Системы без замкнутых траекторий

СИСТЕМЫ БЕЗ ЗАМКНУТЫХ ТРАЕКТОРИЙ 345 [c.345]

Системы без замкнутых траекторий [c.345]

В отличие от фазового портрета маятника без учета трения, который был изображен ранее на рис. 1.4, здесь не появляются убегающие траектории, нет замкнутых траекторий и нет замкнутых разделительных линий — сепаратрис. Все траектории из любой точки фазовой плоскости стягиваются к одной из точек устойчивого положения равновесия — устойчивым фокусам (л == = 2пп, у = 0). Это означает, что при наличии потерь система в общем случае после конечного числа оборотов (вращений) колебательным путем придет к устойчивому состоянию равно- [c.52]

В заключение заметим, что из всех линейных осцилляторов только для гармонического осциллятора (система без затухания) фазовые траектории получаются замкнутыми, т.е. только для него характерны периодические процессы. В линейных осцилляторах с затуханием периодические процессы невозможны. [c.86]

Чтобы понять физический смысл коллективных мод структурообразования, вернемся снова к анализу системы уравнений (3.59). Если сравнить уравнения (3.49), эквивалентные (3.59), с системой (3.38) для предельного цикла, видно, что последние отличаются от (3.49) отсутствием членов, содержащих коэффициенты диффузии Ох и Оу. Из этого следует, что пространственно-анизотропная система дефектов в деформируемом кристалле может возникнуть лишь с участием процессов диффузии, скорости которых различны в окрестности дефектов разного класса. В отсутствие диффузии после точки бифуркации В > В в системе возникает стационарный периодический во времени процесс (предельный цикл). К этому режиму система приближается при любых начальных условиях. Если координатам X, У в системе (3.38) придать тот же смысл, что и в системе (3.59), получается, что нри некотором критическом количестве элементов структуры без участия диффузии в деформируемом кристалле при небольших отклонениях п от е возникают незатухающие во времени колебания р и п, при этом в конце концов устанавливается предельный цикл (замкнутая траектория в пространстве р, п) с определенной частотой колебаний. Иными словами, и в отсутствие диффузии есть предпосылки для самоорганизации системы дефектов (имеются носители коллективных [c.88]

Прямоугольные предназначены для сообщения исполнительным органам рабочих перемещений параллельно или перпендикулярно выбранным осям координат, а непрерывные системы управления обеспечивают перемещение исполнительных органов по сложным, криволинейным траекториям. По характеру контроля правильности выполнения заданных команд системы управления подразделяются на разомкнутые, замкнутые и самонастраивающиеся. Наиболее простыми являются разомкнутые системы (без обратной связи). В них не осуществляется контроля правильности выполнения исполнительными органами заданных команд. [c.496]

Поле системы (65) может быть получено, если поле системы (62) повернуть на постоянный угол ф такой, что tg ф = а. Следовательно, траектории системы (65) ни в одной точке не касаются траекторий системы (62). В частности, замкнутые траектории системы (62) являются циклами без контакта для траекторий системы (65). [c.54]

Ряд приложений теории индекса основан па том, что индекс замкнутой кривой равен сумме индексов состояний равновесия, расположенных внутри этой кривой (теорема 27), и что индекс замкнутой траектории, а также цикла без контакта равен 1 (теоремы 28 и 29). Из этих теорем вытекают некоторые основные условия возможности совместного существования замкнутых траекторий динамической системы и состояний равновесия того или иного типа. [c.205]

Действительно, нетрудно видеть (проводя рассуждение, аналогичное проведенному выше), что если бы у системы (А) существовала лежащая в О замкнутая траектория, то она непременно должна была бы пересекать линию Рх (х, у) + Qy х, у) = О и при этом, очевидно, не менее чем в двух точках и, во всяком случае, по крайней мере в двух точках в противоположных направлениях, что, очевидно, невозможно, так как по предположению линия Рх + Qy = 0 является линией без контакта. [c.116]

Следовательно, функция ( , X) на рассматриваемом интервале значений 5 не равна нулю тождественно. Нетрудно видеть, что тогда у всякой системы (Л) с аналитическими правыми частями, достаточно близкой к системе (Л ), соответствующая функция Ф (в) тоже не будет равна нулю тождественно. А это означает, что среди траекторий системы (Л), пересекающих рассматриваемую часть отрезка без контакта, существуют не только замкнутые траектории. Так как можно указать сколь угодно близкую к системе (Л) систему (Л), обладающую этим свойством, то, очевидно, система (Л) — негрубая ). [c.450]

Многие стороны поведения фазовых траекторий динамической системы, а в ряде случаев и полная картина разбиения фазового пространства на траектории могут быть выяснены путем исследования поведения последовательных точек пересечения траекторий с так называемым отрезком без контакта (в случае двумерного фазового пространства) или с секущей поверхностью (в случае трехмерного фазового пространства). Эта последовательность точек пересечения образует некоторое точечное преобразование Т, к изучению которого и сводится задача об исследовании поведения фазовых траекторий. При этом оказывается, что структура рассматриваемой динамической системы взаимно однозначно определяется структурой порождаемого ею точечного отображения Т. Это означает, что каждому вопросу в отношении структуры решений дифференциальных уравнений отвечает некоторый вопрос, относящийся к структуре точечного отображения Т. В частности, периодическим решениям дифференциальных уравнений или, что то же самое, замкнутым фазовым траекториям ставятся в соответствие неподвижные точки соответствующею точечного отображения Т, [c.70]

Другим способом, позволяющим снизить искажения формы траектории, является введение в систему управления обратной связи по скорости. Действительно, система управления, охваченная обратной связью только по положению, дает большую погрешность при отработке скоростной составляющей командной информации. Эта ошибка и составляет в динамике величину х (t). Как известно, обратная связь по какому-либо параметру позволяет уменьшить его ошибку. Уменьшение скоростной ошибки значительно снижает погрешность траектории при той же скорости перемещения, а иногда и увеличивает ее без потери точности. Схема управления для этого случая показана на рис. 6.5, б. Здесь (0 у (0 (О —скоростные составляющие соответственно командной информации, информации обратной связи и информации ошибки (рассогласования). Такая система управления сложнее и дороже замкнутой только по положению в ней усложнено устройство сравнения и необходимо применение датчика обратной связи по скорости. Поэтому такие системы применяют только в особо точных станках, обрабатывающих ответственные детали. [c.142]

В случае а фазовый элемент движется без искажений его формы, возвращаясь к своему первоначальному положению каждые Т секунд. Это напоминает периодическое движение твердого тела. В течение своего движения капелька фазовой жидкости заметает конечную долю доступного фазового пространства. Такая ситуация вполне может иметь место для реальной механической системы. Рассмотрим, например, систему гармонических осцилляторов с соизмеримыми частотами траектории представляющих их фазовых точек образуют замкнутые кривые на торе (см. разд. П.2). Если ограничиться рассмотрением пути на поверхности одного из таких торов, то движение будет как раз соответствовать фиг. П.6.1, а. Иной тип движения изображен на фиг. П.6.1, б. Здесь форма элемента объема лишь слабо меняется в течение движения. Однако данный элемент объема никогда не возвращается в свое начальное положение. Если за ним проследить достаточно долго, то этот элемент заметает большую часть фазового пространства, возможно даже — все фазовое пространство. Более того, если время ожидания стремится к бесконечности, то элемент пересечет каждый участок фазового пространства бесконечное число раз. Такой поток называется эргодическим. [c.378]

Впервые определение грубости динамической системы на плоскости было дано при некотором дополнительном предположении относительно множества рассматриваемых динамических систем. Именно, дополнительно предполагалось, что граница области, в которой рассматривается система, является циклом без контакта для траекторий этой системы, т.е. простой гладкой замкнутой кривой, не имеющей контактов (не касающейся траекторий системы). Очевидно, тогда кривая является циклом без контакта также и для траекторий всякой системы, достаточно близкой к рассматриваемой. Хотя это [c.143]

Так как в силу тождественности схем континуумам К и К каждой траектории Li соответствует (взаимно однозначно) траектория L спстемы D, то мы можем в случае системы D рассмотреть полностью аналогичные дуги без контакта v , точки М -, , -Р , траекторию L, ее общие точки с дугой Я. — Р , а также простую замкнутую кривую с и области у и Д (рис. 260, б). [c.428]

Элементарные дуги и свободные циклы без контакта. Предположим, что выбрана некоторая правильная система канонических окрестностей. Всюду в дальнейшем будем обозначать канонические окрестности через (у) и g), канонические кривые зтой правильной системы канонических окрестностей — через (С), (а) и через (I) — параболические дуги канонических кривых (а). Кроме того, в согласии с введенным выше обозначением будем через (Г) обозначать граничные простые замкнутые кривые и через (к) — граничные дуги без контакта, и через (Хс) — седловые дуги, т. е. дуги без контакта, входящие в границы гиперболических секторов (см. 18, п. 3). При этом, как и выше, (см. 19, п. 2) седловую дугу будем называть со-седловой, если в точках этой дуги, отличных от концов, траектории входят внутрь седловой области, и а-седловой дугой, если в точках этой дуги, отличных от концов, траектории выходят из этой области. Очевидно, каждая седловая область g имеет одну граничную со-седловую дугу и одну а-седловую дугу без контакта. Так как выбранная система канонических окрестностей правильная, то только один конец всякой седловой дуги принадлежит особой полутраектории. Конец а-седловой дуги, граничной для седловой области g , одновременно является и концом а-сепаратрисы, входящей в границу области g , а конец ы-седловой дуги — концом ы-сепаратрисы, входящей в границу этой области. [c.458]

Цикл без контакта. Пусть С — гладкая простая замкнутая кривая ), лежащая в области G. Мы будем говорить (так же, как и в случае простой дуги), что кривая С в некоторой своей точке М не имеет контакта, если проходящая через точку М траектория системы (А) не касается кривой С в этой точке, и будем говорить, что кривая С в точке М имеет контакт, если проходящая через точку М траектория в этой точке касается кривой С. [c.42]

Замкнутые кривые консервативной системы, окружающие начало координат, превращаются в циклы без контакта для траекторий системы (12). Предельные циклы существовать не могут. [c.125]

Каждая из этих простых замкнутых кривых либо является циклом без контакта для траекторий данной динамической системы, либо замкнутой траекторией этой системы, либо замкнутой кривой, составленной из конечного (четного) числа чередующихся (поперемеппо) дуг без контакта и дуг траекторий. [c.286]

Пусть, далее, К . . ., АУ (К) — все (односторонние) предельные континуумы динамической системы D, отличные от состояний равновесия, расположенные в G, Yj, Ysi > (y) — их канонические окрестности, i, С2, - - -, jf (С) — соответствующие канонические кривые континуумов (К) каждая кривая Сг является либо циклом без контакта, либо замкнутой траекторией и вместе с предельным континуу-мом Ki составляет границу канонической окрестности уг- [c.454]

Как мы видели в гл. 5, свойства замкнутой траектории данной системы х = Р х, у), y = Q x, у) естественным образом изучаются с помощью функции последования 5 = / ( ), построенной на дуге без контакта I (в — параметр на этой дуге). Рассматривая наряду с данной системой измененную систему [c.143]

Для доказательства существования периодического решеиия системы (18.1) поступают обычно следующим обра-ЯОм, В фазовом пространстве выделяется гиперповерхность М (л—1)-го измерения, не имеющая контакта с полем направлений системы (18.1). На поверхности М выделяется (П— 1)-мерный симплекс 5. Предполагается, что если точка р лежит в 5, то при возрастании времени траектория Ф(р. Ь) системы (18.1), проходящая при = 0 через точку р, пересечет поверхность М в точке Ф(р, х), х > 0. Таким образом, получается преобразование Т симплекса 5 в гиперповерхность М, ставящее в соответствие точке р точку Ф (р, х). Обычно без особых затруднений удается показать, что преобразование это непрерывно. Если, кроме того, преобразо-пиние Т таково, что на 5 оно имеет неподвижную точку д, то ясно, что траектория Ф д, 1 ) замкнута, т. е. решение Ф((/, ) периодическое. [c.281]

Сравнивая векторнью поля систем (66) и (69), нетрудно видеть, что все замкнутые траскторгш системы (66) (рис. 23) являются циклами без контакта для траекторий системы (69). [c.56]

Цикл без контакта. Пусть С — гладкая простая замкнутая кривая, лежащая в области С, а М — какая-нибудь ее точка. Мы будем говорить так же, как и в случае простой гладкой дуги I, что кривая С в точке М имеет или не имеет контакта (с траекториями системы (1)) в соответствии с тем, касается ли кривая С в этой точке траекторни системы (I) или нет. [c.95]

Цикл однократного пересечения. В некоторых случаях роль цикла без контакта может играть обобщенный цикл без контакта или цикл однократного пересечения . Мы скажем, что простая замкнутая кривая С (эта кривая может и не быть гладкой) есть цикл однократного пересечения для траекторий системы (I), если а) на кривой С не лежит ни одного состояния равновесия б) у всякой траектории, при = о проходящей через какую-нибудь точку кривой С, точки, соответствующие достаточно близким к 0 значениям > о (< < о), лежат внутри С, а точки, соответствующие достаточно близким к i значениям I <С 1о ( > <о)> вне цикла С. В частности, например, гладкая простая замкнутая кривая, не являющаяся циклом без контакта, является циклом однократного пересечения в том случае, когда в некоторых своих точках ) она имеет точки соприко- [c.97]

Б этом случае к множеству особых траекторий, целиком лежащих в замкнутой области G (т. е. к множеству лежащих в G орбитно-неустойчивых траекторий с добавлением всех орбитно-устойчивых состояний равновесия), присоеднпяется еще конечное число дуг без к01ггакта, дуг траекторий и некоторых полутраекторий, характеризующих нормальную границу той области G, в которой рассматривается динамическая система. [c.285]

В некоторых случаях роль цикла без контакта может играть обобщенный цикл без контакта или цикл однократного пересечения . Мы скажем, что простая замкнутая кривая С (эта кривая может и не быть гладкой) есть цикл однократного пересечения ддя траектории системы (А), если а) на кривой С не лежит ни одно состояние равновесия б) у всякой траектории, при i = I0 проходящей через какую-нибудь точку кривой С, точки, соответстующпе достаточно близким к to значениям t> to(t < to), лежат внутри С, а точки, соответствующие достаточно близким к t значениям i < io(i > io),—вне цикла С. [c.43]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...