Характеристики системы обыкновенных дифференциальных уравнений

Характеристики системы обыкновенных дифференциальных уравнений 44 [c.492]

Сведение системы уравнений в частных производных к системе обыкновенных дифференциальных уравнений упрощает процедуру численного решения задачи и позволяет использовать в методе характеристик численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений. При численном решении уравнений направления и совместности обычно используют итерационный метод, в этом случае первая итерация соответствует методу Эйлера, а вторая и последующие — методу Эйлера с пересчетом, что обеспечивает второй порядок точности численного решения. [c.112]

НДС в сечении s - при осесимметричном распределении температур t(s), характеризуемое интегральными характеристиками продольными TVj и окружными Ng силами изгибающими моментами и Мд, определяют путем решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений (2.90) с применением численных методов, реализуемых с помощью ЭВМ. [c.78]

Исследования динамики привода выемочных машин сводятся к определению вероятностных характеристик динамической нагруженности привода по заданным системе обыкновенных дифференциальных уравнений (7) и вероятностным характеристикам входных случайных функций Мс- Однако эта задача не имеет аналитического решения [12]. [c.58]

Частотные характеристики моделей, математическое описание которых не может быть представлено в виде аналитических передаточных функций,. могут быть рассчитаны на ЭЦВМ путем численного решения соответствующей системы обыкновенных дифференциальных уравнений. [c.352]

Модели самосогласованной среды в свою очередь можно разделить на две группы в соответствии с типом получаемых уравнений — дифференциальных или алгебраических. Дифференциальные модели получаются в результате малого изменения степени наполнения путем добавления в среду с эффективными свойствами новой порции частиц наполнителя. После предельного перехода получается система обыкновенных дифференциальных уравнений для эффективных модулей. Начальными условиями системы являются характеристики матрицы. Различные варианты подхода для случая абсолютно жестких частиц и пор рассмотрены в работах [25, 26]. [c.18]

Среди практически важных задач расчета таких оболочек видное место занимает класс осесимметричных задач статики. Укажем, например, на задачу изгиба замкнутой в окружном направлении оболочки вращения — если условия нагружения и опирания оболочки, структура армирования ее слоев не зависят от угловой координаты, то такими же будут и все характеристики ее напряженно-де-формированного состояния. В этой и аналогичных задачах исследование процесса деформирования требует обращения не к общей системе уравнений с частными производными (3.5.1)—(3.5.7), (3.6.3) — (3.6.5), а к ее частной форме — системе обыкновенных дифференциальных уравнений. [c.76]

Уравнение (21.7) решается в наиболее общем виде с помощью метода характеристик. Этот метод сводит уравнение в частных производных к системе обыкновенных дифференциальных уравнений. Обозначим VS = р, введем параметр т вдоль направления р, связанный с длиной дуги а условием т = da/n. Вектор г определяет точку на луче, а вектор dr/dx—касательный к лучу. Уравнение (21,7) выглядит в новых обозначениях как p n. Можно показать, что оно переходит в систему уравнений [c.220]

Уравнение (1.3.6) решается в наиболее общем виде с помощью метода характеристик. Этот метод сводит уравнение в частных производных к системе обыкновенных дифференциальных уравнений. Обозначим = р, введем параметр т вдоль направления р, связанный с [c.37]

Это уравнение решается методом характеристик прп этом следует найти решение системы обыкновенных дифференциальных уравнений [c.586]

Таким образом, используя метод характеристик, можно заменить систему квазилинейных уравнений первого порядка с частными производными эквивалентной ей системой обыкновенных дифференциальных уравнений (10.11) вдоль характеристик. [c.71]

Теорема 13 установлена Якоби в 1837 г. Следует заметить, что обратная теорема о том, что решение уравнения с частными производными типа Гамильтона приводится к решению системы обыкновенных дифференциальных уравнений (дифференциальных уравнений характеристик), имеющей в рассматриваемом случае форму Гамильтона, высказана Пфаффом и Коши в развитие еще более ранних исследований Лагранжа и Монжа, еще до того как Гамильтон и Якоби начали заниматься вопросами динамики (Э. Уиттекер [57]). Наиболее эффективный прямой метод решения уравнения Гамильтона— Якоби — это метод разделения переменных полный интеграл есть сумма слагаемых, каждое из которых зависит только от одной из переменных Ж1,. .., ж , I. [c.77]

ВОДНЫХ (1.3), описывающих одномерное нестационарное течение газа, сводится в результате применения метода характеристик к системе обыкновенных дифференциальных уравнений вдоль характеристик (1.77). Система (1.82), (1.84), (1.86), (1.91), описывающая неравновесное стационарное течение газа, сводится к системе обыкновенных дифференциальных уравнений (1.92) — (1.95). [c.67]

Описанный выше способ построения поверхностей тока указывает способ интегрирования уравнений с частными производными, имеющих вид( 3.5). Это интегрирование сводится к нахождению семейства линий тока, проходящих через контур С, т. е. к интегрированию системы обыкновенных дифференциальных уравнений (решения этих обыкновенных уравнений называются в общем случае характеристиками). Видно, что построить таким образом единственное решение можно лишь в случае, когда сам контур С не является линией тока (т. е. характеристикой). [c.44]

Каждой точке пространства (х, у, г) соответствует вектор Р, Q, R). Такие векторы образуют непрерывное поле всюду, кроме точек (особые точки дифференциального уравнения), где Р + Q -f-= q. Интеграл уравнения (а) Z = Z (X, у) изображается так называемой интегральной поверхностью, которая в каждой своей точке касается вектора Р, Q, R, соответствующего этой точке. Кривые на интегральной поверхности, касающиеся вектора (Р, Q, R), и называются характеристиками. Каждая интегральная поверхность составляется из характеристик, определяемых системой обыкновенных дифференциальных уравнений [c.137]

Ключом к решению одного уравнения первого порядка, как показано в гл. 2, служит использование семейства характеристик в (ж, )-плоскости вдоль каждой характеристики уравнение в частных производных сводится к обыкновенному дифференциальному уравнению. В некоторых случаях затем удается найти решение в аналитическом виде. Но в худшем случае уравнение в частных производных сводится к системе обыкновенных дифференциальных уравнений с последующим пошаговым численным интегрированием. В любом варианте решение можно построить последовательным локальным рассмотрением малых областей не обязательно вычислять сразу все решение в целом. Это, конечно, соответствует основным идеям волнового движения за любой малый интервал времени на поведение в выбранной точке могут оказать влияние только те точки, которые расположены настолько близко, что волны от них успевают дойти вовремя. Поставим следующий вопрос возможны ли такие локальные вычисления для системы (5.1) Если они возможны, то система является гиперболической и можно сформулировать соответствующее точное определение. [c.116]

При определении параметров переходного процесса методом характеристик (см. подразд. 2.5.2) система уравнений в частных производных сводится к системе обыкновенных дифференциальных уравнений, решаемых методом конечных разностей. При наличии вынужденных колебаний каждый участок тракта и входящие в тракт местные гидравлические сопротивления, насосы, регуляторы, демпфирующие устройства, как было показано в гл. 2, удобно описать уравнениями четырехполюсников. Матричные уравнения (2.8.15) и (2.8.20) описывают распространение колебаний в трактах без учета граничных условий, которые зависят от вида элементов (агрегатов) на концах трактов. В частности, для тракта горючего газогенератора условия на входе формируются насосом (или насосами) ТНА, на выходе—форсунками газогенератора. Так же как и для отдельных участков тракта в гл. 2, для всего г-го тракта сохраним общую форму записи граничных условий (2.3.5) и [c.230]

В случае, когда температура поверхности асимптотически мала по сравнению с температурой торможения при углах стреловидности крыла меньше критического, в пограничном слое возникают области закритического и докритического течения [2]. Области закритического течения (возмущения в них не распространяются вверх по потоку и реализуется автомодельное решение) располагаются около передних кромок и при обтекании плоских треугольных крыльев их протяженность зависит от угла стреловидности передних кромок [2, 3] и угла скольжения [4]. Причем как функции потока в закритической области, так и координата перехода определяются из решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений на передней кромке. Исследования обтекания неплоских треугольных крыльев [5] показали, что если форма поперечного сечения является степенной функцией с показателем 3/4, то размер области закритического течения такой же, как и при обтекании плоского крыла. Причем для известного параметра % = х/8, характеризующего отношение толщины крыла к толщине пограничного слоя, можно с помощью преобразование подобия [5] определить характеристики течения и в этом случае, зная решение в закритической области на плоском треугольном крыле. [c.178]

Соответствующая этому уравнению система обыкновенных дифференциальных уравнений (уравнений для характеристик) имеет вид [c.162]

Характеристики этого уравнения ) называются также характеристиками уравнения с частными производными (а). Они определяются системой 2k—1 обыкновенных дифференциальных уравнений [c.242]

Полученная система четырех обыкновенных дифференциальных уравнений описывает динамические свойства элементарного кольцевого участка диска. Чтобы получить фундаментальную матрицу, определяющую динамические характеристики всего кольцевого участка диска, эту систему уравнений необходимо проинтегрировать 4 раза для четырех различных граничных условий вида (4.20). [c.59]

Сначала с целью создания основы для анализа периодической системы будет выполнен анализ линейной стационарной системы. Хотя основным объектом исследования в настоящ,ей главе являются периодическая система и особенности ее поведения, решение стационарных систем проще, и они более широко используются. Рассмотрим систему, описываемую обыкновенными дифференциальными уравнениями вида х = Лх + Вх, где А я В — постоянные матрицы. Вектор состояния х имеет размерность п. Динамические характеристики этой системы определяются собственными значениями и собственными векторами матрицы А. Система порядка п имеет п собственных значений Я/ (/= ,..., ) и соответствующих им собственных векторов U/, являющихся решениями системы алгебраических уравнений А — kjl)Uj = 0. Эти однородные уравнения имеют ненулевые решения только в том случае, когда det(y4 — kl) = [c.341]

Несмотря на большое разнообразие приближенных методов, их можно в основном отнести к двум типам. В приближенных методах первого типа используются различные формы интегральных уравнений и соотношений, полученных из уравнений пограничного слоя. По существу такой подход является непосредственным продолжением хорошо известных методов расчета безотрывных течений пограничного слоя. Задача о расчете отрывного течения сводится к интегрированию системы нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений. При этом теряется информация о распределении функций по толщине пограничного слоя. Поэтому вводится предположение о том, что эти профили принадлежат к тому или иному семейству в зависимости от числа свободных параметров, соответствующего числу уравнений для определения их изменения вдоль потока. Система дополняется соотношениями, связывающими распределение толщины вытеснения пограничного слоя с характеристиками внешнего потока. Для получения удовлетворительных результатов важное значение имеет выбор семейства профилей распределения параметров по толщине пограничного слоя, а также соотношений для расчета внешнего невязкого течения. [c.268]

Второе издание настоящей книги существенно переработано и дополнено результатами новых исследований и критическим обзором существующих представлений по изучаемой проблеме. Оно включает исследования помпажа как в упрощенной постановке — в предположении, что компрессор представляет собой систему с сосредоточенными постоянными (описываемую обыкновенными дифференциальными уравнениями), так и в общем виде, когда компрессор с сетью является распределенной системой (описываемой дифференциальными уравнениями в частных производных). Показано, что как характер помпажа, так и вообще возможность его появления связаны в основном с формой характеристики компрессора. Б связи с этим задача изучения и устранения помпажа содержит две проблемы. Первая — как предсказывать по характеристикам компрессора и сети, а также геометрическим данным всей системы возможность или невозможность помпажа, выяснить влияние формы характеристики на особенности помпажных колебаний. Вторая проблема заключается в получении ответа на вопрос о том, почему характерис- [c.3]

Прямым методом интегрирования уравнений газовой динамики является метод характеристик. В одномерном случае задача сводится к решению системы из шести обыкновенных дифференциальных уравнений для определения параметров течения и траекторий характеристик [c.35]

Как уже указывалось выше, число работ, содержащих различного рода приближенные методы расчета отрывных и безотрывных сверхзвуковых течений с распространением возмущений вверх по потоку с учетом эффектов взаимодействия, чрезвычайно велико. Однако большая их часть относится к небольшому числу основных направлений. Одно из направлений связано с использованием интегральных уравнений пограничного слоя. Задача об отрывном или безотрывном взаимодействии области вязкого течения с внешним невязким сверхзвуковым потоком сводится к интегрированию системы нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. Эти уравнения получаются формальным интегрированием уравнений пограничного слоя в поперечном направлении. В них входят определенные интегральные характеристики пограничного слоя толщины вытеснения, потери импульса, энергии и т. п. Кроме того, добавляется соотношение, определяющее связь между распределением давления в невязком сверхзвуковом потоке и толщиной вытеснения области вязкого течения. Информация о формах профилей скорости и энтальпии в пограничном слое оказывается утерянной и должна быть постулирована в виде каких-либо семейств кривых, зависящих от такого же числа свободных параметров, сколько имеется уравнений для определения их распределения по продольной координате. Для получения удовлетворительных результатов важное значение имеет выбор семейства профилей распределения параметров поперек пограничного слоя. Единственным критерием качества является сопоставление результатов с экспериментальными данными. [c.11]

Чтобы ввести понятие волнового поля, приходится рассматривать среду как сплошную. Поэтому механику волн мы будем строить на основе механики сплошных сред, отказавшись от уравнений механики дискретной системы материальных точек. С математической стороны это означает переход от обыкновенных дифференциальных уравнений к уравнениям в частных производных. В дальнейшем характеристики волны будем считать дифференцируемыми (требуемое число раз) функциями координат и времени. [c.14]

При построении математических моделей АСР удобно использовать типовые звенья. Типовые звенья — это простейшие системы, описываемые обыкновенными линейными дифференциальными уравнениями не выше второго порядка. Характеристики типовых линейных звеньев приведены в табл. 6.6 и 6.7. [c.444]

В физических задачах, описываемых системой дифференциальных уравнений первого порядка но t (как обыкновенных, так и в частных производных) с начальными условиями при t = О, статистические свойства решения в момент времени t определяются статистическими характеристиками процесса 2 (т) при О т г, которые полностью описываются характеристическим функционалом [c.51]

Основная идея метода характеристик состоит в уменьшении числа независимых переменных в результате введения характеристических поверхностей (характеристических направлений). Как было показано в 2.2, определяя характеристики как линии, на которых решение задачи Kouin либо не существует, либо неединственно, удается систему двумерных уравнений газовой динамики в частных производных свести к системе обыкновенных дифференциальных уравнений направления и совместности, выполняющихся вдоль характеристик. Так, система уравнений в частных производных, описывающих одномерное нестационарное течение совершенного газа, сводится в результате применения метода характеристик к системе обыкновенных дифференциальных уравнений вдоль характеристик (2.53). Система уравнений, описывающая стационарное неравновесное течение газа, сводится к системе обыкновенных дифференциальных уравнений [c.112]

Сущность метода исследования во всех случаях состоит в разложении прогиба НЛП его производных в ряд по некоторой фундаментальной системе функций и изучении счетной системы обыкновенных дифференциальных уравнений, которым удовлетворяют коэффициенты разложения. Для однотипной нагрузки в качестве фундаментальной системы берется последовательность собственных функций некоторой вспомогательной упругой задачи. При ис-с.тедовании же устойчивости сжато-растянутых неоднородно-стареющих вязкоупругих стержней последовательность собственных функций непосредственно уже не связана с соответствующей упругой задачей. Существенным является также выбор удачного представления для функции прогиба. Для ряда ситуаций численно исследована зависимость критического времени от функции неоднородного старения, параметра армирования и других характеристик задачи. Обзор современных концепций и библиография работ, связанных с устойчивостью однородно-стареющих вязкоупругих стержней, имеется, например, в [270, 404, 415, 520]. Некоторые [c.230]

Можно показать, что приведенная система параболического типа и что характеристики — линии = onst. Это дает возможность применить к приведенной системе приближенные методы, использующие связь между значениями функции и ее производных в трех соседних точках. В результате задача сводится либо к решению системы п алгебраических уравнений с п неизвестными, либо к системе обыкновенных дифференциальных уравнений на каждой линии ,= onst. Появляется трудность в получении данных па осо бой линии. [c.101]

Рассмотрим задачу об устойчивости равновесия упругой слоистой анизотропной оболочки вращения, нагруженной осесимметричной системой внешних сил, интенсивности которых пропорциональны одному параметру. Докритическое равновесное состояние оболочки определяем на основе линеаризованных уравнений статики, а его устойчивость исследуем в рамках статической концепции Эйлера о разветвлении фop равновесия, позволяющей трактовать (см. параграф 3.3) задачу устойчивости как линейную краевую задачу на собственные значения для системы дифференциальных уравнений с частными производными. Решение этой задачи строим в форме тригонометрических рядов Фурье по угловой координате (см. параграф 3.6) с коэффициентами, зависящими от меридиональной координаты. Отделяя угловую координату и вводя 2х-мерный вектор j>(x) вариаций безразмерных кинематических и силовых характеристик напряженно-деформированного состояния оболочки (см. параграф 3.6), приходим к линейной краеюй задаче на собственные значения для системы обыкновенных дифференциальных уравнений, которую запишем в векторной форме [c.205]

Предпосылки возникновения хаоса. Изученные выше интегрируемые случаи движения нескольких точечных вихрей представляют собой исключение в общем неинтегрируемом случае нелинейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений (3.2). Неинтегри-руемость любых уравнений является обычным делом и до недавнего времени казалось, что разработанные многочисленные эффективные вычислительные алгоритмы — методы Рунге — Кутта, Адамса — Бошфорта и другие — полностью обеспечивают я ализ поведения динамической системы на любом промежутке времени. Однако, начиная с работы Э.Лоренца [170], в научное сознание глубоко вошла идея о возможности хаотического поведения в детерминированных нелинейных систем ах даже с малым числом степеней свободы. В работе исследовалась общая задача термоконвекции применительно к образованию крупномасштабных вихревых структур. Используя уравнения Навье — Стокса, записанные в так называемом приближении Буссинеска [103] , и раскладывая их по стандартной процедуре метода Бубнова — Галеркина, Э.Лоренц получил свою знаменитую систему трех обыкновенных нелинейных уравнений. При определенных значениях параметров, отражающих физические характеристики исходной задачи, найдены необычные, хаотические свойства ее решений, названные странным аттрактором . [c.157]

Основная идея метода характеристик состоит в уменьшении числа независимых перемеппых путем введения характеристических поверхностей (или характеристических направлений). Как было показано в 1.2, определяя характеристики как линии, на которых решение задачи Коши либо не существует, либо неединственно, удается систему двумерных уравнений газовой динамикн в частных производных свести к системе обыкновенных дифференциальных уравнений направления и уравнений совместности, выполняющихся вдоль характеристик. Так, система уравнений в частных нроиз- [c.66]

Схемотехническое проектирование радиотехнических (RF) схем отличается рядом особенностей математических моделей и используемых методов, прежде всего в области СВЧ-диапазона. Для анализа линейных схем обычно применяют методы расчета полюсов и нулей передаточных характеристик. Моделирование стационарных режимов нелинейных схем чаще всего выполняют с помощью метода гармонического баланса, основанного на разложении неизвестного рещения в ряд Фурье, подстановкой разложёния в систему дифференциальных уравнений с группированием членов с одинаковыми частотами тригонометрических функций, в результате получаются системы нелинейных алгебраических уравнений, подлежащие решению. Сокращение времени в случае слабо нелинейных схем достигается при моделировании СВЧ-устройств с помощью рядов Вольтерра. Анализ во временной области для ряда типов схем выполняют с помощью программ типа Spi e путем интегрирования систем обыкновенных дифференциальных уравнений. [c.136]

В [15] для систем линейных уравнений первого порядка получено обыкновенное дифференциальное уравнение (уравнение переноса), в соответствии с которым скаляр а распространяется по бихарактеристическим лучам, и указано на возможность получения уравнения переноса для квазилинейных систем. Подробно уравнение переноса для случая системы двух квазилинейных уравнений с двумя независимыми переменными (когда а распространяется вдоль характеристик) изучено в работе [16]. Ниже выведем уравнение переноса для системы (0.1), (0.2) в случае примыкания к покою. Оно будет существенно использовано в дальнейшем. [c.94]

Уравнение Лиувилля есть линейное дифференциальное уравнение в частных производных первого порядка относительно (р.Я) зависящее от 2п 6М переменных (/ ,, дг), причем коэффициенты его суть известные функции этих переменных, определяемые функцией Гамильтона системы Н р, д). Характеристики этого уравнения определяются системой 2п обыкновенных дифференниальных уравнений первого порядка [c.21]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...