Особые элементы

Соответствующие этим типам особых элементов структуры разбиения фазовой плоскости на траектории показаны [c.50]

Исключение переменной у из этих соотношений приводит к уравнению так называемой дискриминантной кривой(само уравнение называется р-дискриминантом в связи с часто употребляемым обозначением у = р). В окрестности любой точки этой кривой поле касательных, определяемое диференциальным уравнением / х, у, = О, неоднозначно. Решение диференциального уравнения, построенное из непрерывной последовательности особых элементов, называется особым решением. Сот ответствующая интегральная кривая совпадает, таким образом, с дискриминантной кривой или является одной из её ветвей. Условие Липшица не выполняется, вообще говоря, в точках этой кривой, и в окрестности любой её точки существуют, в общем случае по крайней мере две интегральные кривые, проходящие через эту точку. Необходимым условием для того, чтобы дискриминантная кривая представляла особое решение, является совпадение направления касательной к кривой в каждой её точке, с направлением особого линейного элемента, соответствующего этой Точке и определяемого значением перемен- [c.227]

Практически, однако, значительно удобнее отдельные процессы цикла осуществлять в особых элементах паросиловой установки, через которые в определенной последовательности будет проходить рабочее тело (вода или пар). [c.164]

Особым элементом характеристики алмазных кругов, определяющим их режущую способность и срок службы, является концентрация или удельное содержание алмаза в алмазоносном слое. Концентрация может быть 100, 50 и 25%. За стопроцентную концентрацию принимается содержание алмаза, равное 4,39 карата (карат равен 0,2 г) в 1 см слоя. При стопроцентной концентрации [c.33]

Работу пара или сжатого воздуха в цилиндре изображают индикаторными диаграммами, на которых по горизонтали откладывают перемещения поршня, а по вертикали — давления в цилиндре. На индикаторных диаграммах изображают величины участков хода рабочего поршня, соответствующие периодам впуска пара (воздуха) в цилиндр, выпуска, расширения или сжатия. Периоды впуска или выпуска контролируют особыми элементами в системе распределительного устройства, а именно клапанами — в случае клапанного устройства и рабочими кромками полок золотника — в случае золотникового устройства. Если клапаны или кромки полок золотника находятся в положении, обеспечивающем сообщение цилиндра с впускным или выхлопным трубопроводом, то в полости цилиндра происходит соответственно впуск или выпуск пара (воздуха). [c.22]

При базировании присоединяемых деталей по установочной и двойной опорным базам обеспечить компенсацию относительных поворотов сопрягаемых деталей не представляется возможным, а поэтому их сборка будет сопровождаться упругими и пластическими деформациями составляющих звеньев технологической системы. Для предотвращения таких нежелательных явлений следует обеспечить базирование присоединяемых деталей при сборке изделий с помощью упругих компенсаторов по двойной направляющей базе либо предусмотреть на заходных поверхностях соединяемых деталей особые элементы, обеспечивающие их базирование непосредственно на базовой детали. [c.285]

Доказательство конечности числа ячеек (в случае конечного числа особых элементов). [c.288]

Доказательство. Так как особых элементов — конечное число, то существует Ео > О такое, что в 17 К) кроме особых траекторий, входящих в состав континуума К, не лежит уже больше целиком ни одна особая траектория. [c.292]

Доказательство. Пусть Ь — рассматриваемая неособая замкнутая траектория. В силу того, что особых элементов — конечное число, все точки траектории Ь являются точками некоторой ячейки. Нетрудно видеть, что существует е > О такое, что 17 , Ь) также принадлежит этой ячейке, т. е. все траектории, проходящие через точки и Ь), являются неособыми траекториями. [c.295]

Замечание. Если через сколь угодно малую окрестность замкнутой траектории о проходят замкнутые траектории, то в рассматриваемом случае конечного числа особых элементов эта замкнутая траектория /у() заведомо является неособой, т. е. все траектории, проходящие через достаточно малую ее окрестность, замкнуты. [c.295]

Доказательство. Предположим противное, т. е. предположим, что между двумя траекториями L к L, принадлежащими одной и той же ячейке, лежат точки, не принадлежащие этой ячейке, и, следовательно хотя бы одна точка, принадлежащая особым элементам. Пусть М — эта точка, и пусть для определенности траектория L содержит траекторию L внутри, так что точка М лежит внутри L и вне L. [c.301]

Доказательство. Так как внутри и вне всякой замкнутой траектории заведомо есть точки, принадлежащие особым элементам, то ячейка, заполненная замкнутыми траекториями, не менее чем двусвязна. Покажем, что она и не более чем двусвязна. Пусть Ь и Ь]) — последовательности траекторий, обладающие теми же свойствами, что и последовательности траекторий, рассмотренные в лемме 16. Пусть Ку — континуум, являющийся топологическим пределом последовательности г , и К2—- континуум, являющийся топологическим пределом последовательности Ь . В силу предыдущей леммы континуум Ку состоит из всех граничных точек ячейки g, лежащих внутри, а континуум из всех граничных точек ячейки g, лежащих вне всех траекторий этой ячейки. В силу леммы 17 других граничных точек ячейка g иметь не может. Теорема доказана. [c.304]

Рассмотрим теперь вопрос о возможной связности ячейки, заполненной незамкнутыми траекториями. Отметим прежде всего, что в рассматриваемом нами случае конечного числа особых траекторий ячейка заведомо является конечно-связной. Действительно, каждый континуум, граничный для ячейки, состоит из особых элементов. Так как по предположению особых элементов — конечное число, то отсюда, очевидно, следует, что континуумов, граничных для ячейки, может быть лишь конечное число. [c.305]

Мы будем называть замкнутую траекторию Ь траекторией данного центра О, если внутри Ь кроме О нет ни одного особого элемента (т. е. ни одной орбитно-неустойчивой траектории и ни одной граничной кривой). [c.361]

Обозначения для особых элементов динамической системы. Напомним прежде всего обозначения, которыми мы пользовались выше. Пусть D — динамическая система, определенная в области G и рассматриваемая в замкнутой подобласти G, имеющей нормальную границу. Пусть [c.454]

Леммы о граничных особых элементах и ю- и а-дугах, являющихся частями граничных дуг без контакта. [c.469]

Рассмотрим сначала те из этих точек, которые не принадлежат особым элементам. Всякая такая точка 1) либо лежит на дуге орбитно-устойчивой траектории или полутраектории илп на неособой целой дуге траектории между двумя ее точками пересечения с дв]ут 1я сопряженными дугами 2) либо лежит на дуге орбитно-устойчивой траектории или полу- [c.478]

I. Перечислены особые элементы динамической системы V, расположенные е области Сг, именно [c.481]

При введенных в п. обозначениях для особых элементов [c.482]

III. Таблиц, задающих при введенном в п. 1 перечислении всех особых элементов, полные схемы всех состояний равновесия. [c.482]

Таким образом мы получаем, так же как и для спстемы О, все особые элементы системы В и соответствующую систему чисел т, к, р, д, п, Л, г, аналогичных числам т, к, р, д, 8, п, г системы В. [c.484]

Поскольку качественная картина траекторий на фазовой плоскости определяется особыми элементами (особыми траекториями), только те значения параметра Я оказываются бифуркционными, при котор(з1х появляются особые элементы, имеющие негрубую природу. В том случае, когда при бифуркационном значении параметра Я на фазовой плоскости появляется только один особый элемент. [c.49]

В случае динамигхеской системы иа сфере множество особых. элементов совпадает с множеством особых траекторий. [c.285]

Пусть Е С — множество всех точек, принадлежащих л. чамхахуто области С особым элементам. [c.287]

Доказательство. Предположим противное, т. е. предположим, что в области G zG с нормальной границей существует счетное множество ячеек Hi . Возьмем в каждой из них по точке Ау, Л г,. .. и соединим эти точки простыми дугами, целиком лежащими в области G и не содержащими состояний равновесия. Пусть — граничная точка ячейки H , лежащая на дуге AtAi+y. Все точки В, принадлежат особым элементам. Если среди точек Bi только конечное число различных точек, то тогда хотя бы одна из этих точек должна быть граничной для бесконечного множества ячеек. Это невозмои но в силу лемм 5, 6 и 7. Следовательно, среди точек B существует бесконечное множество различных точек. Л так как точки B принадлеи<ат особым элементам и особых элементов — конечное число, то бесчисленное множество точек лежит на одном и том же особом элементе. Этот особый элемент должен, следовательно, быть граничным для бесчисленного множества ячеек, что противоречит леммам 5, 6 и 7. Таким образом теорема доказана. [c.290]

Доказательство. Если состояние равновесия О орбитпо-устойчиво, то, очевидно, к нему не может стремиться пи одна траектория. Следовательно, в любой сколь угодно малой окрестности его лежат замкнутые траектории, содержащие это состояние равновесия О внутри. Так как особых элементов — конечное число, то всегда существует окрестность точки О, в которой не лежит ни одной особой траекторни. А тогда (см. замечание к лемме 12) все лежащие в этой окрестности траектории являются неособыми замкнутыми траекториями, что и доказывает лемму. [c.296]

Мы приведем ряд предложений, касающихся областей, заполненных петлями (т. е. траекториями, стремящимися к состоянию равповесия О и при i + оо и при t — оо). Отметим, что при сделанном нами предположении относительно конечности числа особых элементов может существовать лшпь конечное число ячеек, заполненных петлями (см. теорему. S6 16). [c.327]

Определение ХХХП. Мы будем говорить, что схемы границ области С и С одинаковы, если существует взаи ино однозначное соответствие 0 между всеми особыми элементами, входягцими в множества [c.452]

В настоящей главе вводится понятие полной схемы динамической системы, имеющей конечное число особых траекторий. В полную схему динамической системы как составные части входят полные схемы состояний равновесия и предельных континуумов. Полная схема дает исчерпывающее описание взаимного расположения особых элементов и полностью определяет топологическую структуру разбиения на траектории. Осиов-ной теоремой настоящей главы является следующая теорема если схема двух динамических систем В п В, рассматриваемая соответственно в замкнутых областях (т и О , тождественна с сохрансиием ориентации. и направления по 1, то топологические структуры разбиения областей С и С соответственно на траектории систем В п В тождествецны. Доказательство этой теоремы заключается в фактическом построении отождествляющего отображения, т. е. топологического отображения области С в С , при котором траектории систем В и В отображаются друг в друга. [c.453]

Пусть рассматриваемый несвободный цикл без контакта пмеет более одной общей точки с особыми полутраехчториями или гке в случае, когда он граничный, с особыми полутраекториями и угловыми дугами. Всеми такими общими с особыми элементами точками этот цикл без контакта разделяется на конечное число простых дуг без контакта, каждая из которых кроме концов не имеет больше ни одной общей точки с особыми полутраекториями или угловыми дугами. Мы будем называть всякую такую дугу без контакта элементарной дугой. [c.459]

Замечание 2. Траектория, проходящая через конец злемен-тарной со (а)-дуги, не может пересечь свободный а (о))-цикл или а (со)-дугу в точке, отличной от ее концов. Это, очевидно, следует из того, что конец элементарной дуги либо принадлежит особому элементу, либо принадлежит эллиптической дуге канонической кривой состояния равновесия. [c.461]

Цепочки ИЗ особых элементов, траекторий и граничных дуг, соединяющих концы сопряженных ю- и а-дуг. Перейдем теперь к рассмотрению пар сопряженных а- и со-дуг и особых элементов, проходящих через их концы. Очевидно, из самого определения а- и со-дуг конец а (илн со)-дуги может принадлежать 1) либо орбитно-неустойчивой траектории, целиком лежащей в области С, либо орбитно-неустойчивой полутраектории, конец которой лежит на границе области С в последнем случае дуга а может быть граничной элементарной дугой 2) либо граш1чни1г или угловой дуге траектории в этом случае дуга а является граничной дугой без контакта 3) либо угловой полутраектории в этом случае дуга а может быть как граничной, так и не граничной дуго11 без контакта 4) либо неособой полутраектории, принадлежащей эллиптической области какого-нибудь состояния равновесия О (в этом случае конец дуги а совпадает с концом эллиптической дуги). [c.472]

Рассмотрим сначала простую а-дугу а, и пусть Ь — сопряженная с ней (0-дуга. Все следующие леммы, сформулированные для случая, когда рассматриваемая простая а-дуга а лежит по положительную сторону от того особого элемента ) (особой траектории, полутраектории, угловой полутраектории, граничной или угловой дуги траекторни), которому принадлежат один из ее концов. Полностью аналогичные утверждения справедливы также и в случае, когда простая -дуга лежпт по отрицательную сторону от особого элемента, которому принадлежит ее конец, а также для простой со-дуги. [c.472]

Принимая во внтшание лемму 7, а также предыдущую лемму, нетрудно видеть, что всякая точка области G, не являющаяся точкой особого элемента и пе лежащая в какой-либо канонической окрестности или на ее границе, принадлежит либо области Па(,, либо области либо [c.480]

Рассмотрим теперь точку области G, принадлежащую особому элементу (отличному от граничных особых элементов), т. е. точку орбпт-но-пеустойчивой полутраектории, угловой полутраекторип или угловой дуги. [c.480]

Лемма 19. Всякая точка особого элемента области G, не лежащая ни в одной из канонических окрестностей состояний равновесия или на границе этих окрестностей и не являющ.аяся точкой какоги-пибудь I0-, (X- или 0-пределыюго континуума, является граничной точкой какой-либо из областей 1Г (,- [c.480]

Доказательство. Пусть Р — точка рассматриваемого особого элемента, не лежащая ни в какой из канонических окрестностей или на ее грашще (т. е. не лежащая и на канонической кривой). Если у этого особого элемента (т. е. у орбитно-неустойчивой траектории, иолу-траектории, угловой полутраектории или угловой дуги) существует точка, являющаяся концом а- или ш-дуги (в частности, граничной), то в С1глу непрерывной зависимости решения от начальных условии нетрудно убедиться в справедливости утверждения леммы. В частност1г, утверждение леммы всегда справедливо в случае, когда точка Р лс/югт на угловой дуге, угловой полутраекторпи или орбитно-неустойчивой полутраектории, конец которой принадлежит границе области G. (Во всех этих случаях на особом элементе есть точка, принадлежащая границе области G, являющаяся концом граничной элементарной дуги.) [c.480]

Табл1щы, содержащей перечисления всех особых элементов О), Ц, W), ( О), I), (X), (f), (Т). [c.482]

Для особых элементов системы О сохран М обозначения, введен-ные выше- Для особых элементов системы О введем соответственно [c.483]

Определение XXXIV. Мы будем говорить, что схемы динамических систем В и В тождественны с сохранением ориентации и направления по I, если существует взаимно однозначное соответствие 6 между всеми особыми элементами динамической системы В и всеми особыми элементами динамической системы В, при котором состояниям равновесия О соответствуют состояния равновесия О, траекториям Ь — траектории Ь, положительным отрицательным) полутраекториям 1 ) — положительные отрицательные) полутраектории (Ь ) и т. д., и которое удовлетворяет следующему условию схема динамической системы В получается из схемы динамической системы В заменой каждого особого элемента системы В соответствующим ему в силу соответствия 0 особым элементом системы В. [c.484]

Если схемы динамических систем В ш В одинаковы, то т = т, к = к, р = р, д = д, 8 = 8, п = п, Л = Л, г = г и т. д. Очевидно также, что если заданы схемы двух динамических систем, то конечным числом испытаний можно узнать, одинаковые эти схемы или нет. Соответствие 6, удовлетворяющее условиям определения, мы будем называть соответствием по схеме, а соответств тощие друг другу в силу О элементы — элементами, соответствующими по схеме. Заметим, что между элементами двух систем с одинаковыми схемами может существовать несколько соответствий по схеме (причем по крайней мере одно обязательно существует). Поэтому когда мы будем говорить об особых элементах динамических систем (с одинаковыми схемами), соответствутощих друг другу ио схеме, то мы будем при зтом всегда предполагать, что задано некоторое определенное соответствие по схеме и рассматриваются особые элементы, соответствующие друг другу в силу 0. Всякий особый элемент системы В будем обозначать тем же символом, что п соответствующий ему по схеме особый элемент системы ), но со штрихом. Мы будем также пользоваться не требующими пояснений обозначениями [c.484]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...