Метод Якоби интегрирования уравнений движения

Метод Якоби интегрирования уравнений движения [c.358]

В заключение параграфа отметим, что все рассматривавшиеся ранее возможности интегрирования уравнений движения, основанные на использовании циклических координат, охватываются методом разделения переменных. К ним добавляются еще случаи, когда разделение переменных возможно, хотя координаты и не оказываются циклическими. Тем самым метод Гамильтона-Якоби представляет собой наиболее эффективный метод аналитического интегрирования уравнений движения. [c.656]

Таким образом, теорема Якоби доказана. Интегрирование уравнений движения сведено, следовательно, к нахождению полного интеграла уравнения (4). Наоборот, если бы мы пожелали классическими методами проинтегрировать уравнение Якоби, то нам пришлось бы сначала проинтегрировать канонические уравнения. Можно, сказать, что две задачи анализа интегрирование канонических уравнений и нахождение полного интеграла уравнения (4) — эквивалентны в том смысле, что решение одной задачи влечет за собой и решение другой. [c.476]

Это действительно так, если считать, что основная задача механики состоит лишь в интегрировании уравнений движения. Но такая ограниченная точка зрения была бы несправедливостью по отношению к далеко идущим исследованиям Гамильтона. Пользоваться непосредственно главной функцией Гамильтона действительно нельзя, и приходится прибегать к методу Якоби, но тем не менее главная функция Гамильтона остается важной и интересной функцией и служит гораздо более глубоким целям, чем простое интегрирование канонических уравнений. Поэтому сравнение tt -функции Гамильтона с S-функцией Якоби заслуживает того, чтобы на нем остановиться. Постигнув все тонкости теории Гамильтона, мы придем к заключению, что в теории Гамильтона два уравнения в частных производных столь же необходимы и естественны, как одно уравнение в теории Якоби. [c.292]

Уравнение Гамильтона-Якоби. Теория канонических преобразований приводит нас к методу Якоби интегрирования канонической системы уравнений движения [c.358]

Однако с теоретической точки зрения метод Гамильтона— Якоби представляет большой интерес, ибо является источником разнообразных приближенных методов интегрирования уравнений движения в задачах небесной механики и позволяет придать этим методам наиболее простую и удобную форму. [c.312]

Наряду с методами Лагранжа и Гамильтона уравнение (37.1) составляет основу еще одного метода интегрирования уравнений движения. Чтобы описать этот метод, введем понятие о полном интеграле уравнения Гамильтона — Якоби. [c.207]

Найти канонические уравнения движения материальной точки и уравнение ее движения, применив метод интегрирования Остроградского — Якоби. [c.385]

М. В. Остроградский распространил методы аналитической механики на теорию соударений твердых тел, применив развитую мм теорию движения систем с нестационарными связями. М. В. Остроградскому принадлежит открытие, независимо от К. Якоби, особого метода интегрирования уравнений динамики. Наконец, еще раз напомним, что М. В. Остроградский независимо [c.37]

Гамильтон показал, что если известен общий интеграл уравнений движения, представленных в канонической форме, то из него можно вывести полный интеграл этого уравнения с частными производными. Якоби дополнил эту теорему, доказав, что, обратно, если известен какой-нибудь полный интеграл этого уравнения с частными производными, то из него можно получить общий интеграл уравнений, движения. Как мы только что говорили, это уравнение с частными производными, которое мы будем называть уравнением Як оби. подобрано таким образом, что уравнения движения (6) являются для него дифференциальными уравнениями характеристик согласно известному методу интегрирования уравнений с частными производными первого порядка. Мы не будем, однако, пользоваться этим методом. [c.473]

Но отыскание полного интеграла методом Якоби требует со своей стороны выполнения к последовательных интегрирований, вводящих каждый раз произвольную постоянную, и, кроме того, еще одной квадратуры. После этого 2к интегралов движения получаются уже без новых интегрирований. Можно сказать поэтому, что благодаря такому использованию полного интеграла трудность интегрирования уравнений механики уменьшается наполовину. [c.235]

Замечания по теореме Гамильтона — Якоби. Эта изящная теорема, доказанная в 16.2 и 16.4, имеет фундаментальное значение как для теории, так и для приложений. До сих пор, исследуя динамическую систему какого-либо частного вида, мы составляли уравнения движения, после чего задача сводилась к интегрированию этих уравнений. Совершенно иначе обстоит дело в методе Гамильтона — Якоби. Как только найден один полный интеграл уравнения Гамильтона в частных производных, сразу могут быть написаны интегралы уравнений движения. Вопрос заключается лишь в том, насколько просто может быть найден полный интеграл. Однако, как будет показано, для большей части задач классической механики нахождение полного интеграла не вызывает каких-либо затруднений. [c.290]

Рис. 41. Объединение однотипных иллюстраций к различным разделам курса 1) колебательное движение одномерной консервативной системы в потенциальной яме 2) этапы построения траекторий и решения уравнений движения в центральном поле сил 3) зависимость одной из постоянных интегрирования от определяющей координаты при применении метода Гамильтона—Якоби. Аналогичные многозначные зависимости можно указать и в других случаях Объяснение. Решение многих задач механики упирается в интегрирование дифференциального уравнения вида

Принципы не всегда вносят новое физическое содержание в механику или упрощают практическое решение механических задач. Тем не менее они в ряде случаев более удобны для общего анализа движения механических систем. Так, интегральные принципы Гамильтона и Якоби позволили построить такой метод интегрирования уравнений динамики, благодаря которому было решено много задач, представлявшихся до того неразрешимыми. [c.501]

Таким образом, метод Гамильтона — Якоби позволяет не только провести полное интегрирование уравнений невозмущен-иого движения, но и получить независимым путем все общие формулы, выведенные ранее другими способами. [c.469]

Если построена обобщенная функция Гамильтона и уравнения движения непотенциальной системы приведены к гамильтоновой форме, то для таких систем справедливы все основные теоремы и методы гамильтоновой механики потенциальных систем, в частности теорема Остроградского — Гамильтона — Якоби об интегрировании канонической системы уравнений. На доказательстве этих утверждений не останавливаемся, поскольку оно проводится так же, как указано, например, в работе [16]. [c.169]

Решение задач методом Гамильтона — Якоби опирается на разделение переменных в левой части уравнения Гамильтона —Якоби, что позволяет записать полный интеграл при помощи квадратур. Якоби, решая задачу о движении планеты вокруг Солнца (задачу Кеплера), ввел сферические координаты и применил метод разбиения уравнений в частных производных на несколько уравнений, каждое из которых содержит только одну независимую переменную и производную искомого полного интеграла по этой переменной ([38], двадцать четвертая лекция). Далее Якоби распространил метод разбиения на любое число переменных. Вслед за Якоби методы разделения переменных развивали многие авторы, с чем можно познакомиться в [19], т. II, ч. 2, [37]. Однако метод разбиения Якоби является и до настоящего времени основным для интегрирования уравнений в частных производных первого порядка. [c.331]

Пример 93. Материальная точка массой т движется под действием силы притяжения к некоторому центру О. Зная, что силовая функция поля равна U (г), где /- — расстояние от точки до центра О, найти канонические уравнения и уравнения ее движения, применив метод интегрирования Остроградского—Якоби, Решение. Выберем за обобщенные координаты материальной точки ее полярные координаты г и ф. Так как составляющие скорости точки, выраженные н полярных координатах, определяются по формулам [c.387]

Пуассон в одном из своих мемуаров изложил весьма общую теорему, на которой он основал новый метод изложения теО рии вариации произвольных постоянных. Хотя эта теу>ема сама по себе представлялась чрезвычайно интересной, Пуассон удовольствовался применением ее к специальной цели, которую он себе поставил, не отметив даже того обстоятельства, что ее можно применить и в других случаях. Спустя больше чем тридцать лет после этого, уже в момент смерти Пуассона, внимание математиков снова было привлечено к этому вопросу знаменитым Якоби, который указал на теорему Пуассона как на замечательное достижение, по его мнению, — наиболее важное во всей науке о движении. Впрочем, Якоби не подкрепил какими-либо выводами своего утверждения, относительно которого, быть может, мы найдем более подробные указания в его посмертных трудах. Цель настоящей статьи заключается в том, чтобы изложить теорему Пуассона и указать ту пользу, какая может быть из нее извлечена для интегрирования дифференциальных уравнений механики. [c.566]

Наконец, уравнения невозмущенного движения можно записать и в канонической форме, что позволит применить для интегрирования этих уравнений метод Гамильтона — Якоби. [c.420]

А р ж а н ы X и. с., Г у м е р о в Ш. А., Об условиях частичной применимости метода типа Гамильтона—Якоби для интегрирования уравнений движения неголономных консервативных систем, Труды Межвузовск. конф. по прикл. теории уст. движ. и анал. мех., 1962, Казань, 1964. [c.499]

Добронравов В. В., Применение метода Якоби к интегрированию уравнений движения механических систем с линейными неголономными связями, Труды Московск. авиационного ин-та (труды МАИ), вып. VI, 1947, стр. 3—26. [c.501]

Введение. Мы привели дифференциальные уравнения движения к особенно удобному каноническому виду. Однако наша конечная цель будет достигнута только тогда, когда мы сможем решить эти уравнения. Поскольку нам неизвестен метод непосрественного интегрирования этих уравнений, то приходится идти косвенными путями. Одним из таких путей является метод преобразований координат. Мы пытаемся отыскать такую систему координат в фазовом пространстве, в которой входящая в канонические уравнения функция Гамильтона имела бы настолько простой вид, чтобы уравнения движения могли быть непосредственно проинтегрированы. Естественно, что с этой точки зрения желательно исследовать всю группу преобразований координат, связанных с каноническими уравнениями. Изучение этих канонических преобразований оказывает ценную помощь при интегрировании уравнений механики. Теория канонических преобразований в основном связана с именем Якоби. Хотя он, возможно, и не обладал воображением, присущим Гамильтону, и его усилия были в основном направлены на решение задачи интегрирования уравнений, однако открытие канонических преобразований явилось все же огромным достижением. Получившаяся в результате теория интегрирования сыграла важную рель в развитии современной атомной физики. В далеко идущих исследованиях Гамильтона проблема интегрирования являлась второстепенной задачей. [c.225]

По-,мое.му, подобные волновые группы можно построить, причем таким же способом, каким Дебай ) и фон Лауз ) решили задачу обычной оптики о нахождении точного аналитического представления для светового конуса или светового пучка. При этом появляется еще крайне интересная связь с не рассмотренной в 1 частью теории Якоби—Гамильтона, а именно с из-вестны.м способом получения интегралов уравнений движения посредством дифференцирования полного интеграла уравнения Гамильтона по постоян-ны.м интегрирования. Как мы сейчас увидим, упомянутый только что метод получения интегралов движения Якоби равносилен в нашем случае следующему положению изображающая механическую систему точка совпадает длительный период с той точкой, где встречается определенный континуум волн в равной фазе. [c.686]

Итак, основные этапы развития аналитической динамики таковы первым шагом явилось установление лагранжевой формы уравнений движения, затем лагранжев метод вариации произвольных постоянных и аналогичная теория Пуассона и связанные с нею проблемы интегрирования затем Гамильтон представил интегральные уравнения посредством единственной характеристической функции, определяемой а posteriori посредством интегральных уравнений, предполагаемых известными, или из того условия, что она должна одновременно удовлетворять двум дифференциальным уравнениям в частных производных Гамильтон же нашел новую форму уравнений движения Якоби свел интегрирование дифференциальных уравнений динамики к нахождению полного интеграла единственного дифференциального уравнения в частных производных он же развил теорию последнего множителя системы дифференциальных уравнений движения Остроградский рассмотрел проблему интегрирования уравнений динамики Раус нашел новую форму дифференциальных уравнений движений Пуанкаре развил теорию интегральных инвариантов наконец, [c.848]

Первые 6 лекций Якоби посвящает изложению основных принципов механики принципу сохранения движения центра тяжести системы, принципу живой силы, принципу площадей и принципу наименьшего действия. С 10-ой лекции Якоби развивает теорию множителя" систем обыкновенных дифференциальных уравнений, являющуюся обобщением теории эйлеров-ского интегрирующего множителя. Якоби показывает каким образом можно в целом ряде случаев построить с помощью последнего множителя" всю систему п независимых интегралов. Изложив подробно теорию этого множителя, Якоби затем применяет ее к решению ряда механических задач. С 19-ой лекции Якоби, исходя из вариационного принципа Гамильтона, излагает тот метод интегрирования уравнения с частными производными первого порядка, который известен под названием метода Якоби-Гамильтона". В следующих лекциях этот метод примендется к ряду задач, взятых главным образом из области небесной механики. В 26 лекции Якоби излагает теорию эллиптических координат и показывает их приложение к разысканию геодезических линий эллипсоида, к задаче построения карт, к выводу основной теоремы Абеля и проч. Наконец, последние лекции Якоби посвящены изложению его классических методов интегрирования нелинейных уравнений в частных производных первого порядка. [c.4]

Гамильтон считал, что главная функция S должна удовлетворять двум уравнениям в частных производных первого порядка (17) и (18). Это обстоятельство уменьшало, видимо, возможности применения метода к частным задачам механики, Якоби показал, что необходимость соблюдения уравнения (18) совершенно излипшя чтобы иметь возможность проинтегрировать уравнения движения по формулам (16), достаточно найти интеграл лишь одного уравнения (17), содержащий надлежаш ее число параметров. Вместе с тем Якоби показал, что этими параметрами могут и не быть начальные значения координат q. Это существенное улучшение результатов Гамильтона имеет особое значение для применения рассматриваемого метода интегрирования канонических уравнений. [c.20]

В рамках этого круга идей в работах Ковалевской, Клебша, Чаплыгина, Стеклова и других авторов был решен ряд новых задач механики, некоторые из которых весьма нетривиальны. Стоит отметить, что в этих классических работах не использовалась гамильтонова структура уравнений движения. Условия интегрируемости и само интегрирование уравнений динамики основаны на методе интегрирующего множителя Эйлера — Якоби. Напомним, что для этого автономная система п дифференциальных уравнений должна иметь интегральный инвариант и обладать п —2 независимыми интегралами. Из-за этого обстоятельства не была замечена интегрируемость ряда задач динамики. Самый яркий пример—задача [c.11]

В этой главе мы свели дифференциальные уравнения промежуточного движения к квадратурам и рассмотрели в общих чертах качественную сторону задачи. Для решения уравнений движения был использован метод Гамильтона — Якоби [1]. Другой способ интегрирования, основанный на использовании регуляризирующего времени, был предложен в работах Е. А. Гребеникова, В. Г. Демина и автора [2], [3]. [c.66]

Теперь от лагранжевой формы уравнений движения мы можем обычным путем перейти к гамильтоновой форме. С помощью (10.91) и (10.92) в выражении (10.99) можно исключить скорость ф и получить гамильтониан Я = = Я (Яц, x , t) как функцию от сопряженных канонических переменных (Рд, х ) и t. Тогда уравнения движения можно записать в гамильтоновой форме dPix, dt = — дН1дх dx4dt — дН дР и соответствующим выбором контактного преобразования использовать метод интегрирования Гамильтона —Якоби. [c.279]

Аналитическую теорию движения спутника с учетом величин второго порядка малости можно найти, например, в работах М. Д. Кислика [5] и А. Страбла [17]. В обшем подходе к описанию возмущенного движения спутника А. Страбл следует, по существу, идее Ганзена разложения движения, хотя вывод уравнений движения им получен новым пзггем и в иной форме. Он при интегрировании уравнений применяет методы теории нелинейных колебаний, в частности метод асимптотической теории Н. М. Крылова— Н. Н. Боголюбова — Ю. Д. Митропольского [1, 7 им получен ряд интересных результатов. А. Страбл в своей работе не придерживается общепринятых в небесной механике классических определений, что, как нам кажется, не является вполне оправданным. Совершенно иначе подошел к задаче М. Д. Кислик. Положение спутника относительно основной системы он определяет эллиптическими координатами, а уравнения движения записывает в канонической форме интегрирование уравнений он проводит классическим методом Гамильтона — Якоби. Известно, что в большинстве случаев в задачах небесной механики уравнение Гамильтона — Якоби не интегрируется в квадратурах М. Д. Кислик, оставаясь в пределах точности до второго порядка малости включительно, преобразовал выражение земного потенциала и разрешил уравнение Гамильтона Якоби в квадратурах. [c.10]

Завершающий 6.5 главы посвящен управляемому движению гиперона и аналитическому интегрированию гиперреактивных уравнений в центральном гравитационном поле. Показывается, что управляемое ускорение силы тяги может быть выбрано оптимальным по энергетическим затратам, причем гамильтонов функционал качества на оптимальной траектории принимает постоянное значение, обеспечивая тем самым консервативность системы и выполнение закона сохранения энергии. Решение задачи в этом случае доводится до общего интегрирования в квадратурах по методу Гамильтона-Якоби. [c.175]

Разработку новых методов интегрирования дифференциальных уравнений динамики мы находим главным образом в трудах Гамильтона, французского ученого Пуассона (1781—1840) и выдающегося немецкого математика Якоби (1804—1851). В связи с прогрессом машиностроения, железнодорожной и строительной техники, с необходимостью исследования -движения тел в сопротивляющейся среде в XIX в. и в особенности в текущем столетии весьма быстро и успешно развивается механика сплошной среды — гидро- и аэромеханика и теория упругости. Развитие этих разделов теоретической механики, представляющих собой в настоящее время обширные самостоятельные дисциплины, связано с именами таких крупнейших ученых, как Пуассон, Ляме, Навье, Коши, Сен-Венан (во Франции), Гельмгольц, Кирхгоф, Клебш, Мор, Прандтль (в Германии), Стокс, Грин, Томсон, Рэлей (в Англии) и многих других. [c.22]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...