Линейные уравнения равновесия стержней

Основная сложность при решении уравнений заключается в том, что задачи статики стержней относятся к двухточечным краевым задачам, когда решение должно удовлетворять определенным условиям в начале и в конце интервала интегрирования, в отличие от одноточечных краевых задач — задач Коши, когда все условия, которым должно удовлетворять решение, известны в начале интервала интегрирования. Поэтому хорошо разработанные методы решения систем дифференциальных линейных (и нелинейных) уравнений для одноточечных задач использовать для решения двухточечных задач в общем случае нельзя. В настоящее время имеется ряд методов численного решения линейных двухточечных задач (имея в виду стержни), которые получили распространение в расчетной практике метод начальных параметров, метод прогонки [2], метод конечных элементов [15]. Точное аналитическое решение линейных уравнений равновесия стержня, например (1.112) — (1.115), возможно только для случая, когда элементы матрицы Ах— постоянные числа [этот случай будет рассмотрен в 5.2, где изложены теория и методы расчета винтовых стержней (цилиндрических пружин)]. Для уравнений с переменными коэффициентами возможны только численные или приближенные методы решения. [c.61]

Вернемся к примеру. Считая, во-первых, что перемещения точек осевой линии стержня малы, во-вторых, что потеря устойчивости стержня происходит в плоскости чертежа (рис. 3.1,а), можно получить следующее линейное уравнение равновесия стержня [c.93]

При потере устойчивости относительно деформированного состояния (например, потеря плоской формы изгиба спиральной пружины см. рис. 3.4) необходимо предварительно определить критическую равновесную форму стержня [уравнения (3.10) — (3.14)], от параметров которой (и, Q, М ) зависят линейные уравнения равновесия стержня [уравнения (3.24) — (3.27) или уравнение (3.28)] после потери устойчивости. Так как критическая форма стержня заранее не известна, то требует проверки устойчивость всех состояний равновесия при непрерывном увеличении нагрузки. При решении нелинейных уравнений равновесия, рассмотренных в гл. 2, нагрузки, приложенные к стержню, были известны, поэтому, воспользовавшись одним из возможных методов численного решения уравнений равновесия (например, методом, использующим поэтапное нагружение), можно получить векторы, характеризующие напряженно-деформированное состояние стержня, соответствующее заданным нагрузкам. [c.123]

Спиральный стержень находится на вращающемся с угловой скоростью 0) основании (рис. 3.16). Требуется получить линейные уравнения равновесия стержня после потери устойчивости для двух случаев когда форма осевой линии стержня при потере устойчивости мало отличается от естественной формы когда форма осевой линии в критическом состоянии стержня существенно отличается от формы в естественном состоянии. [c.126]

ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ СТЕРЖНЕЙ [c.49]

В этом случае, наиболее простом для численного определения критических нагрузок, напряженно-деформированное состояние стержня в критическом состоянии определяется из линейных уравнений равновесия. [c.118]

Интегрирование линейных уравнений равновесия винтового стержня. Если винтовой стержень используется в качестве чувствительного элемента, например акселерометра, он нагружается распределенными силами, причем вектор q распределенных сил может иметь произвольное направление. В этом случае определить напряженно-деформированное состояние винтового стержня можно только решая систему дифференциальных уравнений. Если рассматриваются малые перемещения точек осевой линии, для определения напряженно-деформированного состояния стержня можно использовать уравнения равновесия нулевого приближения (1.107)— (1.111), положив Шо=0 [c.206]

Стержень нагружен мертвой нагрузкой, поэтому приращения нагрузок ДЯ . входящие в линейные уравнения равновесия (3.33), будут отличны от нуля. Приращения моментов ДГ в данной задаче равны нулю. Уравнения равновесия стержня после потери устойчивости приведены в задаче 3.1 [система (3)]. Получим выражения для ДР, [c.280]

Изложенные во второй части учебника разделы динамики стержней в основном повторяют разделы, которые рассматривались в первой части учебника, посвященной статике стержней. При выводе уравнений движения использовались те же допущения, что и при выводе уравнений равновесия (т. е. рассматривались физически линейные нерастяжимые стержни). Если статику рассматривать как частный случай динамики, то, положив в уравнениях движения слагаемые, зависящие от времени, равными нулю, можно получить уравнения равновесия стержня, что и делается, когда рассматриваются колебания относительно состояния равновесия. [c.276]

Условие (2.123) является основным соотношением для приближенного решения задачи о равновесии стержней. Как для линейных уравнений равновесия, так и для нелинейных уравнений равновесия представим прогиб у в виде ряда [c.58]

Подробно рассмотрены различные частные случаи уравнений равновесия при больших (нелинейные уравнения) и малых (линейные уравнения) перемещениях точек осевой линии стержня. [c.13]

Стержень с промежуточными упругими опорами. На рис. 2.8,6 показан пространственно-криволинейный стержень с промежуточной упругой связью, линейная жесткость которой r, угловая —Сг. При нагружении в сечениях стержня, связанных с упругими элементами, возникнут сосредоточенные реакции силы и моменты, которые, воспользовавшись б-функциями, можно ввести в уравнения равновесия. Рассмотрим наиболее простой случай упругих связей, когда на обобщенные перемещения (линейные и угловые) точек крепления связей дополнительных ограничений не наложено, т. е. когда можно положить [c.80]

При исследовании устойчивости стержня нагрузки неизвестны и требуется найти такие нагрузки, которые удовлетворяют нелинейным уравнениям равновесия (3.10) —(3.14) и линейным уравнениям (3.24) — (3.27) при однородных краевых условиях. Численное решение уравнений (3.10) — (3.14) для каждого шага нагружения изложено в 2.3. Возможны различные варианты нагружения стержня а) пропорциональное увеличение нагрузок б) последовательное нагружение, например вначале стержень нагружается силами, при которых нет потери устойчивости, а затем дополнительно нагружается или распределенной нагрузкой, или сосредоточенной силой или моментом. Возможны, конечно, и более сложные варианты нагружения, когда стержень дополнительно нагружается несколькими силами или моментами (распределенными или сосредоточенными). Во всех перечисленных случаях можно выделить одиу нагрузку и, увеличивая ее, довести стержень до критического состояния. Это существенно при численном счете, когда надо определять собственные значения (критические силы) краевой задачи. [c.123]

Линейные векторные уравнения равновесия. При малых отклонениях стержня от прямолинейной формы имеем [c.152]

Рассмотрим приближенное решение уравнения равновесия шарнирно закрепленного стержня, лежащего на линейном упругом слое (рис. 4.12). В каче- [c.172]

Определив критическое значение нагрузки, следует проверить выполнение использованного предположения о малости перемещений и/ точек осевой линии стержня и малости угла поворота вз связанных осей при нагружении стержня, решив для найденного значения критической нагрузки систему линейных уравнений (1). Если из решения следует, что , и з малы, то найденное собственное значение краевой задачи является критической нагрузкой, а критическое состояние стержня практически совпадает с его естественным состоянием. Если предположение о малости обобщенных перемещений не выполняется, то надо решать нелинейную систему уравнений равновесия (1), где Хз. и Оза=<5 з. являются неизвестными, с последующим определением критических нагрузок. [c.277]

В гл. 4 была рассмотрена в элементарном изложении теория устойчивости упругих стержней. Особенность этих задач состояла в том, что уравнения равновесия составлялись для деформированного состояния стержня, т. е. по существу речь шла о геометрически нелинейных задачах. Вариационные уравнения, описанные в 8.7, эквивалентны геометрически линейным уравнениям теории упругости, для которых доказана теорема единственности. Поэтому никакие задачи устойчивости с помощью этих вариационных уравнений решать нельзя. Здесь мы постараемся распространить вариационные уравнения на геометрически нелинейные задачи. Существо дела состоит в том, что уравнения статики должны составляться не в исходной системе координат, например декартовой, а в той криволинейной системе координат, в которую превращается исходная вследствие деформации. Прямой путь получения таких уравнений довольно сложен, поэтому нам будет удобно вернуться к выводу 7.4, где напряжения определялись по существу как обобщенные силы, для которых компоненты тензора деформации служили обобщенными неремещениями. Пусть тело, ограниченное поверхностью [c.390]

Для неподвижного закрепления пространственной конструкции необходимо не менее шести опорных стержней, расположенных так, чтобы была обеспечена неизменяемость всего закрепления. Число опорных точек должно быть не менее трех, расположенных не на одной прямой. Возможно следующее сочетание опор одна неподвижная шарован, одна плоско-подвижная шаровая и одна линейно-подвижная шаровая. Общее число неизвестных опорных реакций равно шести. Для их определения используются шесть уравнений равновесия статики [c.466]

Поставим задачу об определении напряженно-деформированного состояния цилиндрического стержня при кручении в рамках теории малых деформаций. Рассмотрим абсолютное или относительное равновесие вала, причем влияние переменной температуры и массовых сил учитывать не будем (в силу линейности задач теории упругости влияние этих факторов при необходимости можно учесть отдельно). Рассмотрим уравнения равновесия [c.356]

Если (12.115) представляло собой уравнение равновесия для стержня, испытывающего деформацию (геометрически линейный [c.204]

Линейное описание. Граница устойчивости первоначального равновесия, как и в случае неустойчивости классического типа, может быть установлена на основе статического критерия (см. 18.2, раздел 3). Полагая наклон стержня малым, т. е. Ф <С 1 (см. рис. 18.60,6), и учитывая, что при этом условии sin ф ф и os ф 1, составим уравнение равновесия системы с наклонным положением стержня [c.399]

Прежде всего на основе статического критерия определим силу Pei критическую для равновесия системы с вертикальным положением стойки, в предположении, что опорные стержни деформируются линейно-упруго с модулем Е. Пусть переход стойки от вертикального положения равновесия к наклонному сопровождается изменением силы от значения Р до значения Р - -6Р (рис. 18.80). Если ф С 1 и бР -С Р, то уравнения равновесия для нового положения имеют вид [c.421]

Итак, даже на простых примерах можно показать, что при одной и той же внешней нагрузке и одних и тех же условиях закрепления упругая система может иметь несколько различных положений равновесия. Чрезвычайно важно подчеркнуть, что эта множественность положений равновесия может быть обнаружена только в том случае, когда уравнения равновесия составляются для деформированной, отклоненной от своего исходного ненагруженного положения системы. В линейной теории упругости уравнения равновесия составляют для недеформированной системы, т. е. используют принцип неизменности начальных размеров сопротивления материалов. В этом случае при заданных условиях закрепления и заданных внешних нагрузках всегда будет обнаружено только одно единственное положение статического равновесия упругой системы. Так, в рассмотренных примерах, составляя уравнения равновесия для недеформированной системы, не обнаружим других положений равновесия стержня, кроме исходного вертикального положения. [c.9]

Полученное однородное и линейное относительно фх уравнение всегда имеет тривиальное решение Ф1 = О, соответствующее исходному вертикальному положению равновесия стержня. Интересующее нас сейчас отклоненное положение равновесия при ф1 О возможно, если выражение, стоящее в скобках, [c.22]

Это линейное однородное уравнение вместе с однородными граничными условиями описывает изгибную форму равновесия стержня, смежную с исходной. [c.74]

Рассмотрим приближенное решение уравнения равновесия шарнирно закрепленного стержня, лежащего на линейном упругом слое (рис. 2.20). В качестве функций и,- (е) можно взять тригонометрические функции [c.60]

Рассмотрим соотношения между кинематическими и статическими граничными параметрами, возникающие при объединении стержней в линейную систему. При равновесии всей системы будут находиться в равновесии и узлы. При этом статические граничные параметры будут удовлетворять уравнениям равновесия узлов. [c.24]

При деформировании стержневой системы узлы получают определенные линейные и угловые перемещения, и кинематические граничные параметры будут связаны в этих узлах уравнениями совместности перемещений. Как следует из уравнения (1.39), нагрузка на стержень выделяется в отдельную матрицу и не связывается с граничными статическими параметрами. Поэтому уравнения равновесия узлов не должны содержать внешнюю нагрузку. Соответственно, уравнения равновесия, содержащие реакции внешних связей, могут рассматриваться только в случае, когда известны направление и величина внешних реакций. Для кинематических параметров уравнения совместности перемещений узлов не должны включать линейные и угловые перемещения стержней как абсолютно твердых тел. В такой постановке уравнения равновесия и совместности перемещений узлов стержневой системы выступают только как уравнения связи между граничными параметрами соседних стержней. Это позволяет изображать статические граничные параметры в узле либо в положительном, либо в отрицательном направлениях (необходимо выбрать что-то одно), а перемещения узлов изображать визуально на деформированной схеме линейной системы лишь качественно. В этой связи для конкретной конструкции узла необходимо составить уравнения статики и совместности перемещений лишь один раз. В любой стержневой системе, содержащей такой узел, эти уравнения сохранят свой вид, что весьма существенно облегчает построение соотношений между граничными параметрами. [c.26]

Формируем динамическую матрицу устойчивости А рамы. Матрицы X, Y с уравнениями равновесия и совместности перемещений узлов 1,2 представлены ниже. Используем блоки уравнений (4.12), (3.10) с добавлением нормальных сил. В данной раме имеются линейно подвижные стержни 0-1 и 1-2. При колебаниях рамы массы этих стержней вызывают силы инерции. Учет таких сил инерции выполняем по формуле (3.21). К началу стержня 1-3 прикладываем сосредоточенную массу , а к концу [c.224]

Задачу будем решать в линейном приближении, предполагая, что прогибы стержня малы. Тогда кривизна к у" х), и мы получаем уравнение равновесия в виде [c.365]

Эта задача является усложненным вариантом задачи из 1.1, где усилия в стержнях можно было легко определить только из уравнений проекций, не находя реакции опор и не привлекая понятие момента силы. Аналогично можно поступить и в этой задаче, однако порядок системы линейных уравнений, описывающей равновесие всех узлов, будет велик, поэтому, во-первых, надежно решить такую систему можно только с помощью компьютера ( 15.1, с. 350), во-вторых, таким образом будет проделана лишняя работа, так как система уравнений содержит усилия всех стержней, в том числе и тех, которые по условию задачи не требуется определять. Поэтому для решения сложных ферм, содержащих большое число стержней, применим метод Риттера, основная идея которого — независимое определение усилий в стержнях. Эту же идею можно с успехом применять и в других задачах статики. [c.38]

В ряде случаев закрепления стержня внутренние силовые факторы М и Q можно найти, не прибегая к дифференциальным уравнениям равновесия как при симметричном, так и несимметричном нагружении. Считая, что as ao= onst и D = Z)o= onst (т. е. пренебрегая деформацией пружины в уравнениях равновесия), проецируем все показанные на рис. 5.9,6 силы и моменты на связанные оси. В результате получаем шесть алгебраических линейных уравнений равновесия с шестью неизвестными Q, и Mj (/=1, 2, 3). Эти уравнения равновесия справедливы для любого угла ао (как постоянного, так и переменного). В этом случае для определения осадки пружины АН и угла взаимного поворота торцов Агр можно (опять не прибегая к дифференциальным уравнениям) воспользоваться методом Мора [17]. Изложенный вариант решения задачи статики винтового стержня без решения дифференциальных уравнений равновесия возможен только при условии, что никаких ограничений на осевое смещение верхнего торца пружины и его [c.200]

В последующем задаче об изгибе балки уделяли много внимания крупные ученые, в числе которых были Мариотт, Лейбниц, Варньон, Яков Бернулли, Кулон и др.. Пишь в 1826 г. с выходом в свет лекций по строительной механике Навье был завершен сложный путь исканий решения задачи об изгибе балки, затянувшийся во времени почти на двести лет. Навье дал правильное решение этой задачи, им впервые введено понятие напряжения. Им же сделан существенный шаг в направлении упрощения составления уравнений равновесия, состоявший в том, что Навье отметил малость перемещений и возможность относить уравнения равновесия к начальному недеформированному состоянию. Это очень широко используемое положение иногда называют принципом неиз жнности начальных размеров. В истории развития механики деформируемого твердого тела важную роль сыграли такие крупные ученые, как Лагранж, Коши, Пуассон, Сен-Венан. Особо следует отметить заслуги Эйлера, впервые определившего критическое значение сжимающей продольной силы, приложенной к прямолинейному стержню (1744). Решение этой задачи во всей полноте тоже заняло по времени почти двести лет Дело в том, что решение Эйлера было ограничено предположением о линейно-упругом поведении материала, что накладывает ограничение на область применимости полученной Эйлером формулы. Применение эюй формулы за границами ее достоверности и естественное в этом случае несоответствие ее экспериментальным данным на долгое время отвлекло интерес инженеров от этой формулы и лишь в 1889 г. Энгессером была предпринята попытка получить теоретическое решение задачи об устойчивости за пределом пропорциональности. Он предложил 1аменить в формуле Эйлера модуль упругости касательным модулем i = da/di. Однако обоснования этому своему предложению не дал. В 1894 г. природу потери устойчивости при неизменной продольной силе правильно объяснил русский ученый Ясинский и лишь в 1910 г. к аналогичному выводу пришел Карман. Поэтому исторически более справедливо назвать его решением Ясинского —Кармана, предполагая, что Карман выполнил это исследование независимо от Ясинского. [c.7]

Это уравнение равновесия, полученное без использования форм связи между напряжениями и деформациями. Дальнейшее решение для линейно-упругих стержней сводится к тому, что N, и N2B уравнении (9.17) заменяются величинами Д 1 , А1 согласно закону Гука (3.381 и полученное уравнение вместе с условием совместности деф 5рмаций (3.39) дает возможность определить две неизвестные величины Ml и из системы двух уравнений. Решение этой системы приводит к результату, приведенному в 3.6. [c.193]

Анализируя рассмотренные выше построения, следует указать, что метод весовой линии имеет несомненные преимущества по сравнению с другими графическими методами. В первую очередь это простота и точность, так как отпадает двойственность построения, присущая другим методам. Операции с параллельными и пересекающимися векторами (силами) следует простому закону сложения краевых и параллельных составляющих. Вычисление центров масс стержневых систем и механизмов, по методу весовой линии значительно проще, чем по существующим способам. Упрощается также исследование давлений в кинематических парах механизмов и определение реакций опор в стержневых системах. Методом весовой линии весьма просто производится бесполюсное интегрирование и дифференцирование, так как закон распределения сил соответствует закону изменения функции q = f (х). При этом первообразная функция (вес фигуры, заключенной между кривой q = f [х) и координатными осями) представляет собою интеграл. В дискретном анализе понятие бесконечно малая величина" заменяется понятием конечно малая величина со всеми вытекающими отсюда представлениями о производной в конечных разностях и численным интегрированием (вычислением квадратур). Полигоны равновесия узлов в стержневых системах, построенные по методу весовой линии, проще диаграмм Л. Кремоны, так как позволяют вычислять усилие в заданном стержне не прибегая к определению усилий в других стержнях, необходимых для построения диаграмм Кремоны. Графическое решение многочленных линейных уравнений (многоопорные валы и балки, звенья, имеющие форму пластин, и т. д.) производится по опорным весам или коэффициентам при неизвестных. Такой путь наиболее прост и надежен для проверки правильности решения. Впервые в технической литературе. дано графическое решение дифференциальных уравнений для балки переменного сечения на упругом основании и для круглых пластин с отверстиями, аналитическое решение которых требует сложного математического аппарата. В заключение отметим предельно простое решение дифференциальных уравнений теории упругости (в частных производных) указанным методом. [c.150]

Рассмотренная схема расчета достаточно просто обобщается на многоузловые системы. В этом случае необходимо составить уравнения равновесия для всех узлов конструкции, образовав систему линейных уравнений. Эта система содержит пц уравнений, где пц — число неизвестных усилий, равное числу стержней в системе. [c.70]

Как отмечалось, для одкопролетного стержня должны быть заданы четыре однородных граничных условия. Подставив в них общее решение (7.7), получим систему четырех однородных линейных уравнений относительно неизвестных Л . Для того чтобы система однородных линейных уравнений имела отличные от тождественного нуля решения, ее определитель должен быть равен нулю. Из этого условия можно найти те значения Fn, при которых существуют отличные от нуля решения, т. е. те значения сжимающей силы, при которых у стержня возможны смежные с начальным новые состояния равновесия. Наименьшее из этих значений равно к р и т и ческой силе [c.187]

Озможных линейно независимых полей деформаций в конструкции, а значит, и число линейно независимых полей смещений ее точек (число степеней свободы деформируемой конструкции). Таким образом, размерность т равна числу обобщенных перемещений, с помощью которых может быть определено любое деформированное состояние конструкции. А отсюда следует (согласно принципу возможных перемещений [41 1), что число независимых уравнений равновесия для нее также равно т. Так, например, рассмотренная выше простейшая система (см. рис. 7.1) имеет п = 2 (число стержней), k = 1 (степень статической неопределимости), откуда т = 2 — 1 = 1. Это означает, что деформация определяется одним обобщенным перемещением — поворотом жесткого бруса соответственно для определения усилий в стержнях имеется лишь одно уравнение равновесия —сумма моментов вокруг жестко закрепленной точки бруса. В другой, несколько более сложной ферме (рис. 7.4) имеем /г = 9, /г = 2, /п = 9 —2 = 7. Соответственно — семь обобщенных перемещений (по две проекции для перемещений каждого из незакрепленных узлов и одна для узла, направление возможного перемещения которого определено), столько же независимых внешних нагрузок (вариантов нагружения) и независимых условий равновесия. [c.150]

Что же касается смещения центра элемента, то, как это легко заметить на основе предыдущих примеров вывода уравнений бифуркации (и, в частности, уравнений (1.1) и (1.6)), это смещение при характерных для таких проблем условиях бесконечной малости само по себе в уравнение равновесия не входит и впоследствии возникает при расшифровке угла поворота. Это связано с ррене-брежимой малостью изменения характерных размеров элемента (длины отрезка осевой линии). При написании уравнений равно весия для большинства бифуркационных задач, вообще говоря можно учитывать лишь повороты элемента как жесткого целого Этот минимальный шаг отхода от геометрически линейного при ближения обычно оказывается достаточным для правильной по становки бифуркационной проблемы и, в частности, тех задач, что рассматриваются в дальнейшем. Необходимо, однако, отметить, что в некоторых случаях такое упрощение может оказаться чрезмерным. Так, в рассмотренной выше задаче о стержне, погружаемом в жидкость, неучет изгибания элемента приводит к невозможности отыскания критического параметра. [c.65]

Однако при линейно-упругих деформациях A/i = Nily/2/EF, а А/з = —Щ1/ЕЕ. Знак минус здесь учитывает, что в уравнения равновесия (4.5.1) Щ входит как растягивающая сила, и поэтому величина N3I/EF является удлинением стержня, а в уравнении (4.5.2) А/3 — это укорочение стержня. С учетом этого из (4.5.2) следует, что [c.86]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...