Пространство сепарабельное

Предполагая гильбертово пространство сепарабельным, введем ортонормированный базис. Тогда решение уравнений (9.72) будет иметь вид [c.242]

Понятие сходимости последовательности обобщенных функций можно трактовать более систематическим образом, если , 3) VI 3) охарактеризовать как топологические векторные пространства. (По существу, мы уже сделали это для , введя семейство норм г, s.) Мы отсылаем читателя по поводу полного развития этой точки зрения к ссылкам [1,2 и 3]. Здесь же мы сделаем лишь три замечания в этом направлении, которые будут существенны для нашего дальнейшего изложения. Первое — это, что и 3) как топологические пространства сепарабельны. [c.57]

Следствие I. Пусть —состояние КМШ на 8I, а , такое, что пространство сепарабельно. Тогда нормальное расширение ф состояния ф на (Я)" удовлетворяет условию КМШ при той же температуре относительно естественного расширения а, отображения на алгебру фон Неймана Яф(9 )". [c.260]

Рассмотрим случай, когда ф — состояние КМШ динамической системы Я, 6, а , такое, что пространство сепарабельно. Поскольку центр — абелева алгебра фон Неймана на сепарабельном гильбертовом пространстве, оно порождается единственным эрмитовым оператором 7ф. Чтобы не усложнять нашу первую попытку построить теорию, предположим, что оператор обладает дискретным спектром. Тог (1а мы можем написать, что [c.277]

Разумеется, данный частный результат еще не устанавливает единственности разложения произвольного состояния ф из множества р на экстремальные компоненты. Все же отметим, что он был получен при весьма слабых ограничениях, а именно в предположении о том, что пространство сепарабельно и спектр оператора 2 дискретен. Этот наш простой пример ценен тем, что указывает направление, в котором мы должны ослабить технические ограничения и пытаться найти решение для общего случая. В самом деле, представим полученный выше результат в другом виде. Пусть ц.,, — мера, определенная на соотношением Цф = 2 Очевидно, что [c.278]

Множество М будет называться плотным в гильбертовом пространстве Я, если любой элемент ф е Я может быть получен как предел последовательности ср е М. Если при этом множество М является счетным, то пространство называется сепарабельным. [c.126]

Для всякой линейно независимой системы векторов (аД сепарабельного гильбертова пространства можно построить базис Процесс построения О. с. в. наз. [c.474]

Возможность приближенного решения вариационной задачи определяется тем, что существует последовательность конечномерных задач на стационарное значение, размерность которых стремится к бесконечности н решения которых сходятся к решению исходной задачи. Существование такой последовательности связано с сепарабельностью (см. Приложение 1) пространства или, что эквивалентно, с наличием в нем счетной базы. [c.173]

Все пространства состояний, на которых определены функционалы, рассмотренные в гл. 3 и 4, сепарабельны. [c.173]

С метрикой связаны понятия полноты и сепарабельности пространств, имеющие важное значение в вопросах существования решений и применимости приближенных методов эти вопросы, однако, выходят за рамки данной книги. [c.207]

В силу сепарабельности гильбертова пространства в Я( существует система элементов g , принадлежащих D(A), линейно независимая и полная в /fi. Обозначим через Kn пространство Я1, натянутое на элементы go, Si,. , sn. [c.8]

Системы векторов. Пусть —комплексное сепарабельное гильбертово пространство со скалярным произведением (f, й) и нормой llf f = (f, Мы введем несколько понятий, относящихся к системе f (/=1,2,. ..) векторов этого пространства в частности, скажем, когда [/ называется полной системой, базисом со скобками, базисом, базисом Рисса, базисом Бари. Здесь каждое следующее свойство является усилением предыдущего. Будет приведено несколько утверждений некоторые из них очевидны, доказательства других и дальнейшие подробности можно найти в [6], гл. VI, 1—3. [c.297]

Абстрактный аналог шкалы Ях( ) (см., например, [49]). Пусть — сепарабельное гильбертово пространство и о — самосопряженный оператор с дискретным спектром в / (/=1, 2,. ..) —ортонормированный базис в составленный из собственных векторов оператора о 0 / = Будем считать, что О < V, V2 ---- [c.329]

Пусть снова > —сепарабельное гильбертово пространство, I — оператор с дискретным спектром и А — вполне непрерывный оператор в ф, ([ —система корневых векторов оператора I или А (см. пп. 3 и 4 31). Условимся пользоваться следующими обозначениями (определения см. в 31) [c.335]

Пусть TQ — T - - гТз — любой вполне непрерывный оператор в сепарабельном гильбертовом пространстве ф, Г] и Го —его вещественная и мнимая части. Это, как мы знаем, самосопряженные вполне непрерывные операторы (см. формулу (31.13)). Рассмотрим уравнение Фредгольма [c.380]

Ж векторов состояний заданной физической системы, вектор ф> удовлетворяет условию < ф ф>>0. (При этом вектор <115 1 является дуальным относительно вектора ф>.) Для г15> справедливы все аксиомы и правила вычисления собственных элементов гильбертова пространства (в особенности линейность, сепарабельность, комплексность, эрмитовость метрики, полнота). Пространство Ж может быть натянуто на полный орто-нормированный базис /> со свойствами [c.72]

Следствие 1.4.3. Непрерывное открытое отображение f локально компактного сепарабельного метрического пространства топологически транзитивно тогда и только тогда, когда не существует двух непересекающихся открытых непустых f -инвариантных подмножеств. [c.44]

Теорема П 6.3. Пространство с мерой (X, S, /г) изоморфно стандартному пространству с мерой ([0,1], М, Л), где М — (г-алгебра измеримых по Лебегу множеств на [О, 1], тогда и только тогда, когда fi —неатомарная сепарабельная вероятностная мера с полным базисом. В этом случае каждый базис полон. [c.715]

Мы будем также считать, что рассматриваемое гильбертово пространство является сепарабельным.. Это означает, что в этом пространстве существует счетное множество векторов, образующих базис. [c.190]

В нерелятивистской квантовой механике естественно рассматривать только сепарабельные гильбертовы пространства, поскольку обычно приходится иметь дело с конечным числом частиц и состояния реализовать кате век- [c.120]

В первую очередь заметим, что если Ж и Жг, Жв, последовательность сепарабельных гильбертовых пространств, то тогда и их прямая сумма Ф Ж) будет пространством Гильберта. Прямая сумма имеет элементами последовательности Ф1, Фг,. .. , гд Ф] Ж] и [c.121]

Состояния теории описываются единичными лучами в сепарабельном гильбертовом пространстве Ж. Релятивистский закон преобразования состояний задается непрерывным унитарным представлением неоднородной группы 8Ь 2, С) а, А - и(а, А). [c.136]

Основные идеи мы разъясним на примере вычисления вращения векторного поля, заданного па сферах сепарабельного гильбертова пространства Н. [c.73]

Первый пункт, который мы хотим обсудить, — это сепарабельность гильбертовых пространств, встречающихся в квантовой теории поля. Напомним, что множество /5 векторов плотно в Ж, если для каждого вектора Ф е и е>0 найдется вектор Ч "е5 такой, что Ф —Ч ИСе. Гильбертово пространство сепарабельно, если оно содержит счетное плотное множество или же, другими словами, если в нем имеется последовательность векторов, являющаяся плотной. Альтернативно эта особенность описывается в терминах полных ортонормированных множеств. Гильбертово пространство сепарабельно, если оно содержит счетное полное ортонормированное множество оно не сепарабельно, если полные ортонормированные множества не счетны. От одного описания к другому можно перейти с помош ью ортонормализащш плотного множества, чтобы получить счетное полное ортонормированное множество, 11ли же, образуя конечные линейные комбинации счетных полных ортонормированных множеств с комплексными числами, вещественные и мнимые части которых рациональны,— чтобы получить счетное плотное множество. В первоначальную аксиоматизацию фон Неймана требование сепарабельности входило как определяющее свойство гильбертова пространства. В наше время вошло в обиход употребление этого термина также в несепарабельяом случае. Недавно физики начали рассматривать векторные пространства со скалярным произведением, на которое требование (2-111) и (2-112) не налагается (индефинитная метрика). Такие пространства мы не будем называть гильбертовыми и даже вообще не будем их рассматривать. [c.120]

Доказательство. Поскольку пространство сепарабельно, бикоммутант Я(p(8i)" допускает счетное разложение ), и поэтому [77, гл. 1, 3, п. I, предложение 1] единичный шар в Лф(0 )" метризуем в сильной операторной топологии. Таким образом, следствие 1 сразу же вытекает из теоремы 10, если вспомнить, что Яф(91), /ф (К) — ковариантное представление, канонически ассоциированное с состоянием ф, Ф — циклический вектор, соответствующий состоянию ф в этом представлении, (ф X) = (Ф, ХФ) для всех X е (Я)" и щ [X] С/ф (1) Хи [—1). [c.260]

Если предположить, что пространство Н сепарабельно, то сепарабельно и На- Тогда в нем можно построить полную орто-иормированную систему функций, которую обозначим через (o . Обобщенное решение о будем искать в этом случае в виде ряда [c.139]

ОРТОГОНАЛЬНАЯ СИСТЕМА ФУНКЦИЙ (от греч. orthogonios — прямоугольный) — конечная или счётная система ф-ций [c.471]

Лемма 1.4.2. Пусть f X—>X —непрерывное отображение локально компактного сепарабельного метрического пространства X в себя. Отображение f топологически транзитивно тогда и только тогда, когда для любых двух непустых открытых подмножеств ЦУсХ существует такое целое число N = N U,V), что пересечение f U) П V непусто. [c.44]

Определение 4.1.16. Для борелевской меры ц на сепарабельном метризуемом пространстве X носителем ц называется множество [c.151]

Каждая точка X supp обладает такой открытой окрестностью U, что U)=0. Так как пространство X сепарабельно, множество X supp может быть покрыто некоторым не более чем счетным набором таких окрестностей следовательно, )u(X supp ) = 0 в силу <т-аддитивности меры . [c.152]

Предложение 4.1.18. Пусть f— непрерывное отображение полного сепарабельного метризуемого пространства X. Тогда выполнены следующие утверждения. [c.152]

Топологическое пространство называется метризуемьш, если существует метрика, индуцирующая данную топологию. Любое метрическое пространство нормально и, следовательно, хаусдорфово. Метрическое пространство обладает счетной базой топологии тогда и только тогда, когда оно сепарабельно. И наоборот, используя предложение П 1.4, мы получаем следующий результат. [c.697]

Линейным функционалом на линейном пространстве V называется линейное отображение из К в F. Пространство ограниченных линейных функционалов на нормированном линейном пространстве V называется двойственным к V и обозначается V. Слабой топологией на нормированном линейном пространстве V 1кзывается самая слабая топология, в которой все ограниченные линейные функционалы непрерывны. В сепарабельном случае эквивалентное определение состоит в том, что u -> О тогда и только тогда, когда/(uj)- О для каждого / б V. Так как пространство V само по себе яаляется линейным нормированным (с определенной выше нормой 11/11), в нем также может быть определена слабая топология. Чаще используется -слабая топология, определенная условием / ->0-ФФ-/ ( )->0 для всех w 6 V, т. е. топология поточечной сходимости на V. [c.699]

Определение П 6.6. Пусть X — сепарабельное локально компактное хаусдорфово пространство и В — сг-алгебра борелевских множеств, т. е. сг-алгебра, порожденная замкнутыми множествами. Тогда мера Бореля — это такая мера fi, определенная иа В, что fi B) <оо для компактных множеств В. [c.716]

Теорема П 6.7. Любая борелевская вероятностная мера ц на сепарабельном локально компактном хаусдорфовом пространстве X определяет пространство Лебега. [c.716]

Выражения Е(8), которые могут появиться в теории, инвариантной относительно специальной группы Лоренца, а тЭ(Кже относительно гручшы трансляций, не могут быть произвольными, в частности, имеется лишь одно р, при котором возможен дискретный точечный спектр р = 0. Легко видеть, почему так должно быть. Если бы было = р Тр и (Тр, Тр) = 1 при каком-то р ф О, то 7(0, А)Тр удовлетворяло бы Р> 7(0, А)Тр = = (Ар) U(О, А)Ч р, причем, когда А пробегает, векторы и (0,А)Тр были бы непрерывным семейством нормированных состояний, ортогональных при А р ф Кгр, что невозможно в сепарабельном гильбертовом пространстве. Интересно, что это позволяет проще охарактеризовать вакуумное состояние это единственная нормируемая собственная функция Р или Р или РЧ [c.130]

Мы можем воспользоваться тем, что набор векторов Tf плотен в Ж, чтобы показать, что пространство Ж сепарабельно. Необходимый счетный плотный набор векторов получим, выбирая последовательности /о, fi,. .. е Я, где fj — осно1вные функции, взятые из счетного набора, плотного в пространстве S (R ), описанного в разделе 2-1. Чита- [c.172]

Прежде всего отметим, что ОПВ-формфактор имеет такой же сепарабельный член с q-зависимостью, что и ККРЗ-формфактор. Но формфактор ОПВ спадает с ростом q быстрее, чем его ККРЗ-аналог. Причина этого в том, что ОПВ-формфактор основан на интегрировании сферических функций Бесселя (являющихся компонентами плоской волны) по г-пространству, что вводит дополнительный множитель i/q, как легко проверить на примере интегрирования exp(iqr) например, при вычислении фурье-образа прямоугольной ямы с радиусом действия R [c.174]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...