Нормальные координаты системы

Координаты 9 (/= ,..., ) также представляют собой обобщенные координаты системы. Обобщенные координаты Qj,. .., 0 , в которых кинетическая и потенциальная энергии имеют вид (46) и (47), называются главными (или нормальными) координатами системы. В силу указанной выше теоремы линейной алгебры для [c.237]

Тогда очевидно, что каждая из новых координат х у совершает гармоническое колебание с частотой o)i (или (Оз) при любых начальных условиях. Координаты х к у называются нормальными координатами системы. Координаты фз и фз связаны с нормальными координатами х w у соотношениями [c.242]

Получилась бесконечная система обыкновенных дифференциальных уравнений относительно q (0 Каждое из них имеет обычный вид колебательного уравнения для системы с одной степенью свободы, на которую действует внешняя сила Ф (0- Уравнения независимы, и поэтому q, (t) можно рассматривать как нормальные координаты системы. Число таких координат бесконечно. Если отсутствует какая-либо компонента внешней силы Ф , то соответствующая координата q совершает только свободное затухающее колебание. [c.335]

Новые переменные д , д называются нормальными" координатами системы ). Уравнения для малых перемещений, выраженные в нормальных координатах, имеют вид [c.298]

В нормальных координатах системы (9,23) модель (9.22) приобретает следующий вид [c.149]

Если система окружена абсолютно проводящей оболочкой — совершенно замкнутой — то в ней могут происходить свободные незатухающие колебания, так как согласно нашему допущению нет никаких внутренних сопротивлений. Теория этих колебаний имеет обычный вид. Вводя нормальные координаты системы r/i, [c.134]

Для упрощения примем, что центр жесткости и центр демпфирования системы совпадают с центром массы главные оси жесткости и демпфирования совпадают с главными центральными осями инерции, две из которых расположены вертикально и горизонтально в плоскости чертежа. Тогда заданные вертикальная и малая угловая компоненты вибрации будут несвязанными и, следовательно, вертикальное перемещение центра массы и угол поворота исполнительного органа будут нормальными координатами системы (см. т. 1). [c.156]

Выражения (3) и (4) заключают лиш> квадраты величин ф1, Фг,. . . и квадраты их первых производных, следовательно, Ф1, фг,. . . являются нормальными координатами системы. Для нахождения нормального колебания, соответствующего какой-либо координате Фп, составляем при помощи (3) и (4) соответствующее уравнение Лагранжа [c.143]

Легко проверить, что величины (р,, срг,. . . являются в данном случае нормальными координатами системы. Для этого составим [c.146]

В выражения (3) и (4) входят лишь квадраты величин ф1, фа,. . Фь фа,. . следовательно, ф1, фа,. . . — нормальные координаты системы. Уравнение Лагранжа, соответствующее какой-либо координате ф , будет [c.154]

Заметим, что в вырал<ение (59) не входит член, соответствующий п=, — он равен нулю, так как соответствующее ему перемещение таково, как перемещение твердого тела, и, следовательно, не сопровождается деформацией кольца. Величины ф , ф являются нормальными координатами системы и при заданных внешних силах их легко выразить через соответствующие обобщенные силы Ф и Ф п. На основании (59) получим [c.214]

Коэфициенты Ф1 и фа являются также нормирующими , пользуясь которыми можно перейти к главным или нормальным координатам системы 01 и 02 по формулам [c.663]

Терминология автора может ввести читателя в заблуждение конечно, величины Una не являются нормальными координатами системы, которые вводятся только в следующем параграфе. Прим. ред.) [c.133]

Таким образом, когда система совершает одно из главных своих колебаний, то изменяется (и притом гармонически) только одна координата, прочие координаты остаются равными нулю. Каждая из координат р1, Р2, , Рк оказывается приуроченной к определенному главному колебанию системы. Эти координаты получают название главных или нормальных координат системы. [c.458]

Рассмотрим систему, лишенную потенциальной энергии, в ко торой координату 4 г заставляют изменяться, действуя гармонической силой пропорциональной Другие координаты могут быть выбраны произвольно в частности, удобно выбрать их так, чтобы их произведения не входили в выражения Т и Г. Эти координаты действительно были бы нормальными координатами системы, если предположить, что принуждена (с помощью подходящей силы ее же собственного типа) оставаться равной нулю. Выражения Т п Р принимают, таким образом, следующую форму [c.181]

Очевидно, что для смеш,ений порядка п все 2гг+1 независимых поверхностных гармонических функций 5 являются нормальными координатами системы. Подставляя в данное уравнение ос получим [c.62]

Таким образом, энергия выражается рядом членов, каждый из которых зависит только от одной гармоники это выражение подобно полученному ранее выражению (6.6). Различные гармоники являются различными нормальными модами колебания струны, а величины —амплитудами колебания по п-011 нормальной координате системы. Мы можем сказать, чю энергия колебания струны равна полней энергии бесконечного числа эквивалентных гармонических осцилляторов, масса каждого из которых равна половине общей массы струны (/г/2), причём первый имеет частоту и амплитуду 4 , второй имеет частоту и амплитуду и т. д. [c.111]

Нормальные координаты системы 76 [c.495]

В новых координатах Q уравнения колебаний для каждой степени свободы являются независимыми и гармоническими, как это показывают выражения (26.8). Такие координаты называются нормальными или главными. В нормальных координатах система сводится к набору гармонических осцилляторов, каждый из которых определяется уравнением [c.224]

Отсюда следует, что величины ( ) описывают независимые осцилляторы с частотами о),. Переменные qi называют нормальными координатами системы. При квантовомеханическом описании рассматриваемой системы ее оператор Гамильтона Н = Т+У ъ нормальных координатах принимает вид [c.58]

В предьщущей главе мы показали, что электронные состояния квантовомеханической системы, а также нормальные координаты системы, [c.78]

Переменные (параметры) называются нормальными координатами системы. [c.121]

Каждое из уравнений (35) интегрируется независимо от других. Иначе говоря, при использовании нормальных координат система представляет собой как бы совокупность независимых парциальных систем с одной степенью свободы. [c.45]

Координаты в которых кинетическая и потенциальная энергии выражаются суммами квадратов, называются нормальными координатами системы. В нормальных координатах уравнения малых колебаний приобретают особенно простую форму. В самом деле, подставив выражения Г и П в уравнения Лагранж получим [c.120]

Нормальные координаты консервативной системы [c.120]

Рассмотренные вынужденные колебания системы могут служить примером целесообразности введения нормальных координат, благодаря которым уравнения движения сводятся к уравнениям движения точки по прямой, что без труда позволяет исследовать характер движения механической системы. [c.218]

Система дифференциальных уравнений Лагранжа второго рода в нормальных координатах распадается на отдельные дифференциальные уравнения следующего вида [c.244]

Нормальные координаты в случае малых колебании системы с двумя степенями свободы [c.245]

Рассмотрим сначала случай движения системы с двумя степенями свободы. Это позволят указать элементарную геометрическую интерпретацию перехода к нормальным координатам, которая далее распространяется на случай движения системы с произвольным числом степеней свободы. [c.245]

Легко заметить, что задача разыскания нормальных координат для системы с двумя степенями свободы эквивалентна известной задаче аналитической геометрии приведения уравнения алгебраической кривой второго порядка к канонической форме. [c.246]

Нормальные координаты в случае системы с N степенями свободы [c.248]

Перенос колебаний с одной степени свободы на другую. Пусть S и Г) — две лагранжевы координаты голономной системы с каким угодно числом степеней свободы, со связями, не зависящими от времени, и находящейся под действием консервативной системы сил. Рассмотрим колебания системы около одного из ее положений равновесия, соответствующего для определепности нулевым значениям i и rj, и предположим, что эти две координаты, если и не являются сами нормальными, то представляют собой линейные комбинации с постоянными коэффициентами (и, само собой разумеется, независимые) некоторых двух нормальных координат системы. [c.408]

Подставляя выражения для V ж Т ь дифференциальные уравнения движения (146), приходим к системе линейных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами. Особенно просто напишется эта система уравнений, если обобщенные координаты ф, ф,. .. выберем так, чтобы в выражениях для живой силы и потенциальной энергии системы пропали члены, содержащие произведения координат и соответствующих им скоростей. Выбранные таким образом координаты называются главными или нормальными координатами системы. В дальнейшем обозначим их через ф , фз,. .. Тогда живая сила и потенциальная энергия системы представятся так [c.320]

Ура1внения (135.55) (вынужденных колебаний системы с двумя степенями свободы в нормальных координатах независимы друг от друга. Эти уравнения совпадают с уравнением (133.71) вынужденного колебания точки. Если частота возмущающей силы р совпадает с частотой одного из собственных колебаний системы k или /гг, то в решение множителем войдет время /. Следовательно, одна из нормальных обобщенных координат при возрастании t может быть сколь угодно большой (резонанс). Значения частот р возмущающей силы, ра(вной одной из частот собственных колебаний системы ( i,. 2), называют критическими частотами возмущающей силы. [c.218]

Случай кратных корней уравнения частот при исследовании движения системы с двумя степеЕшми свободы отличается тем, что при приведении выражения кинетической энергии к каноническому виду (е) оказывается, что и выражение потенциальной энергии П приобретает каноническую форму и переход от системы координат Xi к 0,- становится лишним. При этом существует бесконечное множество систем нормальных координат. Геометрически это можно объяснить так если Jn Ф Х2, то, приравнивая П константе, мы получим в плоскости Ох[Х2 эллипс (рис. 35). Его оси симметрии будут совпадать к осями системы координат 00102- Если A,i = Х2, эллипс превращается в окружность. Тогда осями 0i и 02 могут быть два произвольных взаимно перпендикулярных диаметра этой окружности. [c.247]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...