Предельная траектория

Постоянную интегрирования и коэффициент захвата можно найти, анализируя вид траектории движения малого пузырька газа (4. 8. 36). Обозначим через значение координаты у для предельной траектории при 2—оо (0- я, Iсо) [c.176]

Так как траектория О, что выполняется неравенство [c.319]

Во-вторых, 81 — е) л 8 + е) при О образуют два предельных множества, не совпадающих между собой и состоящих из кусков различных траекторий критической системы. Следовательно, предельная траектория механической системы при — 0 0) не совпадает с траекторией критической (предельной) системы. [c.325]

Предельный цикл. Замкнутая траектория называется предельным циклом, если она изолирована от всех остальных замкнутых траекторий, точнее, предельный цикл является единственной траекторией, заключенной в трубчатой окрестности. Циклы являются предельными траекториями и могут быть трех видов. [c.171]

Траектория Ьо, все точки которой являются предельными для полутраектории и называется предельной траекторией полутраектории и . [c.105]

Очевидно, лемму 1 можно сформулировать следующим образом траектория, проходящая через точку, предельную для какой-нибудь полутраектории , является предельной траекторией для . [c.105]

Вернемся теперь к рассмотрению свойств предельных траекторий. Пусть Ь+ — полутраектория, о — ее предельная траектория, отличная от состояния равновесия, Мо — точка траектории и — дуга без контакта, проходящая через точку Мо- В силу следствия 1 из леммы 2 на дуге 0 кроме точки Мо не лежит ни одной точки траектории Ьо, а в силу следствия 2 той же леммы все точки пересечения полутраектории с дугой без контакта 1о лежат на этой дуге по одну сторону от точки Мо- [c.110]

Теорема 13. Если полутраектория Ь - не имеет среди своих предельных точек состояний равновесия, то она имеет замкнутую предельную траекторию. [c.111]

Предельные траектории динамических систем, имеющих конечное число состояний равновесия. Возможные типы траекторий. Состояние равновесия О динамической системы называется изолированным, если существует такая окрестность его и (О), которая не содержит ни одного состояния равновесия, кроме О. [c.112]

В силу следствия 3 леммы 9 она имеет тогда каждую точку Р (к = = О, 1,. . ., г) своей предельной точкой и, следовательно, каждую траекторию L/l своей предельной траекторией. Но она будет иметь своей предельной точкой также всякое состояние равновесия, входящее в состав континуума К, так как всякое такое состояние равновесия является предельным для одной из траекторий Lk- Но это означает, что все точки К являются предельными для всякой траектории, проходящей через точки Yi- Лемма доказана. [c.294]

Согласно определению, данному в п. 5 4, в этом случае предельная траектория Ьд называется предельной для полутраектории (или сопредельной для траектории Ь) с положительной стороны. [c.413]

Так как сказанное относительно положительных полутраекторий, очевидно, справедливо и для отрицательных полутраекторий (с заменой i на —1), то в дальнейшем будут рассматриваться только положительные полутраектории. Следующая теорема позволяет ввести понятие предельной траектории. [c.45]

Теорема 1 (о предельной траектории). Если М %, т] ) есть предельная точка полутраектории Ь, то и все точки траектории о, проходящей через точку М, являются предельными для Ь. [c.45]

Справедливость первых двух утверждений теоремы доказывается непосредственно, справедливость последнего утверждения следует из теоремы о предельной траектории. [c.46]

Теорема 3 (основная теорема). Если полутраектория L не замкнута и имеет хотя бы одну предельную траекторию [c.47]

Теорема 4. Если полутраектория имеет замкнутую предельную траекторию Lq, то Ьо является единственной предельной траекторией для L+. [c.48]

Теорема 5. Если ср ди предельных точек полутраектории нет состояний равновесия, то она либо замкнута, либо не замкнута, но имеет замкнутую предельную траекторию. [c.48]

Замкнутая траектория Ы, являющаяся либо со-, либо а-предельной траекторией для всех отличных от нее траекторий, про ходящих через достаточно близкие к ней точки (как внутри Ьо, так и вне Ьо), называется предельным циклом. Очевидно, предельный цикл является изолированной замкнутой траекторией, т. е. через некоторую его окрестность, кроме него, не проходит больше ни одной замкнутой траектории. С другой стороны, всякая изолированная замкнутая траектория является предельным циклом, т. е. является предельной траекторией. [c.48]

II. Вокруг каждой точки полутраектории L+, имеющей отличную от состояния равновесия предельную траекторию, всегда можно указать такую окрестность, что все проходящие через точки этой окрестности траектории орбитно-устойчивы при г ->- + оо и при i + оо имеют то же предельное множество, что и L+. [c.54]

Следствие. В грубой системе сепаратриса не может быть предельной траекторией типа III 5 гл. 2 (т. е. в грубой системе предельными траекториями могут быть только состояния равновесия (грубые) и предельные циклы (грубые)). [c.145]

Предельными траекториями в грубых системах могут быть только состояния равновесия и предельные циклы (см. следствие из теоремы 10). [c.146]

Сепаратриса седла не может иметь в качестве своей предельной траектории сепаратрису, идущую из седла в то же седло (образующую петлю, либо не охватывающую, либо охватывающую цилиндр). [c.213]

Однако установление всех возможных типов траекторий, аналогичное теории Пуанкаре — Бендиксона (гл. 2), для случая и > 2 значительно сложнее. У динамической системы на плоскости, если траектория L имеет незамкнутую предельную траекторию Lo, то Lo среди своих предельных точек может иметь только состояния равновесия. В динамических системах числа измерений ге > 2 возможна бесконечная цепочка траекторий, обладающих тем свойством, что все они отличны от состояния равновесия и каждая траектория Lj+i является предельной для Li. Пример такой динамической системы с неаналитической правой частью см. [96]. Вопрос о возможности такой же ситуации в аналитической системе остается открытым. [c.468]

Для частиц всех размеров существует траектория, которая касается стенки сопла в дозвуковой части. Эти предельные траектории разделяют ноток частиц в соиле. Частицы, траектории которых расположены выше предельной и пересекают контур сонла в дозвуковой части, выпадают на стенку сонла. Естественно, что с увеличением размера частиц и уменьшением диаметра сопла количество частиц, выпавших в дозвуковой части сопла, увеличивается. [c.307]

Отметим, что линия Г (л ), разделяющая область течения парокапельной смеси и нристеиочную область чисто газового течения (сепаратриса), в процессе счета не выделяется. При этом происходит размазывание резкой границы области двухфазного течения на две—три ячейки расчетной сетки. С целью правильной интерпретации результатов положение Г(лг) может быть определено по найденному полю скоростей капель как предельная траектория частиц, проходящих расчетную область без контакта с твердыми стенками. Характер распределения параметров капель в окрестности границы области двухфазного течения и точность вычисления положения линии Г(х) оценивались путем рещения модельных задач, а также расчетами траекторий отдельных частиц с использованием схемы Рунге—Кутта второго порядка точности. Анализ результатов методических расчетов показал, что размазывание резкой границы приводит к формированию относительно узкой области, в пределах которой концентрация капель изменяется на несколько порядков, а положение линии F(j ) при густоте сеток, используемых в расчетах, с точностью построения совпадало с траекторией, рассчитанной методом более высокого порядка. [c.134]

Рейнольдса капель Кек = й(к1с1— jI/vi, подсчитанных по относительной скорости капель, и углов скольжения pH = ar os( i 2)/( i с2 ) (изоклины скольжения) для капель диаметром 5 мкм при дозвуковой скорости М = 0,78, давлении на входе р,о=0,1 МПа и расходной степени влажности у4=0,2. Поток проходящих капель ограничен двумя предельными траекториями Г1(дг) и Г2( ). Теневая зона чисто парового течения у спинки профиля, куда капли данного диаметра могут попасть лишь в результате отражения или срыва пленки, начинается вблизи передних кромок. Из сравнения видно, что области наибольших значений относительных скоростей капель и углов скольжения не совпадают. Максимальное рассогласование по углу между векторами скоростей фаз наблюдается в окрестности передних кромок, которые выполнены с относительно большим радиусом скругления и сильно возмущают набегающий паровой поток. Вторая зона больших угловых скольжений расположена в межлопаточном канале, в области максимальных значений кривизны спинки профиля и средней линии тока паровой фазы. Отмеченный характер распределения углов Рк в потоке [c.142]

Если в запыленный газовый поток поместить препятствие в виде, например, сферической капли, то характер обтекания этого тела газом будет отличаться от траектории движения частиц пыли определенного размера. Очень тонкие пылинки двигаются практически по одной траектории с молекулами газа, т. е. по так называемым линиям тока. Более крупные частицы, обладающие соответственно и большей инерцией, не следуют линиям тока, смещаются по отношению к ним и, стремясь сохранить прежнюю траекторию движения, могут столкнуться с каплей и осесть на ее поверхности или проникнуть внутрь капли. Величина этого смещения определяется инерционным пробегом частиц. Такое осаждение частиц пыли на капле принято называть инерционным. Его эффективность характеризуется коэффициентом инерционного осаждения э, представляющим собой отношение поперечного сечения (вдали от препятствия) 5i трубки тока, образованной крайними (предельными) траекториями центра тяжести пылинок, двигаясь по которым пылинка не пересекает тело, а только касается его, к ми-делеву сечению тела 5м [c.7]

Можно показать, что если соотношение (2.4.9) справедливо в единственной точке, то оно выполняется и вдоль всего луча даже в том случае, когда показатель преломления имеет разрывы на границах отражения или преломления. Этот результат известен как теорема Малюса — Дюпина (см. книгу [11] в гл. 1). Интуитивно этот вывод можно понять, если представить себе лучи как предельные траектории при плавном переходе от среды с непрерывно изменяющимся распределением п(г) к среде с резким разрывом показателя преломления. Поскольку равенство V х (пз) = О выполняется для всех лучей в области с регулярным распределением показателя преломления, это равенство должно оставаться справедливым и при достижении границы разрыва. [c.69]

Если хоть одна предельная точка траектории L принадлежит самой этой траектории, то L называется самопределъной траекторией. Таким образом, состояние равновесия и замкнутая траектория являются само-предельными траекториями. [c.104]

Некоторые свойства предельных траектории. Излагаелп>ге здесь свойства также характерны для траекторий динамических систем в плоской области и на сфере. Прежде, чем переходить к ним, отметим еще одно свойство дуги без контакта. [c.109]

Доказательство. Пусть Ь+ — рассматриваемая полутраектория. Если она выделена из замкнутой траектории, то последняя является для полутраектории предельной замкнутой траекторией. Предположим поэтому, что — полутраектория незамкнутой траектории пусть Ьд — одна из ее предельных траекторий. Допустим, что 0 — незамкщ а и М — какая-нибудь ее предельная точка. В силу т ремы И М является состоянием равновесия. Но очевидно, точка М, как предельная для Ьд, является предельной и для полутраектории (в силу замкнутости предельного множества), н это противоречит условию теоремы. [c.111]

Напомним некоторые свойства предельных траекторий, установленные в п. 5 4. Пусть 0 — отличная от состояния равновесия траектория, предельная для полутраектории Ь, входящая, следовательно, в состав некоторого континуума Кш- Пусть Мо — точка этой траектории и 1(, — проведенная через точку Мо и содержащая ее внутрп дуга без контакта. В силу следствия 1 из леммы 2 3 п. 4 на дуге кроме точки Мд не может лежать больше уже ни одной точки траектории В силу следствия 2 из той же леммы точки пересечения полутраектории с дугой 1 расположены либо все на части этой дуги, лежащей по положительную сторону Ьд, либо все на части этой дуги, лежащей по отрщательную сторолу Ьд. [c.412]

Предельная точка полутраектории и траектории. Предельная траектория ). Будем рассматривать только такие полутраек- [c.43]

Траектория Ьо называется предельной траекторией для полутраектории или просто предельной траекторией. Когда предельная точка траектории Ь является точкой самой этой траектории, то Ь называется самопредельной траекторией. В силу предыдущего состояние равновесия и замкнутая траектория являются самопредельными. В формулировке следующей теоремы используются теоретико-множественные понятия замкнутости и связности множества. [c.45]

III. Пусть незамкнутая полутра-ектория имеет предельную траекторию 0, отличную от состояния равновесия. Если через какую-нибудь точку Мо траектории Lo проведена дуга без контакта, то на этой дуге без контакта будет лежать бесконечная последовательность точек полутраектории L , расположенных стремящаяся к точке Мо (рис. 23). [c.47]

При осмысливании этого парадокса возникают два вопроса первый и главный — почему нет перемешивания второй — почему система не приходит к какому-либо равновесному состоянию (например, последовательности солитонов), а периодически колеблется Прежде чем ответить на эти вопросы, напомним, что рассматриваемые системы консервативны, т. е. в фазовом пространстве соответствующих им конечномерных моделей (из N взаимодействующих гармоник) не может быть ни асимптотических устойчивых состояний равновесия, ни каких-либо других аттракторов (предельных траекторий или множеств траекторий, возможных в системах, где есть сжатие фазового объема). Однако в фазовом пространстве таких систем, как мы увидим в гл. 22 и 23, даже при небольшом числе N возможно существование хотя и не притягивающих, но занимающих достаточно большую область в фазовом пространстве множеств, устроенных очень сложно, движение внутри которых и отвечает нашим интуитивным представлениям о перемешивании. Обсуждаемые нами сейчас системы принадлежат к классу вполне интегрируемых систем, в которых существование подобных сложных (перемешивающих) областей в фазовом пространстве невозмож- [c.421]

Вниз ПО потоку от точкп касания предельная траектория является линией тангенциального разрыва, так как плотность частиц выше этой линии равна нулю и между контуром сопла и предельной траекторией движется чистый газ, свободный от частиц. Для частиц диаметра с1 > 10 мкм и сопел с с1 С 50 мм зона чистого газа занимает значительную часть сечепия. Так, в сопле с д. = 2Ъ мм примерно 70 % площадп выходного сечепия занято чистым газом, [c.308]

При увеличении диаметра минимального сеченпя сопла зона чистого газа на выходе из сопла уменьшается, и при некотором значении = 1 предельная траектория попадает на стенку сопла в выходном сеченип. При дальнейшем увеличении стенку сопла в сверхзвуковой части будут пересекать также и часть траекторий частиц, располон епных ниже предельной. Частицы, движущиеся вдоль этих траекторий, будут выпадать на сверхзвуковую часть контура сонла. При этом массовая доля частиц первоначаль- [c.308]

Наибольшее отличие в значениях параметров газа, полученных приближенным методом и ири решении полных уравнений, имеет место в зоне чистого газа в сверхзвуковой области течения. Скорость газа в это1"1 зоне выше скорости газа в ядре потока, а температура ниже (рис. 7.7). На предельной траектории, являющейся линией тангенциального разрыва, терпят разрыв параметры частиц, [c.310]

Смотреть страницы где упоминается термин Предельная траектория : [c.213] [c.327] [c.130] [c.236] [c.491] [c.111] [c.415] [c.433] [c.455] [c.308] [c.309] [c.310]

Качественная теория динамических систем второго порядка (0) -- [ c.105 ]

ПОИСК

Траектория

Траектория е-траектория

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...