Интегралы независимые

Не нужно, однако, забывать, что в этих интегралах независимая переменная есть / и что пределы и t относятся к t. Поэтому последний интеграл мог бы быть выражен в следующей более явной форме [c.148]

В некоторой окрестности и-мерного тора Т" , где интегралы независимы, можно перейти к переменным действие-угол приведенной задачи. Эта окрестность диффеоморфна прямому произведению В х Т" , где В — область Переменные действие I = (Д,. .., / ) постоянны во все время движения и принимают значения из области В, а переменные угол (р1,. .., (рп суть угловые координаты на и-мерном торе Т", равномерно меняющиеся со временем. В переменных действие-угол (р , (г = 1, 2,. .., и) функция Гамильтона (3.1) не зависит от т.е. [c.212]

Будем рассматривать случай, когда корни Oj, hi простые. Это, очевидно, эквивалентно случаю, когда первые интегралы независимы на своих совместных уровнях. По теореме Арнольда [4] эти уровни будут и-мерными торами, которые несут на себе условно-периодические решения. [c.219]

Теорема 1 [97]. Предположим, что квадратичная форма Но положительно определена. Тогда гамильтонова система с функцией Гамильтона Но -Ь Hi имеет полный набор формально аналитических по первых интегралов, независимых при е = О, в том и только том случае, когда точки множества А расположены на d п прямых, ортогонально (в метрике (, )) пересекающихся в начале координат. [c.200]

Теорема 1 допускает (с некоторыми уточнениями) обобщение на системы с n > 2 степенями свободы. Предположим, что все точки множества Д расположены на / n прямых, проходящих через начало координат, причем их направляющие векторы линейно независимы. Тогда можно утверждать, что гамильтонова система с функцией Г амильтона i/o + имеет п однозначных аналитических интегралов, независимых при всех достаточно малых значениях е, в том и только том случае, когда эти I прямых попарно ортогональны (в метрике (, )). При I = 1 система, очевидно, интегрируема. [c.215]

Теорема 1 (Пуанкаре [146]). Если уравнения (8.1) допускают к интегралов, независимых в некоторой точке периодической траектории , то по меньшей мере к мультипликаторов равны единице. [c.220]

Теорема 1. Предположим, что система (9.2) допускает г интегралов, независимых хотя бы в одной точке инвариантного тора Т . Тогда матрица Q имеет (с учетом кратностей) по меньшей мере г собственных чисел вида г Х,со), X Z . [c.234]

Интегралы независимые 235, 364 - элементарная 61 [c.474]

Следствие 4 [5, 7]. В аналитическом случае система не имеет аналитических первых интегралов, независимых от интеграла энергии Н. [c.155]

Среди этих интегралов независимый лишь один действительно, несложно показать, что они связаны линейным соотношением [c.196]

Оказывается, интегрируемые биллиарды — редкое исключение среди всего множества биллиардов. Причина кроется в сложном поведении фазовых траекторий типичных биллиардных систем в-общем случае траектории не уклады-ваются на поверхности уровня интегралов, независимых от интеграла энергии. Для того чтобы дать строгие доказательства неинтегрируемости, надо прежде всего выделить классы функций в фазовом пространстве, среди которых разыскиваются первые интегралы. Мы выделяем два естественных класса первых интегралов. Первый составляют аналитические интегралы, а второй. — полиномы от скоростей с гладкими (или даже непрерывными) коэффициентами. Отметим, что во всех известных проинтегрированных биллиардных задачах дополнительные интегралы лежат в пересечении этих классов функций. [c.120]

Теорема доказана функции (5.144) представляют собой интегралы системы (5.24). Если, кроме того, выполняется условие (5.143), то эти интегралы независимы — они дают общее решение системы [c.325]

Шесть законов сохранения (а) не являются независимыми, Из соотношений (б) и (в) следует, что если имеют место интегралы [c.381]

Теорема Остроградского — Якоби, на которой основывается предложенный ими метод, формулируется так если известен полный интеграл уравнения Остроградского — Якоби, то 2s независимых интегралов канонической системы уравнений (132.5) имеют следующий вид [c.382]

Среди этих т интегралов могут быть и зависимые, т. е. некоторые из равенств, входящих в систему (27), могут оказаться следствиями остальных. Такие зависимые первые интегралы не могут быть использованы для упрощения уравнений движения, и нас интересуют лишь системы независимых первых интегралов (27). Если т=--2п и если все равенства, входящие в систему (27), независимы, то система первых интегралов называется полной. В силу независимости функций, входящих в эту систему, полная система из т = 2п первых интегралов может быть разрешена относительно аргументов — ими являются координаты и обобщенные импульсы —и представлена в виде [c.266]

Рассмотренный пример циклических координат характерен для способа использования первых интегралов с целью понижения порядка рассматриваемой системы дифференциальных уравнений. Общий метод механики в таких случаях как раз и состоит в том, чтобы, используя наличие первых интегралов, отщепить часть уравнений системы и затем использовать независимые квадратуры. [c.271]

Наоборот, определив каким-либо путем шесть независимых между собой первых интегралов, мы можем получить из них общее решение уравнений движения в виде (8). Отыскание первых интегралов имеет еще то важное значение, что для решения ряда конкретных задач механики оказывается достаточным найти только некоторые из этих интегралов (иногда даже один), что существенно упрощает процесс решения. [c.324]

Теорема 9.3.2 и ее следствие 9.3.4 дают простое правило, позволяющее из двух известных первых интегралов получить при помощи алгебраических операций и дифференцирования третий интеграл, четвертый и т.д. Однако при этом не все получающиеся интегралы будут независимыми, так как независимых функций от 2п переменных может быть не более чем 2п. Иногда может получиться функция от исходных первых интегралов, а иногда числовое тождество. [c.640]

Из-за независимости друг от друга координат и импульсов всех точек скобки Пуассона исследуемого набора первых интегралов будут суммами скобок Пуассона членов, соответствующих каждой отдельной точке. Скобки Пуассона, взятые от первых интегралов, дадут соотношения, аналогичные полученным для отдельных точек. Следовательно, с помощью скобок Пуассона, например, по трем первым интегралам [c.641]

Если известны к независимых первых интегралов у, ..., ук, то с помощью преобразования к координатам у, ..., ук, Хк+, ..., Хт исходная система дифференциальных уравнений может быть приведена к следующей [c.675]

Теорема 9.6.2. Пусть известны к независимых первых интегралов У1,..., Ук, в также множитель Якоби М. Тогда множитель Якоби N для системы т—к дифференциальных уравнений, к которой приводится исходная система, имеет вид [c.675]

Теоремы С. Ли и Лиувилля. Результаты, полученные в двух предыдущих пунктах, являются частными случаями основной теоремы теории канонических систем, которая формулируется следующим образом (теорема С. Ли) если для канонической системы порядка 2я известны т интегралов, независимых между собой, находящихся в инволюции и разрешимых относительно стольких же переменных р, то ранг системы, от которого зависит определение общего реигения, понижается на 2т единиц (вместо т) и интегрирование данной системы сводится к интегрированию другой системы, тоже канонической, с п — т парами сопряженных яе-ременных. [c.311]

В ограниченной задаче трех тел известны более слабые результаты о неинтегрируемости. Пуанкаре доказал отсутствие дополнительных интегралов, аналитических по массам / 1 и / г тяжелых точек [225]. Либре и Симо [216], используя метод квазислучайных движений по В. М. Алексееву, доказали несуществование нового аналитического интеграла при условии, что масса одного из тел мала. Кроме этого, известен результат К. Зигеля [229] об отсутствии новых алгебраических первых интегралов это утверждение доказывается методом Брунса. По-видимому, ограниченная задача трех тел не допускает полиномиальных по импульсам первых интегралов, независимых от интеграла энергии. [c.147]

Как уже говорилось во введении, постановка задачи об интегралах возмущенных гамильтоновых систем, аналитических по малому параметру, принадлежит Пуанкаре [225 146, гл. V]. Предполагая множество Р1 всюду плотным, Пуанкаре доказал отсутствие однозначных интегралов, независимых с интегралом энергии и аналитических по фазовым переменным и параметру е. В работе [75] показано, что предположение о плотности множества Р1 можно ослабить достаточно, чтобы Р1 было ключевым множеством для класса аналитических функций, В докладе автора на семинаре им. И, Г, Петровского [80] было дано распространение метода Пуанкаре на случай, когда интегралы разыскиваются в виде формальных рядов по степеням е с аналитическими или гладкими коэффициентами (см. теоремы 3 и 4). Распространение метода Пуанкаре на гамильтоновы системы с периодическим гамильтонианом содержится в [75]. Обобщения результатов Пуанкаре на негамильтоновы системы стандартного вида (1,1) (см. теоремы 1 и 2) в литературе, по-видимому, не обсуждались. [c.185]

Положим теперь е = 1 и рассмотрим уравнения Гамильтона с гамильтониЕшом Щ- -Н. Как уже отмечалось в п. 4 1 гл. П, если система с гамильтонианом Но -Ь Н имеет п полиномиальных по импульсам интегралов с независимыми старшими однородными формами, то система с гамильтонианом Но -Ь еН имеет п аналитических по е первых интегралов, независимых при = 0. С [c.200]

Итак, с точное ью до несущественного постоянного слагаемого F = (у0, Y) + 02 y Z), Уо onst. Ясно, что интегралы независимы в точках тора Т " в том и только том случае, когда линейно независимы соответствуюнще постоянные векторы уо- Поскольку Уо М ", число независимых интегралов не превосходит т. Лемма доказана. [c.237]

Эти интегралы могут оказаться новыми интегралами, независимыми от исходного. Однако если / явно от времени не зависит, то вместо (9.46) придем к тривиальному тождеству [/Я]=0. Это обстоятельство нужно иметь в виду, применяя теорему Пуас- [c.396]

В настоящее время для анализа устойчивости квазистати-ческого подрастания трещины обычно используют концепцию Уд-кривых и модуля разрыва [33, 219, 339, 426]. Суть /д-подхода заключается в допущении, что процесс разрушения, происходящий у вершины субкритически развивающейся трещины, контролируется двумя параметрами приращением длины трещины AL и /-интегралом Черепанова—Райса, введенным для нелинейно-упругого тела. Иными словами, предполагается, что зависимость J (AL) однозначно определяет сопротивление субкри-тическому росту трещины независимо от вида приложенной нагрузки (при условии монотонного характера нагружения) и геометрии образца. В то же время во многих работах указывается на уязвимость этого подхода, в частности на неинвариант-ность /н-кривых к типу нагружения и геометрии образцов. Поэтому не случайно появление в последние годы большого количества работ, посвященных модификации /д-подхода путем введения различного вида энергетических интегралов [33, 276, 287, 288]. Наиболее значительные результаты получены при использовании интеграла Т [33, 287, 288]. В то же время методичес- [c.253]

М. в. Остроградскии и независимо от него Якоби разработали метод, применение которого к нахождению интегралов канонической системы уравнений (132.5) во многих случаях оказывается проще непосредственного интегрирования зтой системы уравнений. [c.382]

Теперь, на основании теоремы Остроградского — Якоби, пользуясь формулами (139.3) и (139.4), можно составить полную систему независимых интегралов канонических уравнений движ тгия [c.385]

Вычисль м синхронные вариации интегралов, входящих в формулу (147.1), учитывая, что в канонических уравнениях обобщенные скорости 15/ и обобщенные импульсы р/ являются независимыми [c.406]

Однако очевидно, что полученный так первый интеграл не является независимым —он гюлучается как следствие уже имевшихся ранее т первых интегралов. Поэтому такое размножение первых интегралов уравнений движения лишено смысла. [c.267]

Решение дифференциального уравнения в частных п]ю-изводных, содержащее столько произвольных постоянных, сколько имеется независимых переменных, называется полным интегралом этого уравнения. Функция ) в уравнение (6.12) входит только 1ерез свои производные. Это значит, что одна произвольная постоянная будет входить в полный интеграл в виде слагаемого, т. е. полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби имеет вид [c.155]

Видим, что функции суть первые интегралы соответствующих им уравнений движения материальной точки. Из сказанного ясно, что определение закона движения точки по заданной силе можно свести к задаче поиска достаточного набора независимых первых инте-грсшов. [c.174]

Для того чтобы полностью узнать закон движения материа-гтьной точки, достаточно найти шесть независимых первых интегралов. Такой набор первых интеграшов назовем полным. Найти полный набор первых интегралов не всегда легко. Однако наличие первых интегралов упрощает исследование. Пусть, например, найдены три первых интеграла [c.176]

Теорема 9.6.3. (Теорема о посл(щдем множителе). Если известны т—1 независимых первых интегралов системы дифференциальных уравнений и множитель Якоби М, то интегрирование этой системы заканчивается квадратурой. [c.676]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...