Случай консервативных сил

Функция (4.1) называется потенциальной энергией. В 2.3 нами был рассмотрен частный случай потенциальных сил—консервативные силы — и была установлена формула (2.9), аналогичная формуле (4.2). [c.94]

Подставляя в уравнения Лагранжа вместо обобщенной силы Q ее выражение через потенциальную энергию, получим удобную форму уравнений Лагранжа для случая консервативной системы Иногда этому выражению придают еще более простой вид, пользуясь тем, что потенциальная энергия П не зависит от обобщенных скоростей и потому - = 0 перенеся все члены в левую часть и [c.433]

Подставляя в уравнение Лагранжа вместо обобщенной силы ее выражение через потенциальную энергию, получим удобную форму уравнений Лагранжа для случая консервативной системы [c.261]

Внешняя потенциальная энергия системы. Рассмотрим случай, когда система находится во внешнем стационарном поле консервативных сил. В этом случае каждая частица системы будет характеризоваться своим значением потенциальной энергии Vi в данном поле, а вся система — величиной [c.105]

Здесь рассматривается общий случай наличия сил, не образующих консервативное силовое поле. На основании соотношений (11.342) и уравнений (б) получим [c.349]

Рассмотрим случай, когда на механическую систему с двумя степенями свободы наряду с консервативными силами действуют силы сопротивления, пропорциональные скорости. [c.118]

Случай, когда существует силовая функция. Консервативные силы. Интеграл живой силы.—Будем говорить, что силы, действующие на материальную систему, имеют [c.17]

Очень важно заметить, что при определении консервативных сил мы предполагаем как предварительное условие качественного свойства, что функция U (Р), удовлетворяющая уравнениям (11), однозначна, т. е. в любой точке Р она имеет одно единственное значение, где бы эта точка Р ни была взята на всем протяжении поля. Однако это ограничение (относящееся к природе функции или, если угодно, к размеру рассматриваемого поля) вполне согласуется с тем, что мы обыкновенно предполагаем относительно функций, рассматриваемых в элементах анализа и в большинстве случаев этого вполне достаточно для механических приложений но в некоторых случаях приходится, одпако, отказаться от ограничительного предположения однозначности функций на всем протяжении поля (ср., например, случай d) в рубр. 29). [c.324]

Заметим только, что формулы и рассуждения этого пункта без существенных изменений распространяются и на тот случай, когда точка, движущаяся по гладкой поверхности вращения, находится под действием консервативной силы, являющейся производной от некоторого потенциала U, который зависит только от z, или, на основании равенства z =/ (>), только от р, или, наконец, от положения движущейся точки на меридиане поверхности. С аналитической точки зрения все сведется к замене в формулах потенциала силы тяжести gz функцией I/. [c.150]

Особенно простой случай, в котором имеют место только что указанные обстоятельства, мы будем иметь, если отнесем свободную материальную точку, находящуюся под действием консервативной силы, к системе осей Охуг, равномерно вращающейся вокруг оси z, которая остается неподвижной. Если w есть угловая скорость этих вращающихся осей и ось z предполагается ориентированной в направлении <0, то абсолютная скорость точки определится геометрической суммой относительной скорости с составляющими х, у, z и переносной скорости с составляющими — шу, [c.301]

Можно прибавить еще, что так как мы ограничились наложением на консервативные силы только периодически действующих сил (функций только времени), то мы получим случай, аналогичный тому идеальному случаю незатухающих колебаний, которым мы занимались, в предположении тол>-чо одной степени свободы, в п. 64 гл. 1. [c.372]

Что же касается действующих сил, то ограничимся наиболее естественным случаем, когда двойной маятник находится под действием только силы тяжести. Речь идет, следовательно, о консервативной силе, имеющей потенциал [c.22]

Случай голономной системы со связями, не зависящими от ВРЕМЕНИ и с консервативными силами, в предположении консервативных сил принцип стационарного действия допускает следующую специальную формулировку, аналогичную той, которая была указана без доказательства в п. 10 для принципа Гамильтона для голономной системы со связями, не зависящими от времени, соответствующее действие для какого-нибудь естественного движения между двумя достаточно близкими конфигурациями будет не только стационарным, но и минимальным по сравнению с тем, которое имелось бы для всякого асинхронно-варьированного изоэнергетического движения. Здесь мы также, чтобы не слишком задерживаться, откажемся от доказательства этого утверждения ), [c.411]

Теорема Уиттекера ). Интересно попытаться дать элементарный вывод принципа наименьшего действия в форме Якоби для простого случая плоского движения частицы в поле консервативных сил. Рассмотрим в плоскости дугу С. Обозначим через s длину этой дуги между начальной точкой А и текущей точкой Р, а через 0 — наклон внешней нормали в точке Р к оси Ох. Будем предполагать, что вдоль кривой С угол 0 все время возрастает вместе с s и является дифференцируемой функцией от s. В частности, если кривая замкнута, то она выпуклая. [c.550]

Для случая покоя, когда правая часть обращается в нуль, отсюда получается общий закон консервативных сил [c.451]

Следует подчеркнуть, что закон сохранения энергии в его общей формулировке есть сугубо опытный закон. Из него следует как частный случай закон сохранения энергии для замкнутых систем, в которых действуют лишь консервативные силы. Но для таких систем можно закон сохранения механической энергии получить как следствие законов Ньютона (см. вывод соотношений (6.51) и (6.57)). Однако в обш,ем случае закон сохранения энергии является самостоятельным законом природы, и из законов динамики его вывести нельзя. [c.158]

Перейдем к тому случаю консервативных сал который имеет место для всех известных сил, зависящих от координат. Для таких сил выражение [c.517]

Пусть частица массы т подвергается действию поля консервативных сил с потенциалом V. Будем считать, что потенциал V инвариантен относительно пространственных вращений, так что он зависит только от расстояния г между частицей и силовым центром. Можно также рассматривать две частицы в системе их центра масс, взаимодействие между которыми описывается потенциалом V. Тогда т и г будут означать приведенную массу двух частиц и расстояние между ними. Второй случай сводится к первому в пределе, когда масса одной из частиц стремится к бесконечности и она перестает испытывать отдачу. Гамильтониан системы имеет вид [c.123]

INI = 1, № = О и, следовательно, 1г N = 0. Ортонормированный базис, по отношению к которому тензор N представляется матрицей специального вида (V. 1-7), может изменяться во времени и от места к месту и не обязательно должен быть естественным базисом какой-либо системы координат. Скаляр р, равный в этом специальном базисе — (ЗЗ), не определяется предысторией деформации. В общем случае, если не приложены подходящим образом подобранные массовые силы Ь, напряжения (V. 1-15) не будут удовлетворять первому закону Коши (III. 5-1), выражающему баланс количества движения. Как мы убедились в IV. 8, чтобы определить, совместимо ли некоторое течение однородного несжимаемого тела с произвольным полем консервативных сил, достаточно рассмотреть случай Ь = О, соответствующий тем частным течениям, которые могут быть вызваны приложением одних лишь подходящих поверхностных усилий. [c.216]

Поскольку рассматриваемый нами случай отличается от рассмотренного ранее случая консервативной системы наличием сил, не имеющих потенциала, мы можем, вводя обобщенные силы , написать для этих систем уравнение Лагранжа в таком виде [c.168]

По сравнению с предыдущим случаем 4(14,16) = О. В данном случае частоты собственных колебаний рамы (каждая в отдельности) стремятся к нулю. Следовательно, сочетание в упругой системе неконсервативных и консервативных сил, когда параметр Р растет пропорционально, не приводит к флаттеру или дивергенции. [c.173]

Комбинированная задача. Совместное действие сил Е и Е2 приводит к большей критической силе, чем случай действия одной силы Е2, что невозможно при консервативных сжимающих силах. В жесткой модели все частоты в отдельности стремятся к нулю, т.е. определенная комбинация не консервативных сил может приводить к консервативным задачам. [c.175]

Интегральная кривая у = О является особой фазовой траекторией системы уравнений (3.17) и соответствует мгновенному опрокидыванию планера из положения 0 = л/2 в положение 0 = —-л/2 при обращении скорости v в нуль. Рассмотрим сначала частный случай а = О, когда силы сопротивления отсутствуют и рассматриваемая система оказывается консервативной. Уравнения движения (3.17) в этом случае принимают вид [c.62]

Рассмотрим теперь случай, когда все действующие на систему силы (внешние и внутренние) являются консервативными. Тогда для системы, как известно, существует такая силовая функция II = 21,..., дс , у , 2 ) от координат точек системы, дифференциал которой равен работе оЛ, т. е. [c.762]

Однако подобное уравнение будет описывать движение в консервативной системе не при любом виде функции Ф(х, х). Для упрощения рассмотрения начнем с изучения случая, когда уравнение, описывающее движение в исследуемой системе, не содержит X, т. е. возвращающая сила не зависит от скорости. Тогда общим видом подобного дифференциального уравнения второго порядка будет уравнение [c.15]

Еще Торричелли (1644 г.) было известно, что положение системы тел, находящихся под действием сил тяжести, будет устойчивым, если центр тяжести этой системы тел занимает наинизшее из возможных положений. Лагранж обобщил этот принцип Торричелли на случай произвольных потенциальных сил и установил следующий критерий устойчивости положения равновесия консервативной системы [c.192]

Уравнения (1.50) обычно называют уравнениями Лагранжа, однако это название часто употребляют, имея в виду случай, когда уравнения (1.50) пишутся для консервативной системы. В этом случае силы f,- получаются из потенциальной функции V по. формуле [c.30]

Случай консервативных сил. Принцип Гамильтона приобретает особенно простую и наглядную форму, когда силы, действующие на материальную систему, имеют потенциал U. При этом предположении, как уже было отмечено в п. 7, виртуальная работа L не отличается от вариации (полного дифференциала) ьЦ, которую испытывает потенциал при переходе от естественного движения к синхронно-варьиро-ванному движению. Поэтому, принимая во внимание свойство переместительности операций варьирования и дифференцирования (S и djdt), а следовательно, также и операций варьирования и интегрирования по времени, мы будем тождественно иметь [c.402]

ЦИХ консервативное силовое поле в этих случаях, называется системой восстанавливающих сил. Частным случаем восстанавливающих сил являются силы упругости, в 191 первого тома были рассмотрены примеры колебательного движения материальной точки, находящейся под действием упругой или ква-зиупругой силы. Содержание 89—91 является дальнейшим развитием теории, рассмотренной в динамике точки. [c.263]

Случай, когда движущая сила убывает, прогрессивно.— В некоторых случаях сила, приложенная к оси тела, не консервативна, но может быть выражена в виде произведения консервативной силы Р на положительный множитель и функцию от времени, ф(7), убывающую постоянно с возрастанием t. Положительный множитель представляет в этом случае коэффициент убывания ( oeffi ient d amortissement). [c.170]

Что касается действительного вычисления векторного инте-1 рала I или, что то же, трех его компонентов 1 , то мы можем повторить соображения, аналогичные тем, которые нашли себе место в рубр. 3 именно, когда задано движение точки приложения силы, вышеуказанные определенные интегралы сводятся к обыкновенным интегралам относительно перемеиной I. Но ясно, что в отличие от того случая, когда мы вычисляем работу, импульс I даже и при позиционных или консервативных силах зависит не только от геометрической природы траектории материальной точки, но и от закона, по которому описывающая ее точка зависит от времени. [c.340]

Возвращаясь к случаю какого угодно числа п степеней свободы, вспомним замечание, сделанное в пп. 62, 63 гл. V, что для голоном-ной системы со связями, не зависящими от времени, которая находится под действием консервативных сил, траектории, вообще говоря, зависят от 2п—1 постоянных, тогда как в случае движения по инерции, и только в этом случае, число траекторий (геодезические линии соответствующего метрического многообразия V ) сводится к оо - . [c.414]

В изложенной формулировке задач устойчивости не учитывается изменение объема и поверхности тела в начальном состоянии равновесия, и поэтому под напряжениями понимаются некоторые условные, а не истинные напряжения. Однако такой подход, предполагающий малость деформаций, вполне оправдан для исследования устойчивости тонкостенных силовых конструкций. Кроме того, действующие на тело силы считаются мертвыми , т. е. неизменными при переходе системы в состояние, смежное с начальным. Это ограничение непринцнпиально условие (3.29) и вытекающие из него уравнения (3.31) и граничные условия (3.32) нетрудно обобщить и на тот случай, когда действующие на тело консервативные силы изменяются при сообщении системе перемещений ы . Тогда для системы в состоянии, смежном с начальным, можно записать = = ёо + = Ро + /oj, где grj и — дополни- [c.83]

Потенцкальные крквые к характер движения в поле консервативных сил. Ограничимся случаем одномерного движения, когда положение точки и ее потенциальная энергия зависят только от одной координаты, например х. Если на тело действует только консервативная сила, то полная энергия является постоянной [c.151]

Периодические движения в консервативной системе отличаются той особенностью, что они никогда не бывают изолированными. Это связано с тем, что если при некотором значении произвольной постоянной в интеграле движения мы имеем замкнутую фазовую траекторию, то в силу непрерывной зависимости решения дифференциальных уравнений от начальных условий и при близких значениях этой постоянной фазовые траектории будут оставаться замкнутыми. Таким образом, замкнутые траектории образуют континуум, заполняя целые области двумерного фазового пространства. При этом возможны два случая в первом случае замкнутые траектории, вложенные одна в другую, стягиваются либо к особой точке типа центра, либо к сепаратрисам седловых особых точек. В случае, когда фазовое пространство представляет собою цилиндрическую поверхность, замкнутые траектории могут охватывать фазовый цилиР1др. [c.29]

Сила, компоненты которой X, Y, У выражаются но порядку, функппямп одного только X, одного только у, одного только принадлежит консервативному полю. Указать потенциал и применить к частному случаю, в котором при постоянных к н п [c.369]

ТЕОРЕМА Дирихле ). Ограничимся рассмотрением случая, когда действующая сила консервативна, т. е. представляет собой производную от потенциала U (конечного и непрерывного вместе со своими первыми производными в рассматриваемой области поля действия силы). Составляющие X, Y, Z активной силы в этом случае имеют вид [c.133]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...