системы она может быть представлена редуцированным динамическим графом, структурно не отличающимся от аналогичного графа планетарного ряда. Упруго-инерционные параметры редуцированных графов двухступенчатой планетарной передачи с двумя центральными колесами определяются по формулам (4.84), (4.85). Входящие в эти формулы передаточные отношения можно определять из уравнения связи [c.151]

Элементы 5 ,-/ матрицы S называются импульсными функциями системы и описывают поведение i-й сосредоточенной массы при нулевых начальных условиях ф (0) = ф (0) = О и при воздействии на /-ю массу единичного импульса [58]. При использовании выражения (6.6) требование непрерывности и дифференцируемости вектор-функции / (t) при > О не является обязательным. Уравнение (6.6) формально позволяет решить задачу о вынужденных колебаниях механической системы с линеаризованными упруго-диссипативными характеристиками при действии на нее практически любых встречающихся возмущающих сил. Интеграл (6.6), называемый интегралом Дюамеля, может быть вычислен в общем случае одним из приближенных методов интегрирования. [c.166]

Конкретный вид операторов и обусловлен физическими особенностями исследуемой механической системы, тем классом функций, которому принадлежит решение системы дифференциальных уравнений движения. Как показано в работе [29], при исследовании вынужденных колебаний приводов с нелинейным упругим соединением решение обычно отыскивается в классе [О, оо). В этом случае условия (8.47) имеют вид [c.238]

Составляющие системы уравнений (6.8) М — массу механической системы, приведенную к нагнетательному трубопроводу, и All, М2 — приведенные массы упругих звеньев (жидкости в нагнетательном и сливном трубопроводе длиной Zj и /3 находят из условия сохранения кинетической энергии системы, принимая линейное изменение скорости по длине [c.157]

Уравнения второго порядка (234) и (235) отличаются от приведенного в начале этого параграфа уравнения, описывающего динамику механической системы без учета влияния электромагнитных процессов, происходящих в электродвигателе. Из уравнения (235) видно, что система с электродвигателем является колебательной. В такой системе возможен резонанс, если приведенный момент сил сопротивления представляет собой периодическую функцию времени. При совпадении частот вынужденных и свободных колебаний рассматриваемой системы, как и в случае механизма с упругим звеном, будет происходить явление резонанса угловой скорости. [c.194]

Задача теории упругости неоднородного тела формулируется и решается аналогично задаче теории упругости однородного изотропного или анизотропного тела. Различие между ними состоит лишь в том, что в физических уравнениях (законе упругости) механические характеристики являются заданными непрерывными функциями координат. Здесь необходимо еще раз подчеркнуть, что при этом деформации тела считаются малыми и предполагается выполнение обобщенного закона Гука. Очевидно, что в случае неоднородного тела остаются справедливыми общие уравнения механики сплошной среды соотношения Коши между деформациями и перемещениями и т. д. Подробное изложение теории напряжений и деформаций приводится в многочисленных книгах [11, 100, 138 и др.], поэтому ниже они даются без вывода в прямоугольной системе координат х, у, z) в объеме, необходимом для дальнейшего изложения. Эти же уравнения в других системах координат (цилиндрической, сферической) можно найти в указанных выше и других изданиях. [c.32]

Упругие реакции (8.23)—(8.26), необходимые для определения потенциальной энергии дискретной механической системы [см. уравнение (8.16)], даны для двусторонних связей. Для односторонних связей выражения реакций остаются теми же, но пределы суммирования или интегрирования в этом случае являются функциями от компонент движения тел механической системы, определить явный вид которых в общей постановке задачи (см. рис. 99) невозможно. Данную задачу можно решать только в конкретных случаях. [c.339]

Рассмотрим моделирование на ЭЦВМ динамических процессов дискретной механической системы из двух упруго соединенных тел, одному из которых сообщается внешнее возмущение, а движение другого исследуется (см. рис. 104—105). Для качественного исследования недостаточно только выполнить численное интегрирование дифференциальных уравнений движения исследуемого тела при конкретном возмущении, необходимо также обработать результаты интегрирования для получения исчерпывающей информации о моделируемом процессе. Принципиальная схема моделирования приведена ниже [c.351]

Дифференциальное уравнение свободных колебаний механической системы с одной степенью свободы при нелинейной характеристике восстанавливающей силы составляется аналогично уравнению (И.1), но вместо линейной восстанавливающей силы в него нужно ввести нелинейную силу, конкретное выражение которой определяется упругой характеристикой системы Р (х) [c.71]

Расчет динамических характеристик упругой системы металлорежущего станка исходит из уравнений движения этой системы, составленных по ее расчетной схеме [1, 2]. Расчетная схема упругой системы станка представляется в виде определенной колебательной механической модели. Составление механической модели для описания колебаний, реально наблюдаемых в широком частотном диапазоне от нескольких герц до 5—10 кГц, практически невозможно, поэтому в работах [3, 4] диапазон частот колебаний предлагается условно разделять на три поддиапазона низкочастотный (20—300 Гц), среднечастотный (300—1500 Гц) и высокочастотный (1500—5000 Гц). [c.51]

Построение матрицы преобразования усилий. Уравнения (83) можно распространить на механические системы, состоящие из N абсолютно твердых тел, соединенных друг с другом и основанием Л/о упругими элементами, амортизаторами и опорами. Число твердых тел, их взаимное расположение, число, расположение и динамические [c.76]

Задачи механики сплошных сред обычно формулируются в виде системы дифференциальных уравнений, например, таких, какие получены в гл. 3 для нелинейной теории упругости. Механические или физические характеристики непрерывного тела, такие, как перемещения, напряжения, деформации и т. д., считаются непрерывными функциями пространственных координат Xi, i = 1, 2, 3, а сплошное тело мысленно представляется совокупностью элементов бесконечно малого размера, как показано на рис. 3.1. [c.339]

Для большинства многослойных конструкций характерно, что отдельные слои, а возможно, и все, обладают широко развитыми реологическими свойствами. Последние, в свою очередь, могут существенно влиять на процессы распространения нестационарных возмущений в механической системе, на ее деформирование. Можно указать лишь несколько работ, в которых на основе динамических уравнений теории упругости исследуется нестационарное поведение слоистых вязкоупругих конструкций. [c.15]

Книга содержит обзорные и оригинальные статьи ведущих российских ученых по основным разделам нелинейной механики. Излагаются вопросы составления и анализа уравнений движения механических систем с различными связями (в том числе и с односторонними с учетом ударных явлений), в различных силовых полях (в том числе при наличии сил сухого трения). Обсуждаются вопросы корректности тех или иных моделей механики, вопросы интегрируемости и детерминированного хаоса, вопросы устойчивости и теории возмущений. Исследуются разнообразные конкретные механические системы задача трех тел с учетом их несферичности или упругости, задачи динамики космических аппаратов, задачи динамики твердых тел в различных силовых полях (в том числе с учетом ударных взаимодействий и сил сухого трения), задача динамики твердого тела со струнным приводом, орбитальные тросовые системы и т. д. [c.3]

При составлении расчетной схемы колебательной механической системы отдельным звеньям чаще всего приписывают свойства, позволяющие описать процесс движения обыкновенными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами, т. е. принимают массу, лишенной упругих свойств, а упругое тело — лишенным массы, причем связь между силой и деформацией принимается линейной. При этом в качестве расчетного аппарата применяется матричное исчисление. Для исследования колебательных процессов широко применяется также метод моделирования расчетной схемы на электронных аналоговых устройствах. [c.397]

Учет упругих несовершенств механической системы является сложным самостоятельным вопросом и в первом приближении не рассматривается. Уравнение системы относительно Mi в менее строгой записи можно несколько упростить [c.10]

Пусть в области М дМ траектории движения являются решениями уравнений Лагранжа, при попадании траектории в гладкую точку границы дМ происходит упругое отражение, при котором энергия Н=Ь2—Ьо сохраняется, а приращение скорости ортогонально границе дМ в метрике Ьг (ср. введение, задача 7). Траектории, попадающие в точки излома дМ, не имеют продолжения. Отметим, что мера начальных условий, соответствующих таким траекториям, равна нулю на ТМ. Эта механическая система является еще одним естественным обобщением биллиарда Биркгофа. [c.133]

Динамические системы силовых цепей машинных агрегатов, как правило, являются системами с малой диссинацнеп. Основные взаимосвязи между инерционными звеньями этих систем имеют упругий (квазиупругий) характер. В связи с этим определяющей структурной основой модели (11.1) слу кит ее унруго-инерционное ядро — система дифференциальных уравнений, отражающих с необходимой степенью детализации уируго-инерциои-ные свойства моделируемой механической системы [c.186]

Структура цепной динамической схемы несвободной механической системы устанавливается на основе анализа дифференциальных уравнений, описывающих идеализированное поведение системы в независимых обобщенных координатах. Рассмотрим для примера реечный механизм, состоящий из зубчатого колеса 1 и рейки 2, на которые действуют соответственно момент vVfj и сила Ро, (О (рис. 6, а). Если учитывать упругие свойства подшипниковых опор и вала зуб- [c.16]

При действии внешнего возмущения по одной оси, колебания рассматриваемого в примере здания являются плоскопараллельными в вертикальной плоскости Охо2Хоа- Возникновение вращательных колебаний здания относительно оси 1хц объясняется не только за счет влияния нелинейных перекрестных связей в математической модели (8.55). Вращательные колебания здания возникают также за счет асимметрии расположения упругих связей в механической системе центры масс здания и жесткостей упругих связей (колонн первого этажа) по вертикали не совпадают (рис. 107). Асимметрия расположения упругих связей в механической системе приводит к тому, что даже в линейной постановке задачи уравнения, описывающие поступательные колебания по направлению оси 0x 2 и вращательные колебания относительно оси 1хл являются [c.359]

При измерении в ССО применяют как дорезонансный, так и зарезонансный режимы работы системы, а силы инерцин используются непосредственно для из e рения параметров вибрации. С их помощью измерение абсолютной вибрации исследуемого объекта сводится к измерению вынун<денной относительной вибрации объ екта и упруго связанного с ним инерционного элемента (рис. 9). Эти устройства имеют динами ский принцип действия, поскольку в основе измерений лежит решение уравнений динамики измерительной механической системы [30]. В измерите.1Ь-ных устройс1вах обоих видов силы инерции F создаются с помощью инерционного элемента массы т [c.122]

Возможен случай, когда механическая система является системой с распределенными пара,метрами. К тако.му случаю относятся задачи о деформировании упругих тел магнитным полем. Эти задачи могут быть нелинейными, даже если упругие перемещения малы и справедливы уравнения линейной теории упругости. Нелинейность при этом обусловливается зависимостью пондеромоторных сил от перемещений. К указанному классу относятся два типа задач- о равновесии ферромагнитных тел, расположенных на расстояниях, сравнимых с малыми упругими перемещениями, и о равновесии близко расположенных проводящих стержней с токами. Постановка этих задач и некоторые результаты их исследования приведены в работе [16]. Математически аналогичная задача о равновесии электростатически заряженных капель рассмотрена в работе [181. [c.340]

Уравнение Колоннетти. Вариационное уравнение (20.18), как показал Колоннетти позволяет рассматривать простейшие механические системы уже за пределом упругости. [c.78]

Система уравнений (4-80) —(4-82) в сочетание с уравнениями СП с жесткой безлюфтовой механической передачей позволяют получить гармонически линеаризованные уравнения и частотные характеристики СП с упругой механической передачей, содержащей люфт. Рассмотрим уравнения СП. В соответствии с (4-43) и (4-44) уравнение СП с датчиком угла, жестко соединенным с валом ИД, имеет вид [c.257]

Сравнивая эту систему уравнений с (1.58), описывающей ди-жамику механической системы стабиплата — упругий корпус КА, можно убедиться в их формальном сходстве. С точностью до индексов с и ж совпадают выражения (1.57) и (1.68), входящие соответственно в системы уравнений (1.58) и (1.70). Поэтому правые части искомых уравнений движения могут быть получены из системы уравнений (1.60) путем замены указанных индексов при [c.50]

Если при изучении механизмов и машин с идеально жесткими звеньями легко было разрешить раздельно каждый из основных вопросов динамики, то при рассмотрении машин, в которых звенья считаются упругими и в состав которых входят не только механические системы, раздельное рассмотрение этих вопросов становится невозможным, так как кинематика механизмов, входящих в состав машины, определяется в этом случае совокупностью не только уравнений аналитической механики, но и соответствующими уравнениями теории упругости, термодинамики, гидро-11 пневмомеханики и электроники. [c.379]

В качестве примера рассмотрим людель электромеханической системы (рис. 72), состоящей из электродвигателя постоянного тока с постоянным возбуждением, описываемого уравнениями (287) и из трехмассовой механической системы с упругими связями, описываемой уравнениями (286). Модель включает в себя также узлы формирования линейно нарастающего напряжения и момента прокатки. Блоки /—III составляют модель электродвигателя. На входе I я II получаем напряжения, пропорциональные соответственно силе тока и угловой скорости вращения двигателя. Блоки IV—VI и VII—IX составляют модели парциальных механических систем с упругими связями. На входах V и VIII блоков получаем сумму сигналов, пропорциональных второй производной момента, а после двухкратного интегрирования на выходах блоков VI и IX получаем напряжения, пропорциональные моментам, действующим в упругих связях. На выходе блока VII получаем напряжение, которое изменяется линейно после включения ключа Ki до некоторого но,минальиого значения, после чего оно остается постоянным, а затем после перемены полярности входного сигнала изменяется линейно до номинального значения иротиво-II 163 [c.163]

В статье рассматриваются стопорные режимы в машинном агрегате с электроприводом постоянного тока. Механическая система схематизирована в виде дискретной цепной крутильной системы с конечным числом степеней свободы. Рассмотрены уточненное и упрощенное математические описания упруго-диссипативных свойств соединений. Динамические процессы в приводном двигателе с независимым возбуждением исследованы с учетом типовых САР скорости. При этом рассмотрены наиболее характерные примеры САР с линейными и нелинейными (задержанными) связями. На основе рассмотрения динамических процессов в механической системе и в проводном двигателе получена система дифференциальных уравнений движения с кусочно-постоянными коэффициентами при уточненном математическом описании динамических харак-геристик звеньев. Предложен эффективный численно-аналитический метод интегрирования системы уравнений движения. Рассмотрены возможные упрощения при приближенном исследовании стопорных режимов Получена система приближенных интегральнодифференциальных уравнений стопорного режима, для которой разработан метод отыскания решения в аналитическом виде. Изложенное иллюстрировано общим примером. Библ. Ill назв. Илл. 9. [c.400]

В 4.18 и 4.19 мы исследовали механику некогерентной материи, движущейся под действием данных внешних сил. Теперь рассмотрим механику упругой среды в отсутствие внешних сил. Единственными силами в такой среде будут силы упругости между соседними частицами, обусловленные деформацией материи. Следовательно, мы имеем дело с замкнутой системой, являющейся частным случаем систем общего вида, рассмотренных в 6.1. Поэтому полный тензор энергии Тисследуемой механической системы должен удовлетворять уравнениям (6.1)—(6.11). Однако механический тензор энергии, как мы сейчас увидим, имеет в данном случае особенно простые свойства. [c.131]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...