Фурье граничные условия

Здесь штрихи обозначают дифференцирование по переменной у. Подвергая преобразованию Фурье граничные условия (10.8.1), получим [c.349]

С этой целью является удобным допустить, что окружность 2л разделена при радиусе б = тг, как это показано на фиг. 30, так, что искомый сегмент будет —7г<б<я. В этом случае, если значения р на границе будут выражены рядами Фурье, граничные условия могут быть написаны в следующей форме [c.140]

Система уравнений (8. 1.1), (8. 1.2) допускает автомодельное решение [ИЗ], которое может быть получено при помощи метода Фурье. Этот метод был использован при решении задачи о массо-переносе внутри газового пузырька (см. разд. 6.1). Запишем окончательный вид решений уравнений (8. 1. 1), (8. 1. 2) с начальными и граничными условиями (8. 1. 3), (8. 1. 4), (8. 1. 7) и (8. 1. 8) [c.310]

Коэффициенты А и В определяются граничными условиями задачи. По формуле обращения Фурье (6.217) и (6.239) найдем [c.168]

Чтобы удовлетворить граничным условиям при Х2 = Ъ/2, разложим Wi в ряд Фурье. Получим [c.408]

Из условия нагружения мембраны можно видеть, что ф является четной функцией координаты л и нечетной — координаты у. Это требование, а также граничное условие, удовлетворяются, чтобы взять функцию напряжения ф в форме ряда Фурье [c.365]

Такое напряженно-деформируемое состояние, полученное из потенциала перемещений в виде частного решения дифференциальных уравнений, само по себе не будет удовлетворять заданным граничным условиям на окружностях г = а и г = Ь. Для удовлетворения этих граничных условий потребуется приложить некоторые усилия на границе, которые можно, разумеется, определить из решения, описанного выше, отыскав и т е при г = а и г = 6. Однако задачу удовлетворения граничных условий, например условий а, = 0 и т э = О па граничных окружностях, можно теперь решить также путем наложения изотермического решения Фурье (см. 43). [c.485]

Граничные условия третьего рода состоят в задании температуры окружающей среды и интенсивности теплообмена на поверхности тела. Эта интенсивность теплообмена оценивается коэффициентом теплоотдачи а, а тепловой поток на поверхности пропорционален разности температур окружающей среды f и поверхности тела С другой стороны, плотность теплового потока может быть выражена в соответствии с законом Фурье. [c.179]

Для аналитического определения температурного поля в стенке трубы при ее охлаждении водой необходимо решить уравнение нестационарной теплопроводности с граничными условиями третьего рода Наиболее часто при расчетном определении нестационарных температурных полей в телах применяется решение задачи теплопроводности в виде бесконечных рядов Фурье. При быстром изменении температуры металла и высоких тепловых потоках, как это имеет место в стенке трубы в цикле водной очистки, для получения необходимой точности решения уравнений теплопроводности приходится учитывать большое количество членов указанного ряда. Расчеты затруднены и тем, что в справочниках обычно приводится не более шести первых корней характеристического уравнения теплопроводности. [c.205]

Многие задачи вязкоупругости при помощи преобразования Лапласа (или Фурье) определяющих уравнений и граничных условий по истинному или приведенному времени становятся математически эквивалентными аналогичным задачам для упругих тел. Такая аналогия называется принципом соответствия и дает возможность использовать методы теории упругости для получения решений (в изображениях) задач вязкоупругости. Впервые этот принцип был установлен Био [11] для анизотропной среды. [c.140]

Граничное условие (11.98) на сторонах контура х = а/2 функцией (11.128) удовлетворяется. Правую часть уравнения (11.97) представляем в виде ряда Фурье [c.62]

Если балка имеет нелинейные граничные условия, то, вообще говоря, нельзя следовать известному методу Фурье и полагать [c.7]

Если решение уравнения (9.2) найдено, то с помощью входящих в него четырех произвольных постоянных можно точно удовлетворить граничным условиям по продольным сторонам полосы г/ = 0 и у = Ь, разложив предварительно заданную нагрузку или перемещения в ряд Фурье. Что касается граничных условий по торцам полосы х= 0,5 а, то в соответствии с (9.1) они будут выпол- [c.52]

Затем были проведены эксперименты по определению динамических характеристик выхлопной трубы, с тем чтобы по ним подобрать соответствуюш,ее демпфирующее покрытие. Для нахождения передаточных функций и форм колебаний, необходимых для расчетов, использовались как аналоговые, так и цифровые ЭВМ, причем в первых применялся метод передаточных функций, а во вторых — численное разложение в ряды Фурье. Патрубок выхлопной трубы прикреплялся болтами к жесткой плите, что имитировало реальные граничные условия. [c.359]

Совместное решение уравнений теплопроводности и теплообмена в делящемся материале, оболочке и теплоносителе позволяет получить соотношение для распределения температур, тепловых потоков и концентраций по периметру твэла на его поверхности и в потоке при произвольных граничных условиях. Задача сводится к нахождению температур в теплоносителе с граничными условиями, записанными в виде ряда Фурье [c.83]

Таким образом, получена система восьми дифференциальных уравнений первого порядка относительно усредненных перемещений и напряжений (для каждого слоя) и двух алгебраических уравнений (условия контакта) относительно межслойных напряжений. Поскольку внешняя нагрузка носит локальный характер, т. е. на некотором расстоянии от места нагружения напряженное состояние оболочки незначительно, то система уравнений (1) — (4) решается при нулевых граничных условиях. Эти уравнения сводятся к безразмерным величинам (а = pg), записываются отдельно для каждого слоя и решаются путем разложения неизвестных величин в ряды Фурье с конечными пределами интегрирования. [c.310]

Вебер пишет уравнения относительного движения вязкой жидкости и соответствующие граничные условия. При этом, вследствие малости возмущений поверхности и пульсаций давления, а также их производных, Вебер пренебрегает произведениями и высшими степенями указанных величин. Это дает возможность при написании уравнений относительного движения вязкой жидкости для малых колебаний пренебречь конвективными членами. В результате вместо полной производной от скорости по времени получаются частная производная и система линейных уравнений. Решение этих уравнений слагается из отдельных частных решений, например, с помощью рядов Фурье. [c.29]

Полученная формула свидетельствует об одинаковом механизме воздействия нестационарных граничных условий на процесс тепломассообмена в пучке витых труб независимо от числа Рг д. Действительно, производная по времени мощности тепловой нагрузки ЭЛ /Эг связана с производной для температуры стенки ЭГ /Эг, входящей в безразмерный параметр, определяемый выражением (5.46) и учитывающий изменение турбулентной структуры потока в пристенном слое при изменении температуры стенки труб. Поэтому действие величины дN/ )т)y на коэффициент к должно быть независимым от шага закрутки витых труб, или числа Рг . В то же время с уменьшением числа Рг, , (или 3/(1) интенсивность закрутки потока в пучке возрастает, а рост закрутки потока увеличивает уровень турбулентности прежде всего в пристенном слое, интенсифицируя обменные процессы между пристенным слоем и ядром потока. Кроме того, увеличиваются конвективный перенос между соседними ячейками пучка и организованный перенос массы теплоносителя по винтовым каналам труб в межтрубном пространстве. Эти обменные процессы в пучке витых труб должны ускорять процесс выравнивания температурных неравномерностей в потоке при уменьшении числа Рг и при нестационарном протекании тепломассообменных процессов. Поэтому при одинаковой структуре формул (5.63) и (5.60) для пучков с Рг = 57 и 220 и идентичной качественной зависимости коэффициента к от числа Фурье Ро количественно результаты расчета по (5.63) и (5.60) отличаются при одном и том же числе Ро (рис. 5.18, 5.19). При этом для пучка с числом Рг = 57 значения коэффициента к в первые моменты времени существенно меньше, чем значения коэффициента к для пучка с Рг = 220. При Рг = 10 [c.167]

Что касается граничного условия третьего рода, то оно фиксирует определенное соотношение между температурой и производной от температуры на поверхности тела. Действительно, количество теплоты в формуле (1-14) является именно тем, которое проходит, подчиняясь закону Фурье (1-4), сквозь поверхностный бесконечно тонкий слой тела. [c.23]

Для тел, ограниченных координатными поверхностями в какой-либо одной из ортогональных систем координат [8], с однотипными в пределах каждой отдельной координатной поверхности граничными условиями точное аналитическое решение линейной задачи можно получить методом разделения переменных (методом Фурье) [7] или математически эквивалентным ему, но более универсальным методом интегральных преобразований [10, 13, 20]. Основная идея этих методов связана с разложением искомого решения в ряд по собственным функциям соответствующей однородной задачи. Собственные функции и формулы интегральных преобразований для тел простой геометрической формы табулированы [13]. [c.43]

Для наших исследований одинаково может применяться как ряд Фурье по синусам (7), так и ряд Фурье по косинусам (8). Однако ряд (7) в дальнейшем при определении постоянных интегрирования освободит нас от решения систем уравнений, так как ряд (7) удовлетворяет следующим граничным условиям для вала, свободно опирающегося на две опоры при х = Он х = I имеем / (л) = 0. Ряд (8) таким условиям не удовлетворяет. [c.171]

Прежде всего из температурного уравнения (31) можно исключить переменную температуру с помощью граничного условия. С этой цель. о из уравнения закона Фурье найдем связь между толщиной X прогретого слоя и температурой [c.90]

Если теплообмен между телом и окружающей средой осуществляется по закону теплопроводности Фурье, то говорят, что имеет место граничное условие четвертого рода. На практике такие условия встречаются в- случае контакта между двумя твердыми телами, при охлаждении тела в дисперсной среде или вязкой жидкости и т. д. [c.126]

Таким образом, для того чтобы найти аналитическое выражение зависимости температуры и от времени в данной точке М тела, следует найти общий интеграл уравнения Фурье (1.7) и подчинить его граничным условиям (1.15) или (1.16) и начальным условиям (1.17). [c.21]

Если уравнение теплопроводности (1.20) имеет решение, удовлетворяющее граничному условию (1.21) и начальному (1.24), то это решение (общий интеграл) единственное. Для его нахождения используем классический метод, указанный Фурье, согласно которому сперва ищется частное решение уравнения (1.20) в виде произведения двух функций [c.22]

СЭМУ предназначена для изучения двумерных температурных полей в многослойных стенках. Она позволяет решать уравнения Фурье, Лапласа и Пуассона с граничными условиями первого, второго и третьего рода, которые в общем случае могут изменяться во времени. [c.405]

Из уравнения (3-4-2) и граничного условия (3-4-4) получаем критерии Фурье Ро, Пекле Ре, Льюиса Ее, Нуссельта Г4и, Био В1 и параметрический критерий Кс- [c.106]

Применение косинус-преобразования Фурье с учетом граничных условий (5-1-1) — (5-1-2) и условий симметрии (4-1-5) к производным второго порядка дает [c.157]

В статье разработан приближенный метод определения основных частот собственных колебаний пластинок со свободными круговыми вырезами. Внешняя граница пластинок предполагается неаначительно отличающейся oV круговой. Приближенные выражения для радиусов каждой ограничивающей кривой выражены через ряды Фурье. Граничные условия, записанные модифицированными рядами для формы кругового кольца, удовлетворяются приближенным образом на внутреннем и внешнем краях пластинки. Приближенное характеристическое уравнение (либо первого, либо второго порядка апйроксимации) получается в результате удовле творения граничным условиям, а основная частота колебаний определяет ся как первый корень соответствующего характеристического уравнения Для демонстрации решения, основанного на аппроксимации второго по рядка, определены приближенные частоты основной формы колебаний за щемленной эллиптической пластинки, квадратной пластинки с круговым вырезом и круговой пластинки с эксцентрическим круговым вырезом. Для последней также получено решение, основанное на аппроксимации первого порядка для основной формы колебаний. [c.165]

Наконец, преобразуя по Фурье граничные условия (3.10.2), получаем еще одну пару соотношений [c.149]

Рассмотрим вопрос о теоретической зависимости для NUmhh- Минимальное значение числа Нуссельта для шара устанавливается из анализа кондуктивного теплоперено-са через газовую сферическую оболочку толщиной 0,5 X X D—dm). Согласно закону Фурье (заданы граничные условия первого рода лри r = 0,5D t = i при г = 0,5 ш i = U M = [c.154]

Полученное дифференциальное уравнение Фурье описывает явления передачи теплоты теплопроводностью в самом общем виде. Для того чтобы применить его к конкретному случаю, необходимо знать распределение температур в теле в начальный момент времени или начальные условия. Кроме того, должны быть известны гео-метрическая форма и размеры тела, физические ларамехры-среды, и тела и граничные условия, характеризующие распределение температур на поверхности тела, или взаимодействие изучаемого тела с окружающей средой. Все эти частные особенности совместно с дифференциальным уравнением дают полное описание конкретного процесса теплопроводности и называются условиями однозначности, или краевыми условиями. [c.355]

Решение. Используя обозначения задачи 4.2.12, перейдем к нормальным координатам Qk- Будем считать, что выполняются периодические граничные условия Un = Un+n. Тогда значения fe = = 2nsli Jd (s = 0, 1, 2,...) пробегают квазинепрерывнып спектр. Смещения Un можно разложить в ряд Фурье [c.243]

Подставляя в уравнение для функции напряжений (10.6.8), мы получим дифференциальное уравнение четвертого порядка для функций / , одинаковое как для решения Рибьера, так и для решения Файлона. Каждая из функций / будет зависеть от четырех констант. Представляя заданные при Х2 = 6 нагрузки или перемещения формально рядами по косинусам или синусам аргумента, кратного nxjl, мы находим эти константы таким образом, граничные условия на длинных сторонах оказываются удовлетворенными. Подчеркнем еще то, как это уже делалось неоднократно, что ряды Фурье для заданных величин нагрузок вовсе не обязательно должны быть сходящимися, нагрузки могут быть разрывными и даже содержать дельта-функции и.чи производные от них (сосредоточенные силы и моменты). [c.355]

Из граничных условий (53.5) и уравнений (53.2) и (53.10) с помощью преобразования Лапласа и синус-преобразования Фурье определяется следующее соотношение между неизвестными функциямп [c.418]

Конечно-разностное представление дифференциального уравнения Фурье и граничных условий сводит решение задачи теплопроводности к расчету температур в конечном числе точек — узлов сетки (рис. 1.11). Чтобы дискретизованная задача была близка к исходной, необходимо сделать сетку достаточно частой. Поэтому число неизвестных (т. е. значений температур в узлах) оказывается большим, и решение задачи требует использования ЭВМ. Конечно-разностную аппроксимацию уравнения теплопроводности можно получить, записывая закон сохранения энергии для контрольного объема, содержащего внутренний узел К, L (заштрихован на рис. 1.11). [c.31]

Постоянные интегриро1ания для цреобразовааий Фурье потенциалов продольных и поперечных волн (4.32) должны быть определены ез граничных условий (4.42). Последние три jti этих условий можно использовать для определеция трех постоянных через четвертое. Определение четвертого, оставшегося, постоянного приводит к уравнению типа Винера-Хопфа для нахождения неизвестных величин - преобразований Фурье нормальных напряжений на продолжение трещины и вертикальных смещений берегов трещины [c.107]

Пек и Гёртман рассматривали полубесконечную среду, ограниченную плоскостью Xi = 0 и нагружаемую равномерно распределенным по границе нормальным давлением. Зависимость внешнего давления от времени выбиралась в форме ступеньки— единичной функции Хевисайда. Касательные напряжения на границе не задавались вместо этого при Х = 0 было наложено требование равенства нулю перемещений, параллельных осям Xi и лгз. Подобные смешанные граничные условия обычны для задач о механических волноводах, поскольку они позволяют построить решение путем наложения бесконечных синусоидальных волновых пакетов. Было найдено точное решение для компоненты dujdxi тензора деформаций в виде суперпозиции синусоидальных мод — бесконечной суммы интегралов Фурье по бесконечным интервалам. Асимптотическое приближение к точному решению для больших значений времени и больших расстояний было построено при помощи метода перевала. [c.372]

Описанный выше подход о восстановлении поля температуры по данным Коши для уравнения Лапласа (или Фурье), заданным на части границы области, в принципе решает задачу. Но дело в том, что получить данные о распределении температуры на доступной для измерений части поверхности сравнительно просто, а вот определение на этом же участке поверхности градиента температуры по направлению нормали к поверхности во многих спучаях встречается с весьма большими трудностями. Градиент температуры известен (равен нулю), когда теплообмен между элементом и окру-жащей средой отсутствует. В противном случае градиент температуры подлежит определению. Вычислить его из условий тегшообмена с внешней средой не удается, так как значение относительного коэффициента теплообмена в большинстве случаев неизвестно. При этом применяют метод рассверловки ступенчатых отверстий с установкой на уступах термопар. Тогда определение температуры на некоторой глубине под поверхностью и вычисление по этим данным градиента температуры вносит трудно поддающуюся оценке погрешность из-за изменения граничных условий в местах рассверловки. Кроме того, при большом количестве точек измерений рассверловка — крайне нежелательная операция, а в некоторых случаях и недопустимая. Таким образом, использование информации о температуре и ее нормальной производной для определения поля температуры в области элемента представляется нецелесообразным. [c.83]

Постановка задачи требует также формулировки краевых условий. Если начальное распределение температур неравномерно, то это должно быть отражено безразмерными параметрами, которые конструируются на основе соответствующей аналитической зависимости. Если при граничных условиях первого рода задаваемая температура на поверхностях тела является функцией места и времени, то также возникнут новые безразмерные аргументы, которые надо будет приобщить к полученным ранее из уравнения Фурье. Однако и при отсутствии такого типа усложений, но при задании граничных условий третьего рода, возникает новый безразмерный аргумент, специфический для этой, практически важнейшей, постановки задачи. [c.49]

Сказанное иллюстрируется, например, в связи с выражениями (3-10). В задачах теплопроводности число Bi = aL/>. всегда представляет собой критерий подобия, так как оно выражает граничные условия (если последние относятся к третьему роду). Число qvUj Kba служит критерием подобия, если по условию задаются две температуры, и это же число становится просто зависимой переменной, если по условию задается только одна температура. Что касается числа Ро, то применительно к апериодическим случаям оно представляет собой текущее время, т. е. к категории критериев подобия не относится. Однако в периодических процессах теплопроводности, когда существует естественный масштаб времени — длительность одного периода, — число Фурье представляется в виде Fo = flir,ep/j и оказывается критерием подобия, текущее же время выражается отношением с/тп .р. Впрочем, ничто не мешает приводить текущее время к виду В таком случае [c.71]

В частных случаях задачи, когда тело имеет простую в геометрическом смысле форму, было н йдено, что уравнение, выражающее граничные условия (1.30) или (1.31), имеет бесчисленное множество корней и дает ряд возрастающих значений для чисел т , представляющих дискретную совокупность чисел построенная же при помощи формулы (1.29) функция > является общим интегралом уравнения Фурье. Уравнение (1.28) называют л арал гйрмс 7м<гесл ил, а функции Uj, являющиеся частными решениями уравнения (1.23),— характеристическими или собственными функциями задачи. Они соответствуют совершенно определенным дискретным значениям параметра т. [c.24]

Если ядро преобразования К(р,х) берется в виде sinили os рх, то это интегральное преобразование соответственно называется синус-преобразованием Фурье или косинус-преобразованием Фурье. Если же ядром преобразования выбрана функция Бесселя К(р, x) = xJ px), то оно носит название преобразование Ханкеля. В частном случае, если пределы интегрирования изменяются от —оо до +оо, а ядро имеет вид К р, х) = мы получаем комплексное интегральное преобразование Фурье. Комплексное преобразование Фурье удобно применять для тел неограниченной протяженности синус-преобразование Фурье следует использовать, когда на поверхности тела задано значение функции, т. е. имеем граничные условия I рода, а косинус-преобразование Фурье — когда решаем дифференциальные уравнения переноса при граничных условиях II рода. Преобразование Ханкеля применяется в том случае, когда тело имеет осевую симметрию. Практическое применение названных интегральныхпреобразований после появления хороших таблиц изображения (Л. 28, 16] не вызывает осЪбых затруднений. [c.81]

Умножить дифференциальные уравнения и граничные условия на выбранное ядро 1преобразова1Ния и проинтегрировать полученные выражения в соответствующих пределах по неременной, (подлежащей исключению в результате вместо системы дифференциальных уравнений в частных производных относительно оригинала функций (мы получим систему обыкновенных дифференциальных уравнений для изображения функций, которые учитывают начальные (при иапользовании преобразования Лапласа) или граничные (при нспользовапии преобразО Ваний Фурье) условия. [c.84]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...