Предельный континуум для

Состояние равновесия О — седло, кривая (70) является предельным континуумом (см. 4) для траекторий, расположенных вне нее, а каждая ее петля (вместе с состоянием равновесия О) — предельным континуумом для траекторий, расположенных внутри этой петли. Аналогично обстоит дело при р С 0. [c.56]

Мы будем говорить также, что данный континуум Ка, является со-предельным с положительной стороны, без упоминания о том, для какой полутраектории, подразумевая под этим, что континуум К является (в силу замечания к теореме 68) со-предельным континуумом для всех траекторий, пересекающих дугу без контакта I, проведенную через точку [c.416]

Множество К всех предельных точек полутраектории L+ называется предельным множеством или предельным континуумом L+. В случае положительной (отрицательной) полутраектории это множество называют также (о-предельным (а-предельным) множеством или континуумом. Аналогично множество всех а (ш)-предельных точек траектории L называют а (ш)-предельным континуумом траектории L. Для обозначения предельных континуумов траекторий или полутраекторий мы будем иногда пользоваться символами К а и К , или Ка (L) и К а, (L). [c.106]

Примеры главы I показывают, что существуют предельные множества всех указанных типов. В примерах 3 и 4 состояния равновесия являются предельными для незамкнутых траекторий. В примере 7 замкнутая траектория является предельной для траектории вне и внутри нее. В примере И предельным континуумом является восьмерка , состоящая из трех траекторий (среди которых одна — состояние равповесия). [c.113]

Настоящая глава непосредственно примыкает по своему содержанию к главе VHI. Она посвящена исследованию свойств со- и а-предельных континуумов, а также континуумов, являющихся граничными для ячеек, заполненных замкнутыми траекториями, и затем описанию схем таких континуумов. Кроме того, в настоящей главе рассматривается также схема границы области G в предположении, что эта граница нормальна. Полные схемы предельных континуумов и схема границы области являются наряду с полными схемами состояний равновесия основными элементами того описания расположения особых траекторий (с указанием среди них предельных) — схемы динамической системы , которое, как мы увидим в следующей главе, полностью определяет топологическую структуру разбиения на траектории. [c.411]

К — 05-, а- или О-предельны континуум. В согласии с предыдущим мы будем называть континуум К односторонним , если он является предельным только с одной, с положительной или отрицательной стороны и двусторонним , сели он является предельным как с положительной, так и с отрицательной стороны (очевидно, для различных траекторий). [c.435]

V. Указаны все пары сопряженных свободных со-, а- и Q-предельных континуумов и граничных циклов без контакта и для каждой такой пары указано, какой из ее элементов является внешним и какой внутренни.ч. [c.482]

Именно, для установления топологической структуры разбиения на траектории в первую очередь естественно исследовать характер состояний равновесия (ниже это понятие уточняется), что даст, в частности, и сведения о числе сепаратрис и их расположении вокруг каждого отдельного состояния равновесия затем установить число и взаимное расположение предельных континуумов, в частности предельных циклов, и, наконец, установить расположения сепаратрис, не являющихся предельными, т. е. для каждого состояния равновесия установить, к какому предельному множеству стремится сепаратриса этого состояния равновесия соответственно при i +oo и t—о°. [c.57]

Задача установления для конкретно заданной динамической системы существования предельных континуумов (в частности, предельных циклов) и их взаимного расположения, а также расположения сепаратрис, не являющихся предельными, представляет очень большие трудности и в гораздо меньшей степени близка к решению, чем задача определения характера состояний равновесия. В гл. 6, 14, 15 будут указаны, существующие подходы и приемы решения задачи о существовании предельных циклов. [c.65]

Для потоков на сфере с конечным числом особых траекторий определяется схема потока, включающая следующую информацию число и характер положений равновесия, число и взаимное расположение предельных континуумов (в частности,, предельных циклов) и поведение сепаратрис. Это полный топологический инвариант потока на сфере с конечным числом особых траекторий два таких потока топологически эквивалентны тогда и только тогда, когда их схемы в естественном смысле изоморфны [3], [12]. [c.230]

Все жидкости состоят из дискретно расположенных и непрерывно движущихся молекул. В предыдущих определениях, использованных для описания жидкостей, эта дискретная молекулярная структура игнорировалась, и жидкость рассматривалась как сплошная среда (континуум). Это значит, что все размеры в объеме жидкости считаются большими по сравнению с междумолекулярными расстояниями это предположение используется далее всюду, даже при рассмотрении предельно малых расстояний от ограничивающих стенок. [c.15]

Мы говорили выше о замене упругого континуума при анализе его колебаний дискретной системой материальных точек. Но это дополнялось последующим переходом от дискретной системы материальных точек к континууму. Такой переход систематически применялся Д. Бернулли и, вслед за ним, другими исследователями этой эпохи (Эйлер, Лагранж). Но это не был переход от системы обыкновенных дифференциальных уравнений к уравнению в частных производных — предельный переход осуществлялся, так сказать, не в уравнениях движения, а в их интегралах. Например, в решении для дискретной системы, заменявшей струну, от случая п точек, когда [c.266]

Мы будем также иногда говорить, что К является О-предельным континуумом для траектории Ь, подразумевая под )тим, что Ь нринадле- кит ячейке, для которой является граничным континуумом. Совершенно аналогично мы будем говорить о континууме Л о, являющемся 0-пре-де.чьиым с отрицательно стороны, и обозначать его через К . [c.419]

Доказательство. Пусть рассматриваются две динамические системы Т) и В. Пусть АГ+— со-предельный континуум для траектори системы В, а К - — со-предельный континуум для траекторий системы В, и при этом локальные схемы континуумов К и К тождественны с сохранением направления по [c.426]

Точка полутраектории расположенная на части АВ дуги / в (Л/ц), где 6 — некоторое положительное число, а Мг — последующая для Л/, точка (ыа дуге I). Очевидно, точка М2 лежит на дуге ближе н Л/,,, чем точка М,. Рассмотрим замкнутую кривую С, состоящую из дуги полутраектории Ь+ и части М,М2 дуги I. В силу леммы 14 3 одна из кривых С и / 0 ле кит внутри другой, и обе эти кривые ограничивают некоторую область Г. В силу замечания 1 к той же лемме 14, если б достаточно мало (т. е. если точка достаточно близка к М ), область Г целиком лежит в и . Ьо). И, наконец, из леммы И 3 (утверждение а)) вытекает, что полутраектория (начипая с точки М2) целиком расположена в области Г. Но тогда и все предельные точки полутраектории т. е. предельный континуум (Ь+), лежат в II(/--о)- [c.112]

Пусть замкнутые кривые С и области у1 имеют тот /ке смысл, что и в предыдущих леммах, а I настолько велико, что все траектории, проходящие через точки области имеют континуум К своим со-предельным континуумом (см. лемму 10). Пусть М — какая-нпбудь точка полутраектории лежащая внутри - Тогда достаточно малая окрестность (М ) точки М также принадлежит области следовательно, всякая траектория, проходящая через точку окрестности (М ), имеет К своим предельным континуумом. В силу теоремы о непрерывной зависимости от начальных значений, то же справедливо и для траектории, проходящих через точки достаточно малой окрестиости точки М. [c.295]

Если континуум К, не содержит ни одной ю- или а- предельно точки для траектории ячейки g, то таких точек нет и внутри Л . Тогда траектория Ь , проходящая при = т через точку Рдолжна в конце концов выйти из внутренней области кривой Я , как при х, так и прп X. При этом траектория не может пересечь I дважды, не выходя [c.306]

Глава X состоит из четырех параграфов. В 23 рассматриваются (о-и а-предельные континуумы и континуумы, являющиеся граничными для ячеек, заполненных замкнутыми траекториями. В случае, когда эти континуумы не являются состояниями равновесия (случай, когда они являются, состояниями равновесия, очевидно, может быть непосредственно рассмотрен на основании результатов главы VHI), они названы нуль-предельными коптинуу.нами. [c.411]

В случае предельных континуумов, очевидно, уже для установления локальных схем нужны сведения о поведении особых траекторий в целом, в частности сведения о предельных циклах. Как мы видели, в настоящее время для этого существуют лишь некоторые частные приемы и отсутствуют общие методы. Таким образом, фактическое установление локальной схемы предельного континуума — это вопрос совсем другого порядка трудности, чем вопрос установления локальной схемы состояния равновес1Ш. [c.412]

В дальнейшем для определенности всегда будем рассматривать предельный континуум Ка, положительной полутраектории. Все резулг таты, касающиеся континуума Ка>, конечно, справедливы с надлежащими совершенно очевидными изменешюми и для предельного континуума Кд, отрицательной полутраектории. Поэтому для континуумов мы эти результаты выводить и даже формулировать не будем. [c.412]

В том случае, когда сторона, с которой рассматриваемый континуум, являющийся О-предельным, не указывается, мы будем так же, как и в случае со- и а-предельных континуумов, пользоваться обозначением Кд В частности, континуум Ао может являться как 0-предельньтм, с ноло-жнтельной стороны, так и О-предельным с отрицательной стороны (но, конечно, для различных областей). В этом случае мы будем рассматривать его два/кды, как континуум К и как континуум ЙГ (рпс. 254). [c.420]

Нетрудно видеть, что в этом случае 0-предельный континуум либо является замкнутой (орбитно-устойчивой) траекторией, составляющей один из граничных для области С континуумов, либо является одной замкнутой (орбитно-устойчивой) траекторией (целхшом лежащей в О ), состоящей 113 граничных и угловых дуг. В первом случае со-перечисление такого 0-предельного континуума заключается в указании замкнутой траектории о во втором случае со-иеречислением континуума будем называть перечисление в ш-направлении (т. е. в направлении возрастания 1) входящих в него угловых и граничных дуг, так что в этом случае со-не-речисление имеет вид [c.422]

Односторонняя каноническая окрестность предельного континуума. Рассмотрим отличный от состояния равновесия и-предельный континуум, причем для определенности предположим, что он является ю-предельным с положительной стороны. Пусть АГ+ — этот континуум. Проведем через какую-нибудь точку Р какой-нибудь отличной от состояния равновесия траектории входящей в состав конт1шуума АГ+, дугу без контакта I, содержащую точку Р внутри (кроме точки Р дуга без коптакта I не может иметь общих точек с континуумом К, см. лемму 2, следствие 1 3). [c.424]

Пусть теперь — 0-предельпы1Г континуум (для оиределенности предполагаем его О-предельным с пололахтельнои стороны) м Ь — одна из замкнутых траекторий той ячейки, для которой является граничным с положительной стороны. [c.425]

Таким образом, для рассматриваемого нами случая (о-иредельных континуумов и теорема доказана. В случае а-предельных континуумов Ка и Ка доказательство полностью аналогично. [c.431]

ЦИКЛ с также в направлении, согласованном с направлением по t). Тогда топологическое отображение замкнутых канонических областей у и Y всегда может быть построено таким образом, чтобы заданное соответствие между точками континуумов и и циклов без контакта С и С сохранялось. Для этого, очевидно, концы М и М дуг и л нужно взять в точках, соответствующих по заданному отображению точкам Mi и М, а между точками отрезков без контакта Л и X нулчно брать соответствие, индуцированное соответствием, заданным меледу точками циклов без контакта С и С. Наконец, устанавливая отображение между элементарными четырехугольниками и седловыми областями, соответствующими друг другу по схеме, нужно сохранить заданное соответствие в точках этих замкнутых областей, принадлежащих континуумам /(lJ и (см. замечание к леммам главы VHI, устанавливающим тожде-ствеппость элементарных областей). Аналогичное замечание справедливо и в случае, когда рассматриваются а-предельные континуумы Kt. и пли 0-предельные континуумы и [c.432]

Лемма 3. Пусть ю (а или 0)-предельный континуум К , е состав которого входит хотя бы одно состояние равновесия, яеляется одной простой замкнутой кривой 8, и пусть к одному из входящих в континуум К состоянию равновесия О стремится траектория Ь, не принадлежащая континууму К. Тогда континуум является односторонним, и при этом если траектория Ь лежит ене внутри) кривой 8, то траектории, для которых является о а, или 0)-предельным континуумом, лежат внутри вне) 8. [c.435]

Л е м м а И. а) Пусть Ю — О-предельный континуум, состоящий из одной простой замкнутой кривой или из нескольких таких кривых 81, расположенных вне друг друга. Тогда, сс.т положительное направление обхода кривых совпадает с направлением по i противоположно см]/), то и на всякой замкнутой траектории ячейки и, для которой К - яв.пяется граничным, направление положительного обхода совпадает с направленис.м по I противоположно ему), б) Пусть среди простых замкнутых кривых 8 континуума Ю имеется одиа, например 81, содержащая все остальные внутри себя. Тогда, если направмние положительного обхода кривой 81 совпадает и с направление.м по t противоположно паправлению по /), то напрас.аение положите.гыюго обхода, всякой замкнутой траектории ячейки [c.441]

Свободные и песвободпые коитипуу.мы. Пусть К — ш (или а)-нре-дельный континуум. Среди траекторий, для кото])ых он является предельным континуумом, могут встретиться особые полутраектории (т. е. орбитно-неустойчивые полутраектории, сопаратрисгл п.дп угловые полутраектории). [c.441]

Континуум называется свободным, если он пе является со-, сс-предельным ни для одной особой полутраекго])ии и несвободным, еслп существует хотя бы одна стремящаяся к нему особай полутраектории. [c.441]

Полная схема предельного континуума может быть задана схематическим рисунком ) с указанием обозначений для траектори1ь Такое задание является значительно более наглядным и обозримым, чем задание таблицей. [c.444]

Рассмотрим случай 1). Пусть для определенности оба континуума ку и ку являются со-предельными. Предположим сначала, что не все точки этих континуумов общие, так что континуумы КУ и Ку различны как точечные множества. Так как все траектории, проходящие через точки любой канонической окрестнос П К и ограничивающего ее цикла без контакта С , имеют КУ своим со-предельным континуумом, а псе траектории, проходящие через точки канонической окрестности /Г и ограничивающего ее цикла без контакта, имеют Ку своим предельным континуумом, то очевидно, что в рассматриваемом случае эти канонические окрестности и ограничивающие их циклы без контакта не могут иметь общих точек. Предположим теперь, что континуумы КУ и Юу совпадают как точечные множества, так что один пз этих континуумов является континуумом КТ, а другой К1. Пусть — какая-нибудь отличная от состояния равновесия траектория, входящая в состав зтих континуумов. Если канонические окрестности континуумов К и К имеют общие точки, то траектория Ьа для всякой траектории Ь, проходящей через такую общую точку, является предельной как с положительной, так и с отрицательной стороны. Но это невозможно (см. следствие 2 леммы 2 4). Таким образом, канонические окрестности двух различных со (а также двух различных а)-предельных континуумов не имеют общих точек. [c.456]

Доказательство. Пусть С и С — два сопряженных цикла без контакта, и пусть внешний цикл С не является граничной криво Г. Для доказательства предположим противное, т. е. что континуум К - которому принадлежит цикл С, лежит внутри этого цикла. Но цикл С тоже лежит внутри цикла С. В кольцевой области между циклами С и С не может лежать ни одпой особой траектории (см. замечание к лемме 1). Отсюда очевидно, что К , которому принадлежит цикл С, лежит и внутри цикла С. Но это означает, что цикл С лежит в канонической окрестности у континуума Ю , ограниченной кривой С. В случае, когда цикл С является граничной кривой Г, это невозможно, так как но самому определению канонической окрестности предельного континуума в ней но может лежать граничная кривая Г. Но это невозможно также и в случае, когда цикл С не является граничной кривой Г в силу того, что выбранная система канонических окрестиостси правильная. Полученное противоречие доказывает утверждение леммы, касающееся внешнего из двух соиряжепных циклов. Совершенно аналогично проводится доказательство и при рассмотрении внутреннего сопряженного цикла. Лемма доказана. [c.464]

Доказательство. Утверждение для граничной кривой Г очевидно. В самом деле, если Г есть граничная кривая, лежащая внутри "о и содержащая внутри себя, то точки области С существуют как внутри, так и вне кривой Г, что противоречит определению граничной кривой. Предположим теперь, что существует простая кривая входящая в состав какого-нибудь предельного континуума лежащая внутри кривой "ц и содержащая внутри себя. Предположим для определенности, что есть со- или а-предельный континуум, состоящий из кривой 8 и расположенных внутри нее и вне друг друга простых замкнутых кривых "а,. . . , 8р, а соответственно а- или со-предельный континуум, состоящий из расположенных вне друг друга простых замкнутых кривых "1, 5 2, -, "д. Пусть С и у и соответственно С ш у — каноническая кривая и окрестность континуума К - и Кривая 5 не может лежать внутри какой-нибудь из кривых 8, . . ., 8 р или 8г,. . . , 8д, так как тогда и континуум лежал бы внутри тако11 кривой, что, очевидно, невозможно. Кривая не может также иметь общих точек с окрестностями у и у, так как внутри этих окрестностей нет точек особых траекторий. Следовательно, кривая 5 должна быть целиком расположена в области i , ограниченной кривыми С и С. Но это невозможно (см. лемму 16 3). Аналогично доказывается утверждение леммы в случае, когда и являются соиряженными 0-нредель-ными континуумами и когда один из них или оба являются граничными циклами без контакта. Лемма доказана. [c.467]

Перевдем теперь к определению тождественности схем двух динамических систем. При этом, так же как и для схем состоянии равновеспя и предельных континуумов, мы приведем определения тождественности схем с сохранением ориентации и направления по I. С совершенно очевидными изменениями может быть также дано определение тождественности схем двух динамических систем с изменением ориентации и сохранением направления по 1, а т.акже с сохранением ориентации и изменением [c.484]

Теорема VIII. В случае, когда ячейка, заполненная незамкнутыми траекториями, двухсвязна, один из ее граничных континуумов является о.-предельным, а другой — w-предельным множеством для траекторий этой ячейки. [c.425]

Кроме отклика на одиночную й-функцию на в.ходе важное значение для полноты модельного описания имеет др. предельный случаи, когда входной сигнал обладает сплошным спектром (бесконечная последовательность б-фувкцлй). Тогда при фпкеиров. положении всех оптич. влементов монохроматора (при остановленном сканировании) в фокальной плоскости образуется континуум монохроматич. изображений входной щели, последовательно смещённых. за счёт угл. дисперсии. Суперпозиция этой последовательности на выходной щели соответствует операции свёртки, в результате к-рой формируется выходящий иоток. Контур его спектра, в отличие от АФ, наз. ф - ц п о й пропускания (ФП). Длина волны, соответстзующая максимуму ФП, наз. длиной волны н а с т р о u к и Я, ширина контура ФП ваз. выделяемым спектральным и н т е р в а л о. 1 6Х, отношение X ЬХ — селективностью С. [c.622]

Регисграция спектральных характеристик осуществляется с помощью зондирования изучаемого объекта СКИ с широким спектром. Для получения такого широкополосного импульса — континуума со спектром, охватывающим всю видимую часть спектра,— интенсивный фемтосекундный импульс направляют в струю жидкости. При применении зондирующего импульса предельно короткой 10 " с) длительности регистрация спектральных изменений может производиться путём измерения самого импульса, к-рый имеет значит, ширину в соответствии с соотношением неопределенности. [c.281]

IB этой области течения не решена в удовлетворительном виде до сих пор основная проблема — проблема формулирования соответствующих дифференциальных ура1внений и граничных условий, описывающих течение газа. Для некоторой части этой области, примыкающей к области континуума, в ряде работ предполагалось возможным использование уравнений Навье-Стокса (или их предельного случая — уравнений Л. Прандтля для пограничного слоя) в сочетании с граничными условиями, предполагающими скольжение газа (Л. 5—9]. Однако результаты появившихся в последнее В1ремя опытных исследований показали в большинстве случаев непригодность полученных таким путем решений. Аналитические решения различных авторов плохо согласуются друг с другом и с экспериментом. Такое положение в теории объясняется, в известной мере, отсутствием детальных опытных сведений об этой области течения. Имеющиеся экспериментальные данные весьма ограниченны и очень малочисленны. На графиках рис. 1 г оказаны диапазоны всех известных в настоящее время исследований сопротивления и теплообмена в промежуточной области, между континуумом и свободно молекулярным течением. [c.463]

Однако в теории обобщенной проводимости не имеется принципиальных ограничений ни для предельных максимальных, ни для предельных минимальных размеров области, в которой проводится описание исследуемого процесса переноса. Это важное обстоятельство позволяет по-новому взглянуть на структуру твердых растворов и попытаться использовать сочетание континуальных и корпускулярных моделей для теоретического определения теплопроводности гетерогенных систем, способных образовывать твердые растворы. Рассмотрим кристаллическую решетку компоненты А с примесями компоненты В. Область искажений кристаллической решетки атомами примеси может иметь хотя и различные, но конечные размеры. Заштрихуем область искажений в кристаллической решетке (рис. 6-4) и для краткости будем в дальнейшем именовать эту область зоной возмущения. Отвлечемся теперь от образа дискретной кристаллической решетки, в узлах или междуузлиях которой находятся атомы, молекулы или ионы, и рассмотрим заштрихованную область как сплошную однородную среду (континуум). Можно предвидеть, что теплопроводность и другие коэффициенты обобщенной проводимости заштрихованной области будут отличаться от тех же [c.173]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...