Топологическое отображение

При применении для расчетов ЭВМ построенная сетка используется как топологическое отображение объекта и служит для составления на основе известных законов Кирхгофа для электрической цепи описывающей его системы уравнений — математической модели объекта. Достигаемая при этом однотипность алгоритмов расчета различных процессов значительно упрощает разработку программного обеспечения САПР ЭМУ и облегчает его практическое использование. Наряду с адекватностью, модели отличаются сравнительной простотой и удобством формализации расчета, что позволяет создать надежный и универсальный инструмент исследования. [c.124]

Функции ф принадлежат к классу Сг, когда переменные (д, р) лежат в области D, а переменная t находится в некотором интервале I. Для каждого значения t в интервале I уравнения преобразования определяют топологическое отображение области D на область Et пространства Q Р) при этом преобразование допускает обращение, а именно [c.489]

Движение этой точки происходит в области Хт > О (поскольку в точке Р Хт > 0). В дальнейшем, возможно, точка перейдет из области > О в область Хт О, причем на этот раз пересечет плоскость м в точке Р множества А (см. рис. 123, иллюстрирующий случай т = 2). Преобразование точки Р в точку Р (обозначим его Р — ТР) является топологическим отображением области Р в область Р множества А. [c.619]

Рассмотрим кольцевую область, ограниченную окружностями г = а ж г = Ь, где О С а < Ь. Определим топологическое отображение замкнутой области а г Ь на себя с помощью уравнений [c.620]

Возьмем точку Р в области А. Через эту точку проходит только одна кривая С. Будем двигаться вдоль этой кривой до нового пересечения с поверхностью А в точке Р эту точку назовем последующей точкой по отношению к р. Преобразование Т, переводящее точку Р в точку Р , представляет топологическое отображение области А на себя. [c.621]

Из этих орбит по крайней мере одна устойчива по первому -приближению пусть это будет орбита, соответствующая неподвижной точке Д. Совершим еще одно топологическое отображение круга на себя такое, чтобы точка Pq перешла в центр круга, а точки окружности подверглись бы такому же преобразованию, что и прежде. В результате получим преобразование Т, которое оставляет центр круга неизменным, а границу его отображает на себя, причем все точки границы передвигаются против хода часовой стрелки на один и тот же угол. [c.624]

Теорема 8. Пусть М — точка области G, не являющаяся состоянием равновесия системы (I). Существует такая замкнутая область W, ограниченная простой замкнутей кривой и содержащая точку М внутри себя, и такое топологическое отображение (см. дополнение, 1, п. 12) этой области на прямоугольник R евклидовой плоскости со сторонами, параллельными осям координат, при котором отрезки траектории, лежащие в W, переходят в отрезки прямых, параллельных одной из осей координат. [c.76]

В связи с теоремой 8 напомним, что мы же останавливались на вопросе о характере разбиения на траектории в окрестности точки, отличной от состояния равновесия (см. 1, п. 14). Ссылаясь на наглядность, мы говорили там, что в окрестности всякой точки, отличной от состояния равновесия, в малом траектории ведут себя аналогично семейству параллельных прямых . Приведенная теорема вносит точный смысл в эти слова. Здесь для характеристики качественного свойства разбиения на траектории мы впервые воспользовались понятием топологического отображения (см. дополнение, 1, п. 12). [c.76]

Наглядное пояснение того, что такое топологическое отображение плоскости в себя может быть дано следующим образом представим себе, что плоскость сделана из резины и будем различным образом деформировать ее, растягивать и сжимать в разных местах, но при этом нигде не разрывая и не де.чая складок. [c.124]

Т есть топологическое отображение-, [c.125]

Приведем все же построение топологического отображения в случае, когда для системы в плоскости х, у) [c.152]

Замечание. Если топологическое отображение Т сохраняет ориентацию и направление по 1, то ю-орбитно-неустойчивая траектория отображается в ю-орбитно-неустойчивую и а-орбитно-неустойчивая — в а-орбитно-неустойчивую. [c.260]

Лемма 8. Существует топологическое отображение элементарных четырехугольников Г ц Г друг на друга, переводящее траектории е траектории и сохраняющее заданное топологическое соответствие между точками дуг без контакта 1 и I или 12, Ц и дуг траекторий 8 или или 82 и Л .. Доказательство. Пусть [c.340]

Принимая во внимание замечание к лемме 2, дуги Я1 и Я всегда могут быть взяты так, чтобы сектор целиком лежал в О), а — в О ). Установим топологическое отображение четырехугольника Г1 на четырехугольник Г, при котором траектории переводятся в траектории и сохраняется заданное топологическое соответствие между точками дуг Я и Я и точками дуг полутраекторий и 1/ +, и входящих в границы [c.342]

Так же, как и в случае четырехугольников Г1 и Г, установим топологическое отображение четырехугольника Гг на Г , переводящее траектории в траектории и сохраняющее между точками дуг Я) и Я и полутраекторий и входящих в границы этих четырехугольников, уже [c.342]

Лемма 10. Существует топологическое отображение замкнутых областей на при котором между точками циклов без контакта С и С сохраняется заданное соответствие. [c.343]

Лемма 11. Существует топологическое отображение правильных замкнутых гиперболических областей дс и дс друг на друга, переводящее траектории в траектории, при котором сохраняется заданное соответствие между точками дуг 1 и I, 8, 5 и точками полутраекторий Ь и 2 и / , [c.343]

Лемма 12. Существует топологическое отображение замкнутых эллиптических областей ga на g, переводящее траектории в траектории, при котором сохраняется заданное соответствие между точками Ь и Ь. [c.345]

Устанавливаем топологическое отображение между и w , переводящее траектории в траектории, при котором между точками траекторий Z/J II LI сохраняется уже установленное соответствие. Поступая, далее, полностью аналогично и ставя, кроме того, точки О и О в соответствие друг другу, нетрудно убедиться в существовании топологического отображения, удовлетворяющего условиям леммы. [c.346]

Будем последовательно в порядке нумерации строить топологическое отображение друг на друга соответствующих друг другу областей /г,- и 7г,, при котором траектории отображаются в траектории, сохраняется направление по I и, кроме того, выполняются следующие условия. [c.355]

Таким образом, мы получаем топологическое отображение канонических окрестностей Н и Н, обладающее указанными в лемме свойствами (взаимная однозначность и непрерывность этого отображения на границе смежных областей / г и /г и соответственно Л н обеспечивается условием 2). Теорема доказана. [c.355]

Замечание 1. Из доказанной теоремы, в частности, следует, что существует топологическое отображение друг па друга любых двух канонических окрестностей данного состояния равновесия, при котором траектории отображаются в траектории и сохраняется ориентация и направ-ление по I. [c.355]

Замечание 2. Пусть заранее задано топологическое отображение канонических кривых Е и Е друг на друга, при котором соответствующие друг другу по схеме дуги этих кривых, а также соответствующие [c.355]

Прежде всего совершим топологическое отображение области р на область Р, представляющую собой внутренность круга, границей которого является окружность а — образ кривой а. Рассмотрим движение изображающей точки в преобразованной области Р (см. 21.2). Пусть М — точка области Р обозначим через М ее образ, полученный в результате инверсии относительно окружности а. В плоскости, перпендикулярной к плоскости Р, построим окружность Г на отрезке ММ как на диаметре. Всякому направлению траектории, проходящей через точку М (т. е. всякому элементу в точке М), поставим в соответствие определенную точку окружности Г. При этом, например, значение г = О будет соответствовать точке М, значение ij = л — точке М, а значения О ijj < я отвечают точкам окружности Г, для которых Z > 0. (Уравнением плоскости Р будет z = 0 через г)) обозначен угол наклона траектории в преобразованном движении к оси Ох.) Если точка М р, то ей соответствует бесконечно много точек если же М а, то одна точка. Каждому элементу соответствует одна точка пространства, и, обратно, каждой точке пространства соответствует один-един-ственный элемент. [c.621]

Рассмотрим теперь топологическое отображение области А на внутренность круга и, применяя полярные координаты, отобразим кривую С на окружность г = Ь, вдоль которой 0 = х. Преобразование Т переводит окружность г = Ь в себя, и при этом каждая точка окружности перемещается на угол 2я/(и + т). Такое преобразование имеет нечетное число непо-двиншых точек, каждой из которых соответствует периодическая орбита. [c.623]

Топологическое отображение рассматривается в дополнении. Одпако здесь мы дадим некоторые пояспспия. [c.124]

Топологическим отображением плоскости в себя (или некоторого множества плоскости в другое или в то же множество плоскости) называется взаимно однозиач-ное и взаимно непрерывное отображение, т. е. отображение, нрн котором каждой точке М соответствует одна и только одна точка М той же плоскости (или множества), всяким двум различным точкам М и М соответствуют две различные точки М х и М и, кроме того, всяким двум сколь угодно близким точкам и М2 соответствуют сколь угодно близкие точки М и М2. Отображение, обратное топологическому, очевидно, также является топологическим. [c.124]

Всякому топологическому отображению плоскости в себя либо непосредственно соответствует некоторая такая деформация плоскости (без складок и разрывов), либо соответствует предварительное зеркальное отображенпе плоскости с последующей деформацией, обладающей указанными свойствами (в первом случае топологическое отображение сохраняет ориентацию , во втором — изменяет ориентацию ) (см. дополнение, 2). Очевидно, вид кривых и областей и вообще множеств на илоскости при тоиологпческом отображении может сильно измениться, одпако некоторые свойства остаются неизменными. Так, замкнутая кривая, например, окружность, после любого топологического отображения останется замкнутой, хотя вид ее может сильно отличаться от вида исходной кривой. Отрезок прямой после топологического отображения, вообще говоря, делается некоторой дугой ( простои дугой ), но эта дуга заведомо пе имеет самопересечений и т. д. [c.124]

Подчеркнем, что в случае конечного числа состояний равновесия положительному направлению на траекториях системы (А,) соответствует либо па всех траекториях системы (Аг) нолон Ительиое, либо на всех — отрицательное направление. Так как, кроме того, топологическое отображение может сохранять или не сохранять ориентацию, то, очевидно, отождествляющее отображение, сохраняющее (соответственно изменяющее) [c.127]

Пусть II — стереографическая проекция плоскости а на сферу 2 из центра N. Очеввдно, П является топологическим отображением плоскости а на сферу Б, проколотую в точке N. Прп этом отображенин траектории системы (I) переходят в линии на сфере 2, которые м л будем называть траекториями на сфере, хотя мы не рассматриваем их как трае -- [c.238]

Лемма 9. Существует топологическое отображение замкнутого параболического сектора gjf на замкнутый параболический сектор g%, при котором между точками дуг без контакта К и X и полутраекта- [c.341]

Пусть (М ) — точка пересечения (очевпдно, единственная) траектории 1 ( ) и дуги I (I ). Всегда можно установить топологическое отображение между замкнутыми областями и и), при котором траектории переводятся в траектории и сохраняется заданное соответствие между точками траекторий Ь и Ь. Де йствительно, дуга без контакта МЛ/, (М М ), очеввдно, делит область ш (ш ) на две правильные замкнутые параболические области и при этом входит в границу обеих этих параболических областей. На основании леммы 10 нетрудно убедиться в существовании отображения и>х на IV, обладающего указанными свойствами. [c.345]

Теорема 61. Если локальные схемы двух состояний равновесия О и О тождественны с сохранением ориентации и шправления по I, то существует топологическое отображение любых их замкнутых канонических окрестностей Н и Н друг на друга, при котором траектории переводятся в траектории и сохраняется ориентация и направление по 1. [c.355]

Смотреть страницы где упоминается термин Топологическое отображение : [c.100] [c.406] [c.452] [c.182] [c.59] [c.124] [c.125] [c.126] [c.126] [c.129] [c.130] [c.211] [c.239] [c.340] [c.341] [c.344] [c.356] [c.360]

Смотреть главы в:

Качественная теория динамических систем второго порядка -> Топологическое отображение

Качественная теория динамических систем второго порядка (0) -- [ c.76 , c.124 , c.522 ]

ПОИСК

Отображение

Отображение отображение

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...