Цикл однократного пересечения

Совершенно аналогичные высказывания можно сделать в случае, когда F (х, у) = О является простой замкнутой кривой С . Предположим, в частности, что кривая не является циклом без контакта, но является циклом однократного пересечения. Тогда в некоторых точках ее [c.99]

Всякий цикл без контакта, очевидно, является циклом однократного пересечения (но, конечно, не наоборот). В силу теоремы 29 главы V индекс цикла без контакта равен + 1. [c.230]

Рассмотрение циклов без контакта или циклов однократного пересечения, а также индексов состояния равновесия позволяет в ряде случаев сделать определенное заключение относительно существования замкнутых траекторий или предельных циклов. Приведем сначала несколько простых признаков отсутствия замкнутых траекторий — признаков, вытекающих из свойств индексов Пуанкаре. Сформулируем их в виде теоремы. [c.230]

Доказательство. Так как все траектории, пересекающие цикл однократного пересечения С, по условию входят в область С, а О — неустойчивый узел или фокус, то в С обязательно должен существовать по крайней мере один предельный цикл (см. теорему 13 4). [c.230]

F уменьшается, и все траектории прп возрастании t входят в область, лежащую внутри рассматриваемого цикла, однократного пересечения. Если, напротив, Ф (ж, у) О на кривой топографической системы, то все траектории при возрастании выходят из области, лежащей внутри этой кривой. Отсюда следует, что если в некоторой кольцеобразной области G, составленной из кривых топографической системы, функция Ф (х, у) знакопостоянна, то в такой области замкнутых траекторий и, в частности, предельных циклов — быть не может. [c.232]

Напомним, что гладким циклом однократного пересечения называется простая гладкая замкнутая кривая С, обладающая следующими свойствами (см. 2 гл. 2) [c.106]

Теорема 1. Пусть С — цикл однократного пересечения, а О — ограниченная им область, принадлежащая области определения системы (А). Если выполняются следующие условия [c.106]

Теорема 2. Пусть С — двусвязная область, ограниченная двумя циклами без контакта циклами однократного пересечения) С и С2, не содержащая состояний равновесия и имеющая конечное число замкнутых траекторий. Если все траектории, пересекающие С и Сг, при возрастании i входят в С выходят из С), то число устойчивых предельных циклов, расположенных в О, на единицу больше меньше) числа неустойчивых предельных циклов. [c.107]

Замкнутой ломаной Ау, В , А ,. .., Лт+i = А- соответствует цикл т-кратных неподвижных точек. При т = 1 замкнутая ломаная Ai, Bi, А = А превращается в точку пересечения графика с биссектрисой и соответствует однократной неподвижной точке. На рис. 7.30 изображена замкнутая ломаная с m = 2. Она соответствует двум двукратным неподвижным точкам xf и х таким, что / (х 1) = [c.283]

Цикл однократного пересечения. В некоторых случаях роль цикла без контакта может играть обобщенный цикл без контакта или цикл однократного пересечения . Мы скажем, что простая замкнутая кривая С (эта кривая может и не быть гладкой) есть цикл однократного пересечения для траекторий системы (I), если а) на кривой С не лежит ни одного состояния равновесия б) у всякой траектории, при = о проходящей через какую-нибудь точку кривой С, точки, соответствующие достаточно близким к 0 значениям > о (< < о), лежат внутри С, а точки, соответствующие достаточно близким к i значениям I <С 1о ( > <о)> вне цикла С. В частности, например, гладкая простая замкнутая кривая, не являющаяся циклом без контакта, является циклом однократного пересечения в том случае, когда в некоторых своих точках ) она имеет точки соприко- [c.97]

Дифференцирование функции в ( илу системы (I). К условиям (4 ), (30 ), (31 ), которыми определяются дуга без контакта, цикл без контакта, а также к ус.човиям, определяющим семейство циклов без контакта и семейство гладких циклов однократного пересечения, можно подойти с несколько другой по форме стороны, если ввести понятие дифференцирование в силу системы (I) . Пусть [c.98]

Приведем теперь несколько признаков, основанных на рассмотренпп циклов однократного пересечения. Заметим, что построение циклов однократного пересечения (в частности, циклов без контакта) с целью изучения предельных циклов является одним из часто применяемых приемов исследования. [c.230]

Теорема 34. Пусть С — цикл однократного пересечени.я, а С — ограниченная им область, принадлежащая области определения системы (I). Если выполняются следующие условия 1) все траектории, пересекающие С, при возрастании I входят в С, 2) в области Ст имеется единственное состояние равновесия О, являющееся неустойчивым узлом и.ш фокусом 3) в области С имеется лишь конечное число замкнутых траекторий системы, тогда число расположенных в С устойчивых предельных циклов системы на единицу больше числа неустойчивых. Следовате.аьно, существует по крайней мере один устойчивый предельный цикл.) [c.230]

Очевидно, траектория L касается кривой топографической системы в их общей точке М х, у) в том и только в том случае, когда Ф х, у) = 0. Поэтому каждая кривая топографической системы, па которой функция Ф х, у) знакоопределепна ), является циклом однократного пересечения. Если при этом во всех точках такой кривой [c.232]

В некоторых случаях роль цикла без контакта может играть обобщенный цикл без контакта или цикл однократного пересечения . Мы скажем, что простая замкнутая кривая С (эта кривая может и не быть гладкой) есть цикл однократного пересечения ддя траектории системы (А), если а) на кривой С не лежит ни одно состояние равновесия б) у всякой траектории, при i = I0 проходящей через какую-нибудь точку кривой С, точки, соответстующпе достаточно близким к to значениям t> to(t < to), лежат внутри С, а точки, соответствующие достаточно близким к t значениям i < io(i > io),—вне цикла С. [c.43]

В частности, например, гладкая простая замкнутая кривая, не являющаяся циклом без контакта, является циклом однократного пересечения в том случае, когда в некоторых своих точках ) она имеет точки сокрикосновения четно-г о порядка с траекториями, и во всех других точках не имеет контакта. Очевидно, если цикл однократного пересечения является гладким и [c.43]

Приведем простейише признаки существования предельных циклов, основанные на рассмотрении циклов однократного пересечения. [c.106]

Теорема 2. 4. Пусть С - цикл однократного пересечения, а С ограниченная им область принадлежащая области ощ>еделения системы (2.1) Пусть выполняются следующие условия 1) все траектории, пересекающ [c.74]

Теорема 2. 5. Пусть О - двухсвязная кольцгобразна С) облает ограниченная двумя циклами однократного пересечения С, и С , не содерж щая состояний равновесия и имеющая конечное число замкнутых траект рий. Если все траектории, пересекающие и С , при возрастании 1 вход в (7 выходят из С), то число устойчивых предельных циклов внутри (7 единшо/ больше меньше) числа неустойчивых предельных циклов. Следов [c.74]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...