Теоремы о предельном состоянии

Теоремы о предельном состоянии [c.202]

Статическая теорема о предельном состоянии. Предельная нагрузка, определенная по статически возможным состояниям, не больше истинной предельной нагрузки. Пусть о —статически возможное напряженное состояние, От — предельное значение вектора напряжений, dep, du — истинные, а следовательно, и кинематически возможные приращения деформаций и перемещений. Пусть объемные силы равны нулю. Тогда по принципу возможных перемещений [c.203]

Кинематическая теорема о предельном состоянии. Нагрузка, соответствующая кинематически возможным состояниям, не меньше истинной предельной нагрузки. Пусть теперь dep и du —некоторые кинематически возможные поля приращений деформаций и перемещений, Для истинных в предельном состоянии напряжений и соответствующих им нагрузок Р согласно принципу возможных перемещений [c.204]

В предельном состоянии, когда после определенного числа циклических нагружений относительным крутящим моментом Л4 напряженное и деформированное состояния после каждого нагружения повторяются, согласно теореме о предельном состоянии [122], [c.296]

Теорема о нижней оценке несущей способности. Пусть а , Vi — неизвестное нам истинное решение задачи о предельном состоянии тела, подверженного действию системы поверхностных сил Г(, jj —некоторое допустимое напряженное состояние, соответствующее поверхностным силам Т . Напомним, что для допустимого напряженного состояния выполняются уравнения равновесия и условие F a j) 0. Составим уравнения равновесия в форме Лагранжа как для истинного, так и для допустимого состояния, принимая за поле виртуальных скоростей истинное поле скоростей (заранее неизвестное), [c.491]

Вариационные принципы. Вариационные принципы Лагранжа и Кастильяно для задач ползучести являются, очевидно, простой перефразировкой соответствующих принципов для нелинейно упругого тела, поскольку исходная гипотеза состоит в допущении зависимости потенциального типа между напряжениями и деформациями или скоростями деформации. Систематическое развитие приближенных методов, основанных на принципе Кастильяно, принадлежит Л. М. Качанову. При степенном законе установившейся ползучести с возрастанием показателя п в ряде случаев распределение напряжений мало отличается от того, которое соответствует предельному состоянию идеального жестко-пластиче-ского тела. Таким образом, вводится понятие о предельном состоянии ползучести напряжения о / для этого состояния находятся по схеме жестко-пластического тела, причем предел текучести зависит от характера нагрузки. Приближенные значения скоростей находятся прямым применением теоремы Кастильяно. Более точные результаты получаются, если представить компоненты напряжения в виде [c.134]

Вторая основная теорема о множестве предельных точек полутраектории. Если полутраектория не замкнута и имеет хотя бы одну предельную траекторию, не являющуюся состоянием равновесия, то она сама не может быть предельной. [c.405]

При достижении предельной нагрузки в идеальном жестко-пластическом теле возникает беспрепятственное пластическое течение. Предельное состояние можно интерпретировать как состояние, предшествующее разрушению. В связи с этим иногда предельное состояние называют состоянием пластического разрушения, а экстремальные теоремы, характеризующие предельную нагрузку, —теоремами о пластическом разрушении. [c.284]

В дальнейшем для определения предельных значений интервалов изменения нагрузок, при которых возможна приспособляемость, строгое неравенство в (2.21) заменим знаком равно или меньше . Это равносильно предположению о том, что приспособляемость возможна, если суммарное напряженное состояние является допустимым а не безопасным a f как принято в (2.13), Такая замена формально затруднила бы доказательство теоремы Мелана, но практического значения сна не имеет, так как может компенсироваться малым изменением предела текучести. [c.62]

Асимптотически устойчивое множество траекторий L в фазовом пространстве динамич. системы наз. аттрактором, если оно 1) компактно и неразложимо на отдельные структурные элементы 2) инвариантно относительно Т Т L = L 3) оператор Т рекуррентен на L, т. е. для сколь угодно больших времён (о>0 траектория y t) = T x произвольной точки xsL при r>fo пройдёт в сколь угодно малой окрестности точки х, В случае замкнутых траекторий последнее требование означает бесконечнократное прохождение системой каждой точки траектории, т. е. периодич. движение (в силу теоремы Коши см. Коши задача). Примеры аттракторов асимптотически устойчивые стационарные состояния для ур-ния (4) — это точка. с = 0] устойчивые предельные циклы странные аттракторы (отвечающие стохастическим колебаниям в нелинейных диссипативных системах). [c.254]

Другой путь основан на представлении об упруго-пластическом теле. Здесь предельная нагрузка отвечает конечной стадии упруго-пластической деформации тела, нередко сопровождающейся большими (иногда — бесконечно большими) деформациями (например, при изгибе и кручении). Фактически этот процесс не прослеживается, и сразу определяется конечное состояние тела при условии малости изменений его конфигурации. Такой переход можно оправдать относительной малостью деформаций упруго-пластического тела при нагрузках, приближающихся к предельной. В обоих случаях теоремы идентичны, речь идет лишь об интерпретации конечных результатов. Мы будем исходить из схемы жестко-пластического тела, не требующей оговорок и внутренне более последовательной. Для этой схемы более естественно формулируются и конкретные краевые задачи. Не нужно, конечно, забывать, что вся сумма допущений содержится в идее жестко-пластического тела и пригодность этого представления должна всякий раз подвергаться анализу. По этой схеме нельзя обсуждать важные вопросы о приспособляемости конструкций, связанные с наличием в ней остаточных напряжений. Эта проблема неизбежно возвращает нас к упруго-пластическому телу. [c.102]

Так как при т -j- оо q (т) О, то зто предельное множество должно быть расположено на оси 0. Но тогда в силу теоремы 9 4 оно является состоянием равновесия, т. е. одной из точек с координатами q = О и 0 = = 0ft . Это значит, что точка М траектории L стремится при < + ос к состоянию равновесия О так, что lim 0 (i) = 0 существует и равен [c.365]

Теорема 2. Пусть С — двусвязная область, ограниченная двумя циклами без контакта циклами однократного пересечения) С и С2, не содержащая состояний равновесия и имеющая конечное число замкнутых траекторий. Если все траектории, пересекающие С и Сг, при возрастании i входят в С выходят из С), то число устойчивых предельных циклов, расположенных в О, на единицу больше меньше) числа неустойчивых предельных циклов. [c.107]

Остановимся на втором условии и заметим ), что класс всех функций Бэра есть наименьший класс функций на Г, содержащий (5 (Г) и замкнутый относительно поточечных предельных переходов в последовательностях. Итак, если мы хотим остановить свой выбор на условии 2, имеющем простой операционный смысл [поскольку с каждой точкой у е Г ассоциировано чистое состояние на (Г) и наоборот см. две леммы на стр. 84], то 2 (Г) вновь оказывается простейшей из возможностей. Заметим, наконец, что регулярную борелевскую меру ассоциированную в силу теоремы 9 из гл. 1, 2 (или, точнее, в силу теоремы Рисса о представлениях) с состоянием ф на (Г), очевидно, можно сузить на 9 Ж ), так что интеграл [c.189]

Действительно, у всякой незамкнутой траектории, входящей при возрастании t (убывании t) в область О, множество предельных точек целиком лежит в этой области и, следовательно, не содержит состояний равновесия. А тогда, в силу теоремы IV, это множество является замкнутой траекторией (предельным циклом). [c.409]

Возможные типы полутраекторий и их предельных множеств. Доказанные теоремы позволяют установить возможный характер множества предельных точек полутраектории, целиком лежащей в ограниченной части плоскости. Именно, это множество может быть одного из следующих типов I. Одно состояние равновесия. И. Одна замкнутая траектория. III. Совокупность состояний равновесия и траекторий, стремящихся к этим состояниям равновесия как при /-)-- -со, так и при t-> — оо. [c.409]

Полным решением задачи теории идеальной пластичности называется такое решение, которое удовлетворяет уравнениям равновесия, условию пластичности в пластических областях, где напряжения и скорости деформирования связаны ассоциированным законом, и граничным условием, статическим и кинематическим. При этом должно выполняться еще одно условие, относящееся к возможному распределению напряжений в жестких зонах. По доказанному в жесткой зоне может существовать любое напряженное состояние, удовлетворяющее условиям равновесия, граничным условиям и условиям сопряжения с пластическими законами. Необходимо, чтобы напряженное состояние, возможное в жесткой зоне, удовлетворяло условию /"(ооО О, т, е. было допустимым для жесткопластического тела. При этом достаточно, чтобы можно было найти хотя бы одно точное раснределение напряжений. В отношении распределения скоростей и конфигурации жестких зон полное решение не единственно, однако из теоремы о единственности распределения напряжений следует единственность предельной нагрузки, переводящей тело в пластическое состояние, если условие пластичности строго выпукло. Если поверхность текучести только не вогнута, то предельная нагрузка определяется неединственным образом как правило, природа этой неединственности находит простое объяснение. [c.490]

Поведение пластинок и оболочек за пределами упругости, их несущая способность представляют значительный интерес для многих областей техники. Расчету пластинок и оболочек по предельному равновесию посвящена довольно обширная литература. Необходимо отметить, что фундаментальные теоремы теории предельного равновесия — статическая и кинематическая были впервые сформулированы и применены к расчету пластинок в Советском Союзе (работы А. А. Гвоздева [23]). В дальнейшем ряд задач о несущей способности пластинок был рассмотрен В. В. Соколовским [155], А. А. Ильюшиным [69], С. М. Фейнбергом [167], А. Р. Ржаницыным [141], Гопкинсом и Прагером [28] и другими авторами. Несущая способность цилиндрической оболочки при нагружении кольцевой нагрузкой была исследована впервые А. А. Ильюшиным [69]. Большое значение в развитии теории упруго-пластических оболочек имели труды Ю. Н. Работнова [133], Г. С. Шапиро, В. И. Ро-зенблюма, М. И. Ерхова. Обстоятельные обзоры работ отечественных и зарубежных авторов, посвященных проблеме упруго-пластического состояния оболочек, даны в статье Г. С. Шапиро [183] и в монографии Ходжа [203]. [c.174]

В тесной связи с задачами о движении твердого тела в жидкости находится классическое сочинение И. Е. Жуковского О движении твердого тела, имеющего полости, наполненные однородною капельной жидкостью , опубликованное в 1885 г. В этом сочинении указаны методы расчета движений тел, наполненных идеальной и вязкой жидкостями, и приводятся общие теоремы, выражающие закономерности движений такого рода. Рассматривая предельное состояние движения тела с полостью, заполненной реальной жидкостью, т. е. то движение, которое установится но прошестпии весьма большого времени, Жуковский приходит к важному заключению о том, что такая совокупность тела и заключающейся внутри его жидкости стремится к равномерному вращению как одного целого неизменяемой системы, состоящей из твердого тела и как бы затвердевшей в нем жидкости, вокруг общей главной оси инерции этой системы. [c.25]

Примечания и определение. В доказательстве теоремы 10 существенную роль играет теорема, аналогичная теореме Лебега о предельном переходе под знаком интеграла, которая применима лишь при использовании последовательностей, а не только сетей. Именно такова математическая причина того, что в условии теоремы 10 введено допущение о метризуемости. Как явствует из доказательства следствия 1, данное предположение оправданно, если пространство Ж сепарабельно. Хотя с математической точки зрения требование сепарабельности пространства ГНС Ж представляет собой более жесткое ограничение, чем наше допущение о метризуемости, оно вполне реально 2), если ф — локально нормальное состояние на квази-локальной алгебре. Поскольку такие состояния играют важную роль в физических приложениях, имеет смысл остановиться на них несколько подробнее и ввести следующее определение. Состояние КМШ называется сепарабельным, если единичный шар в Яф(8i)" метризуем в сильной топологии. [c.260]

Прежде чем говорить о физических основаниях, придающих этой схеме реальность, отметим результаты, которые можно получить, исходя из нее. Если мы будем производить измерения через определенные заданные интервалы времени, то с вероятностной точки зрения эта схема оказывается схемой цепи Маркова. Действительно, так как ячейки соответствуют здесь максимально полно определенным состояниям, то вероятности перехода а следовательно, и вероятности исходов последующего опыта однозначно определяются исходом настоящего опыта. Так как коэффициенты р. удовлетворяют соотношению симметрии Pii, = Pki, то, как известно из теории цепей Маркова, существует стационарное распределение, представляемое равномерным распределением вероятностей между ячейками. Если мы будем считать, что все коэффициенты РгТс (что, как будет видно в 3, можно предположить без существенного сужения физической постановки задачи), то стационарное распределение вероятностей единственно кроме того, это стационарное распределение является предельным при любом начальном состоянии системы или при любом распределении вероятностей начальных состояний. Условие Pik является достаточным для того, чтобы выполнялся закон больших чисел, согласно которому, для любого заданного начального состояния, при многократном воспроизведении начального состояния частость осуществления заданной ячейки в опыте, проводимом в некоторый заданный, достаточно удаленный момент, будет иметь пределом вероятность осуществления этой ячейки при стацирнарном (т. е. равномерном) распределении. Если выполняется условие справедлива также обобщенная предельная теорема Ляпунова [31]. Согласно этой теореме, частость осуществления заданной ячейки в данном процессе, для любого заданного начального состояния, при возрастании числа последовательных во времени опытов будет иметь пределом среднюю вероятность осуществления этой ячейки для того же процесса или (ввиду существования предельного распределения) вероятность осуществления этой ячейки при стационарном распределении. Первый из этих результатов является некоторым аналогом появления — независимо от начального состояния — равномерного распределения вероятностей на поверхности заданной энергии после [c.139]

Для оценки устойчивости прямолинейной формы стержня воспользуемся теоремой Лагранжа-Дирихле. Достаточно, как известно, чтобы потенциальная энергия (6) в равновесном состоянии имела строгий минимум. В окрестности устойчивого положения (в котором потенциальная энергия равна нулю) должно выполняться неравенство П > 0. Это неравенство выполняется на кривых (19), рассматриваемых как уравнения формы стержня в варьированном состоянии, при условии Р < Ро1 Ро1 = 7r k /f). Таким образом, при п = 1 появление смежной формы равновесия происходит при меньшей сжимающей силе, чем потеря устойчивости (в отличие от предельного случая бесконечно большой сдвиговой жёсткости к2 оо (см. (20)). [c.174]

А, В,. . шестиугольника на рис. 1). Для таких ( статически определимых ) напряженных состояний (Д. Д. Ивлев, 1966) система уравнений будет гиперболической. Доводы физического характера, иногда высказываемые в пользу этой схемы, продиктованы скорее заманчивой простотой математического анализа, нежели существом вопроса. В рамках этой схемы решение многих задач просто невозможно (например, задачи плоского напряженного состояния). Вместе с тем представляется излишне суровой и резко отрицательная точцка зрения в отношении условия полной пластичности, наиболее ясно высказанная в книге Р. Хилла ( искусственное и нереальное условие текучести , такие вычисления имеют небольшое или не имеют никакого значения ). Подобные решения могут иметь несомнен ный интерес. При этом, однако, оценка решений, построенных с помощью условия полной пластичности, должна опираться на экстремальные теоремы. Если решению по этой схеме отвечает кинематически допустимое поле скоростей, то подобное решение приводит к верхней границе предельной нагрузки. Если же напряженное состояние возможно продолжить на все тело, не нарушая условие текучести, мы получим нижнюю границу. В тех случаях, когда полученное решение нельзя отнести ни к одному из упомянутых классов, вопрос о значимости решения остается открытым. [c.100]

Рассмотрим теперь, как может вести себя траектория Lp прп t оо. Так как она остается при возрастании t внутри кривой С, а следовательно, внутри и О), то прп t— -г- оо опа либо стремится к состоянию равновесия О, тогда она является траекторией типа 2), лпбо стремится к предельному континууму К , целш ом лежащему внутри [1 (О). Таким коитпнуумом может быть только замкнутая траектория, сод( ржащая точку О внутри себя. Действительно, если этот континуум ие яв.тяется замкнутой траекторией, то в силу теоремы И 4 он должен состоять из траекторий, стремящихся при t — — оо и t—> - - со к состоянию равновесия О (так как в f/g (О) нет других состояний равновесия). Но в силу сказанного выше никакая траектория не может стремиться к О и прп i — оо и при t —> -f- 00. Таким образом, предельный континуум является замкнуто траекторией. Так же, как в случае а), устанавливается, что эта замкнутая [c.175]

Теорема 34. Пусть С — цикл однократного пересечени.я, а С — ограниченная им область, принадлежащая области определения системы (I). Если выполняются следующие условия 1) все траектории, пересекающие С, при возрастании I входят в С, 2) в области Ст имеется единственное состояние равновесия О, являющееся неустойчивым узлом и.ш фокусом 3) в области С имеется лишь конечное число замкнутых траекторий системы, тогда число расположенных в С устойчивых предельных циклов системы на единицу больше числа неустойчивых. Следовате.аьно, существует по крайней мере один устойчивый предельный цикл.) [c.230]

Если Ь — траектория, отличная от состояния равновесия, то в силу теоремы 11 4 траектория V заведомо не может быть предельной для траектории Следовательно, на траектории Ь также наищется точка Л/ , находящаяся на ненулевом расстоянии с1 от траектории Ь. Возьмем ео < с В обоих случаях точка М1 будет лежать вне во окрестности траектории Ь. Но траектория Ь по условию является ю-предельной для V следовательно, сколь бы малое б > О мы ни взяли, в б-окрестности любой точки траектории Ь будут находиться точки траектории Ь, соответствующие сколь угодно большим значениям I (в частности, большим того значения t, которому соответствует точка M ). А так как точка траектории Ь леншт вне п-окрестности траектории Ь, то отсюда, очевидно, следует, что Ь во всяком случае а-орбитно-неустойчива. [c.262]

В настоящей главе вводится понятие полной схемы динамической системы, имеющей конечное число особых траекторий. В полную схему динамической системы как составные части входят полные схемы состояний равновесия и предельных континуумов. Полная схема дает исчерпывающее описание взаимного расположения особых элементов и полностью определяет топологическую структуру разбиения на траектории. Осиов-ной теоремой настоящей главы является следующая теорема если схема двух динамических систем В п В, рассматриваемая соответственно в замкнутых областях (т и О , тождественна с сохрансиием ориентации. и направления по 1, то топологические структуры разбиения областей С и С соответственно на траектории систем В п В тождествецны. Доказательство этой теоремы заключается в фактическом построении отождествляющего отображения, т. е. топологического отображения области С в С , при котором траектории систем В и В отображаются друг в друга. [c.453]

Теорема 4 (о рождении предельного цнкла из сложного фокуса). Если состояние равновесия О системы с чисто мнимыми характеристическими корнями является сложным фокусом кратности к> I, то при любых е > О и > О всегда существует такая Ь-близкая к системе (А) система (А), у которой в е-окрестности состояния равновесия О существует по крайней мере один предельный цикл. [c.143]

Заканчивая обсуждение аналитических моделей микроструктуры аэрозоля, можно согласиться с мнением автора монографии [20] о том, что причина, по которой логарифмические нормальные распределения наиболее адекватно описывают реальные спектры аэрозольных частиц, заключается в следствиях центральной предельной теоремы. Как показано Колмогоровым [16], если статистичес1Йя переменная есть результат процесса, в котором выход пропорционален уже достигнутой величине переменной, то ее статистическое распределение должно быть логарифмически нормальным. Поскольку процессы, определяющие трансформацию состояния частиц в атмосфере, действительно являются функцией приобретенного ею размера, то логнормальное распределение является, по-видимому, естественным свойством этой системы. По этой же причине реальную кривую распределения счетной или массовой концентрации любой конфигурации можно аппроксимировать суперпозицией логнормальных распределений, количество которых соответствует числу независимых конкурирующих источников [20]. [c.47]

Во-первых, на протяжении данного пункта мы исходили из предположения о том, что эволюцию во времени бесконечной системы можно рассматривать ак непрерывную группу автоморфизмов алгебры Я. Подобное допущение отнюдь не тривиально, поскольку эволюция во времени бесконечной системы определяется предельным переходом от конечной системы, для которой можно определить гамильтониан, и, таким образом, допускает прямую физическую интерпретацию. Если сказать несколько иначе, то проблема сводится к тому, чтобы вычислить термодинамический предел способом, не приводящим к противоречию с динамикой. Такой непротиворечивости удается легко достичь для довольно широкого класса нетривиальных квантовых решеточных систем (гл. 4, 2, п. I), где, как было показано, эволюция во времени оказывается именно тем автоморфизмом С -алгебры Я, который нам хотелось бы связать с бесконечными системами. Но вообще говоря это не так. Например, недавно было доказано [70, 446], что эволюцию во времени бесконечного свободного бозе-газа нельзя рассматривать как автоморфизм С -алгебры Я, но можно рассматривать как автоморфизм алгебры фон Неймана, порожденной представлением, которое ассоциировано с состоянием Гиббса (при температуре выше критической). Так же обстоит дело в модели БКШ [70] ) и в классе обобщенных моделей Вейсса для ферро- и антиферромагнетизма [104]. В последнем случае эволюция во времени, определенная для каждой фазы в отдельности, согласуется с эволюцией во времени, определенной для состояния Гиббса, образованного фазами. Во всех этих случаях удалось сформулировать соответствующие обобщения условия КМШ и добиться обобщения большей части результатов, изложенных в данном пункте, в частности теоремы 9 о коммутанте. [c.274]

Первый этап доказательства сформулированной теоремы, существенной для теории разрывных колебаний в системах второго порядка, будет состоять, как и в 5 гл. VIII, в построении по заданному достаточно малому j- 0 замкнутой двусвязной области (s) со следующими свойствами 1) в области (г) нет состояний равновесия системы (10.15а) 2) разрывный предельный цикл Q лем<ит внутри этой области, причем область (s) стягивается к С,, при (х -[- О, и 3) траектории системы (10.15а) при заданном значении параметра J. входят (при возрастании t) в область (s). Очевидно, эта область (согласно теореме V 2 гл. VI) будет содержать внутри себя по крайней мере один устойчивый предельный цикл системы уравнений (10. 15а) при заданном значении параметра х. [c.764]

Теорема 2. 5. Пусть О - двухсвязная кольцгобразна С) облает ограниченная двумя циклами однократного пересечения С, и С , не содерж щая состояний равновесия и имеющая конечное число замкнутых траект рий. Если все траектории, пересекающие и С , при возрастании 1 вход в (7 выходят из С), то число устойчивых предельных циклов внутри (7 единшо/ больше меньше) числа неустойчивых предельных циклов. Следов [c.74]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...