Уравнения Гамильтона частицы

Частица движется по поверхности параболоида вращения. Найти полный интеграл уравнения Гамильтона—Якоби. [c.270]

Найти полный интеграл уравнения Гамильтона—Якоби для частицы, движущейся в однородном постоянном электрическом поле. [c.271]

Пусть система состоит из N одинаковых бесструктурных частиц в макроскопическом объеме V. Ее состояние в любой момент времени характеризуется набором (q, р) из n = 3N координат 4i = qi qi и n = 3N импульсов p, = pi, рл Pi а изменение состояния определяется уравнениями Гамильтона [c.184]

Перейдем к рассмотрению доказательства принципа детального равновесия. Введем плотность условной вероятности в фазовом пространстве P( qP , pP qi], Pi), i). Величина P есть плотность вероятности нахождения системы в области фазового пространства с центром qi , р, в момент времени t, если сначала она находилась в точке qp , рр . Значения координат и импульсов частиц в момент времени t, qi , pi получаются на основе решения уравнений Гамильтона [77, 123] [c.182]

Уравнения движения частиц — уравнения Гамильтона (7.155) — инвариантны относительно обращения времени , т. е. относительно преобразования [c.183]

В главе 6 указывалось, что первый член ковариантного релятивистского лагранжиана (6.57) является в некоторой степени произвольным. Другая возможная форма лагранжиана получается, если преобразовать принцип Гамильтона (6.48) (перейдя от времени i к местному времени т, являющемуся инвариантом Лоренца) и использовать. новую подынтегральную функцию в качестве L. Получить таким путем выражение для ковариантного гамильтониана частицы, находящейся в электромагнитном поле. Показать, что значение этого гамильтониана равно нулю. (При получении уравнений движения значение гамильтониана, конечно, не существенно, так как нас интересует только его функциональная зависимость от координат и импульсов.) [c.261]

Лучевая оптика является механикой световых частиц их траектории (в оптически неоднородных средах они ни в коем случае не будут прямолинейными) определяются обыкновенными дифференциальными уравнениями Гамильтона или эквивалентным им принципом наименьшего действия. Напротив, с точки зрения волновой теории световые лучи получаются как ортогональные траектории системы волновых поверхностей. Последние, согласно принципу Гюйгенса, являются параллельными поверхностями. Гамильтон описывал семейство волновых поверхностей с помощью дифференциального уравнения (по необходимости — в частных производных) и распространил этот метод на мно- [c.301]

Кажется удивительным, что при этом никуда вообще не вошла масса частицы т. Канонические уравнения Гамильтона имеют вид [c.370]

Векторный анализ, включающий теорию винтов. Кинематика. Динамика частицы и твердого тела. Уравнения Лагранжа и Гамильтона. Вариационные принципы. Уравнение Гамильтона — Якоби. Скобки Пуассона. Теория относительности. [c.439]

Компактный учебник, в котором рассматриваются моменты инерции, неголономные связи, принцип виртуальной работы, динамику частицы и твердого тела, уравнения Лагранжа, Аппеля и Гамильтона, уравнение Гамильтона — Якоби, устойчивость около положения равновесия или равномерного движения. Удар и возмущения. [c.441]

Напоследок мы хотим обратить внимание читателей на то, что вместо функции Гамильтона Н мы перешли уже к уравнению Гамильтона Ж = 0. Левая часть этого уравнения Гамильтона попадалась нам в уравнениях движения (5.431) и (5.432). Следует заметить, что далеко не всегда непосредственное использование левой части заданного уравнения Гамильтона может привести к каноническим уравнениям движения. Для того чтобы функция Ж, фигурирующая в правых частях этих уравнений, была бы действительно той функцией, которая стоит в левой части уравнения Гамильтона, необходимо, чтобы ро входило в Ж линейно с коэффициентом, равным единице иначе второе из уравнений (5.432) будет уже несправедливо и координата уже не будет временем. Для пояснения наших утверждений взглянем на уравнение Гамильтона для точечной заряженной частицы в электромагнитном поле —релятивистское соотношение между четырьмя компонентами 4-вектора энергии — импульса частицы в электромагнитном поле [c.150]

Используя уравнение Гамильтона — Яко ш, получить уравнение траектории частицы, движущейся в поле двумерного потенциала [c.180]

С помощью уравнения Гамильтона —Якоби и эллиптических координат описать движение заряженной частицы в поле, создаваемом двумя зарядами, закрепленными на конечном расстоянии друг от друга. [c.180]

Воспользовавшись уравнением Гамильтона — Якоби, показать, что траектория частицы, движение которой описывается гамильтонианом [c.180]

С течением времени координаты и импульсы частиц изменяются, — следовательно, изменяется и микросостояние системы. В статистической физике движение системы удобно описывать уравнениями Гамильтона [c.24]

Уравнения движения для всех динамических переменных можно получить из уравнений Гамильтона. Для частиц с-го компонента эти уравнения имеют вид [c.179]

Найти закон движения заряженной частицы в однородном постоянном магнитном поле Н, решая уравнения Гамильтона. Векторный потенциал выбрать в виде Ау=Нх, Ах=Ах = 0. [c.119]

В статистической механике вместо задачи определения всех истинных импульсов р( и координат частиц системы в момент 1 ставится совсем другой вопрос — о статистических свойствах движения нашей системы, определяемого уравнениями Гамильтона при вполне заданной Я(/ , t), если начальные условия (1.13) статистические. Рассматривается непрерывное множество начальных условий (1.13) с заданным интервалом их изменения и вводится функция с Си Сгл) плотности их распределе- [c.13]

Цепочка частиц, последовательно соединенных упругими пружинами с коэффициентом упругости х, описывается уравнениями Гамильтона [c.50]

В качестве приложения рассмотрим задачу о паре вихрей противоположной интенсивности (см. 8 гл. I). В некоторой равномерно движущейся системе отсчета движение частиц жидкости описывается уравнениями Гамильтона с гамильтонианом [c.277]

Таким образом, если внешние силы, действующие на тело переменной массы, имеют потенциал и абсолютные скорости отбрасываемых телом частиц равны нулю, то канонические уравнения принимают форму уравнений Гамильтона для механической системы точек постоянной массы. [c.120]

Метод Фока. Рассмотрим частицу в консервативном ноле U = = 7(х). Поскольку в общем случае переменные в уравнении Гамильтона-Якоби не разделяются, то необходимо использовать приближенные методы интегрирования уравнений (27.5). В 1937 г. В.А. Фок предложил новый метод интегрирования, основанный на приближенном решении уравнений (27.1) [193]. [c.287]

Мы видим, что (27.31)—уравнение Гамильтона-Якоби, а (27.32) имеет форму уравнения непрерывности. Таким образом, функция t) является фазой волновой функции, — плотностью вероятности нахождения частицы в точке с координатой х в момент времени t. [c.291]

Прежде всего рассмотрим движение классической частицы в поле с потенциалом (7, т. е. рассмотрим уравнения Гамильтона [c.408]

При этом функция 8, определяющая фронты волн в момент есть не что иное, как значение в момент i решения уравнения Гамильтона — Якоби, начальное условие для которого задается функцией , определяющей фронты волн в начальный момент. Амплитуда же волн в момент i в точке Q получается из их амплитуды в начальный момент в исходной точке приходящей в Q траектории умножением на некоторый множитель. Этот множитель подобран так, чтобы при движении частиц, соответствующих нашему начальному условию, интеграл квадрата модуля функции ф по заполненной частицами области конфигурационного пространства не менялся с течением времени. (Здесь предполагается, что в начальный момент выделена любая область в конфигурационном пространстве, затем- рассматриваются фазовые точки на исходном лагранжевом многообразии, чьи проекции на конфигурационное пространство лежат в этой области, далее — их [c.410]

Как известно из механики, движение материальных частиц может быть определено с помощью уравнения Гамильтона-Якоби, являющегося, как и уравнение (67,3), уравнением в частных производных первого порядка. Аналогичной г 5 ве.1ичииой является гфи этом действие 5 частицы, а производные от действия определяют импульс р и функцию Гамильтона Н (энергию) частицы согласно формулам р = <35/(3г, Н =-—dS/dt, аналогично формулам (67,2). Известно, далее, что уравнение Гамильтона-Якоби эквивалентно уравнениям Гамильтона, имеющим вид р = —dHfdr, v = r = dH/dp. Вследствие указанной аналогии между механикой материальной частицы и геометрической акустикой мы можем непосредственно написать аналогичные уравнения для лучей [c.366]

Сведение к системе восьми уравнений. Вернемся к рассуждениям 29.10. Мы видели, что задача трех тел фактически может быть сведена к задаче двух тел частицы массы т, сосредоточенной в точке (х, у, z), и частицы массы J1, расноложенной в точке ( , т , при этом действующие на частицы силы обладают потенциалом —U. Движение частиц описывается системой двенадцати уравнений Гамильтона. В настоящем параграфе мы сократим число этих уравнений до восыу<и, для чего воспользуемся теорией контактных преобразований. [c.591]

На возможное возражение, что группа сама по себе является априорным понятием, можно указать, что понятие группы является результатом абстрагирования от различных подвижных инструментов циркуль, линейка и т. д., являющихся орудием геометрического исследования ). Напомним, что уже в геометрии Евклида неявно предполагалось, что все геометрические построения следует проводить с помощью только циркуля и линейки. Смысл этого требования становится ясен только с точки зрения программы Клейна. Геометрические свойства тел выражаются, таким образом, в терминах инвариантов группы и допускают изоморфную подстановку элементов пространства, в котором реализуется группа, и, следовательно, совершенно не зависят от самих геометрических объектов. Укажем, например, на реализацию геометрии Лобачевского на плоскости, предложенную А. Пуанкаре. Приведенный пример указывает на большую методологическую ценность программы Клейна. Аналогичный подход возможен также и в физике, где различные законы сохранения интерпретируются как свойства симметрии относительно различных групп. Основными группами современной физики являются группа Лоренца, заданная в пространстве Минковского, и группа непрерывных преобразований, заданная в криволинейном пространстве общей теории относительности, коэффициенты метрической формы которого определяют поле гравитации. В релятивистской квантовой механике мы переходим от группы Лоренца к ее представлениям, определяющим преобразования волновых функций. Как было показано П. Дираком, два числа I и 5, задающих неприводимое представление группы Лоренца, можно интерпретировать как константы движения угловой момент и внутренний момент частицы (спин). Иначе говоря, операторы, соответствующие этим инвариантам, перестановочны с гамильтонианом (квантовые скобки Пуассона от гамильтониана и этих операторов равны нулю). Числа, обладающие этими свойствами, называются квантовыми числами. В работах Э. Нетер дается общий алгоритм, позволяющий найти полную систему инвариантов любой физической теории, формулируемой в терминах лагранжева или гамильтонова формализмов. В основу алгоритма положена указанная выше связь между инвариантами группы Ли и константами движения уравнений Гамильтона или Лагранжа. В качестве простейшего примера рассмотрим вывод закона сохранения углового момента механической системы, заданной лагранжианом Г(х, X, (). Вводим непрерывную группу вращения, заданную системой инфи- [c.912]

Воспользовавшись уравнением Гамильтона — Якоби, получить уравнение траектории частицы, движущейся в поле двумерного потенциала U — iilr, описывая движение в координатах и = г- -х, v = r — x. [c.180]

ПРАВИЛО (Стокса длина волны фотолюминесценции обычно больше, чем длина волны возбуждающего света фаз Гиббса в гетерогенной системе, находящейся в термодинамическом равновесии, число фаз не может превышать число компонентов больше чем на два ) ПРЕОБРАЗОВАНИЯ [Галилея — уравнения классической механики, связывающие координаты и время движущейся материальной точки в движущихся друг относительно друга инерциальных системах отсчета с малой скоростью калибровочные — зависящие от координат в пространстве — времени преобразования, переводящие одну суперпозицию волновых функций частиц в другую каноническое в уравнениях Гамильтона состоит в их инвариантности по отношению к выбору обобщенных координат Лоренца описывают переход от одной инерци-альной системы отсчета к другой при любых возможных скоростях их относительного движения] ПРЕЦЕССИЯ — движение оси собственного вращения твердого тела, вращающегося около неподвижной точки, при котором эта ось описывает круговую коническую поверхность ПРИВЕДЕНИЕ системы <к двум силам всякая система действующих на абсолютно твердое тело сил, для которой произведение главного вектора на главный момент не равно нулю, приводится к динаме к дниаме (винту) — совокупность силы и пары, лежащей в плоскости, перпендикулярной к силе скользящих векторов (лемма) всякий скользящий вектор, приложенный в точке А, можно, не изменяя его действия, перенести в любую точку В, прибавив при этом пару с моментом, равным моменту вектора, приложенного в точку А скользящего вектора относительно точки В ) ПРИНЦИП (есть утверждение, оправданное практикой и применяемое без доказательства Бабине при фраунгоферовой дифракции на каком-либо экране интенсивность диафрагмированного света в любом направлении должна быть такой, как и на дополнительном экране ) [c.263]

Подстановка содг в лагранжиан, переписанный в эйлеровых переменных, и применение вариационного принципа приводят к уравнениям Гамильтона для вихревых частиц [c.323]

А. К.). В наши дни установлено, что М ногие закономерности микромира (например, взаимодействия элементарных частиц) существенно отличаются от закономерностей макромира и для познания закономерностей микромира понадобились такие разделы математики, которые наверное не были изобретены с целью приложения к экспериментальным наукам и, конечно, не обусловлены достижениями экспериментальной физики XX в. Думаю со мной согласятся многие, если я выскажу утверждение, что геометрию Лобачевского, теорию функций комплексного переменного, вариационные принципы механики, интегральные инварианты для канонических уравнений Гамильтона, открытие планеты Нептун и многое другое нельзя доказательно обусловить развитием техники или научного эксперимента. Исследовательская работа в высших сферах абстракций не менее важна для развития науки и становления новых научных методов. Ф. Энгельс указыва ет в своей знаменитой работе Людвиг Фейербах и конец классической немецкой философии , что во многих случаях научные теории развиваются из самих себя и (подчиняются своим со бственным законам . [c.6]

Это не так, и вот простой пример. Рассмотрим плоское течение несжимаемой жидкости. Пусть а,Ь—компоненты поля скоростей V ее частиц в декартовых координатах х,у. Из условия несжимаемости = О следует, что 1-форма аё,у — Ь(1х при всех значениях является дифференциалом некоторой функции Ф(х, г/, ). Уравнения движения частиц жидкости можно представить в виде уравнений Гамильтона х =, у = с гамильтонианом Ф. В гидродинамике функция Ф называется функцией тока если течение стационарно, то частицы движутся по кривым Ф= onst. [c.24]

Первое издание книги опубликовано издательством Московского университета в 1988 г. Во втором издании книги приведены решения 160 новых задач. Включена новая глава 11 Релятивистская механика . Теперь сборник содержит решения 560 задач, иллюстрируюш их приложения методов теоретической механики к исследованию широкого круга проблем. Представлены задачи по всем разделам классической механики динамика частицы во внешнем поле и тел переменной массы, динамика системы частиц, уравнения Лагранжа, линейные и нелинейные колебания, динамика твердого тела, электромеханика, уравнения Гамильтона и канонические преобразования. Задачи по электромеханике рассмотрены в рамках лагранжева формализма. Включены также 42 задачи по релятивистской динамике, которые отсутствуют в известных сборниках задач по механике. Ряд задач, представляюш их различные аспекты одной проблемы, представлен в нескольких разделах сборника. Значительно расширен раздел, включаюш ий множество задач, иллюстрируюш их применение новых методов интегрирования систем нелинейных уравнений обш его вида, представленных в гамильтоновой форме. [c.5]

Частица в плосковолновом поле. Пайти полный интеграл уравнения Гамильтона-Якоби и решение канонических уравнений. 4-потенциал поля Л х) = Ь (р) а , ср = кх (см. задачу 11.2.7). [c.512]

Гамильтона-Якоби и найти его полный интеграл. Но полному интегралу онределить уравнение траектории частицы. [c.263]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...